求數(shù)列通項(xiàng)公式的十種方法ti

求數(shù)列通項(xiàng)公式的十一種方法（方法全，例子全，歸納細(xì)）總述：一．利用遞推關(guān)系式求數(shù)列通項(xiàng)的11種方法：累加法、累乘法、待定系數(shù)法、階差法（逐差法）、迭代法、對(duì)數(shù)變換法、倒數(shù)變換法、換元法（目的是去遞推關(guān)系式中出現(xiàn)的根號(hào)）、數(shù)學(xué)歸納法、不動(dòng)點(diǎn)法（遞推式是一個(gè)數(shù)列通項(xiàng)的分式表達(dá)式）、特征根法二。四種基本數(shù)列：等差數(shù)列、等比數(shù)列、等和數(shù)列、等積數(shù)列及其廣義形式。等差數(shù)列、等比數(shù)列的求通項(xiàng)公式的方法是：累加和累乘，這二種方法是求數(shù)列通項(xiàng)公式的最基本方法。三．求數(shù)列通項(xiàng)的方法的基本思路是：把所求數(shù)列通過變形，代換轉(zhuǎn)化為等級(jí)差數(shù)列或等比數(shù)列。四．求數(shù)列通項(xiàng)的基本方法是：累加法和累乘法。五．?dāng)?shù)列的本質(zhì)是一個(gè)函數(shù)，其定義域是自然數(shù)集的一個(gè)函數(shù)。一、累加法1．適用于：----------這是廣義的等差數(shù)列累加法是最基本的二個(gè)方法之一。2．若，則兩邊分別相加得例1已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。例2已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。練習(xí)1.已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，且寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式.知數(shù)列滿足，，求此數(shù)列的通項(xiàng)公式.評(píng)注：已知,，其中f(n)可以是關(guān)于n的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)，求通項(xiàng).=1\*GB3①若f(n)是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和;=2\*GB3②若f(n)是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和;=3\*GB3③若f(n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和;=4\*GB3④若f(n)是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和。例3.已知數(shù)列中,且,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.二、累乘法1.適用于：----------這是廣義的等比數(shù)列累乘法是最基本的二個(gè)方法之二。2．若，則兩邊分別相乘得，例4已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。例5.設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且（=1，2，3，…），則它的通項(xiàng)公式是=________.評(píng)注：本題是關(guān)于和的二次齊次式，可以通過因式分解（一般情況時(shí)用求根公式）得到與的更為明顯的關(guān)系式，從而求出.練習(xí).已知,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把原來的遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為若令,則問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為形式，進(jìn)而應(yīng)用累乘法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.三、待定系數(shù)法適用于基本思路是轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，而數(shù)列的本質(zhì)是一個(gè)函數(shù)，其定義域是自然數(shù)集的一個(gè)函數(shù)。1．形如,其中)型（1）若c=1時(shí)，數(shù)列{}為等差數(shù)列;（2）若d=0時(shí)，數(shù)列{}為等比數(shù)列;（3）若時(shí)，數(shù)列{}為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過待定系數(shù)法構(gòu)造輔助數(shù)列來求.待定系數(shù)法：設(shè),得,與題設(shè)比較系數(shù)得,所以所以有：因此數(shù)列構(gòu)成以為首項(xiàng)，以c為公比的等比數(shù)列，所以即：.規(guī)律：將遞推關(guān)系化為,構(gòu)造成公比為c的等比數(shù)列從而求得通項(xiàng)公式逐項(xiàng)相減法（階差法）：有時(shí)我們從遞推關(guān)系中把n換成n-1有,兩式相減有從而化為公比為c的等比數(shù)列,進(jìn)而求得通項(xiàng)公式.,再利用類型(1)即可求得通項(xiàng)公式.我們看到此方法比較復(fù)雜.例6已知數(shù)列中，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。練習(xí)．已知數(shù)列中，求通項(xiàng)。2．形如：(其中q是常數(shù)，且n0,1)=1\*GB3①若p=1時(shí)，即：，累加即可.=2\*GB3②若時(shí)，即：，求通項(xiàng)方法有以下三種方向：=1\*romani.兩邊同除以.目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列即：,令，則,然后類型1，累加求通項(xiàng).=2\*romanii.兩邊同除以.目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列。即：,令,則可化為.然后轉(zhuǎn)化為類型5來解，=3\*romaniii.待定系數(shù)法：目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列設(shè).通過比較系數(shù)，求出，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項(xiàng).注意：應(yīng)用待定系數(shù)法時(shí)，要求pq，否則待定系數(shù)法會(huì)失效。例7已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。練習(xí).（2003天津理）設(shè)為常數(shù)，且．證明對(duì)任意≥1，；3．