初中數(shù)學(xué)中考壓軸題及答案詳解(甘肅篇)

專題訓(xùn)練1

28.［16分］如圖14(1),拋物線了=/一2%+左與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點

C(0,-3).［圖14(2)、圖14(3)為解答備用圖］

(1)k=，點A的坐標(biāo)為,點8的坐標(biāo)為;

(2)設(shè)拋物線y=/—2x+左的頂點為求四邊形AB/WC的面積；

(3)在x軸下方的拋物線上是否存在一點D,使四邊形ABDC的面積最大？若存在，請求

出點。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

(4)在拋物線y=d—2x+Z上求點Q,使ABCQ是以BC為直角邊的直角三角形.

圖14(1)圖14(2)圖14(3)

參考答案：

解：(1)k=—3,

A(-1,0),

B(3,0).

(2)如圖14(1),拋物線的頂點為M(1,-4),連結(jié)。M.

33

則△AOC的面積=一，△MOC的面積=一，

22

△/WOS的面積=6,圖14(1)

，四邊形A8MC的面積

=/\AOC的面積+Z\MOC的面積+ZXMOB的面積=9.

說明：也可過點M作拋物線的對稱軸，將四邊形A8/WC的面

積轉(zhuǎn)化為求1個梯形與2個直角三角形面積的和.

(3)如圖14(2),設(shè)D(m,m2-2m-3),連結(jié)。。.

則0<m<3,m2-2m-3<0.

33

且△AOC的面積=-,△DOC的面積=-m,

22

3

△。。8的面積=--(—"Im—3),

2

四邊形ABDC的面積=入4。。的面積+ZXDOC的面積+ZXDOB的面積

-'2+5+6

22

31575

存在點。(5，-^)，使四邊形A8DC的面積最大為耳.

(4)有兩種情況：

圖14(3)圖14(4)

如圖14(3),過點B作BQiJ_8C,交拋物線于點Qi、交y軸于點E,連接QiC.

,/zceo=45°,：.ZEBO=45°,B0=0E=3.

點E的坐標(biāo)為(0,3).

...直線BE的解析式為y=-X+3.

y=一x+3,=-2%2=3

由，,解得

y=x2-2x-3.%=5?2=0

...點Qi的坐標(biāo)為(-2,5).

如圖14(4),過點C作CFJ_C8,交拋物線于點Q2、交x軸于點F,連接BQ?.

ZCBO=45°,AZCFfi=45°,OF=OC=3.

...點F的坐標(biāo)為(-3,0).

直線CF的解析式為y=-x-3.

y=-x-3,rx=0x=1

由，解得，12

y=x2-2x-3yi=-3%=-4

，點02的坐標(biāo)為(1，-4).

綜上，在拋物線上存在點Qi(-2,5)、Q2(1,-4),使△8CQi、△BCQ2是以8c為直

角邊的直角三角形.

專題訓(xùn)練2

28.(12分)如圖，拋物線與x軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點，與y軸交于點C(0,

-3),設(shè)拋物線的頂點為D.

(1)求該拋物線的解析式與頂點D的坐標(biāo)；

(2)以B、C、D為頂點的三角形是直角三角形嗎？為什么？

(3)探究坐標(biāo)軸上是否存在點P,使得以P、A、C為頂點的三角形與4BCD相似？若存

在，請指出符合條件的點P的位置，并直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明

理由.

參考答案:

解：(1)設(shè)該拋物線的解析式為y=a/+bx+c,

由拋物線與y軸交于點C(0,一3),可知c=-3.

即拋物線的解析式為y=+bx-3.

a—b-3-0,

把A(—1,0)、B(3,0)代入，得＜

9a+32—3=0.

解得。=1,。=一2.

二拋物線的解析式為y=X2-2X-3.

頂點D的坐標(biāo)為(1,-4).

(2)以B、C、D為頂點的三角形是直角三角形.

理由如下：

過點D分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F.

在RtZiBOC中，0B=3,0C=3,BC2=18.

