2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)ⅲ）

2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅲ）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x|3＜x＜15}，則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．52．（5分）若（1+i）＝1﹣i，則z＝（）A．1﹣i B．1+i C．﹣i D．i3．（5分）設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為0.01，則數(shù)據(jù)10x1，10x2，…，10xn的方差為（）A．0.01 B．0.1 C．1 D．104．（5分）Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I（t）（t的單位：天）的Logistic模型：I（t）＝，其中K為最大確診病例數(shù)．當(dāng)I（t*）＝0.95K時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則t*約為（）（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．695．（5分）已知sinθ+sin（θ+）＝1，則sin（θ+）＝（）A． B． C． D．6．（5分）在平面內(nèi)，A，B是兩個(gè)定點(diǎn)，C是動(dòng)點(diǎn)．若?＝1，則點(diǎn)C的軌跡為（）A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．直線7．（5分）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x＝2與拋物線C：y2＝2px（p＞0）交于D，E兩點(diǎn)，若OD⊥OE，則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（，0） B．（，0） C．（1，0） D．（2，0）8．（5分）點(diǎn)（0，﹣1）到直線y＝k（x+1）距離的最大值為（）A．1 B． C． D．29．（5分）如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（）A．6+4 B．4+4 C．6+2 D．4+210．（5分）設(shè)a＝log32，b＝log53，c＝，則（）A．a(chǎn)＜c＜b B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b11．（5分）在△ABC中，cosC＝，AC＝4，BC＝3，則tanB＝（）A． B．2 C．4 D．812．（5分）已知函數(shù)f（x）＝sinx+，則（）A．f（x）的最小值為2 B．f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱 C．f（x）的圖象關(guān)于直線x＝π對(duì)稱 D．f（x）的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）若x，y滿足約束條件則z＝3x+2y的最大值為．14．（5分）設(shè)雙曲線C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一條漸近線為y＝x，則C的離心率為．15．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）＝，若f′（1）＝，則a＝．16．（5分）已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的表面積為．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a2＝4，a3﹣a1＝8．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）記Sn為數(shù)列{log3an}的前n項(xiàng)和．若Sm+Sm+1═Sm+3，求m．18．（12分）某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：鍛煉人次空氣質(zhì)量等級(jí)[0，200]（200，400]（400，600]1（優(yōu)）216252（良）510123（輕度污染）6784（中度污染）720（1）分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1，2，3，4的概率；（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（3）若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？人次≤400人次＞400空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好附：K2＝P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819．（12分）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1．證明：（1）當(dāng)AB＝BC時(shí)，EF⊥AC；（2）點(diǎn)C1在平面AEF內(nèi)．20．（12分）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣kx+k2．（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）若f（x）有三個(gè)零點(diǎn)，求k的取值范圍．21．（12分）已知橢圓C：+＝1（0＜m＜5）的離心率為，A，B分別為C的左、右頂點(diǎn)．（1）求C的方程；（2）若點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q在直線x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面積．