概率和頻率教材

§1.2概率和頻率

(ProbabilityandFrequency)

研究隨機(jī)現(xiàn)象，不僅關(guān)心試驗(yàn)中會(huì)出現(xiàn)哪些事件，更重要的是想知道事件出現(xiàn)的可能性大小，也就是事件的概率.事件的概率概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量

事件發(fā)生的可能性越大，概率就越大！

事件發(fā)生的可能性最大是百分之百，此時(shí)概率為1.0≤P(A)≤1我們用P(A)表示事件A發(fā)生的概率，則

事件發(fā)生的可能性最小是零，此時(shí)概率為0.可是，如何度量或者說(shuō)如何計(jì)算一個(gè)事件發(fā)生的概率大小呢？一、頻率(Frequency)

定義

1.2.1:設(shè)E為任一隨機(jī)試驗(yàn)，A為其中任一事件，在相同條件下，把E獨(dú)立的重復(fù)做n次，nA表示事件A在這n次試驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù)(稱(chēng)為頻數(shù))。比值稱(chēng)為事件A在這n次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率(Frequency).頻率的性質(zhì)事件

A、B互斥，則可推廣到有限個(gè)兩兩互斥事件的和事件．即非負(fù)性規(guī)范性可加性穩(wěn)定性某一定數(shù)

n=4040，nH

=2048，F(xiàn)(H)=0.5069

n=12000，nH=6019，F(xiàn)(H)=0.5016n=24000，nH=12012，F(xiàn)(H)=0.5005頻率穩(wěn)定性的實(shí)例

蒲豐(Buffon

)投幣

皮爾森(Pearson)投幣投一枚硬幣觀察正面向上的次數(shù)．

例1.2.1

DeweyG.統(tǒng)計(jì)了約438023個(gè)英語(yǔ)單詞中各字母出現(xiàn)的頻率，發(fā)現(xiàn)各字母出現(xiàn)的頻率不同：A:0.0788B:0.0156C:0.0268D:0.0389E:0.1268F:0.0256G:0.0187H:0.0573I:0.0707J:0.0010K:0.0060L:0.0394M:0.0244N:0.0706O:0.0776P:0.0186Q:0.0009R:0.0594S:0.0634T:0.0987U:0.0280V:0.0102W:0.0214X:0.0016Y:0.0202Z:0.0006二、概率的統(tǒng)計(jì)定義

(Thestatisticdefinitionofprobability)

定義1.2.2設(shè)有隨機(jī)試驗(yàn)，若當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)充分大時(shí)，事件的發(fā)生頻率穩(wěn)定在某數(shù)附近擺動(dòng)，則稱(chēng)數(shù)為事件的概率(Probability)，記為：注：1事件出現(xiàn)的概率是事件的一種屬性。也就是說(shuō)完全決定于事件本身的結(jié)果，是先于試驗(yàn)客觀存在的。

2概率的統(tǒng)計(jì)定義只是描述性的。

3通常只能在充分大時(shí)，以事件出現(xiàn)的頻率作為事件概率的近似值。三、概率的性質(zhì)

(Thepropertyofprobability)

B-AAΩB(6)有限可加性：若AiAj=Φ(i≠j),則基本計(jì)數(shù)原理四、

這里我們先簡(jiǎn)要復(fù)習(xí)一下計(jì)算古典概率所要用到的1.加法原理設(shè)完成一件事有m種方式，第一種方式有n1種方法，第二種方式有n2種方法,…；

第m種方式有nm種方法,無(wú)論通過(guò)哪種方法都可以完成這件事，則完成這件事總共有n1+n2+…+nm

種方法.例如，某人要從甲地到乙地去,甲地乙地可以乘火車(chē),也可以乘輪船.火車(chē)有兩班輪船有三班乘坐不同班次的火車(chē)和輪船，共有幾種方法?3

+2

種方法回答是基本計(jì)數(shù)原理則完成這件事共有種不同的方法.2.乘法原理設(shè)完成一件事有m個(gè)步驟，第一個(gè)步驟有n1種方法，第二個(gè)步驟有n2種方法,…；

