復變函數(shù)期末試題

《復變函數(shù)論》試題庫.92

《復變函數(shù)》考試試題（一）2.sinz+cosz=

判斷題（20分）

3.函數(shù)sinZ的周期為.

1.若f（z）在z0的某個鄰域內(nèi)可導，則函數(shù)f（z）在z0解析.（）

2.有界整函數(shù)必在整個復平面為常數(shù).（）

/（z）=-1-

3.若億｝收斂，則｛Rez』JimZ"｝都收斂（）4設.Z2+l,則于⑺的孤立奇點有

4,若f（z）在區(qū)域D內(nèi)解析，且/（Z）三°,則/（Z）三c（常數(shù)）（）00

5.若函數(shù)f（z）在z0處脩斤，則它在該點的某個鄰域內(nèi)可以展開為塞級數(shù).（）5基.級數(shù)"=。的收斂半徑為.

6.若函數(shù)f（z）在整個平面上處處解析，則稱它是一

6.若z0是/⑶的m階零點，則z0是1/7（Z）的m階極點.（）

[.Z]++…+Z

lim=Jhm~=-------n=

lim/（z）7若"TB1則"T6n

7.若ZTZ。存在且有限，則Z0是函數(shù)f（z）的可去奇點.（）

8.若函數(shù)f（z）在是區(qū)域D內(nèi)的單葉函數(shù)，則/'（Z）H0（Vze°）（）

Re5（—,0）=

8.Z",其中n為自然數(shù).

9.若f（z）在區(qū)域D內(nèi)解析，則對D內(nèi)任一簡單閉曲線C一°.（）

sinz

10.若函數(shù)f（z）在區(qū)域D內(nèi)的某個圓內(nèi)恒等于常數(shù)，則f（z）在區(qū)域D內(nèi)恒等于常9.Z的孤立奇點為.

數(shù).（）

f（、lim/（z）=

二.填空題（20分）10.若Z。是J的極點，則ZTZo

dz_三.計算題（40分：

_Z（））"

,（〃為自然數(shù)）

連續(xù).

/(z)=----------------()

L設(z-l)(z-2),求/⑶在。={z:O<lzkl}內(nèi)的2.cosz與sinz在復平面內(nèi)有界.()

3.若函數(shù)f(z)在zO解析則f(z)在z0連續(xù).()

羅朗展式.4.有界整函數(shù)必為常數(shù).()

[—^—dz.

5.如zO是函數(shù)f(z)的本性奇點，則ZT"一定不存在.

2,依=1COSZ

()

6.若函數(shù)f(z)在zO可導，則f⑵在zO解析.()

f(x_f"+72+1/

3,設其中°={z：lzl=3},試求八1+)7.若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則對D內(nèi)任一簡單閉曲線cl""八=°.()

Z—18,若數(shù)列億}收斂，則{Rez,J與"mz,J都收斂()

VV=----

4.求復數(shù)Z+1的實部與虛部.

9.若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則lf(z)l也在D內(nèi)解析.()

四.證明題.(20分)

f(----)-0丁)=丁,"=12…

1,函數(shù)/(Z)在區(qū)域。內(nèi)解析證明：如果"(Z)I在。內(nèi)為常數(shù)，那10.存在一個在零點解析的函數(shù)f(z)使?+1且2〃In

么它在。內(nèi)為常數(shù).()

二.填空題.(20分)

2.試證：/(z)=Jz(l-z)在割去線段OWRezWl的z平面內(nèi)能分出兩個單1.設z=,則?z1=—，argz=—,1=一

值解析分支，并求出支割線°WRezw1上岸取正值的那支在z=-1的值.設f(z)=(x2+2xy)+z(l-sin(x2+y2),Vz=x+iy^C,則

《復變函數(shù)》考試試題(二)lim/(z)=

判斷題.(20分)工Tl+i

1.若函數(shù)/(2)="(羽?)+“(％〉)在口內(nèi)連續(xù)，則u(x,y)與v(x,y)都在D內(nèi)

fdz=軸取正實值的一個解析分支，并求它在上半虛軸左沿的點及右沿的點Z=I

Jz-z（）l=l（7—7）〃處的值.

