作業(yè)01 等腰三角形與直角三角形-2021年八年級數(shù)學暑假作業(yè)（北師大版）（解析版）

作業(yè)01等腰三角形與直角三角形

注意事項：

本試卷滿分120分，完成時間90分鐘，試題共25題.答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自

己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置.

基礎(chǔ)過關(guān)（70分）

一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.（2020?江蘇蘇州中學初二期中）一個三角形分別符合下列條件：①有一個角等于60°的三角形；②有一

個角等于60°的等腰三角形；③三個外角（每個頂點處各取一個外角）都相等的三角形；④一腰上的中線也

是這條腰上的高的等腰三角形，其中能判定是等邊三角形的序號有（）

A.①0@B.②④C.③④D.②③④

【答案】D

【分析】根據(jù)等邊三角形的判定選出正確選項.

【解析】解：①不可以，只有一個角是60°,條件不足；

②可以，一個角是60°的等腰三角形，即三個角都是60°,是等邊三角形；

③可以，三個外角相等，即外角都是120°,則每個內(nèi)角都是60°,是等邊三角形；

④可以，腰上的中線也是腰上的高，說明另一個腰和底邊相等，三個邊都相等，是等邊三角形；

②③④可以.故選：D.

【點睛】本題考查等邊三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握等邊三角形的判定方法.

2.（2020?四川成都市?天府七中）AABC中，ZA,DB,NC的對邊分別記為a,b,c,由下列條件不

能判定AABC為直角三角形的是（）

A.NA=NB+NCB.ZA:Zfi:NC=1:1:2C.b2=a2+c1D.a：b：c=\：\：2

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可判斷A和B,根據(jù)勾股定理可判斷C和D.

【詳解】A.；ZA=ZB+NC,ZA+NB+NC=180°,.?.2ZA=180°,二ZA=90°,

.?.△ABC為直角三角形，不符合題意，故A錯誤；

B.vZA:Zfi:ZC=l:l:2,,-,ZA=ZB，ZC=2ZA，

又：Z4+NB+NC=180°,.-.ZA+ZA+2ZA=180o,ZA=45°,

.,.NC=2NA=90°,「.△ABC為直角三角形，不符合題意，故B錯誤；

..△AB。是直角三角形，不符合題意，故c錯誤；

D.?.?a：b：c=l:l:2,:.b=a,c=2a,：.a2+b2^c2<

.?.△ABC不是直角三角形，符合題意，故D正確.故選D.

【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，以及勾股定理的逆定理，熟練掌握各知識點是解答本題的關(guān)鍵.如

果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形，在一個三角形中.

3.（2020?寧波市海曙區(qū)儲能學校初二期末）若△A3C中剛好有NB=2NC,則稱此三角形為“可愛三角

形”，并且NA稱作“可愛角現(xiàn)有一個“可愛且等腰的三角形”，那么聰明的同學們知道這個三角形的“可

愛角”應該是（）.

A.45°或36°B.72?；?6°C.45°或72°D.36°或72°或45°

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和為180。且等腰三角形的兩個底角相等，再結(jié)合題中一個角是另一個角的2倍即

可求解.

【解析】解：由題意可知：設(shè)這個等腰三角形為AABC,且NB=2NC,

情況一：當/B是底角時，則另一底角為NA,且NA=/B=2NC,

由三角形內(nèi)角和為180°可知：ZA+ZB+ZC=180°,

，5NC=180。，Z.ZC=36°,NA=NB=72。，此時可愛角為NA=72°,

情況二：當NC是底角，則另一底角為/A,且NB=2NA=2NC,

由三角形內(nèi)角和為180°可知：ZA+ZB+ZC=180°,.,.4ZC=180°,即NC=45。，

此時可愛角為/A=45。，故選：C.

【點睛】本題借助三角形內(nèi)角和考查了新定義題型，關(guān)鍵是讀懂題目意思，熟練掌握等腰三角形的兩底角

相等及三角形內(nèi)角和為180°.

4.（2021?保定市第十九中學初二期中）在△ABC中，ZA=30°,AC=4,BC=2五,那么N/LBC

為（）度.

