新教材2023版高中數(shù)學(xué)第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用5.3.2函數(shù)的極值與最大小值第2課時函數(shù)的最大小值學(xué)生用書新人教A版選擇性必修第二冊

第2課時函數(shù)的最大(小)值【課標(biāo)解讀】1.理解函數(shù)最值的概念．2．會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次)．新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性【教材要點】要點一最值的概念?一般地，如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條____________的曲線，那么它必有最大值和最小值．批注?(1)給定的區(qū)間必須是閉區(qū)間，y＝f(x)的圖象在開區(qū)間上雖然連續(xù)不斷，但不能保證有最大值或最小值．(2)在閉區(qū)間上的每一點必須連續(xù)，即在閉區(qū)間上有間斷點也不能保證y＝f(x)有最大值和最小值．要點二函數(shù)在區(qū)間[a，b]上最值的求法一般地，求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值?的步驟如下：(1)求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上的________；(2)將函數(shù)y＝f(x)的各________與端點處的函數(shù)值________，________比較，其中最大的一個是________，最小的一個是________．批注?函數(shù)的最大值和最小值是一個整體性概念．最大值必須是整個區(qū)間內(nèi)所有函數(shù)值中的最大值；最小值必須是整個區(qū)間內(nèi)所有函數(shù)值中的最小值．【夯實雙基】1.判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值和最小值，一定在區(qū)間端點處取得．()(2)開區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無最值．()(3)在定義域內(nèi)，若函數(shù)有最值與極值，則極大(小)值就是最大(小)值．()(4)若函數(shù)在給定區(qū)間上有最值，則最大(小)值最多有一個；若有極值，則可有多個．()2．函數(shù)y＝－x3＋6x2(x≥0)的最大值為()A.32 B．27C．16 D．403．函數(shù)f(x)＝x3－3x(|x|<1)()A．有最大值，但無最小值B．有最大值，也有最小值C．無最大值，但有最小值D．既無最大值，也無最小值4．函數(shù)f(x)＝x33＋x2－3x－4在[0，2]上的最小值是題型探究·課堂解透——強(qiáng)化創(chuàng)新性題型1求函數(shù)的最值例1(1)求函數(shù)f(x)＝x2(x－2)在區(qū)間[－1，3]上的最大值和最小值；(2)求函數(shù)f(x)＝lnx－x-2x在區(qū)間[1[聽課記錄]【方法總結(jié)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法鞏固訓(xùn)練1求函數(shù)f(x)＝(x－1)ex在區(qū)間[－1，2]上的最大值和最小值．題型2由函數(shù)的最值確定參數(shù)的值例2設(shè)23<a<1，函數(shù)f(x)＝x3－32ax2＋b在區(qū)間[－1，1]上的最大值為1，最小值為－[聽課記錄]【方法總結(jié)】已知函數(shù)在某區(qū)間上的最值求參數(shù)的值(或范圍)是求函數(shù)最值的逆向思維，一般先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值點，探索最值點，根據(jù)已知最值列方程(不等式)解決問題．鞏固訓(xùn)練2若f(x)＝ax3－6ax2＋b(a>0)，x∈[－1，2]的最大值為3，最小值為－29，求a、b的值．題型3利用導(dǎo)數(shù)證明不等式例3已知函數(shù)f(x)＝lnx－x.(1)求f(x)的最大值；(2)證明：lnx<x<ex(x>0)．[聽課記錄]【方法總結(jié)】待證不等式的兩邊含有同一個變量時，一般地，可以直接構(gòu)造“左減右”的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，借助所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性即可得證．鞏固訓(xùn)練3求證：x>1時，x－1<xlnx.第2課時函數(shù)的最大(小)值新知初探·課前預(yù)習(xí)[教材要點]要點一連續(xù)不斷要點二(1)極值(2)極值f(a)f(b)最大值最小值[夯實雙基]1．(1)×(2)√(3)×(4)√2．解析：因為y′＝－3x(x－4)，所以當(dāng)0≤x≤4時，y′≥0；當(dāng)x>4時，y′<0.