四川省樂山市2021年中考數(shù)學(xué)真題卷（含答案與解析）

四川省樂山市2021年中考試卷

數(shù)學(xué)

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米的黑色墨水簽字筆填寫在答題

卡上，并檢查條形碼粘貼是否正確.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號；回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫

在本試卷上無效.

一、選擇題：本大題共10個小題，每小題3分，共30分.

1.如果規(guī)定收入為正，那么支出為負(fù)，收入2元記作+2,支出5元記作（）.

A.5元B.-5元C.-3元D.7元

2.在一次心理健康教育活動中，張老師隨機(jī)抽取了40名學(xué)生進(jìn)行了心理健康測試，并將測試結(jié)果按“健康、

亞健康、不健康”繪制成下列表格，其中測試結(jié)果為“健康”的頻率是（）.

類型健康亞健康不健康

數(shù)據(jù)（人）3271

74

A.32B.7C.D.

To5

3.某種商品用千克的售價為〃元，那么這種商品8千克的售價為（）

A,也（元）8m/一、m

（元）C.---（兀）D.—（元）

m8加nSn

4.如圖，已知直線4、4、4兩兩相交，且若a=50°,則￡的度數(shù)為（）

A.120°B.130°C.140°D.150°

5.如圖，已知直線4：y=-2x+4與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點,那么過原點。且將AAQB的面積平分的

直線4的解析式為（）

B.y=xD.y=2x

6.如圖是由4個相同的小正方體成的物體，將它在水平面內(nèi)順時針旋轉(zhuǎn)9（）。后，其主視圖是（）

7.七巧板起源于我國先秦時期，古算書《周髀算經(jīng)》中有關(guān)于正方形的分割術(shù)，經(jīng)歷代演變而成七巧板，

如圖1所示.19世紀(jì)傳到國外，被稱為“唐圖”（意為"來自中國的拼圖"），圖2是由邊長為4的正方形分割

制作的七巧板拼擺成的"葉問蹬''圖.則圖中抬起的“腿”（即陰影部分）的面積為（）

圖1圖2

8.如圖，已知點P是菱形ABCD的對角線AC延長線上一點，過點P分別作A。、QC延長線的垂線，垂

足分別為點E、F.若NABC=120°,AB=2，則尸E—尸產(chǎn)的值為（）

A.-B.百

2

9.如圖，已知。4=6,03=8,BC=2,0P與OB、AB均相切，點P是線段AC與拋物線y=a?

的交點，則。的值為（)

A.4D.5

3

10.如圖，直線4與反比例函數(shù)y=—（x>0）的圖象相交于A、B兩點,線段A3的中點為點C，過點。作

x

工軸的垂線，垂足為點。.直線4過原點。和點若直線乙上存在點尸（加，〃），滿足NA尸3=

則機(jī)+鹿的值為（）

3

A.3-75B.3或5C.3+6或3-石D.3

二、填空題：本大題共6個小題，每小題3分，共18分.

11.計算：（2021—萬）°=.

12.因式分解：4/-9=.

13.如圖是根據(jù)甲、乙兩人5次射擊的成績（環(huán)數(shù)）制作的折線統(tǒng)計圖.你認(rèn)為誰的成績較為穩(wěn)？.

（填“甲”或“乙”）

14.如圖，為了測量“四川大渡河峽谷”石碑的高度，佳佳在點C處測得石碑頂A點的仰角為3",她朝石

碑前行5米到達(dá)點。處，又測得石頂A點的仰角為60°,那么石碑的高度A3的長=米.(結(jié)果保

留根號)

15.在中，ZC=90°.有一個銳角為60°,AB=4.若點P在直線AB上(不與點A、8重合),

且NPCB=30°,則CP的長為.

16.如圖，已知點A(4,3),點3為直線y=-2上的一動點，點C(0,“)，一2<〃<3,A。，8。于點。,

連接AB.若直線A3與工正半軸所夾的銳角為l，那么當(dāng)sina的值最大時，”的值為_______.

/

三、本大題共3個小題，每小題9分，共27分.

不+3?X—1

17.當(dāng)x取何正整數(shù)時，代數(shù)式一與值的差大于1

23

18.如圖，已知AB=0C,NA=NO，AC與03相交于點O,求證：NOBC=NOCB.

AB2x-6

已知求A、3的值.

x-\2-xa-i)a-2)

四、本大題共3個小題，每小題10分，共30分.