A.45B.60或120C.45或135D.30

【答案】C

【分析】分NABC為銳角和鈍角兩種情況，運用直角三角形的知識進行解答即可.

【解析】解：如圖1,當NABC為銳角時，

A

D

/'、、/B\-------^c

RN~~-^C\—J

圖1內(nèi)-圖2

作CDJ_AB于D,VZA=30°,；.CD=/AC=2,又BC=20,

ABD=^（272J"-22=2-ABD=CD,.?.△BCD是等腰直角三角形，.^.NABC=45。；

如圖2,當/ABC為鈍角時，同理可求出/CBD=45。，；./ABC=135。，故選：C.

【點睛】本題考查的是含30°角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，以及分

類討論的數(shù)學思想，正確作出輔助線、構(gòu)造直角三角形、靈活運用直角三角形的知識求解是解題的關(guān)鍵.

5.（2020?哈爾濱市第三十九中學初二月考）如圖，AABC頂角為120。，AB^AC,EC=4,現(xiàn)將△ABC

折疊，使點B與點A重合，折痕為DE，則OE的長為（）

A.1B.2C.72D.百

【答案】A

【分析】根據(jù)等腰二角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可得/B=NC=30。，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得NBAE=

ZB=30°,ED±AB,進而可得NEAC=90。，然后分別在直角^AEC和直角4ADE中利用30°角的直角三

角形的性質(zhì)求解即可.

【解析】解：；NBAC=120。，AB^AC,.,.ZB=ZC=30°,

:將AABC折疊，使點3與點A重合，折痕為OE，

/.ZBAE=ZB=30°,ED1AB,/.ZEAC=120°-30°=90°,

VEC=4,：.AE=-EC=2,在AADE中，；/ADE=90。，ZDAE=30°,：.DE=-AE=\.故選：A.

22

【點睛】本題考查J’折疊的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理以及30。角的直角三角形的性質(zhì)，

熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

6.（2020?保定市第一中學分校初二期末）如圖，折疊直角三角形紙片的直角，使點C落在AB上的點E

處，已知8C=12,ZB=30%則。E的長是（)

【答案】B

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得4ADE絲AADC,從而得出AD平分NBAC,NC=/AED=90°,根據(jù)角平

分線的性質(zhì)和30°所對直角邊等于斜邊的一半求解.

【解析】解：折疊的性質(zhì)可得4ADE絲AADC,；.AD平分/BAC,ZC=ZAED=90°,DE=DC,

VZB=30°.-.DE=-BD.-.DC=-BD

22

VBC=12A3DC=12DC=4/.DEM.故選：B

【點睛】本題考查了酬折變換，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是本題關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）

6.（2020?江陰市長壽中學初二月考）如圖，ZiABC中，AB=8,AC=6,NABC和/ACB的平分線交于

點O,過O點作MN〃BC,分別交AB、AC于M、N點，則AAMN的周長為.

【分析】根據(jù)角平分線的定義可得NABO=NOBC,再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得NOBC=NBOM,

從而得到/ABO=/BOM,根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)可得BM=OM,同理可得CN=ON,然后求出AAMN的

周長=AB+AC,代入數(shù)據(jù)進行計算即可.

【解析】解：YOB平分NABC,.,.ZABO=ZOBC,

VMN//BC,AZOBC=ZBOM,六NABO=NBOM,，BM=OM,

同理可得CN=ON,.?.△AMN的周長=AM+MO+ON+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC,

VAB=8,AC=6,...△AMN的周長=8+6=14.故答案是：14.

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定及平行線的性質(zhì)，用到的知識點是等角對等邊，兩直線平行，內(nèi)錯

角相等，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.（2021?河南商丘市?八年級期末）如圖，在小人笈。中，乙4cB=90。,4。=8。,。七_18及。后與43相

交于點凡且CD=BE,則NACD、NCBA、NOA尸之間的數(shù)量關(guān)系是

［答案］ZACD=ZCBA+ZDAF

【分析】先利用同角的余角相等得到NACD=NCBE,再通過證AAC*ACBE，得到

NADC=NCEB=9O。即NADP=NCE3=90。，再利用三角形內(nèi)角和得

180°-ZA77）-ZADF=180°-NEFB-NFEB可得ND4E=ZEB/，最后利用角的和差即可得到答案,

ZACD=NCBE=NCBA+NEFB=NCBA+NDAF.

