2024屆山東省棗莊八中東校高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2024屆山東省棗莊八中東校高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上一點(diǎn)，，當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，所在直線的斜率為（）A． B． C． D．2．在中，，則=（）A． B．C． D．3．單位正方體ABCD-，黑、白兩螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿棱向前爬行，每走完一條棱稱為“走完一段”．白螞蟻爬地的路線是AA1→A1D1→‥，黑螞蟻爬行的路線是AB→BB1→‥，它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第i+2段與第i段所在直線必須是異面直線（iN*）.設(shè)白、黑螞蟻都走完2020段后各自停止在正方體的某個(gè)頂點(diǎn)處，這時(shí)黑、白兩螞蟻的距離是（）A．1 B． C． D．04．向量，，且，則（）A． B． C． D．5．關(guān)于函數(shù)，有下述三個(gè)結(jié)論：①函數(shù)的一個(gè)周期為；②函數(shù)在上單調(diào)遞增；③函數(shù)的值域?yàn)?其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）A．①② B．② C．②③ D．③6．是正四面體的面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，為棱中點(diǎn)，記與平面成角為定值，若點(diǎn)的軌跡為一段拋物線，則（）A． B． C． D．7．已知是空間中兩個(gè)不同的平面，是空間中兩條不同的直線，則下列說法正確的是（）A．若，且，則B．若，且，則C．若，且，則D．若，且，則8．已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，，若對(duì)任意，總存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．10．已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn),則A． B．C． D．11．若、滿足約束條件，則的最大值為（）A． B． C． D．12．設(shè)全集U=R，集合，則（）A．{x|-1<x<4} B．{x|-4<x<1} C．{x|-1≤x≤4} D．{x|-4≤x≤1}二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，，則的最小值為________.14．甲，乙兩隊(duì)參加關(guān)于“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，甲隊(duì)有編號(hào)為1，2，3的三名運(yùn)動(dòng)員，乙隊(duì)有編號(hào)為1，2，3，4的四名運(yùn)動(dòng)員，若兩隊(duì)各出一名隊(duì)員進(jìn)行比賽，則出場(chǎng)的兩名運(yùn)動(dòng)員編號(hào)相同的概率為______.15．已知函數(shù)，若對(duì)于任意正實(shí)數(shù)，均存在以為三邊邊長(zhǎng)的三角形，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_______.16．若、滿足約束條件，則的最小值為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)，.（1）解不等式；（2）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，求的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù).（1）設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并證明函數(shù)有唯一零點(diǎn).（2）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，證明：.19．（12分）已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．（12分）某地為改善旅游環(huán)境進(jìn)行景點(diǎn)改造．如圖，將兩條平行觀光道l1和l2通過一段拋物線形狀的棧道AB連通（道路不計(jì)寬度），l1和l2所在直線的距離為0.5（百米），對(duì)岸堤岸線l3平行于觀光道且與l2相距1.5（百米）（其中A為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸垂直于l3，且交l3于M

），在堤岸線l3上的E，F(xiàn)兩處建造建筑物，其中E，F(xiàn)到M的距離為1

（百米），且F恰在B的正對(duì)岸（即BF⊥l3）．（1）在圖②中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并求棧道AB的方程；（2）游客（視為點(diǎn)P）在棧道AB的何處時(shí)，觀測(cè)EF的視角(∠EPF)最大？請(qǐng)?jiān)冢?）的坐標(biāo)系中，寫出觀測(cè)點(diǎn)P的坐標(biāo)．21．（12分）已知數(shù)列，滿足.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）分別求數(shù)列，的前項(xiàng)和，.22．（10分）如圖，在正四棱柱中，，，過頂點(diǎn)，的平面與棱，分別交于，兩點(diǎn)（不在棱的端點(diǎn)處）.（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）求證：與不垂直；（3）若平面與棱所在直線交于點(diǎn)，當(dāng)四邊形為菱形時(shí)，求長(zhǎng).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

本道題繪圖發(fā)現(xiàn)三角形周長(zhǎng)最小時(shí)A,P位于同一水平線上，計(jì)算點(diǎn)P的坐標(biāo)，計(jì)算斜率，即可．【詳解】結(jié)合題意，繪制圖像要計(jì)算三角形PAF周長(zhǎng)最小值，即計(jì)算PA+PF最小值，結(jié)合拋物線性質(zhì)可知，PF=PN，所以，故當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)處，三角形周長(zhǎng)最小，故此時(shí)M的坐標(biāo)為，所以斜率為，故選A．【點(diǎn)睛】本道題考查了拋物線的基本性質(zhì)，難度中等．2、B【解析】