20.已知關(guān)于x的一元二次方程/+%-〃2=0.

(1)若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求加的取值范圍;

(2)二次函數(shù)丁=/+*一〃?的部分圖象如圖所示，求一元二次方程％2+》一帆=0的解.

21.某中學(xué)全校師生聽取了“禁毒”宣傳報告后，對禁毒人員肅然起敬.學(xué)校德育處隨后決定在全校1000

名學(xué)生中開展“我為禁毒獻(xiàn)愛心”的捐款活動.張老師在周五隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生隨身攜帶零花錢的情況,

并將收集的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，繪制了如圖所示的條形統(tǒng)計圖.

二

一-

-二

-L

":口:

<口

?;25.

(1)求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和眾數(shù)；

(2)經(jīng)調(diào)查，當(dāng)學(xué)生身上零花錢多于15元時，都到出零花錢的20%,其余學(xué)生不參加捐款.請你估計

周五這一天該?？赡苁盏綄W(xué)生自愿捐款多少元？

(3)捐款最多的兩人將和另一個學(xué)校選出的兩人組成一個“禁毒”知識宣講小組，若從4人中隨機(jī)指定兩

人擔(dān)任正、副組長，求這兩人來自不同學(xué)校的概率.

k

22.如圖，直線/分別交X軸，y軸于A、B兩點,交反比例函數(shù)丁=一(％。0)的圖象于P、Q兩點.若

x

/W=2BP，且AAQB的面積為4

(1)求女的值；

(2)當(dāng)點P的橫坐標(biāo)為—1時，求△POQ的面積.

五、本大題共2個小題，每小題10分，共20分.

23.通過實驗研究發(fā)現(xiàn)：初中生在數(shù)學(xué)課上聽課注意力指標(biāo)隨上課時間變化而變化，上課開始時，學(xué)生興

趣激增，中間一段時間，學(xué)生的興趣保持平穩(wěn)狀態(tài)，隨后開始分散.學(xué)生注意力指標(biāo)》隨時間x(分鐘)

變化的函數(shù)圖象如圖所示，當(dāng)0Wx<10和10Wx<20時，圖象是線段；當(dāng)20WXW45時，圖象是反比例

函數(shù)的一部分.

(1)求點A對應(yīng)的指標(biāo)值；

(2)張老師在一節(jié)課上講解一道數(shù)學(xué)綜合題需要17分鐘，他能否經(jīng)過適當(dāng)?shù)陌才牛箤W(xué)生在聽這道綜合

題的講解時，注意力指標(biāo)都不低于36?請說明理由.

24.如圖，已知點C是以4?為直徑的圓上一點，。是A3延長線上一點，過點。作3。的垂線交AC的

延長線于點E，連結(jié)CO,且=

(1)求證：CO是O。的切線；

(2)若tanNDCE=2,BD=1，求GX?的半徑.

六、本大題共2個小題，第25題12分，第26題13分，共25分.

25.在等腰AABC中，AB=AC,點。BC邊上一點(不與點8、C重合)，連結(jié)

/；fH〃4H〃，

圖1圖2圖3

(1)如圖1,若NC=60°,點。關(guān)于直線A3的對稱點為點E，結(jié)AE，DE，則NBDE=

(2)若NC=60°,將線段繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE,連結(jié)8E.

①在圖2中補(bǔ)全圖形；

②探究CO與BE的數(shù)量關(guān)系，并證明;

4?AI）

（3）如圖3,若——=—=k,且NAO￡=NC,試探究BE、BD、AC之間滿足數(shù)量關(guān)系，并證

BCDE

明.

26.已知二次函數(shù)y=ax2+Zzx+c的圖象開口向上，且經(jīng)過點A[。,5],

（1）求〃的值（用含。的代數(shù)式表示）；

（2）若二次函數(shù)丁=0?+法+。在l?x<3時，>的最大值為1,求。的值；

（3）將線段A3向右平移2個單位得到線段43'.若線段A'3'與拋物線y=a^+陵+。+4。-1僅有一

個交點，求。的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本大題共10個小題，每小題3分，共30分.

1.如果規(guī)定收入為正，那么支出為負(fù)，收入2元記作+2,支出5元記作（）.

A.5元B.-5元C.-3元D.7元

【答案】B

【解析】

【分析】結(jié)合題意，根據(jù)正負(fù)數(shù)的性質(zhì)分析，即可得到答案.

【詳解】根據(jù)題意得：支出5元記作-5元

故選：B.

