四川省雅安市名山中學2023-2024學年高一上學期12月月考數(shù)學試題

四川省名山中學高2023級12月月考數(shù)學試題考試時間：120分鐘試卷總分：150分一、單項選擇題（每小題5分，共40分，每題只有一個選項符合題意）1.已知全集是自然數(shù)集，集合，.則圖中陰影部分表示集合為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圖以及集合補集和交集的知識求得正確答案.【詳解】由圖可知，陰影部分表示的集合為,所以圖中陰影部分表示的集合為.故選：C2.函數(shù)的定義域是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域要求求解定義域即可.【詳解】函數(shù)定義域需滿足，解得且，即，故選：C3.己知，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】B【解析】【分析】由不等式性質(zhì)可判斷選項A，B，C；取特殊值可判斷選項D.【詳解】對于選項A：當時，若，由不等式性質(zhì)可知，故選項A錯誤；對于選項B：由不等式性質(zhì)可知若，則成立，故選項B正確；對于選項C：當時，若，由不等式性質(zhì)可知，故選項C錯誤；對于選項D：當時，，故選項D錯誤.故選：B4.若函數(shù)在存在零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.∪【答案】D【解析】【分析】根據(jù)零點存在性定理結(jié)合題意求解即可.【詳解】當時，，不存在零點；當時，是一次函數(shù)，必然單調(diào)，故只需即可，即，解得或，即的取值范圍是∪，故選：D5.已知，且滿足，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)易得，再結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷各項正誤即可.【詳解】由題設，故A、B中對數(shù)式無意義，且，所以，C對，D錯.故選：C6.若，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)不等式之間的關系，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷即可得到結(jié)論.【詳解】當，，且時，，當且僅當時等號成立，所以，充分性成立；，，滿足，且，此時，必要性不成立.則“”是“”的充分不必要條件.故選：A7.教室通風的目的是通過空氣的流動，排出室內(nèi)的污濁空氣和致病微生物，降低室內(nèi)二氧化碳和致病微生物的濃度，送進室外的新鮮空氣．按照國家標準，教室內(nèi)空氣中二氧化碳日平均最高容許濃度應小于等于．經(jīng)測定，剛下課時，空氣中含有的二氧化碳，若開窗通風后教室內(nèi)二氧化碳的濃度為，且隨時間（單位：分鐘）的變化規(guī)律可以用函數(shù)描述，則該教室內(nèi)的二氧化碳濃度達到國家標準至少需要的時間為（參考數(shù)據(jù)：）（）A.10分鐘 B.14分鐘C.15分鐘 D.20分鐘【答案】B【解析】【分析】由時，，代入求得，再由求解.【詳解】解：由題意得：當時，，即，解得，所以，由題意得，即，兩邊取對數(shù)得，所以，所以該教室內(nèi)的二氧化碳濃度達到國家標準至少需要的時間為14分鐘，故選：B8.若實數(shù)滿足，則的值為（）A.2 B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】由同角三角函數(shù)的關系，化簡求值.【詳解】由，則，又，得．故選：A．二、多項選擇題（每小題5分，共20分.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分）9.已知角的終邊經(jīng)過點，則（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求得，結(jié)合誘導公式確定正確答案.【詳解】角的終邊經(jīng)過點，，，，，，，故AB正確、CD錯誤，故選：AB10.我國著名數(shù)學家化羅庚先生曾說：數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.在數(shù)學的學習和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)的圖象特征，如函數(shù)（）的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域單調(diào)性與奇偶性判斷即可得結(jié)論.【詳解】函數(shù)（）的定義域為，對于任意的，，因此該函數(shù)為偶函數(shù)，故只需討論時，函數(shù)圖像的變化趨勢．若，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在時，函數(shù)取得最小值，圖像為D；若，在在區(qū)間上單調(diào)遞增，圖像為C．故選：CD.11.已知定義在上函數(shù)是奇函數(shù)，且時，則下列敘述正確的是（）A.當時B.C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.函數(shù)在區(qū)間上的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】利用奇函數(shù)的定義和性質(zhì)即可判斷選項AB，根據(jù)判斷函數(shù)單調(diào)性的定義法即可判斷選項C，結(jié)合基本不等式即可判斷選項D.【詳解】由題知，是奇函數(shù)，令，則，所以，故此時，A錯；因為是上的奇函數(shù)，所以，B正確；由上述可知時，，，則，因為，所以，，，所以，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，C正確；當時，，當且僅當，即時取等，D正確.故選：BCD12.已知定義在上的函數(shù)的圖象連續(xù)不斷，若存在常數(shù)，使得對于任意的實數(shù)恒成立，則稱是回旋函數(shù).給出下列四個命題，正確的命題是（）A.函數(shù)（其中為常數(shù)，）為回旋函數(shù)的充要條件是B.函數(shù)不是回旋函數(shù)C.若函數(shù)為回旋函數(shù)，則D.函數(shù)是的回旋函數(shù)，則在上至少有1011個零點【答案】ABD【解析】【分析】由回旋函數(shù)的定義，結(jié)合充要條件的判定判斷A；假設是回旋函數(shù)，由此可推出矛盾，說明假設錯誤，判斷B；根據(jù)回旋函數(shù)的定義判讀C；對于D，由成立，令，可推出與異號，或，繼而依此類推推出在上零點情況，判斷D.