高等數(shù)學(xué)課教案

高等數(shù)學(xué)精品課教案

摘要：一個量無論多么小，都不能是無窮小，零唯一例外.

當(dāng)...的導(dǎo)數(shù)的相關(guān)公式和運算法...設(shè)均可導(dǎo)，則

(1);(2)(為常數(shù))；(3)30.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)，均可

導(dǎo)，則復(fù)合...

關(guān)鍵詞：論，算法，導(dǎo)

類別：專題技術(shù)

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《高等數(shù)學(xué)》精品課教案

課題：§1.1函數(shù)及其性質(zhì)

教學(xué)目的：1.理解函數(shù)、分段函數(shù)的概念，會求函數(shù)的定義域、表達(dá)式及函數(shù)值

2.了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性及反函數(shù)的定義

教學(xué)重點：初等函數(shù)的概念、圖形及性質(zhì)

教學(xué)難點：分段函數(shù)的概念

課型：講授課

課時：2課時

教學(xué)過程

一、導(dǎo)入新課

在自然界中，某一現(xiàn)象中的各種變量之間，通常并不都是獨立變化的，它們之間存在

著依賴關(guān)系，我們觀察下面幾個例子：

例如：某種商品的銷售單價為p元，則其銷售額L與銷售量x之間存在這樣的依賴關(guān)

系：L-px

又例如：圓的面積S和半徑r之間存在這樣的依賴關(guān)系：SZ

不考慮上面兩個例子中量的實際意義，它們都給出了兩個變量之間的相互依賴關(guān)系，

這種關(guān)系是一種對應(yīng)法則，根據(jù)這一法則，當(dāng)其中一個變量在其變化范圍內(nèi)任意取定一個數(shù)

值時，另一個變量就有確定的值與之對應(yīng)。兩個變量間的這種對應(yīng)關(guān)系就是函數(shù)概念的實質(zhì)。

二、講授新課

(-)函數(shù)的定義

定義設(shè)有兩個變量x,y。對任意的xGD,存在一定規(guī)律f,使得y有唯一確定的值

與之對應(yīng)，則y叫x的函數(shù)。記作y=f(x),xGD。其中x叫自變量，y叫因變量。

定義1°(集合的觀點)A,B為兩個數(shù)集，對任意的xGD,存在f,在B中有唯一確定

的值與之對應(yīng)。記作：f：A-B

函數(shù)兩要素：對應(yīng)法則、定義域(有的可直接看出，有的需計算)，而函數(shù)的值域一般

稱為派生要素。

例1f(x)=2x2+3x-l就是一個特定的函數(shù)，/確定的對應(yīng)法則為：

f(>2(>+3()-1

例1°：設(shè)f(x+l)=2x)+3x-l,求f(x).

解：設(shè)*+1=1得乂="1,則

f(t)=2(t-1)2+3(t-1)-1=2t2-t-2

f(x)=2x2-x-2

其對應(yīng)法則：f()=2()2-()-2

定義域：使函數(shù)有意義的自變量的集合。因此，求函數(shù)定義域需注意以下幾點：

①分母不等于0②偶次根式被開方數(shù)大于或等于0③對數(shù)的真數(shù)大于0

JI

@y=x0(xWO)⑤y=tanx(xKk/c+—,keZ)等.

i---------------zx—1

例2求函數(shù)y=W—x-6+arcsin-------的定義域.

7

解：要使函數(shù)有定義，即有：

2

"x-x-6>0x>3^x<—2

Y||<1a，<=>-3<x<-2或3<x<4

-3<x<4

于是，所求函數(shù)的定義域是：[-3,-2]U[3,4].

小結(jié)：函數(shù)有兩要素：定義域和對應(yīng)法則，即只要這兩樣定了，函數(shù)就定了，所以我

們判斷兩個函數(shù)是否是同一函數(shù)就有依據(jù)了。

例3判斷以下函數(shù)是否是同一函數(shù)，為什么？

(1)y=lnx2與y=21nx(2)w=VM與y=y[x

解(1)中兩函數(shù)的定義域不同，因此不是相同的函數(shù).

(2)中兩函數(shù)的對應(yīng)法則和定義域均相同，因此是同一函數(shù).