在上分別取點(diǎn),使得,可知為平行四邊形，從而可得到，即可得到答案．【詳解】如下圖，，在上分別取點(diǎn),使得,則為平行四邊形，故,故答案為B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，考查了學(xué)生邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．3、B【解析】

根據(jù)規(guī)則，觀察黑螞蟻與白螞蟻經(jīng)過幾段后又回到起點(diǎn)，得到每爬1步回到起點(diǎn)，周期為1．計(jì)算黑螞蟻爬完2020段后實(shí)質(zhì)是到達(dá)哪個(gè)點(diǎn)以及計(jì)算白螞蟻爬完2020段后實(shí)質(zhì)是到達(dá)哪個(gè)點(diǎn)，即可計(jì)算出它們的距離．【詳解】由題意,白螞蟻爬行路線為AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，即過1段后又回到起點(diǎn)，可以看作以1為周期，由，白螞蟻爬完2020段后到回到C點(diǎn)；同理,黑螞蟻爬行路線為AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA，黑螞蟻爬完2020段后回到D1點(diǎn)，所以它們此時(shí)的距離為.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題，考查空間想象與推理能力，屬于中等題.4、D【解析】

根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算以及誘導(dǎo)公式，即可得出答案.【詳解】故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了由向量平行求參數(shù)以及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于中檔題.5、C【解析】

①用周期函數(shù)的定義驗(yàn)證.②當(dāng)時(shí)，，，再利用單調(diào)性判斷.③根據(jù)平移變換，函數(shù)的值域等價(jià)于函數(shù)的值域，而，當(dāng)時(shí)，再求值域.【詳解】因?yàn)?，故①錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞增，故②正確；函數(shù)的值域等價(jià)于函數(shù)的值域，易知，故當(dāng)時(shí)，，故③正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，還考查推理論證能力以及分類討論思想，屬于中檔題.6、B【解析】

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，求出面的法向量，設(shè)的坐標(biāo)，求出向量，求出線面所成角的正弦值，再由角的范圍，結(jié)合為定值，得出為定值，且的軌跡為一段拋物線，所以求出坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而求出正切值．【詳解】由題意設(shè)四面體的棱長(zhǎng)為，設(shè)為的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，以為軸，過垂直于面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則可得，，取的三等分點(diǎn)、如圖，則，，，，所以、、、、，由題意設(shè)，，和都是等邊三角形，為的中點(diǎn)，，，，平面，為平面的一個(gè)法向量，因?yàn)榕c平面所成角為定值，則，由題意可得，因?yàn)榈能壽E為一段拋物線且為定值，則也為定值，，可得，此時(shí)，則，.故選：B.【點(diǎn)睛】考查線面所成的角的求法，及正切值為定值時(shí)的情況，屬于中等題．7、D【解析】

利用線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理,對(duì)選項(xiàng)做出判斷，舉出反例排除.【詳解】解：對(duì)于，當(dāng)，且，則與的位置關(guān)系不定，故錯(cuò)；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，不能判定，故錯(cuò)；對(duì)于，若，且，則與的位置關(guān)系不定，故錯(cuò)；對(duì)于，由可得，又，則故正確．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查空間線面位置關(guān)系.判斷線面位置位置關(guān)系利用好線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理.一般可借助正方體模型，以正方體為主線直觀感知并準(zhǔn)確判斷．8、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可得，然后利用復(fù)數(shù)模的概念，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：由，所以所以故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考驗(yàn)計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.9、C【解析】

將函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，并求得，根據(jù)當(dāng)時(shí)可得的值域；由函數(shù)在上單調(diào)遞減可得的值域，結(jié)合存在性成立問題滿足的集合關(guān)系，即可求得的取值范圍.【詳解】依題意，則，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；而函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，則只需，故，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，恒成立與存在性成立問題的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.10、D【解析】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn),所以,則,即.故選D．11、C【解析】

作出不等式組所表示的可行域，平移直線，找出直線在軸上的截距最大時(shí)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)計(jì)算即可.【詳解】作出滿足約束條件的可行域如圖陰影部分（包括邊界）所示．由，得，平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，該直線在軸上的截距最大，此時(shí)取最大值，即.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題，考查線性目標(biāo)函數(shù)的最值，一般利用平移直線的方法找到最優(yōu)解，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

解一元二次不等式求得集合，由此求得【詳解】由，解得或.因?yàn)榛?，所?故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查集合補(bǔ)集的概念和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、27【解析】

利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得，結(jié)合其下標(biāo)和性質(zhì)和均值不等式即可容易求得.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，則，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，涉及均值不等式求和的最小值，屬綜合基礎(chǔ)題.14、【解析】