3.I，.（〃為自然數(shù)）

ooI=[\z\dz\7\=]

立z"3.計算積分：J-i，積分路徑為（1）單位圓（I4—的

4.基級數(shù)"=。的收斂半徑為.右半圓.

5.若zO是f（z）的m階零點且m>0,則zO是的零點.

6.函數(shù)ez的周期為.

7.方程2Z5-Z3+3Z+8=0在單位圓內(nèi)的零點個數(shù)為.

四.證明題.（20分）

1.設函數(shù)f（z）在區(qū)域D內(nèi)解析，試證：f（z）在D內(nèi)為常數(shù)的充要條件是/口）

8.設-1+Z?,則/Q）的孤立奇點有.

在D內(nèi)解析.

2.試用儒歇定理證明代數(shù)基本定理.

9.函數(shù)/（Z）=|ZI的不解析點之集為.

《復變函數(shù)》考試試題（三）

Res（^,l）=—判斷題.（20分）.

io.Z.1.cosz與sinz的周期均為2卜幾（）

三計算題.（40分）2.若f（z）在zO處滿足柯西?黎曼條件，則f（z）在zO解析.（）

3.若函數(shù)f（z）在z0處解析，貝l」f（z）在zO連續(xù).（）

1.求函數(shù)sin（2z3）的基級數(shù)展開式

若數(shù)列已〃｝收斂，則｛Rez〃｝與｛Imz〃｝都收斂

4.

2.在復平面上取上半虛軸作割線.試在所得的區(qū)域內(nèi)取定函數(shù)在正實（）

5.若函數(shù)f（z）是區(qū)域D內(nèi)解析且在D內(nèi)的某個圓內(nèi)恒為常數(shù)，則數(shù)f（z）在區(qū)

域D內(nèi)為常數(shù).()

6.若函數(shù)f(z)在zO解析，則f(z)在zO的某個鄰域內(nèi)可導.()dz

Jfs-z()l=l(7—7=

7.如果函數(shù)f(z)在。=仁：lZ隆1｝上解析，且"⑵l<KIZ1=1),則5.4山.(〃為自然數(shù))

l/(Z)l<l(lzl<l)()QO

8.若函數(shù)f(z)在zO處解析，則它在該點的某個鄰域內(nèi)可以展開為幕級數(shù).6.基級數(shù)“=。的收斂半徑為.

()

9.若zO是/⑶的m階零點，則zO是I//Q)的m階極點.

7.設Z+1,則f(z)的孤立奇點有.

()

8.設/二-1,則？=——.

io.若2。是了⑵的可去奇點，則Res(/(z),z0)=0

"、

()lim/(z)=

9,若是的極點，貝ijZfZo.

二.填空題.(20分)

1.設Z+1,則f(z)的定義域為.Res(-,0)=

10.Z

2.函數(shù)ez的周期為.

三.計算題.(40分)

Z”=7—+以1+-)Hlimz?=

3.若J"〃，貝1.將函數(shù)/仁)=[2/：在圓環(huán)域°<曰(8內(nèi)展為Laurent級數(shù).

4si.n“2z+cos2z=

2.試求'幕級數(shù)的收斂半徑.

rezdz

.()

3,算下列積分：z(z—9),其中c是lzl=l

lim/(z)

4.求名鄉(xiāng)―2z‘+22―8z_2=0在|zi<i內(nèi)根的個數(shù).5.若ZTZ。存在且有限，則z0是函數(shù)的可去奇點.()

四.證明題.(20分)

6.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析且/'(Z)=°,則f(z)在D內(nèi)恒為常數(shù).()

1,函數(shù)/(Z)在區(qū)域。內(nèi)解析.證明：如果"⑶I在。內(nèi)為常數(shù)，那

么它在。內(nèi)為常數(shù).7.如果z0是f(z)的本性奇點，則ZfZo一定不存在.

2.設/(1)是一整函數(shù)，并且假定存在著一個正整數(shù)n,以及兩個正數(shù)R()

8,若/(%0)=°，尸)([0)=°,則為了⑵的n階零點.

