一輪復(fù)習(xí)同角三角函數(shù)和誘導(dǎo)公式

精品資料歡迎下載精品資料歡迎下載精品資料歡迎下載3.1任意角與弧度制¤復(fù)習(xí)目標(biāo)：（1）了解任意角的概念.（2）了解弧度制概念，能進(jìn)行弧度與角度的互化.¤知識(shí)梳理：（1）角的概念的推廣：按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做正角；按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角；一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)形成的角叫做零角.（2）象限角的概念：使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，角的終邊（除端點(diǎn)外）在第幾象限，我們就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角.終邊落在x軸和y軸上的角，不屬于任何象限.（3）終邊相同的角：所有與角終邊相同的角（包括角），構(gòu)成集合S＝｛β|β＝α＋k?360°，k∈Z｝或S＝｛β|β＝α＋2kπ，k∈Z｝.（4）角度制：以周角的為1度的角，記作1°．用度作為單位來(lái)度量角的單位制叫做角度制.（5）弧度制：長(zhǎng)度等于圓半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角（即圓周的所對(duì)的圓心角，或周角的），叫做1弧度的角，它的單位符號(hào)是rad．用弧度作為單位來(lái)度量角的單位制叫做弧度制．（6）弧度與角度的互化：360°＝2πrad，1°＝rad，1rad＝≈57.30°＝57°18′.（7）扇形弧長(zhǎng)公式：l＝＝||r（其中n表示角度數(shù)；表示弧度數(shù)）.扇形面積公式：.（其中l(wèi)表示扇形的弧長(zhǎng)，r表示圓的半徑，n表示角度數(shù)，表示弧度數(shù)）¤例題精講：【例1】（1）已知α為正角，β為負(fù)角，且α，β的終邊互為反向延長(zhǎng)線，則α－β為（）.A.90°B.－180°C.k?360°D.k?360°＋180°（2）角α的終邊經(jīng)過(guò)P（－5，0），則角α是（）.A.第二象限角B.第三象限角C.終邊落在x軸非正半軸上的角D.既是第二象限角又是第三象限角D.既是第二象限角又是第三象限角（3）（05年全國(guó)Ⅲ）已知為第三象限的角，則所在的象限是.（4）1200°用弧度制表示為，寫成2kπ＋的形式為（其中0≤＜2π，k∈Z）（5）－用角度制表示為，寫成k·360＋形式為.（其中0°≤α＜360°，k∈Z）【例2】角的終邊與圓(x－2)2+y2＝1有公共點(diǎn)，求角的集合.分析：作出角的終邊與圓(x－2)2+y2＝1相切的圖形（如圖），由圖可知，與圓(x－2)2+y2＝1有公共點(diǎn)的角的終邊，其終邊OB所對(duì)應(yīng)的角最小，終邊OA所對(duì)應(yīng)的角最大.點(diǎn)評(píng)：以形促數(shù)，數(shù)形結(jié)合.【例3】已知一扇形的圓心角是θ，所在圓的半徑是R．（1）若θ＝60°，R＝10cm，求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在的弓形面積；（2）若扇形的周長(zhǎng)為定值C（C＞0），當(dāng)θ為多少弧度時(shí)，此扇形的面積最大？并求最大面積．分析：（1）依題意首先化角度為弧度，再運(yùn)用公式求得弧長(zhǎng)，然后運(yùn)用扇形面積公式及S弓＝S扇－S△求得弓形面積.（2）或利用二次函數(shù)，或利用判別式法，或利用均值不等式求出面積的最大值．點(diǎn)評(píng)：無(wú)論是（1）中求弓形的面積，還是（2）中求最大值，都須首先運(yùn)用相應(yīng)公式求出扇形面積，而這些又只有在弧度制下才能進(jìn)行.規(guī)律總結(jié)：（1）把握用旋轉(zhuǎn)來(lái)定義角，就可以將正角、負(fù)角和零角，終邊相同的角等聯(lián)系在一起.（2）注意象限角、區(qū)間角、軸線角、終邊相同的角之間的關(guān)系，以便準(zhǔn)確計(jì)算角的取值范圍.（3）計(jì)算扇形的弧長(zhǎng)與周長(zhǎng)，扇形的面積與弓形的面積，首先要考慮圓心角、半徑與弧度制.3.2任意角三角函數(shù)與誘導(dǎo)公式¤復(fù)習(xí)目標(biāo)：（1）理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切、余切）的定義.