（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）22．（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)且t≠1），C與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)．（1）求|AB|；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求直線AB的極坐標(biāo)方程．[選修45：不等式選講]（10分）23．設(shè)a，b，c∈R，a+b+c＝0，abc＝1．（1）證明：ab+bc+ca＜0；（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，證明：max{a，b，c}≥．2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅲ）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x|3＜x＜15}，則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B，進(jìn)而能求出A∩B中元素的個(gè)數(shù)．【解答】解：∵集合A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x|3＜x＜15），∴A∩B＝{5，7，11}，∴A∩B中元素的個(gè)數(shù)為3．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查交集中元素個(gè)數(shù)的求法，考查交集定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．2．（5分）若（1+i）＝1﹣i，則z＝（）A．1﹣i B．1+i C．﹣i D．i【分析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，然后利用共軛復(fù)數(shù)的概念得答案．【解答】解：由（1+i）＝1﹣i，得，∴z＝i．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．3．（5分）設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為0.01，則數(shù)據(jù)10x1，10x2，…，10xn的方差為（）A．0.01 B．0.1 C．1 D．10【分析】根據(jù)任何一組數(shù)據(jù)同時(shí)擴(kuò)大幾倍方差將變?yōu)槠椒奖对鲩L(zhǎng)，求出新數(shù)據(jù)的方差即可．【解答】解：∵樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為0.01，∴根據(jù)任何一組數(shù)據(jù)同時(shí)擴(kuò)大幾倍方差將變?yōu)槠椒奖对鲩L(zhǎng)，∴數(shù)據(jù)10x1，10x2，…，10xn的方差為：100×0.01＝1，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了方差的性質(zhì)，掌握根據(jù)任何一組數(shù)據(jù)同時(shí)擴(kuò)大幾倍方差將變?yōu)槠椒奖对鲩L(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，本題屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I（t）（t的單位：天）的Logistic模型：I（t）＝，其中K為最大確診病例數(shù)．當(dāng)I（t*）＝0.95K時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則t*約為（）（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．69【分析】根據(jù)所給材料的公式列出方程＝0.95K，解出t即可．【解答】解：由已知可得＝0.95K，解得e﹣0.23（t﹣53）＝，兩邊取對(duì)數(shù)有﹣0.23（t﹣53）＝﹣ln19，解得t≈66，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于中檔題5．（5分）已知sinθ+sin（θ+）＝1，則sin（θ+）＝（）A． B． C． D．【分析】利用兩角和差的三角公式，進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．【解答】解：∵sinθ+sin（）＝1，∴sinθ+sinθ+cosθ＝1，即sinθ+cosθ＝1，得（cosθ+sinθ）＝1，即sin（）＝1，得sin（）＝故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)值的化簡(jiǎn)和求值，利用兩角和差的三角公式以及輔助角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．難度不大．6．（5分）在平面內(nèi)，A，B是兩個(gè)定點(diǎn)，C是動(dòng)點(diǎn)．若?＝1，則點(diǎn)C的軌跡為（）A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．直線【分析】設(shè)出A、B、C的坐標(biāo)，利用已知條件，轉(zhuǎn)化求解C的軌跡方程，推出結(jié)果即可．【解答】解：在平面內(nèi)，A，B是兩個(gè)定點(diǎn)，C是動(dòng)點(diǎn)，不妨設(shè)A（﹣a，0），B（a，0），設(shè)C（x，y），因?yàn)椋?，所以（x+a，y）?（x﹣a，y）＝1，解得x2+y2＝a2+1，所以點(diǎn)C的軌跡為圓．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查軌跡方程的求法，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．