【點睛】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握正負(fù)數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解.

2.在一次心理健康教育活動中，張老師隨機(jī)抽取了40名學(xué)生進(jìn)行了心理健康測試，并將測試結(jié)果按“健康、

亞健康、不健康”繪制成下列表格，其中測試結(jié)果為“健康”的頻率是（）.

類型健康亞健康不健康

數(shù)據(jù)（人）3271

74

A32B.7C.—D.-

105

【答案】D

【解析】

【分析】結(jié)合題意，根據(jù)頻率的定義計算，即可得到答案.

324

【詳解】根據(jù)題意，得測試結(jié)果為“健康”的頻率是一=—

405

故選：D.

【點睛】本題考查了抽樣調(diào)查的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握頻率的性質(zhì)，從而完成求解.

3.某種商品加千克的售價為〃元，那么這種商品8千克的售價為（）

8〃一、n8m，一、m,_,

A.—（元）B.---（兀）C.---（兀）D.—（兀）

m8〃zn8”

【答案】A

【解析】

【分析】先求出1千克售價，再計算8千克售價即可；

【詳解】???，"千克的售價為〃元，

JI千克商品售價為2，

m

；.8千克商品的售價為J（元）；

m

故答案選A.

【點睛】本題主要考查了列代數(shù)式，準(zhǔn)確分析列式是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，已知直線4、4、4兩兩相交，且若a=50°,則￡的度數(shù)為（）

A.120°B.130°C.140°D.150°

【答案】C

【解析】

【分析】由垂直的定義可得/2=90°：根據(jù)對頂角相等可得Nl=Na=50°,再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即

可求得N力=140。.

【詳解】1

2

14,

Z2=90°；

,/Nl=Na=50。，

=N1+N2=50°+90°=140°.

故選C.

【點睛】本題考查了垂直的定義、對頂角的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，熟練運用三角形外角的性質(zhì)是解決

問題的關(guān)鍵.

5.如圖，已知直線4：y=-2x+4與坐標(biāo)軸分別交于A、3兩點，那么過原點。且將AAOB的面積平分的

直線4的解析式為（）

八4'

13

A.y=]XB.y=xC.y~^xD.y=2x

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)已知解析式求出點A、B的坐標(biāo)，根據(jù)過原點。且將AAOB的面積平分列式計算即可;

【詳解】如圖所示，

當(dāng)y=0時，一2%+4=0,

解得：x=2.

A(2,0),

當(dāng)x=0時，y=4,

3(0,4),

?；C在直線AB±,

設(shè)C(W,-2/77+4),

SMBC=5、。8*昆|,

Saoc4=gxOAx|yc|，

「A且將AAOB的面積平分，

,?S4OBC=$4OCA'

.，.(9Bx|xc|=OAx|yc|,

：.4m=2x(—2m+4),

解得m=1T

??.C(l,2),

設(shè)直線4的解析式為)'="，

則左=2,

/.y=2x；

故答案選D.

【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵.

6.如圖是由4個相同的小正方體成的物體，將它在水平面內(nèi)順時針旋轉(zhuǎn)90。后，其主視圖是()

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)該幾何體它在水平面內(nèi)順時針旋轉(zhuǎn)90°后，旋轉(zhuǎn)后幾何體的主視圖與該幾何體旋轉(zhuǎn)前從右面

看到的圖形一樣，由此即可解答.

【詳解】把該幾何體它在水平面內(nèi)順時針旋轉(zhuǎn)90。后，旋轉(zhuǎn)后的主視圖與該幾何體旋轉(zhuǎn)前從右面看到的圖

形一樣，

?.?該幾何體的從右面看到的圖形為，

二該幾何體它在水平面內(nèi)順時針旋轉(zhuǎn)90°后，旋轉(zhuǎn)后幾何體的主視圖為

故選C.

【點睛】本題考查了簡單幾何體的三視圖，熟知把該幾何體它在水平面內(nèi)順時針旋轉(zhuǎn)90°后，旋轉(zhuǎn)后幾何

體的主視圖與該幾何體旋轉(zhuǎn)前從右面看到的圖形一樣是解決問題的關(guān)鍵.