【詳解】證明：???NACB=90°，CELBE

：.ZACD+NECB=90°,NCBE+NECB=90°；,ZACD=ZCBE

又AC=BC，CD=BE:.AAC哈ACBE：.NADC=NCEB=90。即NADF=NCEB=90。

,//AFD=ZEFB1800-ZAFD-ZADF=1800-ZEFB-ZFEB即/DAF=ZEBF

：.ZACD=NCBE=NCBA+NEFB=ZCBA+ZDAF故答案為：ZACD=ZCBA+ZDAF.

【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、內(nèi)角和定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)，能通過性質(zhì)找到角與

角之間的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.

9.（2020?山東招遠?初一期末）已知NAOB=60。，OC是NAOB的平分線，點D為OC上一點，過D作直

線DE_LOA,垂足為點E,且直線DE交OB于點F,如圖所示，若DE=4,則DF=—.

【答案】8

【分析】根據(jù)角平分線求出NEOOuNbOOuBO。，在30°的吊AEOD中易求8和OE的長，同理在

R?AEO尸求出EF的長,即可得出答案.

【解析】?.?NAQB=60°，OC是NAOB的平分線.?.NEOD=NR9D=30°

在R^EOD中,NEOD=30°,DE=4-QD=S,OE=/OD?-ED。=4G

在Rt^EOF中，/EOF=60°,OE=4G/.ZEFO=30°,OF=8百

/.EF=\]OF2-OE2=12，09=瓦'一。后=12—4=8故答案為：8.

【點睛】本題考查角平分線的定義、含30。的直角三角形的解法，掌握30。直角三角形的特征是解題關(guān)鍵.

10.（2020?內(nèi)蒙古涼城?初二期末）如圖鋼架中，焊上等長的13根鋼條來加固鋼架，若

【答案】12°.

【解析】設(shè)NA=x,

AP產(chǎn)P|P2=P2P3j..=P|3P14=P14A,NA=NAP2P尸NAP|3P|4=X.

...NP2Plp3=/P|.lP14Pl2=2X,/P2P3P4=/Pl3P12Pl0=3X,.......,ZP?PftP8=Z?8?9?7=7X.

...NAP7P8=7X,NAP8P7=7X.

在AAP7P8中，ZA+ZAP7P8+ZAPSP7=180°,即X+7X+7X=180°.

解得x=12°,即NA=12°.

三、解答題（本大題共5小題，共40分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程

或演算步驟）

11.（2020?河北安平?初二期末）如圖，在AA8C和ADC8中，NA=NO=90°,AC=BD,AC與BD

相交于點。.（1）求證：MBgADCB；（2）A03C是何種三角形？證明你的結(jié)論.

【答案】（I）見解析；（2）AOBC是等腰三角形，證明見解析

【分析】（1）根據(jù)已知條件，用HL直接證明RtAABC^RtADCB即可;

（2）利用全等三角形的對應角相等得到NACB=NDBC,即可證明AOBC是等腰三角形.

【解析】證明：(1)在AA3C和ADCB中，NA=ND=90°

AC=BD，BC為公共邊，；.Rt^BC當RtADCB(HL)

(2)AOBC是等腰三角形

,；Rt^ABC絲Rt^DCB：.ZACB=ZDCB

：.OB=OC，AOBC是等腰三角形

【點睛】此題主要考查學生對直角三角形全等的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的判定的理解和掌握，熟練掌

握相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵.

12.(2020?河北初三其他)己知等腰三角形ABC,AB=AC，。為射線8C上一點，以AO為一邊作等

腰三角形，且=連接DE，/BAC=ZDAE,CD=2,BC=3.

(1)如圖1，當點。在線段8C上時，求線段CE的長.

(2)如圖2,當點。在8。延長線上時，若Nl=40。，求N2的值.