及M,使得當?名區(qū)”時

()

"(z)\<M\z\'\9,若/⑶與g(Z)在。內(nèi)解析，且在。內(nèi)一小弧段上相等，則

/(z)三g(z),ze。

證明f(Z)是一個至多n次的多項式或一常數(shù)。

《復變函數(shù)》考試試題(四)()

判斷題.(20分)io.若/⑵在°Vz卜+00內(nèi)解析，則

1.若f(z)在z0解析，則f(z)在z0處滿足柯西-黎曼條件.()

2.若函數(shù)f(z)在zOu導，則f(z)在z0解析.()Res(/(z),O)=-Res(/(z),oo)

3.函數(shù)sinz與cosz在整個復平面內(nèi)有界.()

()

4.若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則對D內(nèi)任一簡單閉曲線C都有二.填空題.(20分)

三.計算題.(40分)

1

z=—1.解方程z'+1=0.

i,設1-/,則Rez=__』mz=一

「Z]+Zo+???+z〃

limz“-Jhm==2,設/⑶=K,求Res(/(z),oo).

2.若…,則"T8“.

3.函數(shù)ez的周期為.

[——----廢.

/⑵=

4.函數(shù)1+Z的基級數(shù)展開式為3Jg(9—z2)(z+i)

5.若函數(shù)f(z)在復平面上處處解析，則稱它是.

ii

6.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除去有限個極點之外處處解析，則稱它是D內(nèi)的

4.函數(shù)/(Z)=1-lZ有哪些奇點？各屬何類型(若是極點，指明它的階

數(shù)).

c-I71-1](Z-I)dz=___

四.證明題.(20分)

7.設C則上

證明：若函數(shù)/(Z)在上半平面解析，則函數(shù)了(之)在下半平面解析.

sinz

2.證明/—6z+3=0方程在1<1%1<2內(nèi)僅有3個根.

8.Z的孤立奇點為.

一、lim/(z)=___

9,若Z。是J的極點，則zf"

Res(—,0)=

io.z

《復變函數(shù)》考試試題(五)10.若/(z)與g(z)在。內(nèi)解析，且在Z)內(nèi)一小弧段上相等，則

判斷題.(20分)

1.若函數(shù)f(z)是單連通區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，則它在D內(nèi)有任意階導數(shù)./(z)三g(z),ze。

2.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)的解析，且在D內(nèi)某個圓內(nèi)恒為常數(shù)，則在區(qū)域D()

內(nèi)恒等于常數(shù).()二.填空題.(20分)

3.若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則lf(z)也在D內(nèi)解析.()

1,設z=]—,則?z1=—,argz=—,z=—

4.若幕級數(shù)的收斂半徑大于零，則其和函數(shù)必在收斂圓內(nèi)解析.

()

2.當z-...時，e、為實數(shù).

5.若函數(shù)f(z)在z0處滿足Cauchy-Riemann條件，則f(z)在zO解析.

()

3.設夕--1,則z=---.

lim/(z)

6.若is存在且有限，則zO是f(z)的可去奇點.

()4.e的周期為—.

7.若函數(shù)f(z)在zO可導，則它在該點解析.

1(z-l)dz=_____

()C-|7I-1

5設L.1Z則上

8.設函數(shù)/(Z)在復平面上解析，若它有界，則必/(Z)為常數(shù)

/一1

()Res(----,0)=

9.若是/(Z)的一級極點，則6.Z.

7.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除去有限個極點之外處處解析，則稱它是D內(nèi)的

Res(/(z),zo)=Hm(z-z0)f(z)

Z-?Zo

()

8.函數(shù)'1+Z?的基級數(shù)展開式為,

sinz?zI-1上解析，并且W）*L

9.Z的孤立奇點為四.證明題.（20分）

11.證明函數(shù)f（z）—IzI除去在z=0外,處處不可微.

dz=

10.設C是以為a心，r為半徑的圓周，則（％一"）2.設/（Z）是一整函數(shù)，并且假定存在著一個正整數(shù)n,以及兩個數(shù)R及

.(〃

為自然數(shù)）

M,使得當z區(qū)R時

三.計算題.（40分）

Z-1\f（z）\<M\z\'\

證明:/（1）是一個至多n次的多項式或一常數(shù).

i.求復數(shù)Z+1的實部與虛部.

