工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)同濟(jì)大學(xué)第六版課后習(xí)題答案

工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)同濟(jì)大學(xué)第六版課后習(xí)題答案目錄contents緒論與基本概念行列式與矩陣向量組的線性相關(guān)性矩陣的特征值與特征向量二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形線性空間與線性變換課后習(xí)題詳解與技巧總結(jié)緒論與基本概念01向量空間研究向量及其線性組合的性質(zhì)，包括向量的加法、數(shù)乘以及向量空間的基和維數(shù)等概念。線性變換研究向量空間之間的線性映射，包括線性變換的矩陣表示、特征值和特征向量等。矩陣?yán)碚撗芯烤仃嚨倪\(yùn)算性質(zhì)，包括矩陣的加法、乘法、轉(zhuǎn)置、逆等，以及矩陣的秩、行列式等概念。線性代數(shù)的研究對(duì)象矩陣的定義由數(shù)值組成的矩形陣列，每個(gè)數(shù)值稱為矩陣的元素。向量的定義具有大小和方向的量，可以表示為有序數(shù)組或矩陣的列向量。矩陣與向量的運(yùn)算包括矩陣與向量的加法、數(shù)乘、點(diǎn)積和叉積等運(yùn)算。矩陣與向量的概念線性方程組的定義由一組線性方程構(gòu)成的方程組，其中每個(gè)方程都是未知數(shù)的線性組合等于常數(shù)。線性方程組的解法包括消元法、克拉默法則和矩陣方法等解法。線性方程組的解的性質(zhì)包括解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性等性質(zhì)。線性方程組及其解的性質(zhì)行列式與矩陣02行列式的定義與性質(zhì)行列式的定義與性質(zhì)010203行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等?；Q行列式的兩行（列），行列式變號(hào)。行列式的性質(zhì)行列式的某一行（列）的所有的元素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式。若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和，例如第i列的元素都是兩數(shù)之和：D1=a11+a12,D2=a21+a22,....,Dn=an1+an2，則D等于下列兩個(gè)行列式之和：D=D1+D2。行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式等于零。行列式的定義與性質(zhì)數(shù)與矩陣相乘數(shù)k與矩陣A相乘，就是將數(shù)k與矩陣A中的每一個(gè)元素相乘，所得的結(jié)果是一個(gè)與原矩陣同型的矩陣。矩陣的加法兩個(gè)矩陣只有當(dāng)其行數(shù)和列數(shù)分別相等時(shí)才能進(jìn)行加法運(yùn)算。矩陣的乘法設(shè)A是一個(gè)m×s矩陣，B是一個(gè)s×n矩陣，則A與B相乘所得的積C是一個(gè)m×n矩陣。方陣的行列式由n階方陣A的元素所構(gòu)成的行列式，稱為方陣A的行列式，記作|A|或detA。矩陣的轉(zhuǎn)置把矩陣A的行和列互換所得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，這一過(guò)程稱為矩陣的轉(zhuǎn)置。矩陣的運(yùn)算及性質(zhì)逆矩陣的定義：對(duì)于n階矩陣A，如果有一個(gè)n階矩陣B，使得AB=BA=I，則說(shuō)矩陣A是可逆的，并把矩陣B稱為A的逆矩陣。初等變換的定義：以下三種變換稱為矩陣的初等行變換對(duì)調(diào)兩行（列）。以數(shù)k≠0乘某一行（列）中的所有元素。把某一行（列）所有元素的k倍加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上去。把定義中的“行”換成“列”，即得矩陣的初等列變換的定義。逆矩陣與初等變換向量組的線性相關(guān)性03向量組的線性組合與線性表示向量組線性組合的定義及性質(zhì)向量組等價(jià)的定義及性質(zhì)向量組線性表示的判定定理向量組的極大線性無(wú)關(guān)組的定義及性質(zhì)01020304向量組的秩的定義及性質(zhì)最大無(wú)關(guān)組的定義及性質(zhì)向量組秩的求法最大無(wú)關(guān)組的求法向量組的秩與最大無(wú)關(guān)組齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解齊次線性方程組的通解的定義及性質(zhì)齊次線性方程組的通解的求法齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的定義及性質(zhì)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的求法矩陣的特征值與特征向量04特征值與特征向量的定義設(shè)A是n階方陣，如果存在數(shù)λ和非零n維列向量x，使得Ax=λx成立，則稱λ是A的一個(gè)特征值，x是A的對(duì)應(yīng)于特征值λ的一個(gè)特征向量。特征多項(xiàng)式的計(jì)算對(duì)于n階方陣A，其特征多項(xiàng)式定義為f(λ)=|λE-A|，其中E是n階單位矩陣。