所以函數(shù)在[0，4]上單調(diào)遞增；在(4，＋∞)上單調(diào)遞減，因此，y＝－x3＋6x2(x≥0)的最大值為－43＋6×42＝32.故選A.答案：A3．解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，當(dāng)x∈(－1，1)時，f′(x)<0，所以f(x)在(－1，1)上是單調(diào)遞減函數(shù)，無最大值和最小值．故選D.答案：D4．解析：由題設(shè)，f′(x)＝x2＋2x－3＝(x－1)(x＋3)，∴[0，1)上f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；(1，2]上f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；∴f(x)在[0，2]上的最小值為f(1)＝43－7＝－17答案：－17題型探究·課堂解透例1解析：(1)∵f(x)＝x2(x－2)＝x3－2x2，所以，f′(x)＝3x2－4x.由f′(x)＝3x2－4x>0，解得x<0或x>43由f′(x)＝3x2－2x<0，解得0<x<43所以f(x)在[－1，0)上單調(diào)遞增，在(0，43)上單調(diào)遞減，在(43，所以，f(x)極大值＝f(0)＝0，f(x)極小值＝f(43)＝－32又因為f(－1)＝－3，f(3)＝9，所以f(x)max＝9，f(x)min＝－3.(2)由題意知：f′(x)＝x-2x2令f′(x)＝0，解得x＝2.x＝2把f(x)定義域劃分成兩個區(qū)間，f′(x)在各區(qū)間上的正負(fù)，以及f(x)的單調(diào)性如下表所示：x1(1，2)2(2，＋∞)ef′(x)－0＋f(x)1單調(diào)遞減ln2單調(diào)遞增2所以f(x)在區(qū)間[1，e]上的最小值是ln2，最大值是1.鞏固訓(xùn)練1解析：f′(x)＝ex＋(x－1)ex＝xex，x>0時，f′(x)>0；x<0時，f′(x)<0.所以f(x)在[－1，0)上遞減，在(0，2]上遞增，所以f(x)極小值＝f(0)＝－1，無極大值．又f(0)＝－1，f(－1)＝－2e，f(2)＝e2所以最大值為e2，最小值為－1.例2解析：f′(x)＝3x2－3ax，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝a.當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x－1(－1，0)0(0，a)a(a，1)1f′(x)＋0－0＋f(x)－1－32a＋↗b↘－a32↗1－32a＋從上表可知，當(dāng)x＝0時，f(x)取得極大值b，而f(0)>f(a)，f(1)>f(－1)，故需比較f(0)與f(1)的大小及f(－1)與f(a)的大?。驗閒(0)－f(1)＝32a－1>0所以f(x)的最大值為f(0)＝b，所以b＝1.又f(－1)－f(a)＝12(a＋1)2(a－2)<0所以f(x)的最小值為f(－1)＝－1－32a＋b＝－32所以－32a＝－62，所以a＝故所求函數(shù)的解析式是f(x)＝x3－62x2＋鞏固訓(xùn)練2解析：∵f(x)＝ax3－6ax2＋b(a>0)，∴f′(x)＝3ax2－12ax＝3a(x2－4x)＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝4，∵x∈[－1，2]，∴x＝0，∵a>0，∴f(x)，f′(x)隨x變化情況如下表：x(－1，0)0(0，2)f′(x)＋0－f(x)↗最大值3↘∴當(dāng)x＝0時，f(x)取最大值f(x)max＝f(0)＝b，∵f(x)＝ax3－6ax2＋b(a>0)，x∈[－1，2]的最大值為3，∴f(x)max＝f(0)＝b＝3.又∵f(2)＝8a－24a＋3＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3且a>0，∴f(2)<f(－1)，∴當(dāng)x＝2時，f(x)取最小值f(x)min＝f(2)＝－16a＋3，∵f(x)＝ax3－6ax2＋b(a>0)，x∈[－1，2]的最小值為－29，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，∴a＝2.綜上所述：a＝2，b＝3.例3解析：(1)設(shè)f(x)＝lnx－x，∴f′(x)＝1x－1＝1令f′(x)＝0，解得x＝1，當(dāng)0<x<1，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x>1時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，∴當(dāng)x＝1時，函數(shù)有最大值，最大值為f(1)＝－1.(2)證明：由(1)可得f(x)<f(1)＝－1<0，∴l(xiāng)nx<x.再設(shè)g(x)＝ex－x，∴g′(x)＝ex－1，∵g′(x)＝ex－1>0，在(0，＋∞)上恒成立，∴g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴g(x)>g(0)＝1>0，∴ex>x，綜上可得lnx