2.計算積分：

/=jRezdz

在這里L表示連接原點到1+'的直線段.

2兀dO

求積分：/=,)]_2ac0se+tr,其中o<a<i,《復變函數(shù)》考試試題（六）

判斷題（30分）：

應用儒歇定理求方程z=°（z）,在izi<i內(nèi)根的個數(shù)，在這里*（z）在若函數(shù)/仁）在Z。解析，則/（Z）在Z。連續(xù).（）

若函數(shù)/（Z）在Z（）處滿足Caychy-Riemann條件，則了（“）在”解析.（）

4=-—+M1+-）,

若]一“n,則]1i1nm7l.

若函數(shù)/仁）在Z。解析，則/（Z）在Z。處滿足Caychy-Riemann條件.（）

若函數(shù)/仁）在是區(qū)域。內(nèi)的單葉函數(shù)，則/'（Z）#0（Vze°）（）設-z?+1,則/⑶的定義域為.

若/仁）在單連通區(qū)域。內(nèi)解析，則對。內(nèi)任一簡單閉曲線C都有函數(shù)sinz的周期為.

[/（z）dz=o（）.22

siirz+cosz=________________________

若/Q）在區(qū)域D內(nèi)解析，則對D內(nèi)任一簡單閉曲線c都有L"z）dz=0■KO

力z"

（）塞級數(shù)”。的收斂半徑為.

若r（z）#0（Vz€°）,則函數(shù)/（z）在是。內(nèi)的單葉函數(shù).（）若Z。是/（Z）的rn階零點且〃2>1,則Zo是/'（z）的零點.

1若函數(shù)/Q）在整個復平面處處解析，則稱它是.

若Z。是/（Z）的加階零點，則Zo是“Z）的機階極點.（）

函數(shù)/⑶=H的不解析點之集為.

如果函數(shù)/⑵在D={z：*l}上解析，且，⑵區(qū)1刎=1）,則

方程2z‘-z3+3z+8=0在單位圓內(nèi)的零點個數(shù)為.

|/（z）|<l（|z|<l）（）

公式e,x=cosx+isinx稱為.

|sinz|<l（VzeC）（）

計算題（30分）

填空題（20分）

2-i

lim

〃一?006若Z。是了⑵的機階零點，則2。是/（Z）的m階極點.

1、

3儲+7/1+1,,

〃z)=1

-----------J/LC={z：kl=3},試求/(1+i)

2、設上4-Z,其中

/(z)=-^—

設“)z2+l,求Res(/⑵,i).《復變函數(shù)》考試試題（七）

3、判斷題（24分）

sinz3若函數(shù)/〃）在Z。解析，則/（Z）在玄的某個領域內(nèi)可導（）

求函數(shù)26在。（忖＜8內(nèi)的羅朗展式.

4、

若函數(shù)/“）在2。處解析，則/（Z）在Z。滿足Cauchy-Riemann條件.（）

z—1

w=----,一、lim/（z）

5、求復數(shù)Z+1的實部與虛部.如果Z。是/（z）的可去奇點，則一“一定存在且等于零.（）

求e」的直若函數(shù)/（Z）是區(qū)域。內(nèi)的單葉函數(shù)，則/'（z）NO（Vze。）（）

6、

證明題（20分）

若函數(shù)/仁）是區(qū)域。內(nèi)的解析函數(shù)，則它在。內(nèi)有任意階導數(shù).（）

方程z7+9z6+6z3-l=0在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為6.

若函數(shù)/&）在區(qū)域D內(nèi)的解析，且在。內(nèi)某個圓內(nèi)恒為常數(shù)，則在區(qū)域。內(nèi)

若函數(shù)/仁）="（乂丁）+26,田在區(qū)域。內(nèi)解析，丫。4）等于常數(shù)，則/（z）

恒等于常數(shù).（）

在。恒等于常數(shù).1

若Z。是“Z）的m階零點，則Z。是的〃2階極點.（）

填空題（20分）

z?=sin-^—+z(i+-)/,

若1一〃n則limz”

,/、「322+7/1+1”,,、

設/⑵=1J叱其中C={z：IW=3},試求八1+,

設-z?+1,則f（z）的定義域為.