第m個(gè)步驟有nm種方法,必須通過(guò)每一步驟,才算完成這件事，例如，若一個(gè)男人有三頂帽子和兩件背心，問(wèn)他可以有多少種打扮？可以有種打扮排列、組合的幾個(gè)簡(jiǎn)單公式排列和組合的區(qū)別：順序不同是不同的排列3把不同的鑰匙的6種排列而組合不管順序從3個(gè)元素取出2個(gè)的排列總數(shù)有6種從3個(gè)元素取出2個(gè)的組合總數(shù)有3種1、排列:從n個(gè)不同元素取k個(gè)（1kn)的不同排列總數(shù)為：k=n時(shí)稱(chēng)全排列排列、組合的幾個(gè)簡(jiǎn)單公式ABDC例如：n=4,k=3第1次選取第2次選取第3次選取BDCBCDBDC……從n個(gè)不同元素取k個(gè)（允許重復(fù)）（1kn)的不同排列總數(shù)為：例如：從裝有4張卡片的盒中有放回地摸取3張3241n=4,k=3123第1張4123第2張4123第3張4共有4.4.4=43種可能取法2、組合:從n個(gè)不同元素取

k個(gè)（1kn)的不同組合總數(shù)為：常記作，稱(chēng)為組合系數(shù)。組合系數(shù)又常稱(chēng)為二項(xiàng)式系數(shù)，因?yàn)樗霈F(xiàn)在下面的二項(xiàng)式展開(kāi)的公式中：3、組合系數(shù)與二項(xiàng)式展開(kāi)的關(guān)系令a=-1,b=1利用該公式，可得到許多有用的組合公式：令a=b=1,得由有比較兩邊

xk

的系數(shù)，可得

運(yùn)用二項(xiàng)式展開(kāi)4、n個(gè)不同元素分為k組，各組元素?cái)?shù)目分別為r1,r2,…,rk的分法總數(shù)為r1個(gè)元素r2個(gè)元素rk個(gè)元素…n個(gè)元素因?yàn)?3479108615

例如，一個(gè)袋子中裝有10個(gè)大小、形狀完全相同的球.將球編號(hào)為1－10.把球攪勻，蒙上眼睛，從中任取一球.先來(lái)看下面這個(gè)例子。

因?yàn)槌槿r(shí)這些球是完全平等的，我們沒(méi)有理由認(rèn)為10個(gè)球中的某一個(gè)會(huì)比另一個(gè)更容易取得.也就是說(shuō)，10個(gè)球中的任一個(gè)被取出的機(jī)會(huì)是相等的，均為1/10.1324567891010個(gè)球中的任一個(gè)被取出的機(jī)會(huì)都是1/1023479108615§1.3古典概型

(ClassicalProbability)一、古典概型（等可能概型）“概型”是指某種概率模型?！肮诺涓判汀笔且环N最簡(jiǎn)單、最直觀的概率模型。如果做某個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)時(shí)，只有有限個(gè)事件可能發(fā)生，且事件滿(mǎn)足下面三條：

1發(fā)生的可能性相等(等可能性)；

2在任意一次試驗(yàn)中至少有一個(gè)發(fā)生(完備性)；

3在任意一次試驗(yàn)中至多有一個(gè)發(fā)生(互不相容).

具有上述特性的概型稱(chēng)為古典概型。

古典概型中概率的計(jì)算：記

則（1.3.1）事實(shí)上，對(duì)上述的古典概型，它的樣本空間由概率的有限可加性知：由等可能性若則有利場(chǎng)合數(shù)例1.2.2

在中不重復(fù)地任取4個(gè)數(shù)，求它們能排成首位非零的四位偶數(shù)的概率．解

設(shè)

A為“能排成首位非零的四位偶數(shù)”

四位偶數(shù)的末位為偶數(shù)，故有種可能，而前三位數(shù)有種取法，由于首位為零的四位數(shù)有種取法，所以有利于A發(fā)生的取法共有種．基本事件總數(shù)例1.2.3

（分房模型）設(shè)有

k

個(gè)不同的球,每個(gè)球等可能地落入

N

個(gè)盒子中（）,設(shè)每個(gè)盒子容球數(shù)無(wú)限,求下列事件的概率：

(1)某指定的

k

個(gè)盒子中各有一球；

(2)某指定的一個(gè)盒子恰有

m

個(gè)球(

)

