小學(xué)數(shù)學(xué)6年級培優(yōu)奧數(shù)講義 第19講 表面積和體積含解析

第19講表面積和體積

學(xué)習(xí)目標(biāo)

京熟悉特殊圖形的面積和體積計算公式；

京能夠通過觀察法，把復(fù)雜的圖形簡單化；

辛能夠解表亙積利體積的相關(guān)題目。

0知識梳理

■*

小學(xué)階段所學(xué)的立體圖形主要有四種長方體、正方體、圓柱體和圓錐體。從平面圖形到立

體圖形是認(rèn)識上的一個飛躍，需要有更高水平的空間想象能力。因此，要牢固掌握這些幾何圖

形的特征和有關(guān)的計算方法，能將公式作適當(dāng)?shù)淖冃?，養(yǎng)成“數(shù)、形”結(jié)合的好習(xí)慣，解題時要

認(rèn)真細(xì)致觀察，合理大膽想象，正確靈活地計算。

在解答立體圖形的表面積問題時，要注意以下幾點：

(1)充分利用正方體六個面的面積都相等，每個面都是正方形的特點。

(2)把一個立體圖形切成兩部分，新增加的表面積等于切面面積的兩倍。反之，把兩個立體

圖形粘合到一起，減少的表面積等于粘合面積的兩倍。

(3)若把幾個長方體拼成一個表面積最大的長方體，應(yīng)把它們最小的面拼合起來。若把幾

個長方體拼成一個表面積最小的長方體，應(yīng)把它們最大的面拼合起來。

解答立體圖形的體積問題時，要注意以下幾點：

(1)物體沉入水中，水面上升部分的體積等于物體的體積。把物體從水中取出，水面下降部

分的體積等干物體的體積。這是物體全部浸沒在水中的情況。如果物體不全部浸在水中，那么

派開水的體積就等于浸在水中的那部分物體的體積。

(2)把一種形狀的物體變?yōu)榱硪环N形狀的物體后，形狀變了，但它的體積保持不變。

(3)求一些不規(guī)則形體體積時，可以通過變形的方法求體積。

(4)求與體積相關(guān)的最大、最小值時，要大膽想象，多思考、多嘗試，防止思維定。

金典例分析l|

考點一：表面積

例1、從一個棱長10厘米的正方體木塊上挖去一個長10厘米、寬2厘米、高2厘米的小長方體，剩下部分

的表面積是多少？

例2、把19個棱長為3厘米的正方體重疊起來，如圖18-4所示，拼成一個立體圖形，求這個立體圖形的表

面積。

例3、把兩個長、寬、高分別是9厘米、7厘米、4厘米的相同長方體，拼成一個大長方體，這個大長方體

的表面積最少是多少平方厘米？

例4、一個長方體，如果長增加2厘米，則體積增加40立方厘米；如果寬增加3厘米，則體積增加90立方

厘米；如果高增加4厘米，則體積增加96立方里，求原長方體的表面積。

例5、如圖18-6所示，將高都是1米，底面半徑分別為1.5米、1米和0.5米的三個圓柱組成一個物體?求

這個物體的表面積。

考點二：求體積

例1、有大、中、小三個正方體水池，它們的內(nèi)邊長分別為6米、3米、2米。把兩堆碎石分別沉在中、小

水池里，兩個水池水面分別升高了6厘米和4厘米。如果將這兩堆碎石都沉在大水池里，大水池的水面升

高多少厘米？

例2、一個底面半徑是10厘米的圓柱形瓶中，水深8厘米，要在瓶中放入長和寬都是8厘米、高是15厘米

的一塊鐵塊，把鐵塊豎放在水中，水面上升幾厘米？