7.七巧板起源于我國先秦時期，古算書《周髀算經(jīng)》中有關(guān)于正方形的分割術(shù)，經(jīng)歷代演變而成七巧板，

如圖1所示.19世紀(jì)傳到國外，被稱為“唐圖”（意為“來自中國的拼圖"），圖2是由邊長為4的正方形分割

制作的七巧板拼擺成的"葉問蹬''圖.則圖中抬起的“腿’’（即陰影部分）的面積為（）

圖1圖2

75

A.3B.-C.2D.一

22

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)由邊長為4的正方形分割制作的七巧板，可得共5種圖形，然后根據(jù)陰影部分的構(gòu)成圖形，

計算陰影部分面積即可.

【詳解】解：如下圖所示，由邊長為4的正方形分割制作的七巧板，共有以下幾種圖形：

①腰長是2加的等腰直角三角形，

2722-J2

③腰長是血的等腰直角三角形,

④邊長是血的正方形,

⑤邊長分別是2和亞，頂角分別是45。和135。的平行四邊形,

根據(jù)圖2可知，圖中抬起的“腿”（即陰影部分）是由一個腰長是血的等腰直角三角形，和一個邊長分別是

2和0,頂角分別是45"和135。的平行四邊形組成，

如下圖示,

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知，頂角分別是45。和135。的平行四邊形的高是08,且DB=也，

???一個腰長是血的等腰直角三角形的面積是：!xV2xV2=l,

頂角分別是45。和135。的平行四邊形的面積是：V2x>/2=2.

陰影部分的面積為：1+2=3,

故選：A.

【點睛】本題考查了七巧板中的圖形的構(gòu)成和面積計算，熟悉七巧板中圖形的分類是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，已知點尸是菱形ABCD的對角線AC延長線上一點，過點P分別作A。、0c延長線的垂線，垂

足分別為點E、F.若NABC=12()°,43=2，則PE-PE的值為()

3廠〃_5

A.-B.5/3C.2D.一

22

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)菱形的基性質(zhì)，得到NB4E=30。，，利用勾股理求出AC=2W，則AP=26+PC,

PE=^AP=g+；PC,由NPCF=N￡>CA=30°,得至最后算出結(jié)果.

【詳解】解：；四邊形A8C。是菱形且N4BC=120。，AB=2,

：.AB=BC=CD=DA=2,ZBAD=60°,AC1BD,

/C4E=30°,

?：AC1BD,NCAE=30。，AD=2,

???AC=2V^F=2G，

:.AP=2舟PC,

在直角△川￡「中,

VZB4￡=30°,AP=2y/3+PC,

：.PE=^AP=y/3+-^PC,

在直角中，

：/PC尸=30°,

：.PF=—PC,

2

???PE-PF=6*PC-gpC=6,

故選：B.

【點睛】本題主要考查了菱形的基本性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用以及在直角三角形中，30。角所對的直角邊等于

斜邊的一半，關(guān)鍵會在直角三角形中應(yīng)用30°.

9.如圖，已知。4=6,03=8,BC=2,OP與08、A3均相切，點P是線段AC與拋物線丁=〃/

的交點，則。的值為()

【答案】D

【解析】

【分析】在RtZVIOB中，由勾股定理求得BC=10；再求得直線4c的解析式為y=-x+6；設(shè)。尸的半

徑為"Z,可得P(w>-zw+6)；連接PB、PO、PC,根據(jù)SWB=SAAOP++S?BOP求得機(jī)=1,即可得點

p的坐標(biāo)為(1,5)；再由拋物線了=辦2過點p,由此即可求得a=5.

【詳解】在Rt^AOB中，QA=6，0B=8,

???BC=y/o^+OB2=V62+82=10；

VOB=8,BC=2,

：.006,

：.C(0,6)；

,:OA—6,

???A(6,0)；

設(shè)直線AC的解析式為y=-b,

6k+h=0

[b=6

k——]

解得式，

b=6

/.直線AC的解析式為y=-x+6；

設(shè)OP的半徑為〃?，

:0P與08相切,

???點P的橫坐標(biāo)為機(jī)，

?.?點P在直線直線AC上，

:.P(m,-〃z+6)；

連接PB、PO、PA,

?：OP與OB、AB均相切，

.?.△OBP邊。8上的高為機(jī)，ZVIOB邊AB上的高為祖,

P(,m,-m+6)；

/XAOP邊OA上高為如+6,

?2A八08_aI.AOPTD^APBT°ABOP'

n

解得m=\,

：.P(1,5)；

?..拋物線y=af過點p,

a=5-

故選D.

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)定理、勾股定理、待定系數(shù)法求解析式，正確求出OP的半徑是解決問題

的關(guān)鍵.

