八種求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法

八種求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法一、公式法例1已知數(shù)列滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：兩邊除以，得，則，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，說明數(shù)列是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。二、累加法例2已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由得則所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。例3已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由得則所以評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：兩邊除以，得，則，故因此，則評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列的通項(xiàng)公式。三、累乘法例5已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)椋?，則，故所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。例6已知數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)? ①所以 ②用②式－①式得則故所以 ③由，，則，又知，則，代入③得。所以，的通項(xiàng)公式為評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，從而可得當(dāng)?shù)谋磉_(dá)式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。四、待定系數(shù)法例7已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè) ④將代入④式，得，等式兩邊消去，得，兩邊除以，得代入④式得 ⑤由及⑤式得，則，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則，故。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。例8已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè) ⑥將代入⑥式，得整理得。令，則，代入⑥式得 ⑦由及⑦式，得，則，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，因此，則。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列的通項(xiàng)公式。例9已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè)⑧將代入⑧式，得，則等式兩邊消去，得，解方程組，則，代入⑧式，得⑨由及⑨式，得則，故數(shù)列為以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，因此，則。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。五、對(duì)數(shù)變換法例10已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)?，所以。在式兩邊取常用?duì)數(shù)得 ⑩設(shè) eq\o\ac(○,11)將⑩式代入eq\o\ac(○,11)式，得，兩邊消去并整理，得，則，故代入eq\o\ac(○,11)式，得eq\o\ac(○,12)由及eq\o\ac(○,12)式，得，則，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以5為公比的等比數(shù)列，則，因此則。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是通過對(duì)數(shù)變換把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。六、迭代法例11已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)椋杂?，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為。評(píng)注：本題還可綜合利用累乘法和對(duì)數(shù)變換法求數(shù)列的通項(xiàng)公式。即先將等式兩邊取常用對(duì)數(shù)得，即，再由累乘法可推知，從而。七、數(shù)學(xué)歸納法例12已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由及，得由此可猜測(cè)，往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論。（1）當(dāng)時(shí)，，所以等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，由此可知，當(dāng)時(shí)等式也成立。根據(jù)（1），（2）可知，等式對(duì)任何都成立。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是通過首項(xiàng)和遞推關(guān)系式先求出數(shù)列的前n項(xiàng)，進(jìn)而猜出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。八、換元法例13已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：令，則故，代入得即因?yàn)椋蕜t，即，可化為，所以是以為首項(xiàng)，以為公比的