(3)某指定的一個(gè)盒子沒(méi)有球；

(4)恰有

k

個(gè)盒子中各有一球；

(5)至少有兩個(gè)球在同一盒子中；

(6)每個(gè)盒子至多有一個(gè)球．解設(shè)

(1)~(6)的各事件分別為則例1.2.4“分房模型”的應(yīng)用

數(shù)科院三年級(jí)有

n

個(gè)人，求至少有兩人生日相同（設(shè)為事件A

）的概率．解

本問(wèn)題中的人可被視為“球”，365天為365只“盒子”．

為

n

個(gè)人的生日均不相同，這相當(dāng)于每個(gè)盒子至多有一個(gè)球．由例1.2.3(6)n102023304050P(A)0.120.410.510.710.890.97

例1.2.5袋中有a

只白球，b

只紅球，從袋中按不放回與放回兩種方式取m個(gè)球（)，求其中恰有

k

個(gè)（）白球的概率．解(1)不放回情形E：球編號(hào)，任取一球，記下顏色，放在一邊，重復(fù)

m

次．記事件

A

為m個(gè)球中有k個(gè)白球，則又解E1：球編號(hào)，一次取

m

個(gè)球，記下顏色．記事件

A

為m個(gè)球中有k個(gè)白球，則

不放回地逐次取

m個(gè)球，與一次任取

m個(gè)球算得的結(jié)果相同．因此稱(chēng)超幾何分布．(2)放回情形

E2：球編號(hào)，任取一球，記下顏色，放回去，重復(fù)

m

次．記

B

為取出的

m個(gè)球中有

k個(gè)白球，則稱(chēng)二項(xiàng)分布例1.2.6（彩票問(wèn)題）一種福利彩票稱(chēng)為幸福35選7，即從01，02，03，…，35個(gè)號(hào)碼中不重復(fù)地開(kāi)出7個(gè)基本號(hào)碼和一個(gè)特殊號(hào)碼。中各等獎(jiǎng)的規(guī)則如下，試求各等獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)概率。中獎(jiǎng)級(jí)別中獎(jiǎng)規(guī)則一等獎(jiǎng)7個(gè)基本號(hào)碼全中二等獎(jiǎng)中6個(gè)基本號(hào)碼及特殊號(hào)碼三等獎(jiǎng)中6個(gè)基本號(hào)碼四等獎(jiǎng)中5個(gè)基本號(hào)碼及特殊號(hào)碼五等獎(jiǎng)中5個(gè)基本號(hào)碼六等獎(jiǎng)中4個(gè)基本號(hào)碼及特殊號(hào)碼七等獎(jiǎng)中4個(gè)基本號(hào)碼解：因?yàn)椴恢貜?fù)地選號(hào)碼是一種不放回抽樣，所以樣本空間Ω含有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)是要中獎(jiǎng)應(yīng)把抽取看成是在三種類(lèi)型中抽?。旱谝活?lèi)號(hào)碼：7個(gè)基本號(hào)碼；第二類(lèi)號(hào)碼：1個(gè)特殊號(hào)碼；第三類(lèi)號(hào)碼：27個(gè)無(wú)用號(hào)碼。記pi

為中第i等獎(jiǎng)的概率（i=1,2,…,7），則可得各等獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)概率如下：若記A為事件“中獎(jiǎng)”，則為事件“不中獎(jiǎng)”，且可得P（中獎(jiǎng)）=P（不中獎(jiǎng)）=例1.2.7甲乙二人擲均勻硬幣，其中甲擲n+1次，乙擲n次，求“甲擲出正面的次數(shù)大于乙擲出正面的次數(shù)”這一事件的概率。解：令甲正=甲擲出的正面次數(shù)甲反=甲擲出的反面次數(shù)乙正=乙擲出的正面次數(shù)乙反=乙擲出的反面次數(shù)于是所求事件的概率為P（甲正>乙正）另一方面顯然有Ω－（甲正>乙正）=（甲正≤乙正）=（甲反>乙反）因?yàn)橛矌攀蔷鶆虻?，由?duì)稱(chēng)性知P（甲正>乙正）=P（甲反>乙反）由此即得P（甲正>乙正）=