函數(shù)的表示法：

(1)解析法(或分析法、公式法)。如：y=sinx、y=&+i,這樣的表達(dá)式亦為

函數(shù)的解析式，這種表示法的主要優(yōu)點是嚴(yán)密；

(2)圖示法：如用直角坐標(biāo)(或極坐標(biāo)等)平面的一條曲線表示，這種表示法的主要優(yōu)

點是直觀；

(3)表格法：如三角函數(shù)表、對數(shù)表、正態(tài)分布表等，這種表示法的主要優(yōu)點是能進(jìn)行

函數(shù)值的查詢。

分段函數(shù)

若函數(shù)/(幻在定義域不同的區(qū)間上用不同解析式來表示，則稱函數(shù)/(x)為分段函數(shù).

「無一1,x<0,

如=10，%=0，

[x+1,x>0

(二)函數(shù)的幾種特性

要研究函數(shù)，首先函數(shù)必須要有意義，假設(shè)f(x)在區(qū)間。上有定義。

1、有界性

若存在兩個數(shù)A和B,對一切xe。7,有A4/(X)MB成立，則稱為/(x)有界函數(shù).例如:

y=sinx,y=cosx在全數(shù)軸上均有界，而°(_0=」在(0,1)內(nèi)無界.

x

思考：在定義域內(nèi)，下列函數(shù)中哪些有界？

y=sinxy=cosxy=arcsinxy=arccosxy=arctanxy=arccotx

2、單調(diào)性

對y=Z)y>若對任意兩點為,工2e9，當(dāng)々々時有/(zi)/(x2)?

則稱函數(shù)/(X)在。上單調(diào)增加，區(qū)間。稱為單調(diào)增區(qū)間；反之，函數(shù)/(X)在。上單

減少，區(qū)間。稱為單調(diào)減區(qū)間.單調(diào)增區(qū)間或單調(diào)減區(qū)間統(tǒng)稱為單調(diào)區(qū)間

例如y==log(,x在其定義域區(qū)間內(nèi)均為單調(diào)函數(shù)。

3、奇偶性

對y=，(x),xeD/，若/(一幻=一/(幻成立，則稱/(x)為奇函數(shù)；若

/(_幻=/(幻成立，則稱/(幻為偶函數(shù)。奇函數(shù)的幾何圖形關(guān)于原點對稱，而偶函數(shù)

的幾何圖形關(guān)于y軸對稱.例如：函數(shù)y=/cosx是偶函數(shù)。例如：函數(shù)y=d是奇

函數(shù)。例如：函數(shù)y=/+1既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。

4、周期性

對1y=(-8,+8),若存在常數(shù)a；#0,對任何x,滿足

則稱/(X)為周期函數(shù)，⑶是了的一個周期.例如，函數(shù)y=sinx,y=cosx的

周期均為2萬，y=tanx的周期為"。而y=c(匕是一個常數(shù))是以任何正數(shù)為周期的

周期函數(shù)，但它不存在基本周期，所以說，并不是所的周期函數(shù)都存在基本周期(最小

周期)。

(三)反函數(shù)

定義函數(shù)y=f(x),若把y當(dāng)作自變量，x當(dāng)作函數(shù)，則由關(guān)系式y(tǒng)=f(x)所確定的函數(shù)x

=4>(y)稱為函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)，記作y=L(x).

注：求函數(shù)的反函數(shù)的一般方法是將關(guān)系式y(tǒng)=/(x)經(jīng)過一系列的變換，變成

尤=9(y)的形式，最后再表示成y=e(x)的形式。

三、課堂練習(xí)

心思考題P51、3

四、小結(jié)

理解函數(shù)、分段函數(shù)的概念，會求函數(shù)的定義域、表達(dá)式及函數(shù)值；了解函數(shù)的有界

性、單調(diào)性、奇偶性、周期性及反函數(shù)的定義；掌握基本初等函數(shù)的圖形和性質(zhì).

五、布置作業(yè)

名習(xí)題一1、2、4、5、7、8.

選做：3、6

課題：§1.2函數(shù)及其性質(zhì)

教學(xué)目的：1.掌握基本初等函數(shù)的圖形和性質(zhì)

2.理解復(fù)合函數(shù)的概念

3.掌握復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成過程

教學(xué)重點：復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成

教學(xué)難點：復(fù)合函數(shù)的分解及反三角函數(shù)的圖象

課型：講授課

課時：2課時

教學(xué)過程

一、導(dǎo)入新課

前面一節(jié)課講了函數(shù)的定義，函數(shù)的性質(zhì)、兩要素和反函數(shù)，說到反函數(shù)有必要再講講

反函數(shù)的圖象，特別是反三角函數(shù)的圖象。

1、什么樣的函數(shù)才有反函數(shù)，為什么？

答：一一對應(yīng)的函數(shù)才有反函數(shù)，因為從函數(shù)的定義知，函數(shù)y=f(x),對任意的x有唯一

的y與之對應(yīng)。反函數(shù)是自變量和因變量互換，所以對任意的y也應(yīng)有唯一確定的x與之對

應(yīng)，函數(shù)x=0(y)才有意義。所以只有一一對應(yīng)的函數(shù)才有反函數(shù)。

2、問題出現(xiàn)：對正弦函數(shù)和余弦函數(shù)，不是一一對應(yīng)的函數(shù)，為什么會有反函數(shù)？

TTTT

答：取一個周期，取[-22J,

22

兀

原函數(shù)y=sinx,XG[一萬,—],ye[-1,1]