通過(guò)求解特征多項(xiàng)式f(λ)=0的根，可以得到A的所有特征值。特征向量的求解對(duì)于每個(gè)特征值λ，通過(guò)求解齊次線性方程組(λE-A)x=0的非零解，可以得到對(duì)應(yīng)于該特征值的所有特征向量。010203特征值與特征向量的定義及計(jì)算對(duì)角化的方法首先求出A的所有特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量，然后構(gòu)造可逆矩陣P，使得P的列向量為A的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，最后計(jì)算P^(-1)AP即可得到對(duì)角矩陣D。相似矩陣的定義設(shè)A和B都是n階矩陣，如果存在可逆矩陣P，使得P^(-1)AP=B成立，則稱A與B相似。對(duì)角化的定義如果n階矩陣A與對(duì)角矩陣相似，即存在可逆矩陣P和對(duì)角矩陣D，使得P^(-1)AP=D成立，則稱A可對(duì)角化。對(duì)角化的條件n階矩陣A可對(duì)角化的充分必要條件是A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。相似矩陣與對(duì)角化實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)，且不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交。實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)由于實(shí)對(duì)稱矩陣的特征向量正交，因此可以通過(guò)施密特正交化過(guò)程將特征向量正交化，并單位化得到一組正交單位向量組。然后構(gòu)造正交矩陣Q，使得Q的列向量為這組正交單位向量組。最后計(jì)算Q^TAQ即可得到對(duì)角矩陣D。實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形05二次型的定義二次型是一個(gè)二次齊次多項(xiàng)式，其一般形式為$f(x_1,x_2,ldots,x_n)=sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$，其中$a_{ij}$是常數(shù)，且$a_{ij}=a_{ji}$。二次型的標(biāo)準(zhǔn)形通過(guò)坐標(biāo)變換，二次型可以化為只含有平方項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)形$f=k_1y_1^2+k_2y_2^2+ldots+k_ny_n^2$，其中$k_i$是常數(shù)。二次型的規(guī)范形當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形中的系數(shù)$k_i$只取$1,-1,0$時(shí)，稱為二次型的規(guī)范形。二次型的概念及標(biāo)準(zhǔn)形正定二次型的定義順序主子式法特征值法合同變換法正定二次型與正定矩陣的關(guān)系正定矩陣的定義對(duì)于任意非零向量$X$，都有$f(X)>0$，則稱二次型$f$為正定二次型。對(duì)于任意非零向量$X$，都有$X^TAX>0$，則稱矩陣$A$為正定矩陣。其中，$A$是二次型矩陣。正定二次型對(duì)應(yīng)的矩陣是正定矩陣；正定矩陣對(duì)應(yīng)的二次型是正定二次型。對(duì)于$n$階矩陣$A$，若其各階順序主子式均大于零，則$A$為正定矩陣。對(duì)于$n$階矩陣$A$，若其特征值均大于零，則$A$為正定矩陣。對(duì)于二次型$f=X^TAX$，若存在可逆矩陣$C$，使得$C^TAC=E$（單位矩陣），則稱二次型$f$與標(biāo)準(zhǔn)形合同，且系數(shù)全為正數(shù)時(shí)，稱二次型為正定二次型。正定二次型與正定矩陣線性空間與線性變換06線性空間的定義設(shè)$V$是一個(gè)非空集合，$P$是一個(gè)數(shù)域，若存在映射$sigma:PtimesVrightarrowV$，滿足加法結(jié)合律、加法交換律、加法零元、加法負(fù)元、數(shù)乘結(jié)合律、數(shù)乘分配律，則稱$V$是數(shù)域$P$上的線性空間。線性空間具有8條基本性質(zhì)，包括加法封閉性、加法結(jié)合律、加法交換律、加法零元存在、加法負(fù)元存在、數(shù)乘封閉性、數(shù)乘結(jié)合律、數(shù)乘分配律。線性空間的維數(shù)是指線性空間中任意一組線性無(wú)關(guān)的向量所含向量的最大個(gè)數(shù)?；蔷€性空間的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，坐標(biāo)是線性空間中向量關(guān)于基的分解系數(shù)。線性空間的性質(zhì)線性空間的維數(shù)、基與坐標(biāo)線性空間的概念及性質(zhì)線性變換的定義：設(shè)$V_n(F)$和$V_m(F)$分別是數(shù)域$F$上的$n$維和$m$維線性空間，若存在映射$sigma:V_n(F)rightarrowV_m(F)$，對(duì)任意$alpha,betainV_n(F),kinF$，滿足$sigma(alpha+beta)=sigma(alpha)+sigma(beta)$和$sigma(kalpha)=ksigma(alpha)$，則稱$sigma$是$V_n(F)$到$V_m(F)$的線性變換。