3

10.如圖，直線4與反比例函數(shù)y=—(x>0)的圖象相交于A、B兩點,線段的中點為點C，過點。作

x

X軸的垂線，垂足為點。.直線，2過原點。和點C.若直線4上存在點P(W)，滿足NAP3=NZQ8,

則帆+〃的值為()

3

A.3-V5B.3或彳C.3+6或3—6D.3

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意，得4(1,3),5(3,1),直線4：y根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)，得用=〃；根據(jù)勾股定理,

得PC=,2(m-2)2；連接24，PB,FB,根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)，得C(2,2),OC1AB-,

根據(jù)勾股定理逆定理，得NABO=90°；結(jié)合圓的性質(zhì)，得點A、B、。、P共圓，直線4和AB交于點F，

點F為圓心；根據(jù)圓周角、圓心角、等腰三角形的性質(zhì)，得FC=顯；%PC=PF+FC或PC=PF—FC

2

兩種情況，根據(jù)圓周角、二次根式的性質(zhì)計算，即可得到答案.

詳解】根據(jù)題意，得A(|,3],813,|),即A(l,3),8(3,1)

?.?直線4過原點。和點C

直線4：

?.,P(m,ri)在直線4上

m=n

???PC=回m-2)2

連接24，PB，F(xiàn)B

：.PA=PB，線段AB的中點為點C

AC（2,2）,OC1AB

過點。作x軸的垂線，垂足為點。

/.D（2,0）

=Ip+（0—3）2=而,A8=J（］_s'+（3-1）2=2叵,80=J（3-2,+1=0

???AD2=AB2+BD2

：.430=90。

...點A、B、D,P共圓，直線4和48交于點F,點尸為圓心

BDy/2

：?cosZADB

V10

VAC^BC，F(xiàn)B^FA^-AD

2

：.ABFC=-AAFB

2

VZAPB-ZADB，且NAP8=，ZAFB

2

...ZAPB=ZADB=ABFC

PCFCJ2

.cosNAPB=cosNBFC=，=^==，=

FBVWVW

F

/.FC=—

2

...PC=PF+FC或PC=PF-FC

當(dāng)PC=PF—_FC時，Z4/汨和NAOB位于直線44兩側(cè)，即NAPB+NADB=180°

，PC=PF—FC不符合題意

APC=PF+FC=^-+—>且加<2

22

/.PC=^2（m_2）2=后（2-孫

???加（2_，”）=半+日

?"?m+n-2m=3-y[i

故選：A.

【點睛】本題考查了圓、等腰三角形、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、三角函數(shù)、勾股定理、二次根式的知識；

解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓心角、圓周角、等腰三角形三線合一、三角函數(shù)、勾股定理的性質(zhì)，從而完成求

解.

二、填空題：本大題共6個小題，每小題3分，共18分.

11.計算：（2021—萬）°=

【答案】1

【解析】

【分析】直接利用零指數(shù)慕的性質(zhì)計算得出答案.

【詳解】解：（2021-萬）°=1.

故答案為：1.

【點睛】本題考查零指數(shù)塞，是基礎(chǔ)考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

12.因式分解：4/-9=.

【答案】(2a-3)(2。+3)

【解析】

【分析】此多項式可直接采用平方差公式進(jìn)行分解.

【詳解】解：4〃—9=(2a)2—32

=(2a—3)(2a+3).

故答案為：(2a—3)(2。+3).

【點睛】本題考查了公式法分解因式，要求靈活使用各種方法對多項式進(jìn)行因式分解，一般來說，如果可

以先提取公因式的要先提取公因式，再考慮運用公式法分解.

13.如圖是根據(jù)甲、乙兩人5次射擊的成績(環(huán)數(shù))制作的折線統(tǒng)計圖.你認(rèn)為誰的成績較為穩(wěn)？

(填“甲”或“乙”)

【答案】甲

【解析】

【分析】先分別求出甲乙的平均數(shù)，再求出甲乙的方差，由方差越小成績越穩(wěn)定做出判斷即可.

【詳解】解：%=(7+6+9+6+7)4-5=7(環(huán))，

X/=(5+9+6+7+8)4-5=7(環(huán))，

2222

『甲=1(7-7)2+(6-7)+(9-7)+(6-7)+(7-7)]-？5=1.2,

J乙=[(5-7)2+(9-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(8-7)2]^5=2,

V1.2<2,

???甲的成績較為穩(wěn)定，

故答案為：甲.