冗ji

反函數(shù)y=arcsinx,xe[-1,1J,ye[——,—\

二、講授新課

(一)基本初等函數(shù)

常數(shù)函數(shù)：y=c(c為常數(shù))

塞函數(shù)：y=x"(〃為常數(shù))

指數(shù)函數(shù)：y=a*(a>0,aH1,a為常數(shù))

對數(shù)函數(shù)：y=logHx(a>0,a/1,a為常數(shù))

三角函數(shù)：y=sinxy=cosxy=tanxy=cotxy=secxy=cscx

反三角函數(shù)：y=arcsinxy=arccosxy=arctanxy=arccotx

(二)復(fù)合函數(shù)

定義設(shè)y=/(”),其〃=°(x)中，且以X)的值全部或部分落在了(")的定義域內(nèi)，則

稱丁=八°(幻]為X的復(fù)合函數(shù)，而“稱為中間變量.

簡單說：幾個基本初等函數(shù)的組合

例1:若y=&,u=sinx,則其復(fù)合而成的函數(shù)為

y=Jsinx,要求u必須之0,sinx>0,xe[2k萬，n+2knJ

例2：分析下列復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)

(1)y=^cot|⑵y=e*n歷

解：(1)y-y[u,u=cosv,N~~

(2)y=elt9u=sinv,v=yft,t=x2+1

例3：設(shè)f(x)=/g(x)=2v求f[g(x)]g[f(x)]

解：f[g(x)]=f(2')=(2*)2=4*g[f(x)l=g(x2)=2*

注：此題用“整體代換”的思想.

（三）初等函數(shù)

由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算及有限次復(fù)合步驟構(gòu)成，且可用一個解析式表示的

函數(shù)，叫做初等函數(shù)，否則就是非初等函數(shù)。

e-e

例：雙曲正弦函數(shù)shx=--------

2

ex+e~x

雙曲余弦函數(shù)chx=--------

2

shx

雙曲正切函數(shù)thx=---

chx

注：分段函數(shù)一般不是初等函數(shù)

三、課堂練習(xí)

Ph習(xí)作題I,2PtQ9、10、11、17、25、26

四、小結(jié)

掌握基本初等函數(shù)的圖形和性質(zhì)，理解復(fù)合函數(shù)的概念，掌握復(fù)合

函數(shù)的構(gòu)成過程.

五、布置作業(yè)

《。習(xí)題一12、13、14、15、18、19、

選做：24、29

課題：§2.1極限的概念

教學(xué)目的：1.理解極限的概念，函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右

極限之間的關(guān)系。

2.熟練掌握X—8和xfX。時f（x）的極限存在的充要條件

3.理解無窮大、無窮小的概念，

4.掌握無窮大的判定方法和無窮小的概念及性質(zhì)，會用無窮小量的性質(zhì)求極限

教學(xué)重點：函數(shù)極限與數(shù)列極限的概念；無窮大量與無窮小量的概念及性質(zhì).

教學(xué)難點：L函數(shù)極限的定義及./'（與-（））、/（%+0）的含義

2.分段函數(shù)在x/時的極限的討論方法

3.無窮大量與無窮小量的概念和性質(zhì)及其應(yīng)用

課型：講授課

課時：2課時

教學(xué)過程

一、導(dǎo)入新課

1.寫出下列函數(shù)的復(fù)合過程

(1)y=ylx3-2x24-5(2)y=sin2x

思考：若>=1+-L,當(dāng)x無限的靠近1時，y值怎樣變化？

二、講授新課

(-)函數(shù)的極限

(1)定義函數(shù)y=f(x),當(dāng)自變量x無限接近于某個目標(biāo)時(一個數(shù)x0,或+8或一8),

因變量y無限接近于一個確定的常數(shù)A,則稱函數(shù)f(x)以A為極限。

規(guī)定：1°x從x0的左右兩側(cè)無限接近于X。，記xfx。

2°x從X。的左兩側(cè)無限接近于x0,記xfx。-

3°x從x°的右兩側(cè)無限接近于X。，記xfX。*

4°x無限增大時，用記號x-?+oo

5°x無限減小時，用記號x——8

6°W無限增大時，用記號xfoo

(2)點x的b鄰域

N(x,6)=(x—S,x+3),其中很小的正數(shù)，

X的去心b鄰域N(2，8)=(x()—S,x())U(Xo，Xo+5).

