新教材2023版高中數學第一章空間向量與立體幾何1.4空間向量的應用1.4.1用空間向量研究直線平面的位置關系第2課時空間中直線平面的平行學生用書新人教A版選擇性必修第一冊

第2課時空間中直線、平面的平行[課標解讀]1.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關系.2.能用向量方法判斷或證明直線、平面間的平行關系．教材要點要點空間中平行關系的向量表示線線平行設兩條不重合的直線l1，l2的方向向量分別為u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2)，則l1∥l2?________?______________________線面平行設l的方向向量為u＝(a1，b1，c1)，α的法向量為n＝(a2，b2，c2)，則l∥α?________?__________________面面平行設α，β的法向量分別為n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，則α∥β?________?________________基礎自測1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)零向量不能作為直線的方向向量和平面的法向量．()(2)直線l的一個方向向量為a＝(－1，2，1)，平面α的一個法向量為n＝(－1，－1，1)，則l∥α.()(3)兩個平面的法向量平行，則這兩個平面平行；兩個平面的法向量垂直，則這兩個平面垂直．()2．(多選)下列命題中正確的是()A．若n1，n2分別是平面α，β的法向量，則n1∥n2?α∥βB．若n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α∥β?n1·n2＝0C．若n是平面α的法向量，且向量a與平面α共面，則a·n＝0D．若兩個平面的法向量不垂直，則這兩個平面一定不垂直3．若直線l1，l2的方向向量分別為v1＝(1，2，3)，v2＝(－12，－1，－32)，則l1，l2的位置關系是(A．垂直B．重合C．平行D．平行或重合4．已知直線l的方向向量a＝(－1，2，1)，平面α的法向量b＝(－2，－2，2)，則直線l與平面α的位置關系是()A．l∥αB．l⊥αC．l?αD．以上選項都不對5．已知兩個不同的平面α，β的法向量分別是n1＝(1，2，2)和n2＝(3，6，6)，則平面α，β的位置關系是________．題型1利用空間向量證明線線平行例1在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，點P，Q，R，S分別是AA1，D1C1，AB，CC1的中點．求證：PQ∥RS.方法歸納利用向量法證明線線平行的2種方法鞏固訓練1如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為DD1和BB1的中點．求證：四邊形AEC1F是平行四邊形．題型2利用空間向量證明線面平行例2在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是正方形，側棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點．證明：PA∥平面EDB.方法歸納利用空間向量證明線面平行的3種方法鞏固訓練2在如圖所示的多面體中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中點，求證：AB∥平面DEG.題型3利用空間向量證明面面平行例3已知正方體ABCD-A′B′C′D′，求證：平面AB′D′∥平面BDC′.方法歸納利用空間向量證明面面平行的方法鞏固訓練3如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，點E在線段BB1上，且EB1＝1，D，F(xiàn)，G分別為CC1，C1B1，C1A1的中點．求證：平面EGF∥平面ABD.易錯辨析忽視直線與平面平行的條件致誤例4已知A(1，0，0)，B(0，1，1)，C(1，1，0)，D(1，2，0)，E(0，0，1)，則直線DE與平面ABC()A．直線DE與平面ABC平行B．DE?平面ABCC．直線DE與平面ABC相交D．直線DE與平面ABC平行或DE?平面ABC解析：因為AB＝(－1，1，1)，BC＝(1，0，－1)，設平面ABC的一個法向量為n＝(x，y，1)，則n·AB＝0，n·BC＝0，所以-x+y+1=0，x-1=0，解得x=1，y=0.所以又DE＝(－1，－2，1)，所以DE·n＝(－1，－2，1)·(1，0，1)＝0，所以DE⊥n，所以DE∥平面ABC或DE?平面ABC.因為BD＝(1，1，－1)，所以BD＝2BC+所以A，B，C，D四點共面，即點D在平面ABC內，所以DE?平面ABC，選B.答案：B易錯警示易錯原因糾錯心得本題易得直線DE的方向向量DE與平面ABC的法向量垂直，進而得到直線DE與平面ABC平行的錯誤解答，實際上，當直線DE在平面ABC內，也有DE與平面ABC的法向量垂直，因此，需進一步判斷DE是否在平面ABC內．當直線的方向向量與平面的法向量垂直時，直線與平面的位置關系有兩種：一是直線與平面平行；二是直線在平面內，具體是哪一種，應進一步考查．