利用遞推公式求通項(xiàng)公式

利用遞推公式求通項(xiàng)公式一、基本類型已知數(shù)列的首項(xiàng)和遞推公式，可直接寫(xiě)出數(shù)列中的各項(xiàng)，可用待定系數(shù)法、累加法、累乘法、迭代法等求通項(xiàng)，也可以通過(guò)構(gòu)造轉(zhuǎn)化法化成新的等差、等比數(shù)列再進(jìn)一步求通項(xiàng)構(gòu)造等比數(shù)列，已知首項(xiàng)，如果遞推關(guān)系形如“，其中為常數(shù)”，求數(shù)列的通項(xiàng)公式的關(guān)鍵是將轉(zhuǎn)化為的形式，其中的值可由待定系數(shù)法確定，即.1．已知首項(xiàng)且遞推關(guān)系形如“”可以用“累加法”即：，則有：.2．已知首項(xiàng)且遞推關(guān)系形如“”可以用“累乘法”或“迭代法”，即.3．對(duì)于形如“，其中為常數(shù)”的遞推關(guān)系式，可采用取倒數(shù)的方法，將遞推公式變形為，從而構(gòu)造等差數(shù)列，其首項(xiàng)為，公差為.4．對(duì)于形如“，其中為常數(shù)”的遞推關(guān)系式，一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造新數(shù)列.=1\*GB3①若為的一次式，則可令，即令，與已知遞推公式比較，解出，從而轉(zhuǎn)化為是公比為的等比數(shù)列.=2\*GB3②若為的二次式，則可令，下同=1\*GB3①.=3\*GB3③若為的指數(shù)式，即：（其中均為常數(shù)，）解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以得引入輔助數(shù)列（其中），得，再利用待定系數(shù)法求解.5．對(duì)于形如“”的數(shù)列，往往要通過(guò)分析與的關(guān)系，整理變形成或的形式來(lái)求解.6．遞推公式為“（其中均為常數(shù)）”，的數(shù)列，先把原遞推公式利用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為，再進(jìn)行求解.7．形如“”的數(shù)列，一般是等式兩邊取對(duì)數(shù)后轉(zhuǎn)化為，再利用待定系數(shù)法求解.8．形如（其中為常數(shù)）的遞推關(guān)系式，求數(shù)列通項(xiàng)通常采用常數(shù)消去法，或者不動(dòng)點(diǎn)法.不動(dòng)點(diǎn)法：若，則稱為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).令函數(shù)，若數(shù)列滿足遞推關(guān)系，即，給定初始值，利用函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)來(lái)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.=1\*GB3①若函數(shù)有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，即方程有兩個(gè)相異實(shí)根，則有數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.=2\*GB3②若函數(shù)只有唯一的不動(dòng)點(diǎn)，則方程只有唯一解，則有數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列.9．形如“，其中為常數(shù)”的數(shù)列也可以利用函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)來(lái)求解通項(xiàng).=3\*GB3③若函數(shù)有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不同的根，則有，上式兩側(cè)取對(duì)數(shù)，構(gòu)造等比數(shù)列求解.=4\*GB3④若函數(shù)只有唯一一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，即方程只有唯一一個(gè)根，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.10．遞推公式為與的關(guān)系式。(或)這種類型一般利用與消去或與消去進(jìn)行求解.二、基本題型根據(jù)下列條件，確定數(shù)列的通項(xiàng)公式.=1\*GB2⑴；=2\*GB2⑵；=3\*GB2⑶；=4\*GB2⑷；=5\*GB2⑸設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且；=6\*GB2⑹已知數(shù)列中，，數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，求.在數(shù)列中，（為常數(shù)，），且成公比不為1的等比數(shù)列.=1\*GB2⑴求的值；=2\*GB2⑵求的通項(xiàng)公式.已知數(shù)列滿足，求.已知正數(shù)數(shù)列中，，若關(guān)于的方程有相等的實(shí)根.=1\*GB2⑴求的通項(xiàng)公式；=2\*GB2⑵求證：.5.在數(shù)列中，.=1\*G