【答案】140°

【分析】(1)利用“SAS”可證△ABDg/XACE,可得BD=CE,即可解題；

(2)利用“SAS”可證△ABDgaACE,可得NACE=NB,即可解題.

【解析】(1)VZDAE=ZBAC,ZBAD=ZCAE,

AB=AC

在4ABD和4ACE中，＜ZBAD=ZCAE,.?.△ABD絲ZXACE(SAS),

AD=AE

，CE=BD=BC-CD=3-2=1；故答案為：1；

(2)；NDAE=NBAC,NBAD=NCAE,

AB=AC

在AABD和4ACE中，ABAD=ZCAE,.,.AABD^AACE(SAS),.\ZACE=ZB,

AD^AE

1800-40°

VAB=AC,Zl=40°,.\ZACE=ZB=---------------=70°,AZ2=180°-70o-70o=40°；故答案為：40°.

2

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，解本題的

關(guān)鍵是判斷出△△ABD絲Z\ACE.

13.（2021?吉林永吉?期中）如圖所示，4ABD和AAEC都是等邊三角形，連接BE和CD,BE和CD相交

于點O.（1）猜想線段DC與BE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）求/BOC的度數(shù).

【答案】（I）DC=BE,詳見解析；（2）120°

【分析】（1）要證明DC=BE,只要證明AZMC=ABAE（SAS）即可；

（2）由AZMCMM4E，推出NADC=NABE,再利用三角形的外角的性質(zhì)即可解決問題；

【解析】解：（1）DC=BE,理由如下：???AABD,AAEC都是等邊三角形，

:,AD=AB,AC=AE,ZDAB=ZABD=^ZADB=ZCAE=60°,

ZDAB+ZBAC=ZCAE+ZBAC，即NZMC=NB4E，

AD=AB

在ADAC和AJRAE中，-ZDAC=ZBAE,:.\DAC\BAE（SAS）,;.CD=BE.

AC=AE

（2）-.■ADAC=ABAE,:.ZADC=ZABE,

ZBOC=NOBD+NODB=ZABD+ZABE+ZODB=ZABD+ZADC+ZODB=ZABD+ZADB=120°.

【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全

等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

14.（2020?珠海市文園中學初二期中）已知：△ABC中，AB=13,AC=9,BC=4回，BOLAC于。.

（1）求線段2。的長；（2）點P為射線8c上一動點，若aBOP為等腰三角形，求BP的長.

Qn__

【答案】（1）12；（2）12或J質(zhì)或2而

5

【分析】（1）設(shè)AD=x,則CD=9-x,在HFAAC心和汝ABOC中應用勾股定理即可求解；

（2）分三種請討論，分別為BD=BP或DP=DB或PD=PB,應用等角對等邊和勾股定理即可求解.

【解析】（1）設(shè)則C/）=9-x,\'BD±AC,NAO8=N8OC=90°,

由勾股定理得：AB--AD2=BD2=BG-CD2,.-.132一/=(4710y-(9-x)2，

解得：x=5,/.BD=7AB2-AD2=12：

(2)?.?△8DP為等腰三角形，.?.分三種情況：①若則8尸=12,

②若。P=QB,過點。作?！阓LBC于點E,如圖1所示：

___________1QQ/?

:.BE=yJBD2-DE2=—V10,；BD=DP且DELBC,：.BP=2BE=」而,

55

③若PD=PB,如圖2所示：

,;PD=BP,；./1=/2,VZBDC^90°,；./2+/3=90°且/l+N4=90°,

：.Z3=Z4：.PD=PC,：.BP=PC,27101

Q/2

綜上所述：當△8/9P為等腰三角形時，8/>=12或吧而或2擷.

5

故答案為(1)12；(2)12或吧布或2碗.

5

【點睛】本題考查了勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)，分三種情況討論是解決第二個間的關(guān)鍵，一定不要忘

記討論某一種情況，圍繞三個頂點、三條邊分別討論即可.

15.(2020?廣州市第九十七中學期中)如圖，AABC和4CDE都是等邊三角形，點E在BC上，AE的延長

線交BD于點F.(1)求證：AACE絲ABCD；(2)探究/CFD的度數(shù)；(3)探究EF、DF、CF之間的

關(guān)系.