7．（5分）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x＝2與拋物線C：y2＝2px（p＞0）交于D，E兩點(diǎn)，若OD⊥OE，則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（，0） B．（，0） C．（1，0） D．（2，0）【分析】利用已知條件轉(zhuǎn)化求解E、D坐標(biāo)，通過kOD?kOE＝﹣1，求解拋物線方程，即可得到拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：將x＝2代入拋物線y2＝2px，可得y＝±2，OD⊥OE，可得kOD?kOE＝﹣1，即，解得p＝1，所以拋物線方程為：y2＝2x，它的焦點(diǎn)坐標(biāo)（，0）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，是基本知識(shí)的考查．8．（5分）點(diǎn)（0，﹣1）到直線y＝k（x+1）距離的最大值為（）A．1 B． C． D．2【分析】直接代入點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合基本不等式即可求解結(jié)論．【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)（0，﹣1）到直線y＝k（x+1）距離d＝＝＝；∵要求距離的最大值，故需k＞0；可得d≤＝；當(dāng)k＝1時(shí)等號(hào)成立；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．9．（5分）如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（）A．6+4 B．4+4 C．6+2 D．4+2【分析】先由三視圖畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)，利用三棱錐的表面積公式計(jì)算即可．【解答】解：由三視圖可知，幾何體的直觀圖是正方體的一個(gè)角，如圖：PA＝AB＝AC＝2，PA、AB、AC兩兩垂直，故PB＝BC＝PC＝2，幾何體的表面積為：3×＝6+2，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查多面體的表面積的求法，幾何體的三視圖與直觀圖的應(yīng)用，考查空間想象能力，計(jì)算能力．10．（5分）設(shè)a＝log32，b＝log53，c＝，則（）A．a(chǎn)＜c＜b B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接求解．【解答】解：∵a＝log32＝＜＝，b＝log53＝＞＝，c＝，∴a＜c＜b．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三個(gè)數(shù)的大小的判斷，考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．11．（5分）在△ABC中，cosC＝，AC＝4，BC＝3，則tanB＝（）A． B．2 C．4 D．8【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求tanC的值，利用余弦定理可求AB的值，可得A＝C，利用三角形的內(nèi)角和定理可求B＝π﹣2C，利用誘導(dǎo)公式，二倍角的正切函數(shù)公式即可求解tanB的值．【解答】解：∵cosC＝，AC＝4，BC＝3，∴tanC＝＝，∴AB＝＝＝3，可得A＝C，∴B＝π﹣2C，則tanB＝tan（π﹣2C）＝﹣tan2C＝＝＝4．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，余弦定理，三角形的內(nèi)角和定理，誘導(dǎo)公式，二倍角的正切函數(shù)公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．12．（5分）已知函數(shù)f（x）＝sinx+，則（）A．f（x）的最小值為2 B．f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱 C．f（x）的圖象關(guān)于直線x＝π對(duì)稱 D．f（x）的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱【分析】設(shè)sinx＝t，則y＝f（x）＝t+，t∈[﹣1，1]，由雙勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得，y≥2或y≤﹣2，故可判斷A；根據(jù)奇偶性定義可以判斷B正誤；根據(jù)對(duì)稱性的定義可以判斷C，D的正誤．【解答】解：由sinx≠0可得函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠kπ，k∈Z}，故定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；設(shè)sinx＝t，則y＝f（x）＝t+，t∈[﹣1，1]，由雙勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)得，y≥2或y≤﹣2，故A錯(cuò)誤；又有f（﹣x）＝sin（﹣x）+＝﹣（sinx+）＝﹣f（x），故f（x）是奇函數(shù)，且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱；故B錯(cuò)誤；f（π+x）＝sin（π+x）+＝﹣sinx﹣；f（π﹣x）＝sin（π﹣x）+＝sinx+，故f（π+x）≠f（π﹣x），f（x）的圖象不關(guān)于直線x＝π對(duì)稱，C錯(cuò)誤；又f（+x）＝sin（+x）+＝cosx+；f（﹣x）＝sin（﹣x）+＝cosx+，故f（+x）＝f（﹣x），定義域?yàn)閧x|x≠kπ，k∈Z}，f（x）的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱；D正確；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了對(duì)函數(shù)奇偶性和對(duì)稱性質(zhì)的靈活應(yīng)用能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）若x，y滿足約束條件則z＝3x+2y的最大值為7．