專題06已知正弦余弦或正切值求角（4種題型）

專題06已知正弦、余弦或正切值求角（4種題型）思維導圖核心考點聚焦題型一、已知正弦、余弦或正切值求角題型二、已知正弦、余弦或正切值求給定區(qū)間上的角題型三、已知正弦、余弦或正切值大小求角的范圍題型四、已知正弦、余弦或正切值求角的拓展如果是銳角，且滿足，那么.如果不限定是銳角，那么由誘導公式可知，也滿足.再由誘導公式（）可知，或（）都滿足.那么，是否還有其他的角滿足呢？下面我們就來研究這個問題.為此目的，設是一個任意給定的角，我們希望確定所有滿足的角.設角的終邊與以原點為圓心的單位遠的交點為，過點作軸的垂線，如圖（1）所示.由正弦的定義，滿足的角的終邊與單位圓的交點必在此直線上.當（）時，此直線交單位圓于兩點和.由于這兩點分別位于角和角的終邊上，因此滿足的角的全體為或，，可簡記為，.當（）時，過點且垂直于軸的直線與單位圓相切于，此時滿足角的全體為，，這個集合也可以用上面所示的形式來表示.事實上，其表達式與上述集合第一部分中所給的表達式完全相同，而對于上述集合第二部分所給的表達式，由于在（）時，（），此時它也與上述集合第一部分中所給的表達式一致.這樣，我們就得到：若，則或，，即，.同理，如圖（2），若角的終邊與以原點為圓心的單位圓的交點為，則由余弦的定義，滿足的角的終邊與單位圓的交點在過點且垂直于軸的直線上，從而滿足的角的全體為，.這樣，我們就得到：若，則，.如圖（3），若角的終邊與以原點為圓心的單位圓的交點為，則由正切的定義，滿足的角的終邊與單位圓的交點在過原點和點的直線上，從而滿足的角的全體為，.這樣，我們就得到：若，則，.題型一、已知正弦、余弦或正切值求角【例1】如果已知，求：滿足條件的角的集合；【答案】（1）或【解析】（1）方法1、在單位圓中，由可知，角對應的正弦線方向朝上，而且長度為，作示意圖，如圖所示，可知角的終邊可能是，也可能是，又因為，所以或所以，滿足條件的角的集合為：或方法2、由，根據“若，則解集為：”則滿足條件的角的集合為：；【變式1】根據下列條件，分別求角：（1）已知；（2）已知；（3）已知.【解析】（1），原式等價于求解，從而其解為，.（2），原式等價于求解，從而其解為，.（3），原式等價于求解，從而其解為，.【變式2】.已知角終邊上一點，且，能否求出、的值？若能，求出其值；若不能，請說明理由.【解析】因為角的終邊過點，所以.因為，所以或.①當時，點P的坐標為（1,3），角為第一象限角，此時；②當時，點P的坐標為（1,3），角為第二象限角，此時【變式3】.已知集合，.（1）當時，求x的值；（2）當時，求x和y的值.【提示】（1），，解得，；【解析】（2）因為，所以y可能取值為；當時，解得；當時，解得；當時，則有，即，解得，經檢驗知符合題意.綜上可得：若，則；若，則；若，則題型二、已知正弦、余弦或正切值求給定區(qū)間上的角【例2】（1）已知，求：滿足條件的角的集合；（2）已知，求：在區(qū)間內滿足條件的角的集合；（3）已知，求：在區(qū)間內滿足條件的角的集合；【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）由變形得，由結論得，滿足條件的角的集合為：；（2）方法1、由，又，則或，在區(qū)間內滿足條件的角的集合為；；方法2、適當取并檢驗；（3）同（2）得在區(qū)間內滿足條件的角的集合為：；【變式】.求下列方程的解集：（1），； （2），.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為，故又，故或，解得或，故解集為（2）因為，故又，故，解得，故解集為題型三、已知正弦、余弦或正切值大小求角的范圍【例3】（1）已知，求：滿足條件的角的取值范圍；（2）已知，求：滿足條件的角的取值范圍；【答案】（1）【解析】（1）由可知，角x對應的正弦線方向朝上，而且長度為，作示意圖，如圖所示，可知角的終邊可能是，也可能是，又因為，所以或再由圖可知，如果的終邊在中，則一定有，因此，滿足條件的角的取值范圍（2）畫出單位圓中三角函數線，如圖．由圖可知角的范圍是：或；題型四、已知正弦、余弦或正切值求角的拓展【例4】已知，求：滿足條件的角的集合；【解析】不妨將“”看作整體，代入“若，則解集為：”則得，解得或，所以，滿足條件的角的集合為：或；【變式1】.已知關于x的方程.（1）當時，求方程的解；（2）要使此方程有解，試確定m的取值范圍.【解析】（1），所以，當時，方程為：，所以或，又，所以，所以，故方程的解集為；（2）由（1）得：有解，即有解，又，又，所以，即，即【變式2】.根據下列條件，求角x：（1）已知，；（2）已知，x是第三象限角.【答案】（1）或；（2），【解析】（1）由得，因為，所以，因此或，故或（2）由得或，又x是第三象限角，所以，一、填空題1、已知cosx＝eq\f(1,2)，0＜x＜eq\f(π,2)，則角x等于【答案】eq\f(π,3)【解析】coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)2、已知cosx＝eq\f(1,2)，＜x＜，則角x等于【答案】【解析】cos=coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)3、若tanα＝eq\f(\r(3),3)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，則α＝________【答案】eq\f(7π,6)【解析】因為taneq\f(7π,6)=tan（π＋eq\f(π,6)）＝taneq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),3)，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，所以α＝π＋eq\f(π,6)＝eq\f(7π,6).4、若tanx＝eq\r(,3)，且x∈(－π，π)，則x＝________【答案】eq\f(π,3)或－eq\f(2π,3)；【解析】因為tanx＝eq\r(,3)＞0，且x∈(－π，π)，所以x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))，若x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則x＝eq\f(π,3)，若x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))，則x＝eq\f(π,3)－π＝－eq\f(2π,3)，綜上x＝eq\f(π,3)或－eq\f(2π,3).5、方程2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝1在區(qū)間(0，π)內的解是__________【答案】eq\f(7π,12)；【解析】因為，2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝1，所以，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝eq\f(1,2)；因為，x∈(0，π),所以，x－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，所以，x－eq\f(π,4)＝eq\f(π,3)，所以，x＝eq\f(7π,12).6、函數的定義域為______．