【點睛】本題考查平均數(shù)、方差、折線統(tǒng)計圖，會求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差，會根據(jù)方差判斷一組數(shù)

據(jù)的穩(wěn)定性是解答的關(guān)鍵.

14.如圖，為了測量“四川大渡河峽谷”石碑的高度，佳佳在點C處測得石碑頂A點的仰角為30L她朝石

碑前行5米到達(dá)點。處，又測得石頂A點的仰角為60°,那么石碑的高度45的長=_______米.（結(jié)果保

留根號）

【解析】

【分析】先根據(jù)已知條件得出△相＞＜?是等腰三角形，再利用A8=si〃60°XA￡＞計算即可

【詳解】解：由題意可知：乙4=30°,ZADB=60°

：.ZCAZ）=30"

.?.△AOC是等腰三角形，

.?.OA=￡）C又。C=5米

故AD=5米

在用八4。8中，乙4。8=60°

AB=sin60°XAD=走x5=米

22

故答案為：更

2

【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形，熟練記憶特殊角的銳角三角函數(shù)值是關(guān)鍵

15.在中，ZC=90°.有一個銳角為60°，AB=4.若點尸在直線AB上（不與點A、8重合）,

且NPCB=30°,則CP的長為

【答案】6或26或2

【解析】

【分析】依據(jù)題意畫出圖形，分類討論，解直角三角形即可.

【詳解】解：情形1：NA=60。，則48=30°,

A

ZPCB=30°,

ZACP=60°,

△ACP是等邊三角形，

CP=AC=-AB=2；

2

情形2：ZB=60°，則ZA=30。，BC=2,AC=2百,

,/NPCB=30°,

：.CPLAB,

：.^ACBC=^ABCP,解得CP=g;

情形3：ZB=60°，則ZA=30°,BC=2,AC=2百,

?/NPCB=30°,

CP=AC=2也;

故答案為：百或26或2.

【點睛】本題考查解直角三角形，掌握分類討論的思想是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，已知點A(4,3),點3為直線y=-2上的一動點，點C(0,〃)，一2<〃<3,4。，6。于點。,

連接AB.若直線AB與x正半軸所夾的銳角為a，那么當(dāng)sina的值最大時，〃的值為________.

【答案1

【解析】

【分析】設(shè)直線y=-2與y軸交于G,過A作AHL直線y=-2于H,AFLy軸于凡根據(jù)平行線的性質(zhì)

得到/AB〃=a,由三角函數(shù)的定義得到sina=—,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式絲=9,

BA3-n4

于是得到G8=—1(〃+2)(3-n)=--(n--)2+—,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

44216

【詳解】解：如圖，設(shè)直線y=-2與)，軸交于G,過A作直線y=-2于H,AF_Ly軸于凡

B”〃x軸,

ZABH=a,

在RtAAB/7中，A3=\JAH2+BH2,sina=—,

55

即sina

BA.~y/AH2+BH2

sina隨BA的減小而增大，

.,.當(dāng)BA最小時sina有最大值；即最小時，sina有最大值，即BG最大時，sina有最大值,

VZBGC=ZACB=ZAFC=90°,

/./GBC+/BCG=NBCG+NAC廣=90°,

:?NGBC=ZACF,

???AACF^ACBG,

.BGCG

??—，

CFAF

?.?A(4,3),C(0,n)

BGn+2

即

3—n

\_

.'.BG=——Cn+2)(3-/i)=2+生

4416

,?--2<n<3

125

.?.當(dāng)〃=上時，BG最大值=上

216

故答案為：~?.

2

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，平行線的性質(zhì)，正確的作出輔助線證得

△ACFs/^CBG是解題的關(guān)鍵.

三、本大題共3個小題，每小題9分，共27分.

17.當(dāng)x取何正整數(shù)時，代數(shù)式上」與「一的值的差大于1

23

【答案】1,2,3,4

【解析】

【分析】根據(jù)題意，列一元一次不等式并求解，即可得到》的取值范圍；結(jié)合x為正整數(shù)，通過計算即可得

到答案.

R_I_Q?r1

【詳解】根據(jù)題意得：—------>1，

23

解得：x<5

VX正整數(shù)，

.?.X為1,2,3,4時，代數(shù)式上二與三」的值的差大于1.

23

【點睛】本題考查了解一元一次不等式；解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元一次不等式的性質(zhì)，從而完成求解.