（2）能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出±，π±的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式.¤知識(shí)梳理：在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為圓心，以單位長(zhǎng)度為半徑的圓為單位圓（unitcircle）.設(shè)α是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y)，那么y叫作α的正弦（sine），記作sinα；x叫作α的余弦（cosine）,記作cosα；叫作α的正切（tangent）,記作tanα.設(shè)角的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為M，過(guò)點(diǎn)A(1,0)作單位圓的切線，設(shè)它與終邊或其反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)T.則把三條與單位圓有關(guān)的有向線段MP、OM、AT，分別叫做角的正弦線、余弦線、正切線，統(tǒng)稱為三角函數(shù)線.（3）在角終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)P(x,y)，先計(jì)算得到r=|OP|=，則sin=,cos=,tan=.（4）誘導(dǎo)公式列表歸納如下：誘導(dǎo)公式——口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限。正弦余弦正切余切以上誘導(dǎo)公式可統(tǒng)一為“(k∈Z)”的形式，記憶口訣為“奇變偶不變，符號(hào)看象限”.這里的奇偶是指誘導(dǎo)公式中與加減運(yùn)算的部分是的2奇數(shù)倍還是偶數(shù)倍，公式一～五的形式為“偶”，函數(shù)名不變，公式六～七的形式為“奇”，函數(shù)名改變.“符號(hào)”是把任意角看成銳角時(shí)，(k∈Z)所在象限的三角函數(shù)值的符號(hào).¤例題精講：【例1】完成下面一組典型的基礎(chǔ)練習(xí)：（1）若三角形的兩內(nèi)角A、B滿足sinA·cosB＜0，則此三角形的形狀為（B）.A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.不能確定（2）已知sin()=，則的值是（D）.A.B.-2C.D.±（3）設(shè)角是第一象限角，且=﹣sin，則是（C）.A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角（4）求滿足sin≥的。解析利用三角函數(shù)線來(lái)確定滿足不等式的角的取值范圍。解：如右圖所示，做直線y=與單位圓交于A、B兩點(diǎn)，則∠xOA=，∠xOB=，在弧AB上任取一點(diǎn)P，過(guò)P作PM⊥x軸于M，設(shè)三角不等式∠xOP=，則sin=PM。由于PM＞，∴在[0,2﹚內(nèi)滿足sin≥的為≤≤，由誘導(dǎo)公式一也可滿足sin≥的為≤≤（k∈Z）。（5）函數(shù)的值域?yàn)?。解：定義域：，當(dāng)x是第Ⅰ象限角時(shí)，y=1+1+1=3；當(dāng)x是第Ⅱ象限角時(shí)，y=1-1-1=﹣1；當(dāng)x是第Ⅲ象限角時(shí),y=-1-1+1=﹣1；當(dāng)x是第Ⅳ象限角時(shí),y=-1+1-1=﹣1.∴函數(shù)的值域?yàn)閧-1,3}.已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,-3)，則sin=,cos=,tan=。解：依題可知：r==，于是sin===，cos===；tana==.【例2】已知角的終邊過(guò)點(diǎn)(a,2a)，(a0)，求sin，cos，tan的值.【例3】求函數(shù)f(x)=log(sinx-cosx)定義域.點(diǎn)評(píng)：求解sinx-cosx>0，關(guān)鍵在于尋找正弦線比余弦線大的角.由單位圓中的三角函數(shù)線可知，以Ⅰ、Ⅱ象限角平分線為界限，可劃分sinx-cosx的符號(hào)；以Ⅱ、Ⅲ象限角平分線為界限，可劃分的符號(hào)sinx+cosx(如上圖).