函數(shù)/的周期為.3、設/⑵=1,求Re"（z），0）.

si.rr2z+co2sz-.

+<04、求函數(shù)（Z-D（z+1）在1〈閆<2內(nèi)的羅朗展式.

2M

Z

第級數(shù)"=。的收斂半徑為.

z—1

w=----

若Zo是/（z）的m階零點且加>1,則Zo是f'（z）的零點5、求復數(shù)Z+1的實部與虛部.

若函數(shù)/仁）在整個復平面處處解析，則稱它是.產(chǎn)dx

6、利用留數(shù)定理計算積分：1a+cosx,（">D.

函數(shù)/仁）=上|的不解析點之集為.

證明題（20分）

方程3Z8-?+3Z+8=O在單位圓內(nèi)的零點個數(shù)為.1、方程24z7+9z‘+6Z3+Z3+1=0在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為7.

Res（，0）=2、若函數(shù)〃z）="（x，y）+iv（x,y）在區(qū)域D內(nèi)解析，等于常數(shù),則f（z）

在。恒等于常數(shù).

計算題（30分）

存在一?個在零點解析的函數(shù)〃z）使/（〃+/0且"2〃）2nn1，2,

若Z。是/（z）的rn階零點，則Zo是f（z）的m階極點.

計算題（10分）

求一個單葉函數(shù)，去將z平面上的上半單位圓盤上：H<l」m?>0｝保形映射如果函數(shù)/⑵在。=卜：閆<1｝上解析，且|/（小MW=1）,則

⑵區(qū)1（閆41）（）

為卬平面的單位圓盤

《復變函數(shù)》考試試題（八）

sinz是一個有界函數(shù).（）

一、判斷題（20分）

二、填空題（20分）

1、若函數(shù)/仁）在Z。解析，則/Q）在Z。連續(xù).（）

z“=巴心+.1+工）"_

2、若函數(shù)/（Z）在Z。滿足Cauchy-Riemann條件，則了仁）在4處解析.（）1、若J/n，則hmz“_,

3、如果1。是/口）的本性奇點，則則一定不存在.（）2、設/（z）=lnz,則/（z）的定義域為.

4、若函數(shù)/.）是區(qū)域。內(nèi)解析，并且/'（Z）*0（Vze°）,則/（Z）是區(qū)域°3、函數(shù)sinz的周期為.

的單葉函數(shù).（）

].Z[+Z)H---FZn

4、若則Z,Ylim----=--------

5、若函數(shù)/仁）是區(qū)域。內(nèi)的解析函數(shù)，則它在。內(nèi)有任意階導數(shù).（）則〃T°°n

6、若函數(shù)/仁）是單連通區(qū)域。內(nèi)的每一點均可導，則它在。內(nèi)有任意階導+00

數(shù).（）5、基級數(shù)"=。的收斂半徑為.

7、若函數(shù)/（Z）在區(qū)域。內(nèi)解析且廣仁）=°,則/（Z）在。內(nèi)恒為常數(shù).（）

6、函數(shù)1+二的基級數(shù)展開式為

四、證明題（20分）

7、若°是單位圓周，〃是自然數(shù)，貝I」（Z_Zo）”1、方程漢7+5Z6+6Z3-1=0在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為7.

8、函數(shù)/⑵=目的不解析點之集為.2、若函數(shù)f（z）="（x,y）+Mx,。在區(qū)域。內(nèi)連續(xù),則二元函數(shù)"（x，y）與

9、方程15z，-Z，+4z2+8=°在單位圓內(nèi)的零點個數(shù)為.v（x，y）都在。內(nèi)連續(xù).

1

10、若"~）1+Z?,則/（Z）的孤立奇點有.

若Z。是“Z）的機階零點，則Z。是/（Z）的m階極點.

三、計算題（30分）計算題（10分）

r，+i.,1fdz,z：0<argz<q〃）

e-sinzdz+---------

!求加2疝』+3（［-1）仁_4）求一個單葉函數(shù)，去將z平面上的區(qū)域15J保形映射為卬平

面的單位圓盤{墳小"<”.

其中C={Z：H