在RtZ\CDF中，DF=1,CF=0F-0C=4-3=l,:.CD2=2.

在RtZ\BDE中，DE=4,BE=OB-OE=3-1=2,?.BD2=20.

BC2+CD2=BD\故△BCD為直角三角形.

(3)連接AC,可知RtaCOAsRtABCD,得符合條件的點為0(0,0).

過A作AP,±AC交y軸正半軸于P”可知RtZ\CAP|SRtACOA^RtABCD,

求得符合條件的點為

過C作CP2±AC交x軸正半軸于P2,可知Rt^P￡AsRtACOA^RtABCD,

求得符合條件的點為B(9,0).

.?.符合條件的點有三個：0(0,0),,?■,(9,0).

專題訓(xùn)練3

26.（10分）在梯形加%中，CB//OA,ZAOC=GO°,Nfl46=90°,OC=2,8c=4,以點。

為原點，曲所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，另有一邊長為2的等邊△龍E

龍在x軸上（如圖（1））,如果讓△妙'以每秒1個單位的速度向左作勻速直線運動，

開始時點〃與點4重合，當(dāng)點〃到達(dá)坐標(biāo)原點時運動停止.

（1）設(shè)△兩運動時間為t,△龐尸與梯形如況■重疊部分的面積為S,求S關(guān)于力的函數(shù)關(guān)

系式.

（2）探究：在△叱運動過程中，如果射線"1交經(jīng)過。、a6三點的拋物線于點G,是否

存在這樣的時刻t,使得△O1G的面積與梯形為比1的面積相等？若存在，求出t的值；

若不存在，請說明理由.

參考答案：

解：（1）ZkOE尸是邊長為2的等邊三角形，在梯形0LBC中,

OC=2,BC=4,NOM=60°,軸

:.OA=5,AB^y/3

依題意：①當(dāng)0<rWl時，S=立產(chǎn)

2

②當(dāng)l<r<2時，—x22--(2-r)2=-—(2-r)2+>^

422

③當(dāng)2WtW5時S=G.

(2)由己知點0(0,0),B(5,JJ);設(shè)過點0、C、8的拋物線的解析式為

y-ax1+bx.

,一6

\yf3=a+b,亍

則4廣解得42

△=25a+5b,,6V3

ib=.

5

???該拋物線的解析式為：y=—孝/+竽x.

若存在點G，使得SADCA=S梯形0A8C:此時，設(shè)點G的坐標(biāo)為(X,-自/+苧X).

?.?射線OE與拋物線的交點在x軸上方.

—x5x(--%2+^—^-x)=—x(5+4)xV3.

2552

化簡得￡一61+9=0,解得X=3.

則此時點G(3,5G),作GHJ_x軸于“，則?！?6”.8160。=*昌弓=￡

91Q

.?.此時，=2+—=一(秒)

55

19

故：存在時刻/=上(秒)時，△QIG與梯形Q4BC的面積相等.

5

專題訓(xùn)練4

28.已知，在RtZ\OAB中，Z0AB=90°,ZB0A=30°,AB=2.若以0為坐標(biāo)原點，0A所在

直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，點B在第一象限內(nèi).將RtaOAB沿0B折疊

后，點A落在第一象限內(nèi)的點C處.

(1)求點C的坐標(biāo)；

(2)若拋物線丫=2*2+6*@H0)經(jīng)過(；、A兩點，求此拋物線的解析式；

(3)若上述拋物線的對稱軸與0B交于點D,點P為線段DB上一動點，過P作y軸的平行

線，交拋物線于點M,問：是否存在這樣的點P,使得四邊形CDPM為等腰梯形？若存在，

請求出此時點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

參考答案:

