2023-2024學年重慶江北區(qū)高三沖刺模擬數(shù)學試卷含解析

2023-2024學年重慶江北區(qū)高三沖刺模擬數(shù)學試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．百年雙中的校訓是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味運動會中有這樣的一個小游戲.袋子中有大小、形狀完全相同的四個小球，分別寫有“仁”、“智”、“雅”、“和”四個字，有放回地從中任意摸出一個小球，直到“仁”、“智”兩個字都摸到就停止摸球.小明同學用隨機模擬的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用電腦隨機產(chǎn)生1到4之間（含1和4）取整數(shù)值的隨機數(shù)，分別用1，2，3，4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”這四個字，以每三個隨機數(shù)為一組，表示摸球三次的結果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了以下20組隨機數(shù)：141432341342234142243331112322342241244431233214344142134412由此可以估計，恰好第三次就停止摸球的概率為（）A． B． C． D．2．設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，，則3．如圖，圓的半徑為，，是圓上的定點，，是圓上的動點，點關于直線的對稱點為，角的始邊為射線，終邊為射線，將表示為的函數(shù)，則在上的圖像大致為（）A． B． C． D．4．拋擲一枚質地均勻的硬幣，每次正反面出現(xiàn)的概率相同，連續(xù)拋擲5次，至少連續(xù)出現(xiàn)3次正面朝上的概率是（）A． B． C． D．5．已知△ABC中，．點P為BC邊上的動點，則的最小值為（）A．2 B． C． D．6．已知函數(shù)，，若對任意的，存在實數(shù)滿足，使得，則的最大值是()A．3 B．2 C．4 D．57．若、滿足約束條件，則的最大值為（）A． B． C． D．8．在的展開式中，含的項的系數(shù)是（）A．74 B．121 C． D．9．已知函數(shù)，若時，恒成立，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．10．如圖，長方體中，，，點T在棱上，若平面.則（）A．1 B． C．2 D．11．已知實數(shù)滿足約束條件，則的最小值是A． B． C．1 D．412．已知函數(shù)，，，，則，，的大小關系為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，滿足，．，若是等比數(shù)列，數(shù)列的通項公式_______．14．有編號分別為1，2，3，4，5的5個紅球和5個黑球，從中隨機取出4個，則取出球的編號互不相同的概率為_______________.15．已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，準線為l，P為C上一點，PQ垂直l于點Q，M，N分別為PQ，PF的中點，MN與x軸相交于點R，若∠NRF=60°，則|FR|等于_____.16．某大學、、、四個不同的專業(yè)人數(shù)占本校總人數(shù)的比例依次為、、、，現(xiàn)欲采用分層抽樣的方法從這四個專業(yè)的總人數(shù)中抽取人調查畢業(yè)后的就業(yè)情況，則專業(yè)應抽取_________人．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設函數(shù).（1）解不等式；（2）記的最大值為，若實數(shù)、、滿足，求證：.18．（12分）已知函數(shù)，.（1）若對于任意實數(shù)，恒成立，求實數(shù)的范圍；（2）當時，是否存在實數(shù)，使曲線：在點處的切線與軸垂直？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.19．（12分）已知．（1）若的解集為，求的值；（2）若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．20．（12分）已知（1）當時，判斷函數(shù)的極值點的個數(shù)；（2）記，若存在實數(shù)，使直線與函數(shù)的圖象交于不同的兩點，求證：．21．（12分）已知函數(shù).（1）當時.①求函數(shù)在處的切線方程；②定義其中，求；（2）當時，設，(為自然對數(shù)的底數(shù))，若對任意給定的，在上總存在兩個不同的，使得成立，求的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù)有兩個極值點，.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

由題意找出滿足恰好第三次就停止摸球的情況，用滿足恰好第三次就停止摸球的情況數(shù)比20即可得解.【詳解】由題意可知當1，2同時出現(xiàn)時即停止摸球，則滿足恰好第三次就停止摸球的情況共有五種：142，112，241，142，412.則恰好第三次就停止摸球的概率為.故選：A.【點睛】本題考查了簡單隨機抽樣中隨機數(shù)的應用和古典概型概率的計算，屬于基礎題.2、C【解析】

根據(jù)空間中直線與平面、平面與平面位置關系相關定理依次判斷各個選項可得結果.【詳解】對于，當為內與垂直的直線時，不滿足，錯誤；對于，設，則當為內與平行的直線時，，但，錯誤；對于，由，知：，又，，正確；對于，設，則當為內與平行的直線時，，錯誤.故選：.【點睛】本題考查立體幾何中線面關系、面面關系有關命題的辨析，考查學生對于平行與垂直相關定理的掌握情況，屬于基礎題.3、B【解析】

根據(jù)圖象分析變化過程中在關鍵位置及部分區(qū)域，即可排除錯誤選項，得到函數(shù)圖象，即可求解.【詳解】由題意，當時，P與A重合，則與B重合，所以,故排除C,D選項；當時，，由圖象可知選B.故選：B【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質，正確表示函數(shù)的表達式是解題的關鍵,屬于中檔題.4、A【解析】