D

【答案】（1）見解析；（2）60°；（3）CF=EF+DF,理由見解析

【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和“SAS”即可證明4ACE絲ABCD；

（2）延長AF到Q,使FQ=DF,連接DQ,先證明ADFQ是等邊三角形，再根據(jù)“SAS”證明△CDF?A

EDQ,即可求出NCFD的度數(shù)；（3）由4CDF絲可得CF=EQ,進而可得到EF、DF、CF之間的

關(guān)系.

【解析】解：（1）:△ABC和ACDE都為等邊三角形，.,.ZACE=ZBCD=60°,AC=BC,CE=CD,

'AC=BC

在AACE和ABCD中|NACE=N8C。..,.AACE^ABCD；

CE=CD

（2）延長AF到Q,使FQ=DF,連接DQ,VAACE^ABCD,ZCAE=ZCBD,

又；/AEC=/BEF,.,.ZAFB=ZACB=60°./.ZDFQ=60°,Z\DFQ是等邊三角形，

AZFDQ=ZFQD=60°,DF=DQ,AZCDF=ZEDQ,

CD=DE

在ACDF和AEDQ中＜NCOEnNEOQ,.'△CDF絲ZXEDQ,AZCFD=ZDQF=60°；

DF=DQ

⑶VACDF^AEDQ,，CF=EQ,：EQ=DF+FQ=EF+DF,；.CF=EF+DF.

【點睛】本題考杳了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法（即

SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性質(zhì)（即全等三角形的對應邊相等、對應角相等）是解題

的關(guān)鍵.

能力培優(yōu)（50分）

一、選擇題(本大題共4小題，每小題3分，共12分)在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.(2020?保定市第三中學分校初二期中)如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(1/)，在》軸上確

定點P，使AAOP為等腰三角形，則符合條件的點P有()

*

?A

-----------o---------------

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】C

【分析】先計算的長，再以0A為腰或底分別討論，進而得出答案.

【解析】解：如圖，OA=+]2=&,當4。=。乃，AO=O尸3時，P(-0,0),Pi(V2-0)，

當AP?=OP2時，Pi(1,0),當AO=AR時，PA(2,0),故符合條件的點有4個.故選：C.

【點睛】本題以平面直角坐標系為載體，主要考查了勾股定理和等腰三角形的定義，屬于?？碱}型，全面

分類、掌握解答的方法是關(guān)鍵.

2.(2021?北京房山區(qū)?八年級期末)如圖甲，直角三角形AABC的三邊m瓦c,滿足4+〃=/的關(guān)系.利

用這個關(guān)系，探究下面的問題：如圖乙，AOAB是腰長為1的等腰直角三角形，/。鉆=90°,延長。4至

用，使,以。片為底，在AOAB外側(cè)作等腰直角三角形。44，再延長0A至星，使4B?=，

以。為底，在AOA4外側(cè)作等腰直角三角形。按此規(guī)律作等腰直角三角形OA“紇(〃？1,

〃為正整數(shù))，則&與的長及A。4)?乃2021的面積分別是()

甲乙

A.2,22020B.4,22021C.26，22020D.2,22019

【答案】A

【分析】根據(jù)題意結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)，即可判斷出4打的長，再進一步推出一般規(guī)律，利用規(guī)律

求解AOAOZBM的面積即可.

【詳解】由題意可得：?，?/p>

OA^AB=AB]=\,=2,

：AOA4為等腰直角三角形，且“直角三角形AABC的三邊小b,c,滿足的關(guān)系”，

.?.根據(jù)題意可得：。行，，。耳=。。&坊=（友『=

41=44=:241=20，，4=2,

…，.?.總結(jié)出04,=（加『，

?；正Q近乂立

S^QAB=]Xlxl=/,S.A=X=1,SAOAiBi=-x2x2=2,

二歸納得出一般規(guī)律：后）...，。&偈儂，：？202。，故選：

5.0AA=gx（“x（a）"=2"T’A.