例3、某面粉廠有一容積是24立方米的長方體儲糧池，它的長是寬或高的2倍。當(dāng)貼著它一最大的內(nèi)側(cè)面

將面粉堆成一個最大的半圓錐體時，求這堆面粉的體積（如圖-1所示）。

18-7

例4、一只集裝箱，它的內(nèi)尺寸是18X18X18。現(xiàn)在有批貨箱，它的外尺寸是1X4X9。問這只集裝箱能裝

多少只貨箱？

工實戰(zhàn)演練

?一課堂狙擊

1、把一個長為12分米，寬為6分米，高為9分米的長方體木塊鋸成兩個想同的小長方體木塊，這兩個小

長方體的表面積之和，比原來長方體的表面積增加了多少平方分米？

2、將一個表面積為30平方厘米的正方體等分成兩個長方體，再將這兩個長方體拼成一個大長方體。求大

長方體的表面積是多少？

3、一個長方體木塊，從下部和上部分別截去高為3厘米和2厘米的長方體后，便成為一個正方體，其表面

積減少了120平方厘米。原來長方體的體積是多少立方厘米？

4、一個精美小禮品盒的形狀是長9厘米，寬6厘米，高4厘米的長方體。請你幫廠家設(shè)計一個能裝10個

小禮品盒的大紙箱，你覺得怎樣設(shè)計比較合理？為什么？

5、用直徑為20厘米的圓鋼，鍛造成長、寬、高分別為30厘米、20厘米、5厘米的長方體鋼板，應(yīng)截取圓

鋼多長（精確到0.1厘米）？

6、如圖18-8所示，圓錐形容器中裝有3升水，水面高度正好是圓錐高度的一半。這個容器還能裝多少水?

18-8

7、如右圖18-9所示，由三個正方體木塊粘合而成的模型，它們的棱長分別為1米、2米、4米，要在表面

涂刷油漆，如果大正方體的下面不涂油漆，則模型涂刷油漆的面積是多少平方米?

18-9

8、從一個長、寬、高分別為21厘米、15厘米、12厘米的廠房體上面，盡可能大地切下一個正方體，然后

從剩余的部分再盡可能大地切下一個正方體，最后再從第二次剩余的部分盡可能大地切下一個正方體，剩

下的體積是多少立方厘米？

＞課后反擊

1、從一個長10厘米、寬6厘米、高5厘米的長方體木塊上挖去一個棱長2厘米的小正方體，剩下部分的

表面積是多少？

2、有一個長方體如下圖18-10所示，它的正面和上面的面積之和是209。如果它的長、寬、高都是質(zhì)數(shù),

這個長方體的體積是多少？

3、一包香煙的形狀是長方體，它的長是9厘米，寬是5厘米，高是2厘米。把10包香煙包裝在一起形成

一個大長方體，稱為一條?？梢栽鯓影b？算一算需要多少包裝紙（包轉(zhuǎn)念能夠紙的重疊部分忽略不計）。你

認(rèn)為哪一種包裝比較合理？

4、有30個棱長為1米的正方體，在地面上擺成如右圖的形式，求這個立體圖形的表面積是多少平方米？

5、現(xiàn)有一張長40厘米、寬20厘米的長方形鐵皮，請你用它做一只深是5厘米的長方體無蓋鐵皮盒（焊接處

及鐵皮厚度不計，容積越大越好），你做出的鐵皮盒容積是多少立方厘米？

6、有一個長方體的盒子，從里面量長為40厘米、寬為12厘米、高為7厘米。在這個盒子里放長5厘米、

寬4厘米、高3厘米的長方體木塊，最多可放幾塊？

7、一個正方體的紙盒中如圖18-12所示，恰好能裝入一個體積6.28立方厘米的圓柱體。紙盒的容積有多大

（II取3.14）?