18.如圖，已知AB=Z)C,ZA=ZD，AC與05相交于點O,求證：ZOBC=ZOCB.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，通過證明△ABO名△OCO,得OB=OC,結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，

即可得到答案.

NA=ZD

【詳解】V<ZAOB=ZDOC,

AB=DC

???△ABO烏△OCO(AAS),

OB=OC，

：.ZOBC=ZOCB.

【點睛】本題考查了全等三角形、等腰三角形的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形、等腰三角形的

性質(zhì)，從而完成求解.

AB2x-6

19.已知一-=-~—~~—,求A、B的值.

x-12-x(X-l)(x-2)

【答案】A的值為4,B的值為-2

【解析】

【分析】根據(jù)分式、整式加減運算，以及二元一次方程組的性質(zhì)計算，即可得到答案.

ABA(x-2)B(x-l)

【詳解】-7---二一,~~~-~~->

x-12-x(X-i)(x-2)(x-l)(x-2)

A(x-2)+B{x—1)_2x-6

(x-l)(x-2)-~(x-l)(x-2)

A(x—2)+B^x—1)-2x—6,

即(A+B)x—(2A+B)-2x—6.

A+B=2

2A+B=6

，A的值為4,8的值為一2.

【點睛】本題考查了分式、整式、二元一次方程組的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式加減運算、整式加

減運算、二元一次方程組的性質(zhì)，從而完成求解.

四、本大題共3個小題，每小題10分，共30分.

20.已知關(guān)于x的一元二次方程—+X-m=0.

（1）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求m的取值范圍；

（2）二次函數(shù)y=/+x-，〃的部分圖象如圖所示，求一元二次方程*2+X一m=（）的解.

【答案】（1）m>—；（2）玉=1,x——2

4?2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)△>?時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根求解m的取值范圍即可；

（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)就是當(dāng)）=0時對應(yīng)一元二次函數(shù)的解，故將x=l代入方程中

求出，〃值，再代入一元二次方程中解方程即可求解.

【詳解】解：（1）由題知］=l+4zn>0,

1

??m>—.

4

（2）由圖知爐+工一加=。的一個根為1,

I2+1—m=0>m-2,

即一元二次方程為V+》一2=0，

解得玉=1,々=-2,

一元二次方程f+x—機(jī)=0的解為玉=1,x2=-2.

【點睛】本題考查一元二次方程根的判別式、解一元一次不等式、解一元一次方程、解一元二次方程，會

解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程根的判別式與根的關(guān)系是解答的關(guān)鍵.

21.某中學(xué)全校師生聽取了“禁毒”宣傳報告后，對禁毒人員肅然起敬.學(xué)校德育處隨后決定在全校1000

名學(xué)生中開展“我為禁毒獻(xiàn)愛心”的捐款活動.張老師在周五隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生隨身攜帶零花錢的情況,

并將收集的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，繪制廣如圖所示的條形統(tǒng)計圖.

P

一n-

—-

-

口1

I

K-

2.0

(1)求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和眾數(shù)；

(2)經(jīng)調(diào)查，當(dāng)學(xué)生身上的零花錢多于15元時，都到出零花錢的20%,其余學(xué)生不參加捐款.請你估計

周五這一天該校可能收到學(xué)生自愿捐款多少元？

(3)捐款最多的兩人將和另一個學(xué)校選出的兩人組成一個“禁毒”知識宣講小組，若從4人中隨機(jī)指定兩

人擔(dān)任正、副組長，求這兩人來自不同學(xué)校的概率.

2

【答案】(1)平均數(shù)為20.5；眾數(shù)為20；(2)3150元；(3)-

3

【解析】

【分析】(1)根據(jù)眾數(shù)和平均數(shù)的定義求解；

(2)由圖可知零花錢多于15元的學(xué)生有12人，可算出12人的零花錢平均數(shù)再計算這12人的捐款額，即

可計算1000人的捐款額；

(3)設(shè)捐款最多的兩名學(xué)生分別為吊、&,另一個學(xué)校的兩名學(xué)生分別為用、B2,列表后利用概率公式

求解可得.

5x1+10x3+15x4+20x6+25+30x3+40

【詳解】解：(1)平均數(shù):20.5,

20

眾數(shù)：根據(jù)圖可知有6人零花錢是20,故眾數(shù)為20

故答案為:20.5；20

(2)由圖可知零花錢多于15元的學(xué)生有12人，則這12人的零花錢平均數(shù)為:

20x6+25+30x3+40x2_105

一丁

[乎x20%]x11|xl000）=3150（元）.