【分析】先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，z＝3x+2y表示直線在y軸上的截距的一半，只需求出可行域內(nèi)直線在y軸上的截距最大值即可．【解答】解：先根據(jù)約束條件畫出可行域，由解得A（1，2），如圖，當(dāng)直線z＝3x+2y過點(diǎn)A（1，2）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)在y軸上的截距取得最大值時(shí)，此時(shí)z取得最大值，即當(dāng)x＝1，y＝2時(shí)，zmax＝3×1+2×2＝7．故答案為：7．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）設(shè)雙曲線C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一條漸近線為y＝x，則C的離心率為．【分析】由雙曲線的方程求出漸近線的方程，再由題意求出a，b的關(guān)系，再由離心率的公式及a，b，c之間的關(guān)系求出雙曲線的離心率．【解答】解：由雙曲線的方程可得漸近線的方程為：y＝±x，由題意可得＝，所以離心率e＝＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）＝，若f′（1）＝，則a＝1．【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)f′（1）＝，求得a的值．【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝，∴f′（x）＝，若f′（1）＝＝，∴＝，則a＝1，故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．16．（5分）已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的表面積為2π．【分析】由條件易知該圓錐內(nèi)半徑最大的球?yàn)樵搱A錐的內(nèi)接球，作圖，數(shù)形結(jié)合即可．【解答】解：當(dāng)球?yàn)樵搱A錐內(nèi)切球時(shí)，半徑最大，如圖：BS＝3，BC＝1，則圓錐高SC＝＝＝2，設(shè)內(nèi)切球與圓錐相切與點(diǎn)D，半徑為r，則△SOD∽△SCB，故有＝，即，解得r＝，所以該球的表面積為4πr2＝2π．故答案為：2π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐內(nèi)切球半徑求法，考查球的表面積公式，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a2＝4，a3﹣a1＝8．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）記Sn為數(shù)列{log3an}的前n項(xiàng)和．若Sm+Sm+1═Sm+3，求m．【分析】（1）設(shè)其公比為q，則由已知可得，解得a1＝1，q＝3，可求其通項(xiàng)公式．（2）由（1）可得log3an＝n﹣1，是一個(gè)以0為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，可求Sn＝，由已知可得+＝，進(jìn)而解得m的值．【解答】解：（1）設(shè)公比為q，則由，可得a1＝1，q＝3，所以an＝3n﹣1．（2）由（1）有l(wèi)og3an＝n﹣1，是一個(gè)以0為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以Sn＝，所以+＝，m2﹣5m﹣6＝0，解得m＝6，或m＝﹣1（舍去），所以m＝6．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，等差數(shù)列的求和，考查了轉(zhuǎn)化思想和方程思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．18．（12分）某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：鍛煉人次空氣質(zhì)量等級(jí)[0，200]（200，400]（400，600]1（優(yōu)）216252（良）510123（輕度污染）6784（中度污染）720（1）分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1，2，3，4的概率；（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（3）若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？人次≤400人次＞400空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好附：K2＝P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【分析】（1）用頻率估計(jì)概率，從而得到估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1，2，3，4的概率；（2）采用頻率分布直方圖估計(jì)樣本平均值的方法可得得答案；（3）由公式計(jì)算k的值，從而查表即可，【解答】解：（1）該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1的概率為：＝；該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為2的概率為：＝；該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3的概率為：＝；該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為4的概率為：＝；（2）由題意可得：一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值為：＝100×0.20+300×0.35+500×0.45＝350；（3）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，可得下面的2×2列聯(lián)表，人次≤400人次＞400總計(jì)空氣質(zhì)量好333770空氣質(zhì)量不好22830總計(jì)5545100由表中數(shù)據(jù)可得：K2＝＝≈5.820＞3.841，所以有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)與頻率估計(jì)概率，估計(jì)平均值的求法，屬于中檔題．