名師點撥

工

在解答立體圖形的表面積問題時，要注意以下幾點：

(1)充分利用正方體六個面的面積都相等，每個面都是正方形的特點。

(2)把一個立體圖形切成兩部分，新增加的表面積等于切面面積的兩倍。反之，把兩個立體圖形粘合到

一起，減少的表面積等于粘合面積的兩倍。

(3)若把幾個長方體拼成一個表面積最大的長方體，應(yīng)把它們最小的面拼合起來。若把幾個長方體拼成

一個表面積最小的長方體，應(yīng)把它們最大的面拼合起來。

解答立體圖形的體積問題時，要注意以下幾點：

(1)物體沉入水中，水面上升部分的體積等于物體的體積。把物體從水中取出，水面下降部分的體積等干

物體的體積。這是物體全部浸沒在水中的情況。如果物體不全部浸在水中，那么派開水的體積就等于浸在

水中的那部分物體的體積。

(2)把一種形狀的物體變?yōu)榱硪环N形狀的物體后，形狀變了，但它的體積保持不變。

(3)求一些不規(guī)則形體體積時，可以通過變形的方法求體積。

(4)求與體積相關(guān)的最大、最小值時，要大膽想象，多思考、多嘗試，防止思維定。

毫學(xué)霸經(jīng)驗二

＞本節(jié)課我學(xué)到了

＞我需要努力的地方是

■Y

第19講表面積和體積

、蓼教學(xué)目標(biāo)

