數(shù)列通項(xiàng)公式奇數(shù)項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)分段的類型

數(shù)列通項(xiàng)公式奇數(shù)項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)分段的類型例76數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，且對(duì)任意n∈N，an與an＋1恰為方程x2－bnx＋2n＝0的兩個(gè)根.(Ⅰ)求數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.解：(Ⅰ)由題意n∈N*，an·an＋1＝2n∴eq\f(an＋1·an＋2,an·an＋1)＝eq\f(an＋2,an)＝eq\f(2n＋1,2n)＝2'(1分)又∵a1·a2＝2'a1＝1'a2＝2∴a1，a3，…，a2n－1是前項(xiàng)為a1＝1公比為2的等比數(shù)列，a2，a4，…，a2n是前項(xiàng)為a2＝2公比為2的等比數(shù)列∴a2n－1＝2n－1'a2n＝2n'n∈N*即an＝又∵bn＝an＋an＋1當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，bn＝2eq\f(n－1,2)＋2eq\f(n＋1,2)＝3·2eq\f(n－1,2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，bn＝2eq\f(n,2)＋2eq\f(n,2)＝2·2eq\f(n,2)∴bn＝(Ⅱ)Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn＝(b1＋b3＋…＋bn－1)＋(b2＋b4＋…＋bn)＝eq\f(3－3·2\f(n,2),1－2)＋eq\f(4－4·2\f(n,2),1－2)＝7·2eq\f(n,2)－7(當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn＝Sn－1＋bn＝10·2eq\f(n－1,2)－7(Sn＝例77數(shù)列的通項(xiàng)，其前n項(xiàng)和為.(1)求;(2)求數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和.解:(1)由于,故,故()(2)兩式相減得故例78數(shù)列(Ⅰ)求并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)設(shè)證明：當(dāng).解:(Ⅰ)因?yàn)樗砸话愕?，?dāng)時(shí)，＝，即所以數(shù)列是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，因此當(dāng)時(shí)，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，因此故數(shù)列的通項(xiàng)公式為(Ⅱ)由(Ⅰ)知，①②①-②得，所以要證明當(dāng)時(shí)，成立，只需證明當(dāng)時(shí)，成立.證法一(1)當(dāng)n=6時(shí)，成立.(2)假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即則當(dāng)n=k+1時(shí)，由(1)、(2)所述，當(dāng)n≥6時(shí)，.即當(dāng)n≥6時(shí)，證法二令，則所以當(dāng)時(shí)，.因此當(dāng)時(shí)，于是當(dāng)時(shí)，綜上所述，當(dāng)時(shí)，例79設(shè)個(gè)不全相等的正數(shù)依次圍成一個(gè)圓圈．（Ⅰ）若，且是公差為的等差數(shù)列，而是公比為的等比數(shù)列；數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：，求通項(xiàng)；解：因是公比為d的等比數(shù)列，從而由，故解得或（舍去）。因此又。解得從而當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由是公比為d的等比數(shù)列得因此例80已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0（1）求證：數(shù)列SKIPIF1<0與SKIPIF1<0都是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0的和SKIPIF1<0；（3）若數(shù)列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0的和為SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0對(duì)SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的最大值。解：（1）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0 2分∴數(shù)列SKIPIF1<0是以1為首項(xiàng)，SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列；數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列。 4分（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0 9分（3）SKIPIF1<0SKIPIF1<0當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的最大值為－48例82.在單調(diào)遞增數(shù)列中，，，且成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，．（1）分別計(jì)算，和，的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（將用表示）；（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：，．解：（1）由已知，得，，，．（2）∵成等差數(shù)列，∴，；∵成等比數(shù)列，∴，．又，，，……；，，，……∴猜想，，，…以下用數(shù)學(xué)歸納法證明之．①當(dāng)時(shí)，，，猜想成立；②假設(shè)時(shí)，猜想成立，即，，那么，．∴時(shí)，猜想也成立．由①②，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，對(duì)任意的，猜想成立．∴，．∴當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，．即數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（3）由（2），得．顯然，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)（）時(shí)，.綜上所述，，．例83已知等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)為，其前項(xiàng)的和為．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)的和為，數(shù)列的前項(xiàng)的和為．（1）若，，求的通項(xiàng)公式；（2）①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，比較與的大小；②當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，若，問是否存在常數(shù)（與n無關(guān)），使得等式恒成立，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．解:(1)∵,∴∴或∴，或.(2)∵常數(shù)，=常數(shù)，∴數(shù)列，均為等比數(shù)列，首項(xiàng)分別為，，公比分別為，．①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)時(shí),，，,∴.當(dāng)時(shí),，，,∴.當(dāng)時(shí),