19．（12分）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1．證明：（1）當(dāng)AB＝BC時(shí)，EF⊥AC；（2）點(diǎn)C1在平面AEF內(nèi)．【分析】（1）因?yàn)锳BCD﹣A1B1C1D1是長(zhǎng)方體，且AB＝BC，可得AC⊥平面BB1D1D，因?yàn)镋F?平面BB1D1D，所以EF⊥AC．（2）取AA1上靠近A1的三等分點(diǎn)M，連接DM，C1F，MF．根據(jù)已知條件可得四邊形AED1M為平行四邊形，得D1M∥AE，再推得四邊形C1D1MF為平行四邊形，所以D1M∥C1F，根據(jù)直線平行的性質(zhì)可得AE∥C1F，所以A，E，F(xiàn)，C1四點(diǎn)共面，即點(diǎn)C1在平面AEF內(nèi)．【解答】解：（1）因?yàn)锳BCD﹣A1B1C1D1是長(zhǎng)方體，所以BB1⊥平面ABCD，而AC?平面ABCD，所以AC⊥BB1，因?yàn)锳BCD﹣A1B1C1D1是長(zhǎng)方體，且AB＝BC，所以ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又BD∩BB1＝B．所以AC⊥平面BB1D1D，又因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱DD1，BB1上，所以EF?平面BB1D1D，所以EF⊥AC．（2）取AA1上靠近A1的三等分點(diǎn)M，連接D1M，C1F，MF．因?yàn)辄c(diǎn)E在DD1，且2DE＝ED1，所以ED∥AM，且ED＝AM，所以四邊形AED1M為平行四邊形，所以D1M∥AE，且D1M＝AE，又因?yàn)镕在BB1上，且BF＝2FB1，所以A1M∥FB1，且A1M＝FB1，所以A1B1FM為平行四邊形，所以FM∥A1B1，F(xiàn)M＝A1B1，即FM∥C1D1，F(xiàn)M＝C1D1，所以C1D1MF為平行四邊形，所以D1M∥C1F，所以AE∥C1F，所以A，E，F(xiàn)，C1四點(diǎn)共面．所以點(diǎn)C1在平面AEF內(nèi)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面垂直的判定，考查直線平行的性質(zhì)應(yīng)用，是中檔題．20．（12分）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣kx+k2．（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）若f（x）有三個(gè)零點(diǎn)，求k的取值范圍．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論k的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值，得到關(guān)于k的不等式組，解出即可．【解答】解：（1）f（x）＝x3﹣kx+k2．f′（x）＝3x2﹣k，k≤0時(shí)，f′（x）≥0，f（x）在R遞增，k＞0時(shí)，令f′（x）＞0，解得：x＞或x＜﹣，令f′（x）＜0，解得：﹣＜x＜，∴f（x）在（﹣∞，﹣）遞增，在（﹣，）遞減，在（，+∞）遞增，綜上，k≤0時(shí)，f（x）在R遞增，k＞0時(shí)，f（x）在（﹣∞，﹣）遞增，在（﹣，）遞減，在（，+∞）遞增；（2）由（1）得：k＞0，f（x）極小值＝f（），f（x）極大值＝f（﹣），若f（x）有三個(gè)零點(diǎn)，只需，解得：0＜k＜，故k∈（0，）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，極值，零點(diǎn)問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道常規(guī)題．21．（12分）已知橢圓C：+＝1（0＜m＜5）的離心率為，A，B分別為C的左、右頂點(diǎn)．（1）求C的方程；（2）若點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q在直線x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面積．【分析】（1）根據(jù)e＝，a2＝25，b2＝m2，代入計(jì)算m2的值，求出C的方程即可；（2）設(shè)出P，Q的坐標(biāo)，得到關(guān)于s，t，n的方程組，求出AP（8，1），AQ（11，2），從而求出△APQ的面積．【解答】解：（1）由e＝得e2＝1﹣，即＝1﹣，∴m2＝，故C的方程是：+＝1；（2）由（1）A（﹣5，0），設(shè)P（s，t），點(diǎn)Q（6，n），根據(jù)對(duì)稱性，只需考慮n＞0的情況，此時(shí)﹣5＜s＜5，0＜t≤，∵|BP|＝|BQ|，∴有（s﹣5）2+t2＝n2+1①，又∵BP⊥BQ，∴s﹣5+nt＝0②，又+＝1③，聯(lián)立①②③得或，當(dāng)時(shí)，則P（3，1），Q（6，2），而A（﹣5，0），則＝（8，1），＝（11，2），∴S△APQ＝＝|8×2﹣11×1|＝，同理可得當(dāng)時(shí)，S△APQ＝，綜上，△APQ的面積是．【點(diǎn)評(píng)】本題考查求橢圓方程以及