?熟悉特殊圖形的面積和體積計算公式；

?能夠通過觀察法，把復(fù)雜的圖形簡單化；

?能夠解表面積和體積的相關(guān)題目。

M知識梳理

區(qū)小學(xué)階段所學(xué)的立體圖形主要有四種長方體、正方體、圓柱體和圓錐體。從平面圖形到立

體圖形是認(rèn)識上的一個飛躍，需要有更高水平的空間想象能力。因此，要牢固掌握這些幾何圖

形的特征和有關(guān)的計算方法，能將公式作適當(dāng)?shù)淖冃危B(yǎng)成"數(shù)、形''結(jié)合的好習(xí)慣，解題時要

認(rèn)真細(xì)致觀察，合理大膽想象，正確靈活地計算。

在解答立體圖形的表面積問題時，要注意以下幾點：

(1)充分利用正方體六個面的面積都相等，每個面都是正方形的特點。

(2)把一個立體圖形切成兩部分，新增加的表面積等于切面面積的兩倍。反之，把兩個立體

圖形粘合到一起，減少的表面積等于粘合面積的兩倍。

(3)若把幾個長方體拼成一個表面積最大的長方體，應(yīng)把它們最小的面拼合起來。若把幾

個長方體拼成一個表面積最小的長方體，應(yīng)把它們最大的面拼合起來。

解答立體圖形的體積問題時，要注意以下幾點：

(1)物體沉入水中，水面上升部分的體積等于物體的體積。把物體從水中取出，水面下降部

分的體積等干物體的體積。這是物體全部浸沒在水中的情況。如果物體不全部浸在水中，那么

派開水的體積就等于浸在水中的那部分物體的體積。

(2)把一種形狀的物體變?yōu)榱硪环N形狀的物體后，形狀變了，但它的體積保持不變。

(3)求一些不規(guī)則形體體積時，可以通過變形的方法求體積。

(4)求與體積相關(guān)的最大、最小值時，要大膽想象，多思考、多嘗試，防止思維定。

承典例分析

考點一：表面積

例1、從一個棱長10厘米的正方體木塊上挖去一個長10厘米、寬2厘米、高2厘米的小長方體，剩下部分

的表面積是多少？

【解析】這是一道開放題，方法有多種：

②按圖18-2所示，在某個面挖，剩下部分的表面積為632平方厘米。

③按圖18-3所示，挖通某兩個對面，剩下部分的表面積為672平方厘米。

例2、把19個棱長為3厘米的正方體重疊起來，如圖18-4所示，拼成一個立體圖形，求這個立體圖形的表

面積。

【解析】要求這個復(fù)雜形體的表面積，必須從整體入手，從上、左、前三個方向觀察，每個方向上的小正

方體各面就組合成了如下圖形（如圖18-5所示）。

而從另外三個方向上看到的面積與以上三個方向的面積是相等的。整個立體圖形的表面積可采用（S上

+S左+S前）x2來計算。

(3x3x94-3x3x8+3x3x10)x2

=(81+72+90)x2

=243x2

=486（平方厘米）

答：這個立體圖形的表面積是486平方厘米。

例3、把兩個長、寬、高分別是9厘米、7厘米、4厘米的相同長方體，拼成一個大長方體，這個大長方體

的表面積最少是多少平方厘米？

【解析】把兩個相同的大長方體拼成一個大廠房體，需要把兩個相同面拼合，所得大廠房體的表面積就減

少了兩個拼合面的面積。要使大長方體的表面積最小，就必須使兩個拼合面的面積最大，即減少兩個9x7

的面。

（9x9+9x4+7x4）x2x2—9x7x2

=（63+36+28）x4—126

=508—126

=382（平方厘米）

答：這個大廠房體的表面積最少是382平方厘米。

例4、一個長方體，如果長增加2厘米，則體積增加40立方厘米；如果寬增加3厘米，則體積增加90立方

厘米；如果高增加4厘米，則體積增加96立方里，求原長方體的表面積。

【解析】我們知道：體積=長、寬x高；由長增加2厘米，體積增加40立方厘米，可知寬x高=40+2=20（平方

厘米）；由寬增加3厘米，體積增加90立方厘米，可知長x高=90+3=30（平方厘米）；由高增加4厘米，體積

增加96立方厘米，可知長x寬=96+4=24（平方厘米）。而長方體的表面積=（長x寬+長x高+寬x

高）x2=（20+30+24）x2=148（平方厘米）。即

40+2=20（平方厘米）

90+3=30（平方厘米）

96+4=24（平方厘米）

（30+20+24）x2

=74x2

=148（平方厘米）

答：原長方體的表面積是148平方厘米。

例5、如圖18-6所示，將高都是1米，底面半徑分別為1.5米、1米和0.5米的三個圓柱組成一個物體。求

這個物體的表面積。

【解析】如果分別求出三個圓柱的表面積，再減去重疊部分的面積，這樣計算比較麻煩。實際上三個向上

的面的面積和恰好是大圓柱的一個底面積。這樣，這個物體的表面積就等于一個大圓柱的表面積加上中、

小圓柱的側(cè)面積。

3.14x1,5x1.5x2+2x3.14x1,5x1+2x3.14x1x1+2x3.14x0.5x1

=3.14x(4.5+3+2+l)

=3.14x10.5

=32.97(平方米)

18-6

答：這個物體的表面積是32.97平方米。

考點二：求體積

例1、有大、中、小三個正方體水池，它們的內(nèi)邊長分別為6米、3米、2米。把兩堆碎石分別沉在中、小

水池里，兩個水池水面分別升高了6厘米和4厘米。如果將這兩堆碎石都沉在大水池里，大水池的水面升

高多少厘米？

【解析】中、小水池升高部分是一個長方體，它的體積就等同于碎石的體積。兩個水池水面分別升高了6

厘米和4厘米，兩堆碎石的體積就是3x3x0.06+2x2x0.04=0.7（立方米）。把它沉到大水池里，水面升高部分

的體積也就是0.7立方米，再除以它的底面積就能求得升高了多少厘米。

3x3x0.06+2x2x0.04=0.7（立方米）

0.7+（6x6）=7/360（米）=1又17/18（厘米）

答：大水池的水面升高了I又17/18厘米。

例2、一個底面半徑是10厘米的圓柱形瓶中，水深8厘米，要在瓶中放入長和寬都是8厘米、高是15厘米

的一塊鐵塊，把鐵塊豎放在水中，水面上升幾厘米？

【解析】在瓶中放鐵塊要考慮鐵塊是全部沉入水中，還是部分沉入水中。如果鐵塊是全部沉入水中，排開

水的體積是8X8X15=960（立方厘米）。而現(xiàn)在瓶中水深是8厘米，要淹沒15厘米高的鐵塊，水面就要上升

15-8=7（厘米），需要排開水的體積是（3.14X10X10-8X8）X7=1750（立方厘米），可知鐵塊是部分在水中。

當(dāng)鐵塊放入瓶中后，瓶中水所接觸的底面積就是3.14X10X10—8X8=250（平方厘米）。水的形狀變了，

但體積還是3.14X10X10X8=2512（立方厘米）。水的高度是2512+250=10.048（厘米），上升10.048-8=2.