1、xfx0時函數(shù)的極限

舉例說明：xf1時，函數(shù)無限接近于多少？

觀察：當(dāng)：xfl時，f(x)=x+l,無限接近2

X2-]

當(dāng)：X-1時，g(x)=--無限接近2

f(x)在x=l有定義,g(x)在X=1處無定義

定義1如果當(dāng)X->X。時，函數(shù)/(幻無限趨近于一個確定的常數(shù)A,則稱4為函數(shù)

/(x)當(dāng)xTX。時的極限，記作limf(x)=A或(當(dāng)xfx0時).此時也稱

lim/(x)存在。如果當(dāng)x->X。時，函數(shù)f(x)不趨近于任何一個確定的常數(shù)，則稱

XTX0

lim/(X)不存在。

--I

如：lim(x+l)=2,又如lim-----=2

xf1x->l_X-1

龍一1-1x-1

注意：f(x)=^^^在X=1處無定義，但當(dāng)n一?1時，函數(shù)￡3=^__無限趨近于一

x-1x-l

X-1

個確定的常數(shù)2,所以lim---=2o

ix-1

結(jié)論：函數(shù)/(x)當(dāng)XTX。時的極限是否存在，與/(X)在點與處是否有定義無關(guān).

Xz-1-X-1

如上舉例f(x)=^~^在x=l處無定義，但lim-~-=2.

x-1X-1

定義2右極限當(dāng)X-x0+,有l(wèi)im/(x)=A

定義3左極限當(dāng)XfX。一,有l(wèi)im/(x)=A

函數(shù)的左極限和右極限統(tǒng)稱為函數(shù)的單側(cè)極限。

定理1［極限存在的充分必要條件］

函數(shù)/(X)當(dāng)X->X0時的極限存在的充分必要條件是，/(X)當(dāng)XfXo時的左右極限都存

在并且相等.即lim/(x)=Aolim/(x)=lim/(x)=A

X—>XQX―>場X—>XQ

注：求分段函數(shù)的極限的方法就是計算它在指定點的左極限和右極限是否存在并且是否相

等。

例如：判斷下列函數(shù)在指定點的是否存在極限

sinx,x<0

X+1,X>2y=\l八

y=J-x,x>0

(1)[x,x<2(當(dāng)x—2時)⑵13(當(dāng)x->0時)

limy=2,limy=3liinywlimy

解：(1)?.?xf2-,x-2-xr2+

???函數(shù)在指定點的極限不存在。

limy=sin0=0,limy=_xO=OHmy=limy

(2)?:Xf0-10+3,x->0-x->0+

???函數(shù)在指定點的極限吧產(chǎn)。

定理2limf(x)=A<=>limf(x)=limf(x)=A

X->8A-—>+Q0XT-CO

(二)數(shù)列的極限

定義4對于數(shù)列｛〃“｝,如果當(dāng)n無限增大時，通項〃“無限接近于某個確定的常數(shù)A,

則稱A為數(shù)列〃”的極限，或稱數(shù)列｛〃/收斂于A,記為lim冊=八或“，fA(nf8)

X->00

定理3［單調(diào)數(shù)列極限存在定理］

單調(diào)增加(上升)數(shù)列：*《“2W*3W"<…

單調(diào)減少(下降)數(shù)列：*N/N與N…N居'￡+1N…

單調(diào)增加數(shù)列和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列。

［單調(diào)有界原理］:單調(diào)有界數(shù)列必有極限。

(三)極限的性質(zhì)

1、唯一性若lim.f(x)=A,lim/(x)=B,則A=B

XTX°XTX。

2、有界性若lim/(x)=A,則存在與的某一去心鄰域N(￡0,5),在N(&)，5)內(nèi)

函數(shù)/(X)有界.

3、保號性若lim/(x)=4且4>0(或4<0),則存在某個去心鄰域N(￡0，方)，在

XTX。

N(i0,b)內(nèi)f(x)>0(或(f(x)<0).