例1.2.8某人的表停了，他打開(kāi)收音機(jī)聽(tīng)電臺(tái)報(bào)時(shí)，已知電臺(tái)是整點(diǎn)報(bào)時(shí)的，問(wèn)他等待報(bào)時(shí)的時(shí)間短于十分鐘的概率．9點(diǎn)10點(diǎn)10分鐘幾何概型（等可能概型的推廣）（Geometricprobability

）幾何概型

設(shè)樣本空間為有限區(qū)域

,若樣本點(diǎn)落入

內(nèi)任何區(qū)域

G

中的概率與區(qū)域G

的測(cè)度成正比,則樣本點(diǎn)落入G內(nèi)的概率為：測(cè)度長(zhǎng)度面積體積其他度量單位

例1.2.9兩船欲?？客粋€(gè)碼頭，設(shè)兩船到達(dá)碼頭的時(shí)間各不相干，而且到達(dá)碼頭的時(shí)間在一晝夜內(nèi)是等可能的．如果兩船到達(dá)碼頭后需在碼頭停留的時(shí)間分別是1小時(shí)與2小時(shí)，試求在一晝夜內(nèi)，任一船到達(dá)時(shí)，需要等待空出碼頭的概率.

解設(shè)船1到達(dá)碼頭的瞬時(shí)為

x，船2到達(dá)碼頭的瞬時(shí)為

y

，

設(shè)事件

A

表示任一船到達(dá)碼頭時(shí)需要等待空出碼頭．xy2424y=xy=x+1y=x-2例1.2.10蒲豐（Buffon）投針問(wèn)題。平面上畫(huà)有等距離的平行線(xiàn)，平行線(xiàn)間的距離為a(a>0)，向平面任意投擲一枚長(zhǎng)為l(l<a)的針，試求針與平行線(xiàn)相交的概率。解：以x

表示針的中點(diǎn)與最近一條平行線(xiàn)間的距離，又以φ表示針與此直線(xiàn)間的交角（見(jiàn)圖1.1）xlφa易知有φoΩ圖1—1圖1—2由上兩式可以確定x－φ平面上的一個(gè)矩形Ω，這時(shí)為了針與平行線(xiàn)相交，其充要條件是(見(jiàn)圖1-2).由等可能性知，如果l,a

為已知，則以π值代入上式即可計(jì)算得P(A)之值。反過(guò)來(lái)，如果已知P(A)的值，正如前面所提到的，可以用頻率去近似它。如果投針N

次，其中針與平行線(xiàn)相交n

次，則頻率為，于是歷史上有一些學(xué)者曾親自做過(guò)這個(gè)試驗(yàn)。下表記錄了他們的試驗(yàn)結(jié)果（把a(bǔ)折算為單位長(zhǎng)）試驗(yàn)者年份投擲次數(shù)相交次數(shù)π的近似值針長(zhǎng)Wolf1850500025323.15960.8Smith185632041218.53.15540.6DeMorgan1860600382.53.1371.0Fox188410304893.15950.75Lazzerini1901340818083.14159290.83Reina192525208593.17950.5419表1—1

這是一個(gè)頗為奇妙的方法：只要設(shè)計(jì)一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，使一個(gè)事件的概率與某一未知數(shù)有關(guān)，然后通過(guò)重復(fù)試驗(yàn)，以頻率近似概率，即可求得未知數(shù)的近似解。人們稱(chēng)這種計(jì)算方法為隨機(jī)模擬法，也稱(chēng)蒙特—卡洛（Monte-Carlo）法。例1.2.11在一個(gè)圓上任取三點(diǎn)A、B、C,求能構(gòu)成銳角三角形的概率.ABC解：在一個(gè)圓上任取三點(diǎn)A、B、C，構(gòu)成的三角形內(nèi)角分別為設(shè)的取值為x,的取值為y,它們構(gòu)成本試驗(yàn)的樣本空間S.0<x<0<y<有ABC0<x<π/20<y<π/2x+y>π/2由幾何概率計(jì)算得所求概率為能構(gòu)成銳角的(x,y)所應(yīng)滿(mǎn)足的條件是：S如右圖中紅色部分1/4即S={(x,y):,}0<x<0<y<例1.2.12貝特朗（Bertrand）悖論在半徑為r

的圓C

內(nèi)任意做