048（厘米）；

3.14X10X10X84-（3.14X10X10-8X8）-8

=25124-250-8

=10.048-8

=2.048（厘米）

答：水面上升了2.048厘米。

例3、某面粉廠有一容積是24立方米的長方體儲糧池，它的長是寬或高的2倍。當(dāng)貼著它一最大的內(nèi)側(cè)面

將面粉堆成一個最大的半圓錐體時，求這堆面粉的體積（如圖-1所示）。

18-7

【解析】設(shè)圓錐體的底面半徑是r,則長方體的高和寬也都是r,長是2r。長方體的容積是

2rXrXr=24,即r的立方=12。這個半圓錐體的體積是1/3Xnr的平方Xr+2=l/6兀r的立方，將r的立方=12

代入，就可以求得面粉的體積。

設(shè)圓錐體的底面半徑是r,則長方體的容積是2rXrXr=24的立方=12。

1/3X3.14Xr的平方Xr+2

=l/6X3014Xr的立方

=1/6X3.14X12

=6.28（立方米）

答：這堆面粉的體積是6.28立方米。

例4、一只集裝箱，它的內(nèi)尺寸是18X18X18。現(xiàn)在有批貨箱，它的外尺寸是1X4X9。問這只集裝箱能裝

多少只貨箱？

【解析】因為集裝箱內(nèi)尺寸18不是貨箱尺寸4的倍數(shù)，所以，只能先在18X16X18的空間放貨箱，可放

18X16X18+（1X4X9）=144（只）。這時還有18X2X18的空間，但只能在18X2X16的空間放貨箱，可放

18X2X16+（1X4X9）=16（只）。最后剩下18X2X2的空間無法再放貨箱，所以最多能裝144+16=160（只）。

18X16X184-（1X4X9）+18X2X16+（1X4X9）

=144+16

=160（只）

答：問這只集裝箱能裝160只貨箱。

實戰(zhàn)演練

＞課堂狙擊

1、把一個長為12分米，寬為6分米，高為9分米的長方體木塊鋸成兩個想同的小長方體木塊，這兩個小

長方體的表面積之和，比原來長方體的表面積增加了多少平方分米？

【解析】這有三種情況：

如果把長鋸開，則增加6X9X2=108平方分米

如果把寬鋸開，則增加12X9X2=216平方分米

如果把高鋸開，則增加12X6X2=144平方分米

2、將一個表面積為30平方厘米的正方體等分成兩個長方體，再將這兩個長方體拼成一個大長方體。求大

長方體的表面積是多少？

【解析】將正方體分為兩個長方體，表面積就增加了2個30+6=15平方厘米，拼成大正方體，表面積將

減少兩個拼合面的面積，正好是1個30+6=15平方厘米，所以大長方體的表面積是：

30+30+6=35平方厘米

3、一個長方體木塊，從下部和上部分別截去高為3厘米和2厘米的長方體后，便成為一個正方體，其表面

積減少了120平方厘米。原來長方體的體積是多少立方厘米？

【解析】減少的表面積實質(zhì)是高度分別為2厘米和3厘米的前、后、左、右四個面的面積之和。

把兩個合并起來，用120+(2+3)=24厘米，求到正方體底面的周長，正方體的棱長就是24+4=6

厘米。

原長方體的體積是：6X6X(6+3+2)=396立方厘米

4、一個精美小禮品盒的形狀是長9厘米，寬6厘米，高4厘米的長方體。請你幫廠家設(shè)計一個能裝10個

小禮品盒的大紙箱，你覺得怎樣設(shè)計比較合理？為什么？

【解析】大長方體盒子的

長9厘米

寬6X2=12厘米

高4義5=20厘米

5、用直徑為20厘米的圓鋼，鍛造成長、寬、高分別為30厘米、20厘米、5厘米的長方體鋼板，應(yīng)截取圓

鋼多長(精確到0.1厘米)？

【解析1二者體積相等

30X20X5=3000立方厘米

20/2=10

10X10X3.14=314

3000/314=?9.6厘米

故答案為：9.6

6、如圖18-8所示，圓錐形容器中裝有3升水，水面高度正好是圓錐高度的一半。這個容器還能裝多少水?