4、夾逼準(zhǔn)則

設(shè)在X。的某鄰域內(nèi)(可不包括點與)有g(shù)(x)</(x)<〃(x)

且limg(x)=limh(x)-A,則lim/(x)存在且limf(x)-A

X—>而X—>A0x—>xoX—>XQ

這個定理稱為夾逼定理，它同樣適用于Xf8的情況

在這個公式里X趨近于哪個數(shù)是非常重要的，X趨近于不同的數(shù),極限是不同的。

(四)關(guān)于極限的幾點說明

1.一個變量前加上記號“l(fā)im”后，是個確定值。

例：正n邊形面積％,lims=圓面積

“T8n

2.關(guān)于“xf的理解：只要求在X。的充分小鄰域有定義。與在點/和遠(yuǎn)離/點有無

意義無關(guān)。

例：在求分段函數(shù)的極限時尤為重要。

3.常數(shù)函數(shù)的極限等于其本身。即：limC=C

(五)無窮小量與無窮大量

1、無窮小量概念

定義5極限為0的量稱為無窮小量，簡稱無窮??；

注：1、無窮小量不是很小的數(shù),它也是極限的概念。

2、數(shù)零是唯一可作為無窮小的常數(shù)。

3、無窮小指量的變化狀態(tài)，而不是量的大小。

2、一個量無論多么小，都不能是無窮小，零唯一例外。

當(dāng)xfa(或8)時，如果函數(shù)f(x)的極限為0,則稱當(dāng)x—a(或8)時，f(x)是無窮小

量。

若數(shù)列｛an｝的極限為0,則｛a?｝是無窮小量。

例如：limsinx=0,所以，當(dāng)xfO時，sinx是無窮小量。

同樣，當(dāng)x~*0時x"(。>0),1-cosx,arcsinx等都是無窮小量。

當(dāng)x-+8時，lim-=0,所以｛L｝是無窮小量.

nn

同樣，當(dāng)％->4W時都是無窮小量。

4nn-2"

定理4極限與無窮小之間的關(guān)系：

若limf(x)=A,PI>J/(x)=A+a(x)o

Xfo

其中a(x)為無窮小量：limo(x)=0,逆命題也成立。

Xf%

無窮小量的性質(zhì)

定理5有限個無窮小量的代數(shù)和是無窮小量。

例如，當(dāng)X-0時，x+sinx也是無窮小量

定理6無窮小量與有界量之積是無窮小量。

例如，當(dāng)x-0時，xsinx也是無窮小量。

推論1：任一常數(shù)與無窮小量之積是無窮小量。

例如，當(dāng)x-0時，3sinx也是無窮小量。

推論2：有限個無窮小量之積是無窮小量。(注：兩個無窮小之商未必是無窮小)

2、無窮大量

當(dāng)X-/(或土8)時，如果函數(shù)f(x)的絕對值無限增大，則稱當(dāng)x-x0(或±8)時,

f(x)是無窮大量。記作limf(x)=8,或f(x)f8。

定義6若lim/(%)=oo(或lim/(%)=co),則稱f(x)為當(dāng)xfx。(或x-?8)時

XT麗X—>00

的無窮大量,簡稱無窮大。

如limL=8,表示當(dāng)x-0時，,為無窮大.

xX

關(guān)于無窮大量幾點說明：

1.無窮大量不是一個很大的數(shù),它是極限的概念；

hm/(x)=oohmf(x)=co

2.無窮大量的實質(zhì)是極限不存在,為了表示記作I"或19''.

3.若數(shù)列｛%”)當(dāng)n-+8時，它項的絕對值無限增大，則｛%“｝是無窮大量。

4.如果當(dāng)x—Xf,(或±8)時，函數(shù)f(x)是無窮大量，那么---就是當(dāng)x-X。(或±8)

/(x)

時的無窮小量，反過來，如果當(dāng)X-x0(或±8)時，函數(shù)f(x)是非零無窮小量，那么」一

/(X)

就是當(dāng)XfX。(或±8)時的無窮大量。即⑴無窮大量的倒數(shù)是無窮小量。⑵無窮小量俳

零)的倒數(shù)是無窮大量。(3)無窮大必?zé)o界，但反之不真。

因此，證明一個變量是無窮小量的方法就是證明它的極限為0,

證明一個變量是無窮大量的方法就是證明它倒數(shù)是無窮小量。

三、課堂練習(xí)

P20習(xí)作題1、24習(xí)題二1、3

四、小結(jié)

理解極限的概念，函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之

間的關(guān)系；熟練掌握Xf8和XfXo時f(x)的極限存在的充要條件，理解無

窮大、無窮小的概念，掌握無窮大的判定方法和無窮小的概念及性質(zhì)，會用無窮小量的

性質(zhì)求極限.