第2課時空間中直線、平面的平行新知初探·課前預習要點u1∥u2(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)u·n＝0a1a2＋b1b2＋c1c2＝0n1∥n2(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)[基礎自測]1．(1)√(2)×(3)√2．解析：B不正確，C、D正確．B中若α∥β，則n1∥n2.答案：ACD3．解析：因為v1＝(1，2，3)，v2＝-1所以v1＝－2v2，即v1∥v2，所以l1∥l2或l1與l2重合．答案：D4．解析：a＝(－1，2，1)，b＝(－2，－2，2)，則a·b＝2－4＋2＝0，故a⊥b，故直線l與平面α的位置關系是l∥α或l?α.答案：D5．解析：∵n1＝1，2，2，n2∴n1＝13n2，∴n1∥n2，∴α∥β答案：α∥β題型探究·課堂解透例1證明：方法一以點D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz.∴PQ＝RS，∴PQ∥RS，即PQ∥RS.方法二RS＝RC＝12PQ＝PA1＋A1Q＝∴RS＝PQ，∴RS∥PQ，即RS∥PQ.鞏固訓練1證明：以點D為坐標原點，分別以DA，DC，DD1為正交基底建立空間直角坐標系，不妨設正方體的棱長為1，則A(1，0，0)，E(0，0，12)，C1(0，1，1)，F(xiàn)∴AE＝-1，0，12，F(xiàn)C1＝-1，0，12，∴AE＝FC1，∴AE∥F又∵F?AE，F(xiàn)?EC1，∴AE∥FC1，EC1∥AF，∴四邊形AEC1F是平行四邊形．例2證明：如圖所示，建立空間直角坐標系，D是坐標原點，設PD＝DC＝a.連接AC，交BD于點G，連接EG，依題意得D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，P(0，0，a)，E0，方法一設平面BDE的法向量為n＝(x，y，z)，又DE＝0，a2則有n·DE即y+z=0令z＝1，則x=1，y=-1，所以n＝(1又PA＝(a，0，－a)，所以n·PA＝(1，－1，1)·(a，0，－a)＝a－a＝0.所以n⊥PA.又PA?平面EDB，所以PA∥平面EDB.方法二因為四邊形ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，故點G的坐標為a2，a2，又PA＝(a，0，－a)，所以PA＝2EG，這表明PA∥EG.而EG?平面EDB，且PA?平面EDB，所以PA∥平面EDB.方法三假設存在實數λ，μ使得PA＝λDE＋μEB，即(a，0，－a)＝λ0，a2，則有a=解得λ所以PA＝－DE+又PA?平面EDB，所以PA∥平面EDB.鞏固訓練2證明：∵EF⊥平面AEB，AE?平面AEB，BE?平面AEB，∴EF⊥AE，EF⊥BE.又∵AE⊥EB，∴EB，EF，EA兩兩垂直．以點E為坐標原點，EB，EF，EA分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系．由已知得，A(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，F(xiàn)(0，3，0)，D(0，2，2)，G(2，2，0)，∴ED＝(0，2，2)，EG＝(2，2，0)，AB＝(2，0，－2)．設平面DEG的法向量為n＝(x，y，z)，則ED·n令y＝1，得z＝－1，x＝－1，則n＝(－1，1，－1)，∴AB·n＝－2＋0＋2＝0，即AB⊥n.∵AB?平面DEG，∴AB∥平面DEG.例3證明：方法一設正方體的棱長為1，建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，則A(1，0，0)，B′(1，1，1)，D′(0，0，1)，B(1，1，0)，D(0，0，0)，C′(0，1，1)，于是AB'＝(0，1，1)，D'B'＝(1，設平面AB′D′的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，則n1⊥令y1＝1，可得平面AB′D′的一個法向量為n1＝(－1，1，－1)．設平面BDC′的法向量為n2＝(x2，y2，z2)．易知DB＝(1，1，0)，DC'＝(0，1，1)由n2⊥令y2＝1，可得平面BDC′的一個法向量為n2＝(－1，1，－1)．則n1＝n2，所以n1∥n2，故平面AB′D′∥平面BDC′.方法二同方法一知AD'＝(－1，0，1)，BC'＝(－1，0，1)，AB'＝(0，1，1)，DC'＝(0，所以AD'＝BC'，即AD′∥BC′，AB′∥DC′，又BC′，DC′?平面BDC′，所以AD′∥平面BDC′，AB′∥平面BDC′.又AD′∩AB'＝A，AD′，AB′?平面AB′D′，所以平面AB′D′∥平面鞏固訓練3解析：如圖所示，由條件知BA，BC，BB1兩兩互相垂直，以B為坐標原點，BA，BC，BB1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．由條件知B(0，0，0)，D(0，2，2)，B1(0，0，4)，E(0，0，3)，F(xiàn)(0，1，4)，設BA＝a，則A(a，0，0)，Ga2所以BA＝(a，0，0)，BD＝(0，2，2)，B1D＝(0，2，－2)，EG＝EF＝(0，1，1)．方法一因為B1D·BA＝0，B1D·BD＝0＋4－所以B1D⊥BA，B1D⊥BD.因為BA∩BD＝B