【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，圖形變化類的規(guī)律探究問題，立即題意并靈活運用等腰直角三

角形的性質(zhì)歸納一般規(guī)律是解題關(guān)鍵.

3.（2020?浙江嘉興市?八年級期末）如圖，在等腰RMABC中，NACB=90°,點P是△A6C內(nèi)一點，

且CP=1,BPf，AP=2,以CP為直角邊，點C為直角頂點，作等腰下列結(jié)論：①點

A與點D的距離為應；②AP_LPC；③AB=2丘;④S.WB=2,其中正確結(jié)論有是（）

A.①②③B.(2X4)C.①@D.②③④

【答案】C

【分析】連結(jié)AD,由等腰，可得AC=BC,等腰，可得CD=CP,由余角性質(zhì)可/DCA=

/PCB,可證aADC〈ABPC(SAS)AO=BP=血可判斷①，由勾股定理DP=JcD?+CP?=/,再

I1JAD2+DP2=(V2)2+(V2)2=4=AP2,可證aADP為等腰直角三角形，可判斷②，由PB與PD可求

BD=20,由勾股定理AB=JAD?+BD2，可判斷③，由面積=；28?4。=；血*血=1可

判斷④即可

【詳解】連結(jié)AD,在等腰RhABC中，ZACB=9Q°,；.AC=BC,

：RMOCP是等腰三角形，；.CD=CP,AZACD+ACP=90°,ZACP+ZPCB=90°,AZDCA=ZPCB,

在aADC和aBPC中，AC=BC,NDCA=NPCB,DC=PC,

/.△ADC^ABPC(SAS),；.AD=BP=6，①點A與點D的距離為、歷正確，

在RtADCP中，由勾股定理DP=JcD?+Cp2=0，

在4ADP中，AD2+Dp2=(0『+(也『=4=AP，.?.△ADP為等腰直角三角形，

.?.AD_LDP,②AP_Lj°C正確;

BD=BP+PD=20,在RtaADB中，由勾股定理，AB=VAD2+BD2=V2+8=V10-③43=2及不正確：

S/PB=L尸夜=1,④S.AP8=2不正確.故選擇：C.

h

B

C

【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形面積，勾股定理的應

用，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形面積，勾股定理的應用是解題

關(guān)鍵.

4.（2020?山東昌樂二中月考）如圖，點O是等邊三角形ABC內(nèi)一點，連接OA、OB、OC,并以O(shè)C為一

邊向外作等邊三角形OCD,連接AD.若/AOB=110°,ZBOC=I50°,則NOAD的度數(shù)為（）

A.45°B.50°C.55°D.60°

【答案】B

【分析】根據(jù)已知易證4ACD-BCO,得出/ADC=NBOC=150。，又因AOCD是等邊三角形，易證N

ADO=90°,又由/AOB+/BOC+/AOC=360。，求出NAOC=100。，從而得/AOD=40。，再根據(jù)直角三角形

的兩個內(nèi)角互余即可求出NOAD的度數(shù).

【解析】:△ABC和AOCD是等邊三角形，.,.AC=BC,OC=CD,ZODC=ZDCO=ZCOD=ZACB=60°,

ZDCO-ZACO=ZACB-ZACOB|IZACD=ZBCO.

'AC=BC

在AACD和△BCO中《ZACZ）=NBCO.-.AACD^ABCO.AZADC=ZBOC=150°./.ZADO=90°,

DC=OC

VZAOB+ZBOC+ZAOC=360°,/.ZAOC=100°,AZAOD=40°,AZOAD=90°-40°=50°.故選B.

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共3小題，每小題4分，共12分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）

3.（2020?浙江紹興市?九年級其他模擬）如圖，在等腰三角形ABC中，AC=BC=4,NA=30。，點D為

AC的中點，點E為邊AB上一個動點，連接DE,將4ADE沿直線DE折疊，點A落在點F處.當直線

EF與直線AC垂直時，則AE的長為.

EB

【答案】2叵或2百

3

【分析】當直線EF與直線AC垂直時，如圖1,如圖2,根據(jù)折疊的性質(zhì)得到和等腰三角形的判定和性質(zhì)

定理以及直角三角形的性質(zhì)健康得到結(jié)論.

