第六章 平面向量及其應(yīng)用（章末小結(jié)）【知識(shí)精研+拓展探究】 高一數(shù)學(xué)高效課堂（人教A版2019必修第二冊(cè)）

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第六章《平面向量及其應(yīng)用》知識(shí)網(wǎng)絡(luò)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)本章學(xué)習(xí)目標(biāo)(1)理解平面向量的相關(guān)概念和定理；(2)掌握平面向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律，能進(jìn)行加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積的混合運(yùn)算和坐標(biāo)運(yùn)算；(3)能用正弦定理、余弦定理解三角形，并通過(guò)邊角互化解決問(wèn)題；(4)會(huì)用向量的基底法和坐標(biāo)法，了解向量在物理中的應(yīng)用.知識(shí)梳理——1.平面向量相關(guān)概念(1)數(shù)學(xué)中，既有大小又有方向的量叫做向量。(2)向量用有向線段表示。BA(3)向量的表示：(4)向量的模：(5)零向量：(6)單位向量：知識(shí)梳理——1.平面向量相關(guān)概念(7)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量。注：向量由模和方向確定，與起點(diǎn)無(wú)關(guān).(8)平行向量：方向相同或相反的非零向量。規(guī)定：零向量與任意向量平行.注：①平行向量都可平移到同一條直線上，平行向量也叫共線向量。②兩個(gè)平行向量所在直線可能平行或重合.知識(shí)梳理——1.平面向量相關(guān)概念(9)相反向量：長(zhǎng)度相等但方向相反的向量。零向量的相反向量仍為零向量.(10)投影向量：求投影向量“三步曲”：畫(huà)圖找投影，算模長(zhǎng)比，定±知識(shí)梳理——2.平面向量的運(yùn)算(1)向量加法的三角形法則：首尾相接，和向量由起點(diǎn)指向終點(diǎn).(2)向量加法的平行四邊形法則：同起點(diǎn)，和向量由起點(diǎn)指向?qū)蔷€端點(diǎn)適用于不共線的向量求和.適用于任意向量求和.推廣：n個(gè)首尾相接的向量相加，其和向量為首向量的起點(diǎn)指向末向量的終點(diǎn).知識(shí)梳理——2.平面向量的運(yùn)算向量加法的運(yùn)算律：注：多個(gè)向量的加法運(yùn)算可按照任意次序、任意組合進(jìn)行。(3)向量減法的三角形法則：同起點(diǎn)，差向量為連接兩個(gè)向量的終點(diǎn)，指向被減向量的終點(diǎn)的向量知識(shí)梳理——2.平面向量的運(yùn)算知識(shí)梳理——2.平面向量的運(yùn)算(4)向量的數(shù)乘運(yùn)算：向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，其結(jié)果仍為向量.知識(shí)梳理——2.平面向量的運(yùn)算(5)向量的數(shù)量積運(yùn)算：找兩向量夾角時(shí)要先保證向量同起點(diǎn).③向量的數(shù)量積是實(shí)數(shù)；“·”不可省略.cosθ=1cosθ=-1知識(shí)梳理——2.平面向量的運(yùn)算(5)向量的數(shù)量積運(yùn)算：知識(shí)梳理——2.平面向量的運(yùn)算向量的數(shù)量積運(yùn)算的運(yùn)算律：知識(shí)梳理——2.平面向量的運(yùn)算(6)向量的坐標(biāo)運(yùn)算知識(shí)梳理——2.平面向量的運(yùn)算(6)向量的坐標(biāo)運(yùn)算終點(diǎn)－起點(diǎn)知識(shí)梳理——2.平面向量的運(yùn)算(6)向量的坐標(biāo)運(yùn)算知識(shí)梳理——3.平面向量的相關(guān)定理(1)共線向量定理：知識(shí)梳理——3.平面向量的相關(guān)定理(2)平面向量基本定理：不共線知識(shí)梳理——4.平面向量的應(yīng)用(1)平面向量在平面幾何中的應(yīng)用：①基底法:題中涉及的向量用合適的基底(盡量知道模和夾角)表示