五、布置作業(yè)

呂?習(xí)題二2、4、

課題：§2.2極限的運算(一)

教學(xué)目的：掌握函數(shù)極限的運算法則及其推論，能運用運算法則求極限

教學(xué)重點：函數(shù)極限的運算法則及其推論

教學(xué)難點：函數(shù)極限的運算法則的靈活運用

課型：講授課

課時：2課時

教學(xué)過程

一、導(dǎo)入新課

1、函數(shù)極限是怎樣定義的？函數(shù)極限存在的充要條件是什么？

2、無窮小的性質(zhì)有哪些？

二、講授新課

(-)極限的運算法則

設(shè)x在同一變化過程中l(wèi)im/(x)(此處省略了自變量x的變化趨勢，下同)及l(fā)img(x)

都存在，則有下列運算法則：

法則1、lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)

法則2、lim[f(x)?g(x)]=limf(x)?limg(x)

法則3、lim(limg(x)^O)

g(x)limg(x)

提示：法則的證明不作要求.

(1)直接代入求值

例1求lim(3x2-4x+l)

x->2

解:lim(3X2-4X+1)=3*22-4?2+1=5

x->2

?2x"+x—4

例2求lim----：-----

x"3x2+2

2一+一4Ji^(2/+x-4)3

解:lim

Xf—13x2+2lim(3x2+2)5

XT-1

/-7X+12

例3求lim

x->4x2-5x+4

..x"—7x+12,(x—3)(x—4).x—?31

解:lim----------二lim------------=lim----=-

xT4x-5x+414(X-l)(X-4)x->4x-\3

小結(jié)：Xf與時，可直接代入（若代入后令分母為零?？上燃s分后再代入）

2x-3

舉例:1、lim6x2^lim(6x+5)3、lim(x2-6x)4、lim

x->5X->10*T55x+3

x2-36/-4X+4

5、lim6、lim

XT-6x+6Xf2x-2

00i

(2)一型

00

2x~+x—3

例4求lim

XTOO3x^—x+2

c13

2H----------

2x~0+x—3xx22

解：lim------=lrim----y~

xf83x~-x+218嗓1,23

J---1-----Y

XX

oo

小結(jié)：X-00時，一型的極限,可用分子分母中x的最高次嘉除之

00

課堂練習(xí)1、計算lim3

X—8SAT+X

(3)8-00型，9型，

0

例5求下列函數(shù)極限

?V/31、門「Jl+x-1c「xcosx

］、lim(----------)2、lim--------3、lim/

3

T1-x\-xsoxJi+x

An1］.Z31、3—(1+x+x2)

解：］、lim(----一------)=lirm--------------—

1-xl-xX』(l-x)(l+x+x)

2+x

二lim

XTl(l-x)(l+x+x.)XT11+X+

Jl+x-1(Jl+x-1)(J1+x—1)

2、lim--------------=lim

.r->0xx->0MJI+X+1)

X「1

=lim-----------=lim/——

xf0x(Vl+x+1)Vl+x+1~2

c..xcosx..X

3、lirn-1二lirn一/?cosx=0

x->+<o1+X3…

小結(jié)：1題可看成直接代值的特殊情況

2題是“9型”經(jīng)?？赏ㄟ^分母、分子有理化解決

0

3題是無窮小與有界量的積為無窮小

三、課堂練習(xí)

P26習(xí)作題1、(1)?(3),

補充：求下列極限

1、lim口+Z,lim/smj.3、「arctanx

9-3lim-----------

XTOx10xXT8x

四、小結(jié)

00

掌握函數(shù)極限的運算法則及其推論，能運用運算法則求極限。特別情形：X-8時，一

00

型的極限，可用分子分母中x的最高次事除之；9型經(jīng)?？赏ㄟ^分母、分子有理化解決；

o

無窮小與有界量的積為無窮小.