【詳解】函數(shù)（其中為常數(shù)，）是定義在上的連續(xù)函數(shù)，且，當時，對于任意的實數(shù)恒成立，若對任意實數(shù)恒成立，則，解得：，故函數(shù)（其中為常數(shù)，）為回旋函數(shù)的充要條件是，故A正確；若函數(shù)是回旋函數(shù)，則，對任意實數(shù)都成立，令，則必有0，令，則，顯然不是方程的解，故假設不成立，該函數(shù)不是回旋函數(shù)，故B正確；在上為連續(xù)函數(shù)，且，要想函數(shù)為回旋函數(shù)，則有解，則，故C錯誤；由題意得：，令得：，所以與異號，或，當時，由零點存在性定理得：在上至少存在一個零點，同理可得：在區(qū)間，上均至少有一個零點，所以在上至少有1011個零點，當時，有，此時在上有1012個零點，綜上所以在上至少有1011個零點，故D正確.故選：ABD.【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是充分理解“回旋函數(shù)”的定義，將問題轉(zhuǎn)化為方程有解問題，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)分析即可.三、填空題（每小題5分，共20分）13.若扇形的半徑為2，弧長為3，則扇形的面積為______________.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)扇形的面積公式直接運算求解.【詳解】由題意可得：扇形的面積為.故答案為：3.14.已知函數(shù)，則單調(diào)遞增區(qū)間為____________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合復合函數(shù)的單調(diào)性法則即可求解.【詳解】由于在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，而函數(shù)為上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，故答案為：15.已知，則__________．【答案】【解析】【分析】判斷角所在象限，根據(jù)同角的三角函數(shù)關系解得的值，根據(jù)角的象限，即可確定的值，可得答案.【詳解】由可知在第一象限或第三象限，由可得，結(jié)合，解得，在第一象限時，，此時，在第三象限時，，此時，故答案為：16.已知函數(shù)的定義域為，滿足，且當時，，若對任意，都有，則的最大值是________.【答案】【解析】【分析】作出函數(shù)圖象，解方程，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍，即可得解.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，滿足，當時，，當時，，則，當時，，則，當時，，則，因為對任意，都有，當時，令，解得或，如下圖所示：由圖可知，，故實數(shù)最大值為.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題考查利用函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)，解題的關鍵就是求出函數(shù)的解析式，由此作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想求解.四、解答題（本題共6個小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.設集合，．（1）若時，求；（2）若，求m的取值范圍．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)求出集合即可求出；（2）根據(jù)得到，列出不等式組即可.【小問1詳解】，，；【小問2詳解】，，①當是空集時，，解得，②當不是空集時，則，，綜上所述：或.18.計算：（1）；（2）已知，則的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)分數(shù)指數(shù)冪以及對數(shù)恒等式和換底公式進行化簡，即可得答案；（2）利用誘導公式以及同角的三角函數(shù)關系化簡，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值，即得答案.【小問1詳解】；【小問2詳解】，故.19.已知函數(shù).（1）當時，求該函數(shù)的值域；（2）若對于恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，可得，利用換元法可轉(zhuǎn)化為求的值域，利用二次函數(shù)性質(zhì)可得其值域為；（2）將原不等式轉(zhuǎn)化成對于恒成立，利用對勾函數(shù)單調(diào)性即可得.【小問1詳解】由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，當時，，令，即可得，由二次函數(shù)性質(zhì)可知當時，，當時，；因此可得當時，該函數(shù)的值域為.【小問2詳解】當時，可得，原不等式可化為對于恒成立，即可得對于恒成立，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，因此只需即可，得；即的取值范圍是.20.已知關于，的方程組其中.（1）當時，求該方程組的解；（2）證明：無論為何值，該方程組總有兩組不同的解；（3）記該方程組的兩組不同的解分別為和，判斷是否為定值.若為定值，請求出該值；若不是定值，請說明理由.【答案】（1）和（2）證明見解析（3）定值，定值為4【解析】【分析】（1）消去求出所對應的一元二次方程的解，從而求出方程組的解；（2）消去，判斷所對應的一元二次方程的解的情況，即可判斷；（3）利用韋達定理得到，，即可求出、，從而得解.【小問1詳解】當時，消去得，解得，，因此，方程組的解為和.【小問2詳解】消去整理得，顯然，且，因此，該方程有兩個不同的解，該方程組也對應有兩組不同的解.【小問3詳解】由韋達定理得，，所以，，所以，因此，是定值，且定值為4.21.已知函數(shù)（其中），且.（1）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；（2）解不等式：.【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用已知條件求出，根據(jù)定義法求解單調(diào)性即可；（2）根據(jù)題意研究函數(shù)奇偶性，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化不等式，再結(jié)合單調(diào)性解不等式即可.【小問1詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明如下：因為，所以，所以，任取，且，則，因為，且，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增；【小問2詳解】定義域關于原點對稱，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以不等式，即，又因為在上單調(diào)遞增，，，所以，即，則，則，所以或，即不等式的解集為.22.已知函數(shù)，.（1）證明