【詳解】解：；AC=4,點D為AC的中點，；.AD=!AC=2,

2

①當直線EF與直線AC垂直時，如圖1,

?.?將4ADE沿直線DE折疊，點A落在點F處，二/F=NA=30。，/AED=/FED,

VZAGE=90°,AZAEG=60°,/AED=/FED=30。，.\AD=DE=2,

過D作DM_LAE與M,AE=2AM=2x立x2=26；

2

當直線EF與直線AC垂直時，如圖2,

?.?將4ADE沿直線DE折疊，點A落在點F處，二/F=/A=30。，/ADE=NFDE,

ZAGE=ZFGE=90°,/.NFGD=60°,ZADE=ZFDE=30°,

1nFi

AZA=ZADE,???AE=DE,AAG=—AD=1,AAE=.=^,

23

綜上所述，2更或2G故答案為：2包或2G.

33

【點睛】本題考查了翻折變換（折疊問題）等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定和性質(zhì)，正確的

作出圖形是解題的關(guān)鍵.

6.（2020?哈爾濱市實驗學校初三月考）如圖，AA3C,點。在A3上，點E在AC'上，連接

若NEDA=2NANCDE=2ZACD,30:AO=1:3,BC=JIT,3。=百，則線段AC的長為

E

【答案】9

【分析】根據(jù)根據(jù)三角形角和是180。，由NEDA=2N4NCDE=2ZACD,可求得NADC=120。，過

點C作CFJ_AB于F,在RtZXDCF中，NDCF=30°,設(shè)DF=x,CF=后,由班＞：4)=1：3求得AD,

在Rt^DCF和RdACF中，利用勾股定理先求DF,CF,最后求得AC長，問題可解.

【解析】解：如圖過點C作CF1ABTF，

?/ZEDA^2ZA'NCDE=2ZACD,：.ZADC=ZEDA+ZCDE=2（ZA+ZACD）

ZA+ZACD+ZADC=180°,/.3（ZA+ZAC￡））=180°,ZA+ZACD=60°

ZADC=120°NDCF=ZADC-ZF=120°-90°=30°

?;BD:AD=1:3,BD=6：,AD=3^在RtZ\CDF中，ZDCF=30°,=

設(shè)DF=x,DC=2x,CF=y/DC2-DF2=>

在RtaBCF中，BF=x—G，根據(jù)勾股定理，可列方程（?J=（%—6『+（百A：），

解得，*=3",x,=—百（舍去）.1.DF=-,CF=—>

1222

在AtzXAC/中，AF=AD+DF=373+—=—.

22

9?

AC=yjAF2+CF29?故答案為：9

【點睛】本題考查了三角形中的角和線段的計算問題，熟練應用三角形內(nèi)角定理及勾股定理是解決本題的

關(guān)鍵.

7.（2020?四川青白江?祥福中學期中）如圖，在AABC中，AB=AC=2,點P在BC上；若點P為BC的中

點，則加=AP2+8PPC的值為.若BC邊上有2020個不同的點，PHP2,P3,…，P2020.且

相應的有叫=A/]?+期WC,m2=AP；+BP2-P2C,■■-,色020=A喙0+8鳥（）20，￡020。，則

m,+/n,+m,+?■?+/M,020的值為

【答案】48080

【分析】（1）根據(jù)勾股定理及題意可進行求解；

22

（2）過點A作ADLBC交于點D,根據(jù)勾股定理可得432=4）2+8。2,AP；=AD+PtD,根據(jù)平

方差公式可得=802—402=（30+60）（30—10）=^034,根據(jù)等式的性質(zhì)可得

2

=AP^+BP.-PtC=AB=4,由此規(guī)律可進行求解.

【解析】解：①???AB=AC=2,點P是BC的中點，，AP_LBC,BP=PC,

...在RtaABP中，AB2=BP2+AP2=4-AP2+BP-PC=AP2+BP2

②如圖過點A作AD±BC交BC于點D,

vAB=AC=2,，BD=DC,在RtZ^ABD中，AB2BD2+AD2'①

在RtAAR。中，AP；=P.D2+AD2,②

①-②得：AB2-AR2=BD2_RD2=（BD+RD）（BD_aD）=RCBR,

2

m,=AP；+BP{P,C=AB=4,

同理可得：a?=4尸+8鳥鳥。=4,/4=A廳+3月月。=4..........