出場(chǎng)運(yùn)動(dòng)員編號(hào)相同的事件顯然有3種，計(jì)算出總的基本事件數(shù)，由古典概型概率計(jì)算公式求得答案.【詳解】甲隊(duì)有編號(hào)為1，2，3的三名運(yùn)動(dòng)員，乙隊(duì)有編號(hào)為1，2，3，4的四名運(yùn)動(dòng)員，出場(chǎng)的兩名運(yùn)動(dòng)員編號(hào)相同的事件數(shù)為3，出現(xiàn)的基本事件總數(shù)，則出場(chǎng)的兩名運(yùn)動(dòng)員編號(hào)相同的概率為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查求古典概率的概率問題，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知對(duì)任意的恒成立,將的解析式用分離常數(shù)法變形,由均值不等式可得分母的取值范圍,則整個(gè)式子的取值范圍由的符號(hào)決定,故分為三類討論,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)值域,再討論,轉(zhuǎn)化為的最小值與的最大值的不等式,進(jìn)而求出的取值范圍.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意正實(shí)數(shù),都存在以為三邊長(zhǎng)的三角形,故對(duì)任意的恒成立,,令,則,當(dāng),即時(shí),該函數(shù)在上單調(diào)遞減,則；當(dāng),即時(shí),,當(dāng),即時(shí),該函數(shù)在上單調(diào)遞增,則,所以,當(dāng)時(shí),因?yàn)?,所以,解得；當(dāng)時(shí),,滿足條件；當(dāng)時(shí),,且,所以,解得,綜上,,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)范圍,考查三角形的構(gòu)成條件,考查利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)值域,考查分類討論思想與轉(zhuǎn)化思想.16、【解析】

作出不等式組所表示的可行域，利用平移直線的方法找出使得目標(biāo)函數(shù)取得最小時(shí)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)計(jì)算即可.【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：聯(lián)立，解得，即點(diǎn)，平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過可行域的頂點(diǎn)時(shí)，該直線在軸上的截距最小，此時(shí)取最小值，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題，考查線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2)【解析】試題分析：（1）將絕對(duì)值不等式兩邊平方，化為二次不等式求解．（2）將問題化為分段函數(shù)問題，通過分類討論并根據(jù)恒成立問題的解法求解即可．試題解析：整理得解得①②解得③,且無限趨近于4，綜上的取值范圍是18、（1）為增區(qū)間；為減區(qū)間.見解析（2）見解析【解析】

（1）先求得的定義域，然后利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷出有唯一零點(diǎn).（2）求得的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合在區(qū)間上不單調(diào)，證得，通過證明，證得成立.【詳解】（1）∵函數(shù)的定義域?yàn)?，由，解得為增區(qū)間；由解得為減區(qū)間.下面證明函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)：∵，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，∵，函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，故函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).（2）證明：函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，令，則，所以在上單調(diào)增函數(shù)，而，又∵區(qū)間上不單調(diào)，所以存在，使得在上有一個(gè)零點(diǎn)，即，所以，且，即兩邊取自然對(duì)數(shù)，得即，要證，即證，先證明：，令，則∴在上單調(diào)遞增，即，∴①在①中令，∴令∴，即即，∴.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和零點(diǎn)，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.19、（1）；（2）．【解析】試題分析：（1）設(shè)公差為，列出關(guān)于的方程組，求解的值，即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，即可利用裂項(xiàng)相消求解數(shù)列的和.試題解析：（1）設(shè)公差為.由已知得,解得或（舍去）,所以,故.（2）,考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列的求和.20、（1）見解析，，x[0，1]；（2）P(，)時(shí)，視角∠EPF最大．【解析】

（1）以A為原點(diǎn)，l1為x軸，拋物線的對(duì)稱軸為y軸建系，設(shè)出方程，通過點(diǎn)的坐標(biāo)可求方程；（2）設(shè)出的坐標(biāo)，表示出，利用基本不等式求解的最大值，從而可得觀測(cè)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】（1）以A為原點(diǎn)，l1為x軸，拋物線的對(duì)稱軸為y軸建系由題意知：B(1，0.5)，設(shè)拋物線方程為代入點(diǎn)B得：p＝1，故方程為，x[0，1]；（2）設(shè)P(，)，t[0，]，作PQ⊥l3于Q，記∠EPQ＝，∠FPQ＝，，令，，則：，當(dāng)且僅當(dāng)即，即，即時(shí)取等號(hào)；故P(，)時(shí)視角∠EPF最大，答：P(，)時(shí)，視角∠EPF最大．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓錐曲線的實(shí)際應(yīng)用，理解題意，構(gòu)建合適的模型是求解的關(guān)鍵，涉及最值問題一般利用基本不等