規(guī)律總結(jié)：（1）利用誘導(dǎo)公式，可以將任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求銳角三角函數(shù)的值，這是學(xué)習(xí)誘導(dǎo)公式的主要目的.而誘導(dǎo)公式的記憶是重中之重，常常出現(xiàn)公式記憶不夠準(zhǔn)確，需聯(lián)系口訣記憶.（2）正弦線、余弦線、正切線分別是正弦、余弦、正切值的幾何表示，通過(guò)三角函數(shù)線，給出了三角函數(shù)值的幾何定義，它是研究三角函數(shù)圖象和性質(zhì)的工具，可以溝通三角函數(shù)與幾何知識(shí)的聯(lián)系，為以后運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決實(shí)際問(wèn)題提供了重要的手段，如利用三角函數(shù)線解三角不等式、比較三角函數(shù)值的大小等.3.3同角三角函數(shù)的基本關(guān)系¤復(fù)習(xí)目標(biāo)：（1）理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：同角三角函數(shù)的關(guān)系平方關(guān)系：商數(shù)關(guān)系：倒數(shù)關(guān)系：（2）能利用其解決較簡(jiǎn)單的求值、化簡(jiǎn)、等式證明等有關(guān)問(wèn)題.¤知識(shí)梳理：（1）基本關(guān)系式的等價(jià)變形：sin2x＝1－cos2x；cos2x＝1－sin2x；sinx＝±；cosx＝±；(sinx±cosx)2＝1±2sinxcosx；sinx＝cosx·tanx；1＋tan2x＝csc2x.（2）靈活運(yùn)用相關(guān)公式、方法與技巧①多項(xiàng)式的乘方公式，如“sin3θ＋cos3θ＝(sinθ＋cosθ)(sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ)”；②常量代換，如“1＝sin2＋cos2”；③整體代換，如“設(shè)sinx＋cosx＝t”：④“切割化弦”或“弦化切”⑤配方法等．（3）化簡(jiǎn)要求：①三角函數(shù)名稱盡可能少；②項(xiàng)數(shù)盡可能少；③各項(xiàng)次數(shù)盡可能地低；④根號(hào)下盡可能不含三角函數(shù)式；⑤特殊角的三角函數(shù)寫出其具體值.證明可選用綜合法、分析法或比較法等.¤例題精講：【例1】完成下面一組典型的基礎(chǔ)練習(xí)：1.已知cos=，為第二象限角，那么tan的值等于（B）.A.B.C.D.4.已知是三角形的內(nèi)角，sin+cos=，則sin-cos的值為（C）.A.B.C.D.（3）化簡(jiǎn)：sin4+sin2cos2+cos2＝1.（4）已知sin=，且tan<0，則cos=．（5）已知=3，則tan=2.【例2】已知是第三象限角，化簡(jiǎn).分析：先利用同角三角函數(shù)關(guān)系中的和一般的配出平方式來(lái)去根號(hào)化簡(jiǎn)，然后去根號(hào)，寫出含絕對(duì)值式，再根據(jù)角的象限討論符號(hào)，以去掉絕對(duì)值符號(hào)，經(jīng)運(yùn)算便可得結(jié)果.解：原式=∵是第三象限角，∴cos＜0.所以原式=點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是去根號(hào).在化簡(jiǎn)中，盡可能保證分母相同，以減少后面的運(yùn)算量.【例3】已知sin=2cos，求及sin2+2sincos的值.分析：關(guān)于sinα，cosα的齊次式的求值，如是整式形式，主要是采用“化一”的方法，代入化簡(jiǎn)；如是分式形式，多用“弦化切”的方法，從條件式化出一正切值，然后代入欲求值式求值.解：∵sin=2cos，tan=2，=sin2+2sincos=點(diǎn)評(píng)：對(duì)于sin，cos的齊次式的求值，要注意針對(duì)性技巧.【例4】已知tan(+)=m.（1）用m表示sin,cos的值；（2）求sincos.點(diǎn)評(píng)：在解題中，需要提煉的基本方法有：弦化切、切化弦、平方法、“1”的妙用等.【例5】若sin，cos是關(guān)于x的方程8x2＋6mx＋2m＋1＝0的兩根，求m的值.點(diǎn)評(píng)：兩個(gè)關(guān)于m的方程的解，正是它們所對(duì)應(yīng)的m的條件集合的交集.