五、布置作業(yè)

2H習(xí)題二5、6、

選做：P26思考題1

課題：§2.2極限的運算(二)

教學(xué)目的：1.掌握兩個重要極限，會運用兩個重要極限求極限

2.理解高階、低階、同階及等價無窮小量的定義

3.掌握判定等價無窮小量的充要條件及常用等價無窮小量

4.會運用等價無窮小量求函數(shù)的極限

教學(xué)重點：1.兩個重要極限及其應(yīng)用

2.高階、低階、同階和等價無窮小的定義與判定及其應(yīng)用

教學(xué)難點：1.兩個重要極限的應(yīng)用

2.等價無窮小量的判定及其在極限運算中的應(yīng)用

課型：講授課

課時：2課時

教學(xué)過程

、導(dǎo)入新課

考察極限lim也

XT。X

觀察：當(dāng)xf0時函數(shù)的變化趨勢

M弧度）0.500.100.050.040.030.02

sinx

0.95850.99830.99960.99970.99980.9999

X

當(dāng)x取正值趨近于0時，目”-1,即limm竺=1；

XXf°+X

當(dāng)x取負(fù)值趨近于0時,，-x->0,-x>0,sin(-x)>0.于是

..sinx..sin(-x)

lim----=hm--------

XT。-XTTO*(-X)

二、講授新課

（二）兩個重要極限

o,.sinr

1°hm-----=1

X

特點：①它是“g”

型

sinA

②lim-----二1（三角形△代表同一變量）

AfOA

X

思考：lim一一=l嗎？

3°sinx

例1求lim冗?sin一

XT8X

sin2xsin2x小

解:limlim------>2=2

xrOxio2X

sinx

注:limw1

XTCO龍

sinx

limlim-?sinx=O

XT8xI00X

例2求limx,sin一

XT8X

sin』

解:limsin—=limQ

XTCCXx-?oo

X

sin3x

例3求lim

x->0sin4x

..sin3x..sin3x3x4x3

解:lim------=lim[r

1。sin4xio3x4xsin4x

(復(fù)習(xí)二倍角)

2

cos"=cos?cr-sina=2cos2a-1=1-2sin2a

1+cos2a.1-cos2a

/.cos2a-sin2a-----------

22

1-cosx

例4求lim---z——

x2

2sin—sin-11sin-1

解：原式=lim----廠2=lim[(----)2?—]=—lim[----]2=—

2

ioxt-?ox22.'-->0x2

22

注：1、乘積的極限f寫成極限的乘積時，必須每個乘積的極限存在。

2、非弦函數(shù)化有弦函數(shù)

課堂練習(xí)(一)求下列極限

sin*-xsm_4x「x'

1>lim——--2>lim-------3、lim-----——

iox10x103sin'2x

4、limx?tan—5、limx^cotx6、lim/一一——

XT8x10XTO

考察極限lim(1+-)x

18X

觀察：當(dāng)+8時函數(shù)的變化趨勢

X1210100010000100000100000???

(1+-),22.252.5942.7172.71812.71822.71828

X

當(dāng)X取正值并無限增大時，（1+工），是逐漸增大的，但是不論X如何大，（1+工），的值

XX

總不會超過3.實際上如果繼續(xù)增大X.即當(dāng)Xf+oo時，可以驗證（1+，）'.是趨近于一個確

X

定的無理數(shù)e=2.718281828....

當(dāng)xf-8時，函數(shù)+有類似的變化趨勢，只是它是逐漸減小而趨向于e.

X

2°lim（1+-）x=e

18X

特點：（1）lim（1+無窮?。o窮大"即J型；

（2）“無窮小”與“無窮大”的解析式互為倒數(shù)，lim（l+-）A

推廣：①lim(l+x)x=e②lim(l+A)z=e

.90A->0

例5lim(1+—)3*

XT82x

122

解:原式=lim[(l+」-)212=e2

例6lim(1+—)3j+2

XT82x

iiii2

解：原式=lim[(1+——)3a+2?(1+——)2]=lim(1+——)”?lim(1+——)2=e2

2x2x2xI002x

3

例7lim(1+—)v

18x

1-e3R

解：原式=lim(1+-)3=e3

,S8X

3

2

例8lim(1----)v

XT8x

21--?(-2)

解：原式=lim[1+(一一)/=lim[1+—]2-=e&

XT8XX->XX

~2

2—r

例9lim(上」)*

2003-x

3-r-111

解：原式=lim()“=-——)A=lim(l+—!—)x

?S83—X*T83—X181一3

1R11

=lim(1+------)"一?(1+-------),=e

?r->8x-3x-3

課堂練習(xí)(二)

P26習(xí)作題1(4)—(8)