【解摭18裝水的部分是小圓錐，容器是大圓錐

小圓錐的高：大圓錐的高=1：2

則:

小圓錐的底面半徑：大圓錐的底面半徑=1：2

小圓錐的底面積：大圓錐的底面積=1：4

小圓錐的容積:大圓錐的容積=(1X1/3)：(4X2/3)=1：8

所以

圓錐形容器的容積=3*8=24升

這個容器還能裝24-3=21升

7、如右圖18-9所示，由三個正方體木塊粘合而成的模型，它們的棱長分別為1米、2米、4米，要在表面

涂刷油漆，如果大正方體的下面不涂油漆，則模型涂刷油漆的面積是多少平方米?

【解析】4X4+(1X1+2X2+4X4)X4

=100(平方米)

答：模型涂刷油漆的面積是100平方米。

8、從一個長、寬、高分別為21厘米、15厘米、12厘米的廠房體上面，盡可能大地切下一個正方體，然后

從剩余的部分再盡可能大地切下一個正方體，最后再從第二次剩余的部分盡可能大地切下一個正方體，剩

下的體積是多少立方厘米？

【解析】切最大的正方形的體積：12X12X12=1728cm3

長方形的體積：21X15X12=3780cm3

再切正方形的體積：15-12=3cm3X3X3=27cm3

剩下的體積：3780-1728-27=2025cm3

＞課后反擊

1、從一個長10厘米、寬6厘米、高5厘米的長方體木塊上挖去一個棱長2厘米的小正方體，剩下部分的

表面積是多少？

【解析】(1)從面的中間挖菱形：

原長方體的表面積：

(6X5+10X5+10X6)X2=560(cn?)

挖掉的正方體面積是：

2X2X6=24(cm2)

原面積+正方體面積=560+24=584(cn?)

因為挖出的面積只有五面，因此正方體的面積得減去一面后再加入原面積(原面積又少了一面2X2的面

積)，總共減去兩個2X2的面積后才是被挖出后的面積，即:

584-(2X2)X2=576(cm2)

(2)從面的一個角挖菱形：

雖挖出了一個小菱形，但總面積沒變，

還是560(cn?)因為挖出的小菱形增加了3個面,但原面積失去3個了小菱形的面，所以還是560cm2,

2、有一個長方體如下圖18-10所示，它的正面和上面的面積之和是209o如果它的長、寬、高都是質(zhì)數(shù)，

這個長方體的體積是多少？

18-10

【解析】長方體正面及上面的面積之和恰好等于這個長方體的長義(寬+高)，209=11X19,

所以長=11,寬+高=19,或長=19,寬+高=11,

根據(jù)題意，寬和高只能是17和2,長方體的體積就是11X17X2=374

3、一包香煙的形狀是長方體，它的長是9厘米，寬是5厘米，高是2厘米。把10包香煙包裝在一起形成

一個大長方體，稱為一條?？梢栽鯓影b？算一算需要多少包裝紙(包轉(zhuǎn)念能夠紙的重疊部分忽略不計)。你

認(rèn)為哪一種包裝比較合理？

【解析】將9厘米和5厘米的一面疊在一起節(jié)約.

長=9厘米

寬=5厘米

高=2XI0=20厘米

需要紙：

=2X(9X5+9X20+5X20)

=650平方厘米

4、有30個棱長為1米的正方體，在地面上擺成如右圖的形式，求這個立體圖形的表面積網(wǎng)z

是多少平方米？/rWI-

【解析】42X2+(y+lX2+lX3+lX4)X4AC

=72(平方米)。答：這個立體圖形的表面積為72平方米。

5、現(xiàn)有一張長40厘米、寬20厘米的長方形鐵皮，請你用它做一只深是5