解：(1)過C作CHL0A于H,

?.?在RtZsOAB中，Z0AB=90",ZB0A=30°,AB=2,；.0A=2百。

?.?將RtAOAB沿0B折疊后，點A落在第一象限內(nèi)的點C處，

；.0C=0A=2后，ZA0C=60°。c

.?.0H=6，CH=30.//

；.C的坐標(biāo)是(石，3)。

(2)；拋物線y=ax2+bx(a/0)經(jīng)過C(6，3)、A(26,0)兩點,

3=3a+gb

「，解得-L。；?此拋物線的解析式為y=-x2+2^X

0=12a+275bb=2V3

(3)存在。

y=-x?+26x的頂點坐標(biāo)為(6,3),即為點C。

MP，x軸，設(shè)垂足為N,PN=t,

,.,ZB0A=30°,所以O(shè)N=J^t

.'.P(V3t,t)

作PQ_LCD,垂足為Q,ME±CD,垂足為E。

把x=Gt代入y=-x2+2\/§x得：y=-3t?+6t。

M(6t,-3t2+6t),E(G，-3t2+6t

同理：Q(73,t),D(百，1)?

要使四邊形CDPM為等腰梯形，只需CE=QD,

即3—(―3t?+6t)=t—1,解得：t)=-^>t2=1(舍去)。

4

P點坐標(biāo)為(-5/r3-,-4)?

33

???存在滿足條件的點P,使得四邊形CDPM為等腰梯形,此時P點的坐為(-V3,

3

專題訓(xùn)練5

28.(12分)如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=x'(2k-1)x+k+1的圖象與x軸相

交于0、A兩點.

(1)求這個二次函數(shù)的解析式；

(2)在這條拋物線的對稱軸右邊的圖象上有一點B,使aAOB的面積等于6,求點B的坐標(biāo)；

(3)對于(2)中的點B,在此拋物線上是否存在點P,使NP0B=90°?若存在，求出點P

的坐標(biāo)，并求出△POB的面積；若不存在，請說明理由.

.,.0=k+l,

/.k=-1,

y=xJ-3x,

②假設(shè)存在點B,過點B做BD±x軸于點D,

.「△AOB的面積等于6,

2

當(dāng)0=x2-3x,

x(x-3)=0,

解得：x=0或3,

AA0=3,

???BD=4

即4=x2-3x,

解得：x=4或x=T(舍去).

又???頂點坐標(biāo)為：(1.5,-2.25).

V2.25<4,

???x軸下方不存在B點，

，點B的坐標(biāo)為：(4,4)；

③丁點B的坐標(biāo)為：(4,4),

/.ZB0D=45°,B0=C互”二4班,

當(dāng)NP0B=90。,

AZP0D=45°,

設(shè)P點橫坐標(biāo)為：-x,則縱坐標(biāo)為：X2-3X,

即-x=x2-3x,

解得x=2或x=0,

，在拋物線上僅存在一點P(2,-2).

OP=J22+22二2

使NP0B=90°,

.?.△POB的面積為：1PO?B()=lX45/2X2V2-8.

專題訓(xùn)練6

28.(12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點為M的拋物線是由拋物線y=xZ-3向右

平移一個單位后得到的，它與y軸負(fù)半軸交于點A,點B在該拋物線上，且橫坐標(biāo)為3.

(1)求點M、A、B坐標(biāo)；

(2)聯(lián)結(jié)AB、AM、BM,求NABM的正切值；

(3)點P是頂點為M的拋物線上一點,且位于對稱軸的右側(cè)，設(shè)P0與x正半軸的夾角為a,

時，求P點坐標(biāo).

參考答案：

解：(1)拋物線y=x2-3向右平移一個單位后得到的函數(shù)解析式為y=(x-1)2-3,

頂點M(l,-3),

令x=0,則尸(0-1)--3=-2,

點A(0,-2),

x=3時，y=(3-1)2-3=4-3=1,

點B(3,1)；

(2)過點B作BE1A0于E,過點M作MF1A0于M,

VEB=EA=3,

.\ZEAB=ZEBA=45°,

同理可求NFAM=NFMA=45°,

...△ABEsaAMF,

:AM-AF=2,

"ABAE3'

又?.?NBAM=180°-45°X2=90°,

，tanNABM&J；

AB3

(3)過點P作PH_Lx軸于H,

y-(x-1)J-3=x2-2x-2,

設(shè)點P(x,X2-2X-2),

2

①點P在x軸的上方時，x~2x~2^l,

X3

整理得,3X2-7X-6=0,

解得XI=-2（舍去），X2=3,

3

.??點P的坐標(biāo)為（3,1）；

②點P在x軸下方時，,一

x3

整理得，3x2-5x-6=0,

解得XL5-,亙（舍去）,X2=￥匹,

_66_

x=±^時，xa-2x-2=-

63618

點P的坐標(biāo)為（兔31-邑場），

618__

綜上所述，點P的坐標(biāo)為（3,1）或（生叵I-四寵）.