.?.周五這一天該校收到捐款數(shù)約為:

(3)設(shè)捐款最多的兩名學(xué)生分別為4、4,另一個學(xué)校的兩名學(xué)生分別為用、B2,

列表如下:

4A與當(dāng)

AAAABz

444A2B2

坊A再8也

4B2AlB聲

???由表可知，均等機(jī)會共12種，兩人來自不同學(xué)校的結(jié)果有8種，

Qo

...這兩人來自不同學(xué)校的概率

123

【點睛】本題考查的是條形統(tǒng)計圖讀懂統(tǒng)計圖，平均數(shù)和眾數(shù)的定義，用樣本估計總體，同時考查了概率

公式，從統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵.

k

22.如圖，直線/分別交X軸，y軸于A、3兩點，交反比例函數(shù)y=—(ZHO)的圖象于P、。兩點.若

X

AB=2BP，且AAOB的面積為4

(1)求A的值：

(2)當(dāng)點P的橫坐標(biāo)為—1時，求△尸。。的面積.

【答案】(1)-6；(2)8

【解析】

【分析】(1)過P作PE垂直于x軸，垂足為E，證明△ABOSAAFE.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得

S4

AO^lOE,甘迺=不，由此可得邑4依=9,S.PEO=3.再由反比例函數(shù)比例系數(shù)4的幾何意義即可

'AAPE"

求得k值.

(2)先求得P(—1,6),8(0,4),再利用待定系數(shù)法求得直線尸3的解析式為y=-2x+4.與反比例函數(shù)的

解析式聯(lián)立方程組，解方程組求得Q(3,-2).再根據(jù)S.Q=S.POB+S.Qg即可求解.

【詳解】(1)過P作PE垂直于x軸，垂足為E，

,I?

IT

E

PE//BO,

：.AABO^AAPE.

???AB=2BP，S^AOB=4,

q

***AO=2OE，乙ABO

64MtE

?q-Qq—a

,?3PED-J?

/.|Z:|=—x3,\k\=6,即％=—6.

2

—6,

(2)由(1)知丁=——,AP(-l,6).

x

,/AB=2PB,；?S.PBO=2,|8。|=4,B(0,4).

設(shè)直線依的解析式為y="+6,

[6=-k+b

將點P(T,6)、8(0,4)代入y=H+b,得，

b=4

k=-2

解得《

b=4

直線PB的解析式為y=-2x+4.

-6

y——

聯(lián)立方程組:x,解得占=3,%=一1，

y-—2x+4

C(3,-2).

,S“POQ=S.POB+S@B=；|O3|x（q_Xp）=gx4x4=8.

【點睛】本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合題，熟練運用反比例函數(shù)比例系數(shù)k的兒何意義是解決問題的

關(guān)鍵.

五、本大題共2個小題，每小題10分，共20分.

23.通過實驗研究發(fā)現(xiàn)：初中生在數(shù)學(xué)課上聽課注意力指標(biāo)隨上課時間的變化而變化，上課開始時，學(xué)生興

趣激增，中間一段時間，學(xué)生的興趣保持平穩(wěn)狀態(tài)，隨后開始分散.學(xué)生注意力指標(biāo)》隨時間x（分鐘）

變化的函數(shù)圖象如圖所示，當(dāng)0〈x<10和10Wx<20時，圖象是線段；當(dāng)20WXW45時，圖象是反比例

函數(shù)的一部分.

（1）求點A對應(yīng)的指標(biāo)值；

（2）張老師在一節(jié)課上講解一道數(shù)學(xué)綜合題需要17分鐘，他能否經(jīng)過適當(dāng)安排，使學(xué)生在聽這道綜合

題的講解時，注意力指標(biāo)都不低于36?請說明理由.

【答案】（1）20；（2）能，見解析

【解析】

【分析】（1）先利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式，再將x=45代入，即可得出A對應(yīng)的指標(biāo)值

（2）先用待定系數(shù)法寫出一次函數(shù)的解析式，再根據(jù)注意力指標(biāo)都不低于36得出

590032

-x+20>36（0<x<10）,——236（20<%445）得出自變量的取值范圍二二工425,即可得出結(jié)論

2x5

攵

【詳解】解：（1）令反比例函數(shù)為丫=￡（》>0）,由圖可知點（20,45）在丫=一k的圖象上，

xx