（新高考通用）2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型 第23講 平面向量基本定理和坐標(biāo)表示（精講）原卷版

【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）第23講平面向量基本定理和坐標(biāo)表示（精講）題型目錄一覽①平面向量基本定理的應(yīng)用②平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算③向量共線的坐標(biāo)表示一、知識點(diǎn)梳理一、知識點(diǎn)梳理一、平面向量基本定理和性質(zhì)（1）共線向量定理如果，則；反之，如果且，則一定存在唯一的實(shí)數(shù)，使．（口訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘）．（2）三點(diǎn)共線定理平面內(nèi)三點(diǎn)A，B，C共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)，使，其中，為平面內(nèi)一點(diǎn)．若A、B、C三點(diǎn)共線存在唯一的實(shí)數(shù)，使得存在唯一的實(shí)數(shù)，使得存在唯一的實(shí)數(shù)，使得存在，使得．（3）中線向量定理如圖所示，在中，若點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，則中線向量，反之亦正確．DDACB二、平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算（1）平面向量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)中，分別取與軸，軸正半軸方向相同的兩個單位向量作為基底，那么由平面向量基本定理可知，對于平面內(nèi)的一個向量，有且只有一對實(shí)數(shù)使，我們把有序?qū)崝?shù)對叫做向量的坐標(biāo)，記作．（2）向量的坐標(biāo)表示和以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對應(yīng)的，即有向量向量點(diǎn)．（3）設(shè)，，則，，即兩個向量的和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差．若，為實(shí)數(shù)，則，即實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于用該實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)．（4）設(shè)，，則=，即一個向量的坐標(biāo)等于該向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)．三、平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算①已知點(diǎn)，，則，②已知，，則，，【常用結(jié)論】①減法公式：，常用于向量式的化簡．②、、三點(diǎn)共線，這是直線的向量式方程．③二、題型分類精講二、題型分類精講題型一平面向量基本定理的應(yīng)用策略方法平面向量基本定理解決問題的一般思路(1)先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示為向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決．(2)在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便．另外，要熟練運(yùn)用平面幾何的一些性質(zhì)定理．【典例1】在平行四邊形ABCD中，，.

(1)如圖1，如果E、F分別是BC，DC的中點(diǎn)，試用分別表示；(2)如圖2，如果O是AC與BD的交點(diǎn)，G是DO的中點(diǎn)，試用表示.【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023春·重慶萬州·高三重慶市萬州第二高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，，E為AD中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．2．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）如圖，點(diǎn)D、E分別AC、BC的中點(diǎn)，設(shè)，，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．3．（2023·四川瀘州·四川省瀘縣第四中學(xué)校考模擬預(yù)測）在平行四邊形中，M為的中點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．4．（2023·山西大同·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在△ABC中，D為BC中點(diǎn)，M為AD中點(diǎn)，，則（

）A． B． C．1 D．5．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·赤峰二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）在中，是中線的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交邊于點(diǎn)M，交邊于點(diǎn)N，且，，則（

）A． B．2 C． D．46．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長線與CD交于點(diǎn)F，若＝a，＝b，且＝λa＋μb，則λ＋μ等于（）

A．1 B． C． D．二、多選題7．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）在中，記，，點(diǎn)在直線上，且.若，則的值可能為（

）A． B． C． D．28．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在中，若點(diǎn)，，分別是，，的中點(diǎn)，設(shè)，，交于一點(diǎn)，則下列結(jié)論中成立的是（

）A． B．C． D．三、填空題9．（2023春·貴州黔東南·高三?？茧A段練習(xí)）在中，若點(diǎn)滿足，設(shè)，則______.10．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？既＃┰谥?，，點(diǎn)是的中點(diǎn).若存在實(shí)數(shù)使得，則__________（請用數(shù)字作答）.11．（2023·福建漳州·統(tǒng)考三模）已知，點(diǎn)D滿足，點(diǎn)E為線段CD上異于C，D的動點(diǎn)，若，則的取值范圍是_________.四、解答題12．（2023春·湖南長沙·高三校聯(lián)考期中）如圖在△ABC中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，設(shè)＝，＝.(1)用表示向量；(2)若點(diǎn)F在AC上，且，求AF∶CF.題型二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算策略方法平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)．(2)解題過程中，常利用“向量相等，則坐標(biāo)相同”這一結(jié)論，由此可列方程(組)進(jìn)行求解．【典例1】如圖，平面上，，三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,,.(1)寫出向量，，的坐標(biāo)；(2)如果四邊形是平行四邊形，求的坐標(biāo).【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，向量的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的頂點(diǎn)，，，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A．(－2，3) B．(2，－3)C．(－2，1) D．(2，－1)4．（2023·浙江·二模）若，，則（

）A． B． C． D．5．（2023·安徽滁州·?？寄M預(yù)測）已知向量，，，若，則（

）A．5 B．6 C．7 D．86．（2023春·云南昆明·高三校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)，，則與方向相反的單位向量是（

）A． B． C． D．7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，半徑為1的扇形的圓心角為，點(diǎn)C在弧上，且，若，則（

）A． B．C． D．8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，向量，則的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．二、填空題9．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）若，A點(diǎn)的坐標(biāo)為，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為__________.10．（2023·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知，，且，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為______.11．（2023·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知向量，且，則__________.三、解答題12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知,,，且，，求點(diǎn)及向量的坐標(biāo).題型三向量共線的坐標(biāo)表示策略方法平面向量共線的坐標(biāo)表示問題的解題策略(1)如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”．(2)在求與一個已知向量a共線的向量時，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)．【典例1】已知，，．(1)若，求的值；(2)若，且，，三點(diǎn)共線，求的值．【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）已知向量，若，則實(shí)數(shù)（

）A．5 B．4 C．3 D．22．（2023·廣東佛山·校考模擬預(yù)測）梯形中，，已知，則（

）A． B． C． D．3．（2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知向量，若與共線，則（

）A．4 B．3 C．2 D．14．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，向量，，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則的值為（

）A． B． C． D．5．（2023·江蘇揚(yáng)州·揚(yáng)州中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知向量，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．（2023春·陜西榆林·高三綏德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，點(diǎn)滿足與交于點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．二、填空題7．（2023·北京·北京四中校考模擬預(yù)測）已知向量，若，則實(shí)數(shù)______.8．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，若與平行，則實(shí)數(shù)______________．9．（2023·廣西南寧·南寧三中校考一模）已知向量，，若與方向