首先求出樣本空間樣本點為個，再利用分類計數(shù)原理求出三個正面向上為連續(xù)的3個“1”的樣本點個數(shù)，再求出重復數(shù)量，可得事件的樣本點數(shù)，根據(jù)古典概型的概率計算公式即可求解.【詳解】樣本空間樣本點為個，具體分析如下：記正面向上為1，反面向上為0，三個正面向上為連續(xù)的3個“1”，有以下3種位置1____，__1__，____1．剩下2個空位可是0或1，這三種排列的所有可能分別都是，但合并計算時會有重復，重復數(shù)量為，事件的樣本點數(shù)為：個．故不同的樣本點數(shù)為8個，.故選：A【點睛】本題考查了分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理，古典概型的概率計算公式，屬于基礎題5、D【解析】

以BC的中點為坐標原點，建立直角坐標系，可得，設，運用向量的坐標表示，求得點A的軌跡，進而得到關于a的二次函數(shù)，可得最小值．【詳解】以BC的中點為坐標原點，建立如圖的直角坐標系，可得，設，由，可得，即，則，當時，的最小值為．故選D．【點睛】本題考查向量數(shù)量積的坐標表示，考查轉化思想和二次函數(shù)的值域解法，考查運算能力，屬于中檔題．6、A【解析】

根據(jù)條件將問題轉化為，對于恒成立，然后構造函數(shù)，然后求出的范圍，進一步得到的最大值.【詳解】，，對任意的，存在實數(shù)滿足，使得，易得，即恒成立，，對于恒成立,設，則，令，在恒成立，，故存在，使得，即，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.,將代入得：，，且，故選：A【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，零點存在定理和不等式恒成立問題，考查了轉化思想，屬于難題.7、C【解析】

作出不等式組所表示的可行域，平移直線，找出直線在軸上的截距最大時對應的最優(yōu)解，代入目標函數(shù)計算即可.【詳解】作出滿足約束條件的可行域如圖陰影部分（包括邊界）所示．由，得，平移直線，當直線經(jīng)過點時，該直線在軸上的截距最大，此時取最大值，即.故選：C.【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，考查線性目標函數(shù)的最值，一般利用平移直線的方法找到最優(yōu)解，考查數(shù)形結合思想的應用，屬于基礎題.8、D【解析】

根據(jù)，利用通項公式得到含的項為：，進而得到其系數(shù)，【詳解】因為在，所以含的項為：，所以含的項的系數(shù)是的系數(shù)是，，故選：D【點睛】本題主要考查二項展開式及通項公式和項的系數(shù)，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題，9、D【解析】

通過分析函數(shù)與的圖象，得到兩函數(shù)必須有相同的零點，解方程組即得解.【詳解】如圖所示，函數(shù)與的圖象，因為時，恒成立，于是兩函數(shù)必須有相同的零點，所以，解得．故選：D【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象的綜合應用和函數(shù)的零點問題，考查不等式的恒成立問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.10、D【解析】

根據(jù)線面垂直的性質，可知；結合即可證明，進而求得.由線段關系及平面向量數(shù)量積定義即可求得.【詳解】長方體中，，點T在棱上，若平面.則，則，所以，則，所以，故選：D.【點睛】本題考查了直線與平面垂直的性質應用，平面向量數(shù)量積的運算，屬于基礎題.11、B【解析】

作出該不等式組表示的平面區(qū)域，如下圖中陰影部分所示，設，則，易知當直線經(jīng)過點時，z取得最小值，由，解得，所以，所以，故選B．12、B【解析】

可判斷函數(shù)在上單調遞增，且，所以.【詳解】在上單調遞增，且，所以.故選：B【點睛】本題主要考查了函數(shù)單調性的判定，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質，利用單調性比大小等知識，考查了學生的運算求解能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用遞推關系，等比數(shù)列的通項公式即可求得結果.【詳解】因為，所以，因為是等比數(shù)列，所以數(shù)列的公比為1．又，所以當時，有．這說明在已知條件下，可以得到唯一的等比數(shù)列，所以，故答案為：.【點睛】該題考查的是有關數(shù)列的問題，涉及到的知識點有根據(jù)遞推公式求數(shù)列的通項公式，屬于簡單題目.14、【解析】試題分析：從編號分別為1，1，3，4，5的5個紅球和5個黑球，從中隨機取出4個，有種不同的結果，由于是隨機取出的，所以每個結果出現(xiàn)的可能性是相等的；設事件為“取出球的編號互不相同”，則事件包含了個基本事件，所以.考點：1.計數(shù)原理；1．古典概型.15、2【解析】

由題意知：，，，.由∠NRF=60°，可得為等邊三角形，MF⊥PQ，可得F為HR的中點，即求.【詳解】不妨設點P在第一象限，如圖所示，連接MF，QF.∵拋物線C：y2=4x的焦點為F，準線為l，P為C上一點∴，.∵M，N分別為PQ，PF的中點，∴，∵PQ垂直l于點Q，∴PQ//OR，∵，∠NRF=60°，∴為等邊三角形，∴MF⊥PQ，易知四邊形和四邊形都是平行四邊形，∴F為HR的中點，∴，故答案為：2.【點睛】本題主要考查拋物線的定義，屬于基礎題.16、【解析】