【答案】，【解析】根據函數，可得，由單位圓與余弦線，可得，故函數的定義域為，，故答案為，．7、已知cosx＝eq\f(1,2)，0＜x＜eq\f(π,2)，則角x等于【答案】eq\f(π,3)【解析】coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)8、已知cosx＝eq\f(1,2)，＜x＜，則角x等于【答案】【解析】cos=coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)9、若tanα＝eq\f(\r(3),3)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，則α＝________【答案】eq\f(7π,6)【解析】因為taneq\f(7π,6)=tan（π＋eq\f(π,6)）＝taneq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),3)，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，所以α＝π＋eq\f(π,6)＝eq\f(7π,6).10、若tanx＝eq\r(,3)，且x∈(－π，π)，則x＝________【答案】eq\f(π,3)或－eq\f(2π,3)【解析】因為tanx＝eq\r(,3)＞0，且x∈(－π，π)，所以x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))，若x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則x＝eq\f(π,3)，若x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))，則x＝eq\f(π,3)－π＝－eq\f(2π,3)，綜上x＝eq\f(π,3)或－eq\f(2π,3).11、方程2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝1在區(qū)間(0，π)內的解是__________【答案】eq\f(7π,12)；【解析】∵2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝1，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝eq\f(1,2)；∵x∈(0，π),∴x－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，∴x－eq\f(π,4)＝eq\f(π,3)，∴x＝eq\f(7π,12).12、如果，且，那么角的取值范圍是【答案】【解析】因為，所以，所以角的終邊落在軸或其上方，從而角的取值范圍是；二、選擇題13、方程的解為（）A．， B．，C．， D．，【答案】D；【解析】由，可得，或，，即，，故選：D.14、“”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B；【解析】由可得：或，即能推出，但推不出所以，“”是“”的必要不充分條件，故選15、已知，則＝（）A．B．C．D．【答案】A；【解析】由已知，得，得，即方程的根為16、滿足等式的的集合是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】，，，或，或.綜上所述，方程的解集為.故選：D三、解答題17、求：方程的解集【答案】；【解析】由已知，結合誘導公式，化簡為，則或，得，所以方程的解集為.故答案為：18、求：方程的解集?！敬鸢浮俊窘馕觥坑?，得，解得，即方程的解為.故答案為：19、分別求滿足下列條件的x的值：（1）sinx＝eq\f(\r(2),2)，x∈[－π，π]；（2）cosx＝－eq\f(1,2)，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))；（3）tanx＝－1，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))；（4）coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)，x∈[0，π]【解析】（1）∵sinx＝eq\f(\r(2),2)，x∈[－π，π]，∴x＝eq\f(π,4)或eq\f(3π,4).（2）∵cosx＝－eq\f(1,2)，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，∴x＝eq\f(2π,3)或eq\f(4π,3).（3）∵tanx＝－1，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴x＝－eq\f(π,4).（4）∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)，∴2x＋eq\f(π,4)＝2kπ±eq\f(π,4)，k∈Z，∴x＝kπ或kπ－eq\f(π,4)，k∈Z，∵x∈[0，π]，∴x＝0，eq\f(3π,4)，π.20、求滿足下列條件的的集合：（1）；（2）；【解析】（1）由eq\f(\r(2),2)－sinx>0，所以sinx<eq\f(\r(2),2)，所以角x終邊所在區(qū)域如圖所示，所以2kπ－eq\f(5π,4)<x<2kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z，所以滿足條件的的集合為：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f