幾何元素平面向量幾何關(guān)系運(yùn)算翻譯表示②坐標(biāo)法：題中涉及的向量建系后用坐標(biāo)表示并計(jì)算知識(shí)梳理——4.平面向量的應(yīng)用(2)平面向量在物理中的應(yīng)用：①力的合成:向量加法的平行四邊形法則②速度的合成:向量加法的平行四邊形法則③力做功:向量的數(shù)量積運(yùn)算知識(shí)梳理——4.平面向量的應(yīng)用(3)余弦定理：作用1：知兩邊及夾角求第三邊推論：作用2：知三邊求任一角將SAS數(shù)量化將SSS數(shù)量化作用3：定形狀知識(shí)梳理——4.平面向量的應(yīng)用(4)正弦定理：1.變形：應(yīng)用：求周長(zhǎng)or各邊和的范圍2.作用：①知兩邊及其中一邊的對(duì)角求其它②知兩角一邊求其它知識(shí)梳理——4.平面向量的應(yīng)用角化邊(4)正弦定理：3.思想：邊角互化邊化角:等式左右為a,b,c的齊次式角化邊:等式左右為sinA,sinB,sinC的齊次式4.常見(jiàn)易錯(cuò)結(jié)論知識(shí)梳理——5.三角形各心的向量性質(zhì)方法與易錯(cuò)歸納1.判斷一個(gè)量是否為向量的關(guān)鍵：看它是否具備向量的兩要素.(1)有大?。?2)有方向．向量書(shū)寫(xiě)時(shí)要注意起點(diǎn)和終點(diǎn)的不同；字母表示在書(shū)寫(xiě)時(shí)不要忘了字母上的箭頭．2.理解零向量和單位向量應(yīng)注意的問(wèn)題(1)零向量的核心是方向沒(méi)有限制，長(zhǎng)度是0，規(guī)定零向量與任一向量共線．(2)任意兩個(gè)單位向量不一定相等，但是模都為1.單位向量有無(wú)窮多個(gè)，起點(diǎn)相同的所有單位向量的終點(diǎn)在平面內(nèi)形成一個(gè)單位圓．方法與易錯(cuò)歸納3.相等向量與共線向量的探求方法(1)尋找相等向量：先找與表示已知向量長(zhǎng)度相等的向量，再確定哪些是同向共線．(2)尋找共線向量：先找與表示已知向量平行或共線的線段，再構(gòu)造同向與反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)，起點(diǎn)為終點(diǎn)的向量．提醒：在與向量平行相關(guān)的問(wèn)題中，不要忽視零向量．方法與易錯(cuò)歸納4.作向量和時(shí)法則的選取策略(1)三角形法則可推廣到n個(gè)向量求和，作圖時(shí)要求“首尾相連”．即n個(gè)首尾相連的向量的和對(duì)應(yīng)的向量是第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第n個(gè)向量的終點(diǎn)的向量．(2)平行四邊形法則只適用于不共線的向量求和，作圖時(shí)要求兩個(gè)向量的起點(diǎn)重合．(3)當(dāng)兩個(gè)向量不共線時(shí)，兩個(gè)法則實(shí)質(zhì)上是一致的，三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出的圖形的一半，在多個(gè)向量的加法中，利用三角形法則更為簡(jiǎn)便．方法與易錯(cuò)歸納5.應(yīng)用向量解決實(shí)際問(wèn)題的基本步驟(1)表示：用向量表示有關(guān)量，將所要解答的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題．(2)運(yùn)算：應(yīng)用向量加法的平行四邊形法則或三角形法則，將有關(guān)向量進(jìn)行運(yùn)算，解答向量問(wèn)題．(3)還原：根據(jù)向量的運(yùn)算結(jié)果，結(jié)合向量共線、相等等概念回答原問(wèn)題．6.向量減法運(yùn)算的常用方法(1)可以通過(guò)相反向量，把向量減法的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算．(2)運(yùn)用向量減法的三角形法則，此時(shí)要注意兩個(gè)向量要同起點(diǎn)．方法與易錯(cuò)歸納6.用已知向量表示其他向量的要點(diǎn)(1)關(guān)鍵：確定已知向量與被表示向量的轉(zhuǎn)化渠道．(2)注意點(diǎn)：①注意相等向量、相反向量、共線向量與構(gòu)成三角形的三向量之間的關(guān)系；②注意應(yīng)用向量加法、減法的幾何意義以及它們的運(yùn)算律；③注意在封閉圖形中利用多邊形法則．(3)直接法：①觀察待表示的向量位置．②尋找相應(yīng)的平行四邊形或三角形．③運(yùn)用法則找關(guān)系，化簡(jiǎn)得結(jié)果．(4)方程法：當(dāng)直接表示比較困難時(shí)，可以首先利用三角形法則或平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的方程．方法與易錯(cuò)歸納7.利用向量共線求參數(shù)的方法(1)判斷、證明向量共線問(wèn)題的思路是根據(jù)向量共線定理尋求唯一的實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb(b≠0)．(2)已知向量共線求λ，常根據(jù)向量共線的條件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)向量系數(shù)相等求解．(3)若兩向量不共線，必有向量的系數(shù)為零，利用待定系數(shù)法建立方程，從而解方程求得λ的值．方法與易錯(cuò)歸納

方法與易錯(cuò)歸納9.用向量法解決平面幾何問(wèn)題的兩種方法(1)幾何法：盡量選取已知模或夾角的向量作為基底，將題中涉及的向量用基底表示，利用向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律或性質(zhì)計(jì)算．(2)坐標(biāo)法：建立平面直角坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)化，將幾何問(wèn)題中的長(zhǎng)度、垂直、平行等問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算．方法與易錯(cuò)歸納10.①已知兩邊及其夾角解三角形的方法：直接用余弦定理的公式求出第三邊．②已知兩邊及其中一條邊的對(duì)角解三角形的方法：(1)用余弦定理列出關(guān)于第三邊的等量關(guān)系建立方程，運(yùn)用解方程的方法求出此邊長(zhǎng)．這樣可免去取舍解的麻煩．(2)由正弦定理求另一邊對(duì)角的正弦值．若已知角為大邊所對(duì)的角，則由三角形中大邊對(duì)大角、大角對(duì)大邊的法可判斷另一邊所對(duì)的角為銳角，由正弦值可求唯一銳角．若已知角為小邊所對(duì)的角時(shí)，則不能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角，這時(shí)由正弦值可求兩個(gè)角．方法與易錯(cuò)歸納10.③已知三邊解三角形的方法：(1)利用余弦定理的推論求出相應(yīng)角的余弦值，值為正，角為銳角；值為負(fù)，角為鈍角．(2)若已知三角形的三邊的比例關(guān)系，常根據(jù)比例的性質(zhì)引入k，從而轉(zhuǎn)化為已知三邊求解．④已知