618

專題訓(xùn)練7

28.(10分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點A(0,4),B(1,0),C(5,0),

其對稱軸與.X軸交于點M.

(1)求此拋物線的解析式和對稱軸：

(2)在此拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使APAB的周長最小？若存在，請求出點P的坐

標(biāo)；若不存在，請說明理由；

(3)連接AC,在直線AC下方的拋物線上，是否存在一點N,使△NAC的面積最大？若存在,

請求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

解：(1)根據(jù)已知條件可設(shè)拋物線的解析式為y=a(*-D(X—5),

4

a=-

把點A(0,4)代入上式，解得5,

4<、4?>24,4216

y=-U-l)U-5)=-x—x+4=-(x-3)---

：.拋物線的對稱軸是工=3；

8

(2)存在；P點坐標(biāo)為(3,5).

如圖，連接AC交對稱軸于點P,連接BP,AB,

?二點B與點C關(guān)于對稱軸對稱，，PB=PC,

AB+AP+PB=AB+AP+PC=AB+AC,

，此時4PAB的周長最小.

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,

把A(0,4),C(5,0)代入戶"+",

方=4^=~~5

得［5k+h=O解得,=4,

4,

y=%+4

??.5,

4-，8

y=--x3+4=-

:點P的橫坐標(biāo)為3,55,

8

/.P(3,5).

(3)在直線AC下方的拋物線上存在點N,使ANAC面積最大.

如圖，設(shè)N點的橫坐標(biāo)為3

47

,4.224yI

(9-t-------，+4yl14

此時點N(55)(0V，＜5),7分4k-—；D!

!!

過點N作v軸的平行線，分別交X軸、AC于點Nck!

F、G,過點A作AD1NG,垂足為D,

y=

由（2）可知直線AC的解析式為

4、乙

y=%+4y=—“+4

把％=才代入5得f

4，

——1+4

_3+4——4)=-%+4,

此時，NG=5555

AD+CF=OC=5,

I11

...SANAC=SAANG+SACGN=2NG.AD+2NG.CF=2NG.OC

-x(--r2+4/)x5=-2z2+10/--2(r--)2+—

二2522

_525

當(dāng)2時，^NAC面積的最大值為2,

5424“-

y=-t2-------，+4=—3

由2,得55

5

N(2,-3)

專題訓(xùn)練8

28.(12分)如圖，已知拋物線y=-x、bx+c經(jīng)過A(3,0),B(0,3)兩點.

(1)求此拋物線的解析式和直線AB的解析式；

(2)如圖①，動點E從0點出發(fā)，沿著0A方向以1個單位/秒的速度向終點A勻速運動，

同時，動點F從A點出發(fā)，沿著AB方向以加個單位/秒的速度向終點B勻速運動，當(dāng)E,F

中任意一點到達(dá)終點時另一點也隨之停止運動，連接EF,設(shè)運動時間為t秒，當(dāng)t為何值

時，4AEF為直角三角形？

(3)如圖②，取一根橡皮筋，兩端點分別固定在A,B處，用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖P

在直線AB上方的拋物線上移動，動點P與A,B兩點構(gòu)成無數(shù)個三角形，在這些三角形中是

否存在一個面積最大的三角形？如果存在，求出最大面積，并指出此時點P的坐標(biāo)；如果不

解：(1)拋物線y=-x?+bx+c經(jīng)過A(3,0),B(0,3)兩點,

.1-9+3b+c=0

[c=3

.fb=2

"\c=3

y=-X2+2X+3,

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+n,

.f3k+n=0

In=3

.fk=-1

"\n=3'