求出專業(yè)人數(shù)在、、、四個專業(yè)總人數(shù)的比例后可得．【詳解】由題意、、、四個不同的專業(yè)人數(shù)的比例為，故專業(yè)應抽取的人數(shù)為．故答案為：1．【點睛】本題考查分層抽樣，根據(jù)分層抽樣的定義，在各層抽取樣本數(shù)量是按比例抽取的．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）采用零點分段法：、、，由此求解出不等式的解集；（2）先根據(jù)絕對值不等式的幾何意義求解出的值，然后利用基本不等式及其變形完成證明.【詳解】（1）當時，不等式為，解得當時，不等式為，解得當時，不等式為，解得∴原不等式的解集為（2）當且僅當即時取等號，∴，∴∵，∴，∴（當且僅當時取“”）同理可得，∴∴（當且僅當時取“”）【點睛】本題考查絕對值不等式的解法以及利用基本不等式證明不等式，難度一般.（1）常見的絕對值不等式解法：零點分段法、圖象法、幾何意義法；（2）利用基本不等式完成證明時，注意說明取等號的條件.18、（1）；（2）不存在實數(shù)，使曲線在點處的切線與軸垂直.【解析】

（1）分類時，恒成立，時，分離參數(shù)為，引入新函數(shù)，利用導數(shù)求得函數(shù)最值即可；（2），導出導函數(shù)，問題轉化為在上有解．再用導數(shù)研究的性質可得．【詳解】解：（1）因為當時，恒成立，所以，若，為任意實數(shù)，恒成立.若，恒成立，即當時，，設，，當時，，則在上單調遞增，當時，，則在上單調遞減，所以當時，取得最大值.，所以，要使時，恒成立，的取值范圍為.（2）由題意，曲線為：.令，所以，設，則，當時，，故在上為增函數(shù)，因此在區(qū)間上的最小值，所以，當時，，，所以，曲線在點處的切線與軸垂直等價于方程在上有實數(shù)解.而，即方程無實數(shù)解.故不存在實數(shù)，使曲線在點處的切線與軸垂直.【點睛】本題考查不等式恒成立，考查用導數(shù)的幾何意義，由導數(shù)幾何把問題進行轉化是解題關鍵．本題屬于困難題．19、（1）；（2）【解析】

（1）利用兩邊平方法解含有絕對值的不等式，再根據(jù)根與系數(shù)的關系求出的值；（2）利用絕對值不等式求出的最小值，把不等式化為只含有的不等式，求出不等式解集即可．【詳解】（1）不等式，即兩邊平方整理得由題意知和是方程的兩個實數(shù)根即，解得（2）因為所以要使不等式恒成立，只需當時，，解得，即；當時，，解得，即；綜上所述，的取值范圍是【點睛】本題考查了含有絕對值的不等式解法與應用問題，也考查了分類討論思想，是中檔題．20、（1）沒有極值點；（2）證明見解析【解析】

（1）求導可得,再求導可得,則在遞增,則,從而在遞增,即可判斷；（2）轉化問題為存在且,使,可得,由（1）可知,即,則,整理可得,則,設,則可整理為,設,利用導函數(shù)可得,即可求證.【詳解】（1）當時,,,所以在遞增,所以,所以在遞增,所以函數(shù)沒有極值點.（2）由題,,若存在實數(shù),使直線與函數(shù)的圖象交于不同的兩點,即存在且,使.由可得,,由（1）可知,可得．,所以,即,下面證明,只需證明：,令,則證,即．設,那么,所以,所以,即【點睛】本題考查利用導函數(shù)求函數(shù)的極值點,考查利用導函數(shù)解決雙變量問題,考查運算能力與推理論證能力.21、（1）①；②8079；（2）.【解析】

（1）①時，，，利用導數(shù)的幾何意義能求出函數(shù)在處的切線方程．②由，得，由此能求出的值．（2）根據(jù)若對任意給定的，，在區(qū)間，上總存在兩個不同的，使得成立，得到函數(shù)在區(qū)間，上不單調，從而求得的取值范圍．【詳解】（1）①∵，∴∴，∴，∵，所以切線方程為.②，.令，則,.因為①,所以②,由①+②得,所以.所以.（2），當時，函數(shù)單調遞增；當時，，函數(shù)單調遞減∵，，所以，函數(shù)在上的值域為.因為，，故，，①此時，當變化時、的變化情況如下：—0+單調減最小值單調增∵，，∴對任意給定的，在區(qū)間上總存在兩個不同的，使得成立，當且僅當滿足下列條件，即令，，，當時，，函數(shù)單調遞增，當時，，函數(shù)單調遞減所以，對任意，有，即②對任意恒成立.由③式解得：④綜合①④可知，當時