線性變換的性質(zhì)：線性變換保持向量的線性關(guān)系不變，即若$alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_s$線性相關(guān)，則$sigma(alpha_1),sigma(alpha_2),ldots,sigma(alpha_s)$也線性相關(guān)。線性變換的矩陣表示：設(shè)$sigma$是數(shù)域$F$上$n$維線性空間$V_n(F)$的線性變換，在$V_n(F)$中取定一個(gè)基$alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_n$，則$sigma$可以表示為一個(gè)$mtimesn$矩陣$A=(a_{ij})$，稱為$sigma$在基$alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_n$下的矩陣。線性變換及其矩陣表示不變子空間與若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形不變子空間的概念設(shè)$sigma$是數(shù)域$F$上線性空間$V_n(F)$的線性變換，若存在$V_n(F)$的一個(gè)子空間$W$，使得對(duì)任意$alphainW$，都有$sigma(alpha)inW$，則稱$W$是$sigma$的不變子空間。若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的定義設(shè)矩陣$AinC^{ntimesn}$，若存在可逆矩陣$P$，使得$P^{-1}AP=J$，其中$$J=begin{pmatrix}不變子空間與若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形不變子空間與若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形01J_1&&&02&J_2&&&&ddots&03&&&J_kend{pmatrix}不變子空間與若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形不變子空間與若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形$$每個(gè)$J_i$都是一個(gè)若爾當(dāng)塊，即形如010203$$J_i=begin{pmatrix}lambda_i&1&&不變子空間與若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形&\lambda_i&\ddots&\不變子空間與若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形不變子空間與若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形&&ddots&1&&&lambda_iend{pmatrix}_{n_itimesn_i}不變子空間與若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形010203$$的矩陣，則稱矩陣$A$相似于若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的性質(zhì)：若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形是方陣相似關(guān)系下的標(biāo)準(zhǔn)形，每個(gè)方陣都相似于一個(gè)唯一的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。同時(shí)，若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形具有一些重要的性質(zhì)，如相似矩陣具有相同的特征多項(xiàng)式、相同的行列式因子、相同的初等因子等。課后習(xí)題詳解與技巧總結(jié)07各章節(jié)課后習(xí)題詳解行列式的性質(zhì)與計(jì)算課后習(xí)題1克拉默法則的應(yīng)用課后習(xí)題2課后習(xí)題1矩陣的運(yùn)算與性質(zhì)要點(diǎn)一要點(diǎn)二課后習(xí)題2矩陣的逆與初等變換各章節(jié)課后習(xí)題詳解課后習(xí)題1向量組的線性相關(guān)性課后習(xí)題2線性方程組的解法與應(yīng)用各章節(jié)課后習(xí)題詳解VS特征值與特征向量的計(jì)算課后習(xí)題2相似矩陣與對(duì)角化課后習(xí)題1各章節(jié)課后習(xí)題詳解二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形正定矩陣的性質(zhì)與判定課后習(xí)題1課后習(xí)題2各章節(jié)課后習(xí)題詳解計(jì)算錯(cuò)誤在行列式、矩陣和向量的計(jì)算中，要特別注意符號(hào)和運(yùn)算順序，避免計(jì)算失誤。理解錯(cuò)誤在學(xué)習(xí)線性代數(shù)的過(guò)程中，要準(zhǔn)確理解相關(guān)概念和定理，避