.■.町+，4+加,+…+?mo=4x2020=8080；故答案為4；8080.

【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理及平方差公式，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、勾股定

理及平方差公式是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共3小題，共26分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程

或演算步驟）

8.（2021?上海九年級專題練習）已知，在Rt4ABC中，NB4C=90°,點。為邊AB的中點，AE1CD

分別交CD,BC于點F，E.

（1）如圖1,①若A8=AC,請直接寫出NE4C—NBCD=；

②連接￡>E，若AE=2DE,求證：NDEB=ZAEC；

（2）如圖2,連接FB，若FB=AC,試探究線段。尸和。尸之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【答案】（1）①45。；②見解析：（2）CF=2DF,理由見解析

【分析】（1）①利用直角三角形兩個銳角相加得90°和三角形的外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角和的性質(zhì)結(jié)合

題干已知即可解題.②延長或）至點G,使得￡>G=￡>E,連接AG,從而可證明AADG也ABDE（SAS）,

再利用全等的性質(zhì)，可知即可知道AG//BC,所以NG4E=NAEC,根據(jù)題干又可得

到AE=￡G,所以NOG4=NGA￡，從而得出結(jié)論.

（2）延長8至點H,使得DH=DF，連接BH，從而可證明△HD8嶺△EQ4（SAS）,再利用全等

的性質(zhì)，可知BH=AF，NH=ZAFD=ZAFC=90°，根據(jù)題干即可證明RtA/ZBF絲RtAE4C（WD,

即得出結(jié)論.

【詳解】（I）①???N￡AC+ZAGD=90°,ZAEC+ZBCD=90°/.ZEAC-ZBCD=ZAEC-ZACD

?：ZEAC+4BAE=90°/.ZACD=NBAE

又???ZAEC=N5+ZBAE：.ZEAC-/BCD=NB+ZBAE-ZACD

：.ZEAC-ZBCD=ZB=450故答案為45°.

②如圖，延長。至點G，使得。G=DE,連接AG,

?.?點。為A3的中點，,B￡>=4），

又,：AADG=/BDE、：,AADGGABDE，：?^DGA=4DEB,：.AGHBC，：./GAE=ZAEC，

又,：AE=2DE，：,AE=EG,：?/DGA=4GAE,：.4DEB=ZAEC.

（2）CF=2DF.如圖，延長CD至點H，使得DH=DF，連接5H，

AD=BD，ZADF=ZBDH，:.AHDB絲△FDA,

BH=AF，N〃=ZAFD=ZAR:=90°，

VBF=AC.RtAHBFRtAE4C，ACF=HF=IDF.

【點睛】本題主要考查直角三角形的角的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行線

的性質(zhì).綜合性較強，作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.

9.如圖，在AABC中，點E在邊BC上，連結(jié)交于瓦。0//48,4口，8。交5。于

F,BH工AE交AE于H，交AF于氤N.(1)若BE=2CE=4,AE=屈，AB=5,求AABC的面積;

（2）若AE=BN,AN=CE,求證：BC=41CM+2CE.

【答案】（1）12（2）見解析

【分析】（1）利用直角三角形AFE與直角三角形4?尸，用勾股定理列方程求EF,再求AF即可得到面

歷

積；（2）連接EN,先證明M/W也AAFE,得到EF=*NE，再證明八6任四AECM,得到

2

EF=4CM,從而得到答案.

2

【詳解】解：（1）設(shè)稗=%，由3E=4,所以BE=4—x,

因為AFJ_BC，AE=?AB=5,所以他2—砂？=.2_8/2,

所以（JTy）~—x?=5~-（4—■x）~,解得x=l,所以A尸=J（jl7]]T=4，

因為BE=2CE=4,所以5附8c=—5C?AF=—x6x4=12.

22

（2）如圖，連接NE,因為：AF1BC,所