(三)無窮小的比較

例：當(dāng)x-0時，a=3x,/?=x2,y=sinx

x23犬.sinr1

但hm—=0lim—=ooflim-------=-

x_>03x10/mo3X3

為了比較無窮小趨于零的快慢，引入無窮小階

定義：設(shè)某一極限過程中，a與夕都是無窮小，且limg=C

a

(1)若C=0,則稱夕是比a高階的無窮小，記成夕=0(a)也稱a是比夕低階的無窮小。

(2)若CHO,則稱a與夕是同階無窮小。

特別：若C=l,則稱a與夕是等價無窮小，記為a?夕

等價無窮小在求兩個無窮小之比的極限時有重要作用。

常用的幾個等價無窮小代換：

X2

當(dāng)x-0時，有sinx?xtanx?xarcsinxxarctanx?x1—cosx

2

ln(l+x)?xex—l~xJl+x-1-----x

2

sin3x

例10求lim

x->0sin4x

..sin3x..3x3

解:lim--------二lim——=—

XT。sin4xx-o4x4

1-cosx

例11求lim

XTOx2

2

X

..1-cosx..21

解:lim----；——二hm￡=一

2

XT。X2。/2

tan2x

例12求lim

XTOsin5x

..tan2x..2x2

解:lim--------=lim——=—

a。sin5xx->o5x5

tanx-sinx

例13lim---------------

3

XT。X

x?—x2

..sinx(l-cosx)21-11

解:lim------------------=lim-.....------=lim---------=—

XT。xcosx1。xecosxkto2cosX2

注：1°用等價代換時，必須對分子或分母的整體替換（或?qū)Ψ肿?、分母的因式進(jìn)行替換）

2°分子或分母中若有“+號連接的各部分不能分別作替換。

三、小結(jié)

掌握兩個重要極限，會運用兩個重要極限求極限，理解高階、低階、同階及等價無窮小

量的定義，掌握判定等價無窮小量的充要條件及常用等價無窮小量，會運用等價無窮小量求

函數(shù)的極限。特別地，用等價代換時，必須對分子或分母的整體替換（或?qū)Ψ肿印⒎帜傅囊?/p>

式進(jìn)行替換），分子或分母中若有“+號連接的各部分不能分別作替換。

四、布置作業(yè)

鳥6習(xí)作題2、61習(xí)題二7

選做：習(xí)題二9

課題：§2.3函數(shù)的連續(xù)性

教學(xué)目的：1.理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數(shù)間斷點的類型。

2.了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，

3.了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值、最小值定理和介值定理）,

并會應(yīng)用這些性質(zhì)。

教學(xué)重點：1.函數(shù)連續(xù)性的有關(guān)概念及其應(yīng)用

2.間斷點及其分類

教學(xué)難點：1.點連續(xù)性及復(fù)合函數(shù)連續(xù)性的概念及其應(yīng)用

2.函數(shù)的連續(xù)性的判定

課型：講授課

課時：2課時

教學(xué)過程

一、導(dǎo)入新課

微積分學(xué)中研究種種不同性質(zhì)的函數(shù)，其中有一類重要的函數(shù)，就是連續(xù)函數(shù)。連續(xù)函

數(shù)反映了自然界中普遍存在的連續(xù)變化現(xiàn)象，如氣溫的變化，河水的流動等等。

二、講授新課

(一)函數(shù)連續(xù)性的定義

1、點連續(xù)

定義1設(shè)y=f(x)在點與的某鄰域上有定義，如果自變量的增量Ar=%-項)趨于零

時，對應(yīng)的函數(shù)增量也趨于零，即lim△)，=lim[f(x+Ax)—/(x。)]=0

Ar->0Axf00

則稱f(X)在點X。是連續(xù)的。

易知：Ax—>00工—冗0<y—>0<?lim[/(x)-/(x0)]=0

XT%)

即lim/(x)=/(/),于是有

0

定義2設(shè)函數(shù)y=f(x)在點與的某鄰域內(nèi)有定義，若lim/(x)=/(%),

則稱函數(shù)f(x)在點/處連續(xù)，f(x)在點與連續(xù)，必須滿足三個條件：

(1)f(x)在點/的一個鄰域內(nèi)有定義

(2)lim/(x)存在

(3)上述極限值等于函數(shù)值/(%)

只有一個條件不滿足，則點與就是函數(shù)f(x)的間斷點。

2、函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的概念

在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù)，稱為在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，或說函數(shù)

在該區(qū)間上連續(xù)，該區(qū)間也稱為函數(shù)的連續(xù)區(qū)間。若連續(xù)區(qū)間包括端點，那

么函數(shù)在右端點連續(xù)是左連續(xù)，在左端點連續(xù)是右連續(xù)。

定義3(間斷點的分類)：設(shè)/是/*)的一個間斷點，如果：

(1)/(x)的左右極限都存在，稱/為/(x)第一類間斷點，當(dāng)

lim/(x