規(guī)律總結(jié)：（1）同角三角函數(shù)關(guān)系式的運(yùn)用中，要小心開方取值的符號(hào)判斷；在用兩個(gè)基本關(guān)系式，適當(dāng)擴(kuò)充一些基本關(guān)系式的等價(jià)變形，以利解題；運(yùn)用同角三角函數(shù)關(guān)系式，要結(jié)合單位圓的三角函數(shù)線，也可以借用一些有效的傳統(tǒng)方法，形成簡(jiǎn)捷的解題思路.（2）同角三角函數(shù)關(guān)系式，可進(jìn)行不同名函數(shù)之間的變換，誘導(dǎo)公式則主要進(jìn)行不同角之間的變換，注意兩相配合的作用不要只盯住用同角三角函數(shù).關(guān)系式作變換，要善于綜合多種公式解題.練習(xí)：已知方程的兩根分別是sin，cos，求的值.解：因?yàn)榉匠痰膬筛謩e是sin，cos，所以sin+cos=.原式=點(diǎn)評(píng)：解答此題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：①化切為弦；②韋達(dá)定理的靈活應(yīng)用.3.4正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)¤復(fù)習(xí)目標(biāo)：（1）能畫出y=sinx,y=cosx，y=tanx的圖像，了解三角函數(shù)的周期性.（2）理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì)（如單調(diào)性、最大和最小值與x軸交點(diǎn)等）.¤知識(shí)梳理：三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)圖象定義域RR值域最值時(shí)時(shí)時(shí)時(shí)R無(wú)最大值無(wú)最小值周期性周期為周期為周期為奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在上都是增函數(shù)；在上都是減函數(shù)（）在上都是增函數(shù)，在上都是減函數(shù)（）在內(nèi)都是增函數(shù)（）對(duì)稱性¤例題精講：【例1】完成下面一組典型的基礎(chǔ)練習(xí)：（1）函數(shù)y＝|cos(x－)|的最小正周期是（）.A.2πB.πC.D.（2）函數(shù)y＝的定義域是（）.A.［0，1］B.RC.［kπ+，kπ+］（k∈Z）D.［2kπ+，2kπ+］（k∈Z）（3）函數(shù)y＝3cos(+)的奇偶性是.（4）已知函數(shù)y=asinx+b的最大值為1，最小值為-7，則a＝；b＝.（5）設(shè)f(x)＝sinπx，x∈R，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2007)的值等于。（6）函數(shù)y＝tanx+sinx的定義域是.（7）函數(shù)y=tan(x+)，x∈R且(k∈Z)的單調(diào)區(qū)間是．（8）若函數(shù)y＝tankx是以為最小正周期的周期函數(shù)，則k＝.【例2】（1）比較大?。孩賑os51°與sin760°；②sin2，sin3與sin4；（2）若f(x)＝x2＋bx＋c對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有f(1－x)＝f(1＋x)，比較f(cos1)與f(cos)的大小.③tan20°與tan201°；④tan(－)與tan(－)；點(diǎn)評(píng)：（1）比較三角函數(shù)的大小，不僅要運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，也要充分運(yùn)用如誘導(dǎo)公式等的等價(jià)變換，把兩個(gè)式子放在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)進(jìn)行比較，還要注意角度與弧度的轉(zhuǎn)換．【例3】求y＝2cos(x－)(≤x≤)的值域.【例4】（1）求函數(shù)y=logcos(+)的單調(diào)遞增區(qū)間.（2）求函數(shù)y=tan(2x+)的定義域與周期.分析：先考慮函數(shù)的定義域，再求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.