形如(其中k,b是常數(shù)，且)方法1：逐項(xiàng)相減法（階差法）方法2：待定系數(shù)法通過湊配可轉(zhuǎn)化為;解題基本步驟：1、確定=kn+b2、設(shè)等比數(shù)列，公比為p3、列出關(guān)系式,即4、比較系數(shù)求x,y5、解得數(shù)列的通項(xiàng)公式6、解得數(shù)列的通項(xiàng)公式例8在數(shù)列中，求通項(xiàng).（逐項(xiàng)相減法）例9.在數(shù)列中，,求通項(xiàng).（待定系數(shù)法）4．形如(其中a,b,c是常數(shù)，且)基本思路是轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，而數(shù)列的本質(zhì)是一個(gè)函數(shù)，其定義域是自然數(shù)集的一個(gè)函數(shù)。例10已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。5.形如時(shí)將作為求解分析：原遞推式可化為的形式，比較系數(shù)可求得，數(shù)列為等比數(shù)列。例11已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。練習(xí).數(shù)列中，若,且滿足,求.四、迭代法(其中p,r為常數(shù))型例12已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。例13.（2005江西卷）已知數(shù)列，（1）證明（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.方法2：本題用歸納-猜想-證明，也很簡(jiǎn)捷，請(qǐng)?jiān)囈辉?解法3：設(shè)c，則c,轉(zhuǎn)化為上面類型（1）來解五、對(duì)數(shù)變換法適用于(其中p,r為常數(shù))型p>0，例14.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足，（n≥2）.求數(shù)列的通項(xiàng)公式.練習(xí)數(shù)列中，，（n≥2），求數(shù)列的通項(xiàng)公式.例15已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。六、倒數(shù)變換法適用于分式關(guān)系的遞推公式，分子只有一項(xiàng)例16已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。七、換元法適用于含根式的遞推關(guān)系例17已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。八、數(shù)學(xué)歸納法通過首項(xiàng)和遞推關(guān)系式求出數(shù)列的前n項(xiàng)，猜出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。例18已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。九、階差法（逐項(xiàng)相減法）1、遞推公式中既有，又有分析：把已知關(guān)系通過轉(zhuǎn)化為數(shù)列或的遞推關(guān)系，然后采用相應(yīng)的方法求解。例19已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且前n項(xiàng)和滿足，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。練習(xí)。已知數(shù)列中,且,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.2、對(duì)無窮遞推數(shù)列例20已知數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)公式。十、不動(dòng)點(diǎn)法目的是將遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比（差）數(shù)列的方法不動(dòng)點(diǎn)的定義：函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在，使成立，則稱為的不動(dòng)點(diǎn)或稱為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)。分析：由求出不動(dòng)點(diǎn)，在遞推公式兩邊同時(shí)減去，在變形求解。類型一：形如例21已知數(shù)列中，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。類型二：形如例22.設(shè)數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.例23已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。練習(xí)1：已知滿足，求的通項(xiàng)練習(xí)2。已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)練習(xí)3.（2009陜西卷文）已知數(shù)列滿足，.令，證明：是等比數(shù)列；(Ⅱ)求的通項(xiàng)公式。十一。特征方程法形如是常數(shù)）的數(shù)列形如是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求得通項(xiàng)，其特征方程為…①若①有二異根，則可令是待定常數(shù)）若①有二重根，則可令是待定常數(shù)）再利用可求得，進(jìn)而求得例24已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)例25已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)練習(xí)1．已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)練習(xí)2．已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)例26、數(shù)列滿足，且求數(shù)列的通項(xiàng)。十二、四種基本數(shù)列1．形如型等差數(shù)列的廣義形式，見累加法。2.形如型等比數(shù)列的廣義形式，見累乘法。3.形如型（1）若（d為常數(shù)），則數(shù)列{}為“等和數(shù)列”，它是一個(gè)周期數(shù)列，周期為2，其通項(xiàng)分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)來討論;（2）若f(n)為n的函數(shù)（非常數(shù)）時(shí)，可通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為型，通過累加來求出通項(xiàng);或用逐差法(兩式相減)得，，分奇偶項(xiàng)來分求通項(xiàng).例27.數(shù)列{}滿足,,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.分析1：構(gòu)造轉(zhuǎn)化為型.例28.（2005江西卷）