；.y=-x+3；_

(2)由運動得，0E=t,AF=Mt,.\AE=0A-OE=3-t,

???△AEF為直角三角形，

.,.①△A0BS/\AEF,

.AF_AE

"AB=OA'

.V2t3-t

,?麗F，

，t=a,

2

②△AOBS/XAFE,

.OAAB

"AF^AE'

.3一用

,?-7=----ZZ--------------

V2t3-t

，t=l；

(3)如圖，存在,

過點P作PC〃AB交y軸于C,

?..直線AB解析式為y=-x+3,

設(shè)直線PC解析式為y=-x+b,

聯(lián)立」y=-x+b，

y=-X2+2X+3

-x+b=-x2+2x+3,

?,.x2-3x+b-3=0

.,.△=9-4(b-3)=0

；.b且，

4

;欣=罵-3=旦，x=2

442

.\P(2,1^.).

24

過點B作BDLPC,

...直線BD解析式為y=x+3,

，揚1)=2

.?即=

8

：AB=3圾

S&A=-^ABXBD=i-X3A/2X

2288

即：存在面積最大，最大是2工，此時點P(0,匹).

824

專題訓(xùn)練9

28.如圖，已知二.次函數(shù)y=or2+2x+c.的圖象經(jīng)過點C(0,3),與x軸分別交于點A,點

8(3,0).點P是直線8C上方的拋物線上一動點.

(1)求二次函數(shù)^=辦？+2無+c的表達(dá)式;

(2)連接尸。，PC,.并把APOC沿y軸翻折，得到四邊形POP'C.若四邊形POPC為

菱形，請求出此時點P的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)點P運動到什么位置時，四邊形ACP3的面積最大？求出此時P點的坐標(biāo)和四邊

形ACPB的最大面積.

參考答案：

解：(1)將點8和點「的坐標(biāo)代入y=o?+2x+c,

|c=3

得《，解得a=—1,c=3.

9a+6+c=0

???該二次函數(shù)的表達(dá)式為y=+2無+3.

解得百=2+亞,x『2一,（不合題意，舍去）,

???點〃的坐標(biāo)為（芳.

（3）過點〃作y軸的平行線與8C交于點Q,與如交于點F,

設(shè)/，（〃/,-nr+2m+3）,設(shè)直線的表達(dá)式為y=Ax+3,

則3左+3=0,解得k=-\.

直線a1的表達(dá)式為y=-x+3.

/.0點的坐標(biāo)為（/，一加+3），

QP——nr+3m.

當(dāng)-X2+2X+3=0,

解得％=-1,工2=3，

/.力31,A&4,

S四邊形A8PC二S4MdS^BPQ

二gA8?0C+；QP-0F+gQPFB

11

一一x4x3+—（一療7+3727）x3

22

3

當(dāng)加=±時，四邊形力3%的面積最大.

2

此時P點的坐標(biāo)為（之”），四邊形/厲比的面積的最大值為9.

248

專題練習(xí)9

28.(12分)如圖，拋物線尸af+8廣4交x軸于/(-3,0),B(4,0)兩點，與y軸交

于點C,連接力G比：點。是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，點。的橫坐標(biāo)為加

(1)求此拋物線的表達(dá)式；

(2)過點/作軸，垂足為點M交比1于點Q.試探究點尸在運動過程中，是否

存在這樣的點0,使得以4G。為頂點的三角形是等腰三角形.若存在，請求出此時點

。的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；

(3)過點。作PNLBC,垂足為點N.請用含力的代數(shù)式表示線段AV的長，并求出當(dāng)//;