點(diǎn)評(píng)：討論三角函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，不要一見函數(shù)名稱就盲目定性，要通過(guò)公式化簡(jiǎn)成能直接判斷性質(zhì)的函數(shù)后再論；或通過(guò)復(fù)合函數(shù)的分析后再論其性質(zhì).【例5】（1）求函數(shù)y=sin2x-3sinx+的最小值.（2）當(dāng)方程4sinx+4sinx-k+k-2=0有解時(shí)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.分析：關(guān)于sinx的二次函數(shù)，要運(yùn)用二次函數(shù)的方法．規(guī)律總結(jié)：（1）運(yùn)用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象可以討論其性質(zhì)，但更重要的是掌握從性質(zhì)抽象概括或拓展而成的一些公式化的法則來(lái)討論性質(zhì)，這樣就有利于很多需要用函數(shù)的性質(zhì)求解的問(wèn)題．（2）三角函數(shù)圖象與性質(zhì)主要有兩個(gè)方面的應(yīng)用：一是利用單調(diào)性比較函數(shù)值的大?。欢抢脠D象求解三角不等式.【例6】作出函數(shù)（1）y＝tan(－x)，（2）y＝｜tanx｜，（3）y＝tan｜x｜的圖象，并根據(jù)它們的圖象分別討論其有關(guān)性質(zhì)：定義域、值域、周期性、奇偶性、單調(diào)性和對(duì)稱性.分析：在y＝tanx的圖象的基礎(chǔ)上，運(yùn)用對(duì)稱的關(guān)系描點(diǎn)成圖.解：y＝tan(－x)，y＝｜tanx｜，y＝tan｜x｜的圖象如下圖.點(diǎn)評(píng)：畫出三個(gè)圖象，便能區(qū)別三個(gè)函數(shù)的性質(zhì)的異同.所以解決函數(shù)的問(wèn)題，必須把握函數(shù)的圖象.3.5函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象¤復(fù)習(xí)目標(biāo)：（1）了解函數(shù)y=Asin(wx+)的物理意義.（2）能畫出y=Asin(wx+)的圖像，了解參數(shù)A,w,對(duì)函數(shù)圖像變化的影響.¤知識(shí)梳理：（1）函數(shù)y=Asin(wx+),x∈[0,+∞),（其中A>0,w>0)的物理意義：函數(shù)表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí)，A：表示振動(dòng)時(shí)離開平衡位置的最大距離，稱為“振幅”；T：T=往復(fù)振動(dòng)一次所需的時(shí)間，稱為“周期”；f：f=單位時(shí)間內(nèi)往返振動(dòng)的次數(shù)，稱為“頻率”；wx+：稱為相位；：x＝0時(shí)的相位，稱為“初相”.（2）由五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin(wx+)(A>0,w>0)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，把wx+看成一個(gè)整體，依次取wx+=0,,,,2時(shí)的變量x的五個(gè)值，得到函數(shù)的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，從而勾畫出一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖.（3）函數(shù)的圖象變換函數(shù)的圖象可以通過(guò)下列兩種方式得到：（1），先平移后伸縮：（2），先伸縮后平移¤例題精講：【例1】（1）要得到y(tǒng)=3sin(2x+)的圖象只需將y=3sin2x的圖象（）.A．向左平移個(gè)單位B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位D．向右平移個(gè)單位（2）（05年福建）函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)（x∈R，ω＞0，0≤φ＜2π）的部分圖象如圖，則（）.（3）若f(x)＝2sinωx（0＜ω＜1），在區(qū)間[0,]上最大值為，則ω＝．（4）函數(shù)y＝2sin(3x－)圖象的兩相鄰對(duì)稱軸之間的距離是．（5）函數(shù)y＝2sin(2x＋)的圖象關(guān)于成軸對(duì)稱圖形；關(guān)于