為何值時RV有最大值，最大值是多少？

參考答案：

解：(1)由二次函數(shù)交點式表達(dá)式得：尸a(x+3)(x-4)—a{x-x-12),

即：-12a=4,解得：a--—,

3

則拋物線的表達(dá)式為y=-±A±^4；

33

(2)存在，理由：

點/、B、C的坐標(biāo)分別為(-3,0)、(4,0)、(0,4),

則力。=5,AB=1,BC=A近,ZOAB=ZOBA=A5°,

將點氏C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：.14戶8并解得：y=-x+4…①，

同理可得直線然的表達(dá)式為：y=^"4,

3

設(shè)直線4C的中點為一g，4),過點"與。垂直直線的表達(dá)式中的“值為-3,

24

同理可得過點材與直線垂直直線的表達(dá)式為：y=-W廣工…②，

48

①當(dāng)時，如圖1,

則4C=40=5,

設(shè)：QM=MB=n,則4快=7-n,

由勾股定理得：（7-加2+-=25,解得：〃=3或4（舍去4）,

故點Q（1,3）；

②當(dāng)然=。時，如圖1,

8=5,則BQ=BC-CQ=4yf2-5,

則QQ明=至運，

2_

故點Q（月返，生王返）；

22

③當(dāng)8=第時，

聯(lián)立①②并解得：、=空（舍去）；

2

故點。的坐標(biāo)為：。（1,3）或（芻返，空返）；

22

（3）設(shè)點—（/?,-L/+L?+4）,則點0（如-研4）,

33

?：OB=OC,：./ABC=/0C44B=4PQN,

PgPQs,inZPQN=+L汁4+m-4）--返心兔麻

_23366

；一返VO,有最大值，

6_

當(dāng)加=工時，/W的最大值為：”返.

224

專題練習(xí)10

28.(10分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=af+6x-2交x軸于4,8兩點,

交y軸于點。，且宏=2"-8四.點尸是第三象限內(nèi)拋物線上的一動點.

(1)求此拋物線的表達(dá)式：

(2)若PC〃AB,求點。的坐標(biāo)；

(3)連接力C,求△為C面積的最大值及此時點尸的坐標(biāo).

參考答案：

解：(1)拋物線2,則c=一2,故OC=2,

而OA=2OC=8OB,則04=4,如="1,

2

故點/、B、C的坐標(biāo)分別為(-4,0)、(1,0)、(0,-2)；

2

則y=a(x+4)(*—』■)=a(x+—x—-2)=ax^bx—2,故a=l,

22

故拋物線的表達(dá)式為：y=V+工x—2；

2

(2)拋物線的對稱軸為x=一工，

4

當(dāng)自7〃46時，點只C的縱坐標(biāo)相同,根據(jù)函數(shù)的對稱性得點。(一工，-2)；

2

(3)過點。作PH〃y輛交4c于點H,

設(shè)夕(x,x+—V—2),

2

1

由點4、C的坐標(biāo)得，直線力C的表達(dá)式為：y=-Xx-2,

2

則△必C的面積S=宓小+8瞰=-1/WX?4=_lx4X（一▲X-2—V—1產(chǎn)2）=-2（/2）

2222

V-2<0,

???S有最大值，當(dāng)了=一2時，S的最大值為8,此時點尸（一2,-5）.

專題練習(xí)11

28.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=+云+c與坐標(biāo)軸交于A((),—2),3(4,0)

兩點，直線BC:y=-2x+8交y軸于點。.點。為直線AB下方拋物線上一動點，過點。

作x軸的垂線，垂足為G,DG分別交直線BC,AB于點E,F.

(2)當(dāng)GF=,，連接80,求的面積；

2

(3)①”是V軸上一點，當(dāng)四邊形是矩形時，求點”的坐標(biāo)；

②在①的條件下，第一象限有一動點P,滿足P〃=PC+2,求周長的最小值.

參考答案：

解：(1)?.?拋物線)+法+C過A(0,一2),5(4,0)兩點，

c=-2

-8+4/?+c=0

3

b=—

解得，］2,

c--1

(2)3(4,0),

.?.03=4.

同理，OA=2.

乂?.?GE_Lx軸，無軸,

1

nAGF

.?.在RtABOA和RtABGF中，tanZABO------即2_2

OB

:.OG=OB-GB=4-1=3.

1,3、

當(dāng)x=3時，