曲線、曲面及立體相交課件

第6章曲線、曲面及立體相交6.1曲線的形成與投影6.26.3立體的三面投影6.4平面與曲面立體相交6.5兩曲面立體相交曲線、曲面及立體相交

一、曲線概述曲線可以看成是點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，也可以看作曲面與曲面或曲面與平面的交線。1、平面曲線：曲線上的所有點(diǎn)在同一平面內(nèi)，如圓、雙曲線、拋物線、擺線等；2、空間曲線：曲線上四個連續(xù)的點(diǎn)不在同一平面內(nèi)，如螺旋線。3、曲線投影性質(zhì)：曲線的投影一般仍為曲線，其切線和割線的同面投影一般情況下仍為曲線投影的切線和割線。6.1曲線的形成與投影曲線、曲面及立體相交

二、圓的投影圓的投影一般為橢圓。1、橢圓的常用概念和術(shù)語橢圓的直徑：過橢圓中心且兩端點(diǎn)在橢圓周線上的直線段，如AB、CD；共軛直徑：圖中點(diǎn)O為橢圓中心，AB是橢圓直徑，過AB的平行弦MN的中點(diǎn)作直徑CD，則AB和CD是該橢圓的一對共軛直徑，橢圓共軛直徑有無窮多對；橢圓的長、短軸：橢圓共軛直徑中互相垂直的一對共軛直徑稱為橢圓的長軸和短軸。2、圓的投影特性

1）圓上任何一對互相垂直的直徑的投影必為投影橢圓的一對共軛直徑；

2）圓上平行于切線的弦必被過切點(diǎn)的直徑所平分，該性質(zhì)在投影中保持不變；

3）圓的外切正方形的投影成為投影圓的外切平行四邊形。曲線、曲面及立體相交

3、圓的投影作圖1)特殊位置圓的投影作圖圓與投影面平行，在該投影面上的投影為圓，在其余兩個投影面上的投影集聚為直線；圓與投影面垂直時，在該投影面上積聚為直線，在另兩個投影面上的投影為橢圓，長軸為圓直徑的實(shí)長，短軸為圓直徑實(shí)長下圓所在平面和投影面夾角的余弦的積。2)一般位置圓的投影作圖已知平面S及面上一點(diǎn)O，求平面S上以點(diǎn)O為圓心、直徑為20mm的圓的投影。曲線、曲面及立體相交

三、圓柱螺旋線

1、螺旋線形成動點(diǎn)M沿直線AB等速移動，同時直線AB又繞與它平行的軸線OO等速旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)M的軌跡稱為圓柱螺旋線。

2、螺旋線投影作圖曲線、曲面及立體相交6.2常見曲面

曲面形成和分類1、形成曲面是直線或曲線繞空間運(yùn)動所形成的軌跡2、分類：運(yùn)動方式：回轉(zhuǎn)面、非回轉(zhuǎn)面；母線形狀：直線曲面、曲線曲面。曲線、曲面及立體相交6.3立體的三面投影6.3.1立體的投影6.3.2三面投影與三視圖6.3.3三視圖之間的對應(yīng)關(guān)系6.3.4平面立體6.3.5回轉(zhuǎn)體曲線、曲面及立體相交

常見的基本立體平面立體曲面立體棱柱棱錐圓柱圓錐圓球圓環(huán)

曲線、曲面及立體相交VWH6.3.1立體的投影

立體的投影，實(shí)質(zhì)上是構(gòu)成該立體的所有表面的投影總和。

曲線、曲面及立體相交

用正投影法繪制的物體的投影圖稱為視圖。6.3.2三面投影與三視圖(1)視圖的概念主視圖—立體的正面投影俯視圖—立體的水平投影左視圖—立體的側(cè)面投影(2）三視圖的投影規(guī)律三等關(guān)系主俯視圖長對正主左視圖高平齊俯左視圖寬相等長高寬寬長對正寬相等高平齊

---無軸投影圖曲線、曲面及立體相交6.3.3三視圖之間的方位對應(yīng)關(guān)系主視圖反映：上、下、左、右俯視圖反映：前、后、左、右左視圖反映：上、下、前、后上下左右后前上下前后左右上下左右前后曲線、曲面及立體相交6.3.4平面立體1、棱柱2

、棱錐曲線、曲面及立體相交平面立體側(cè)表面的交線稱為棱線若平面立體所有棱線互相平行，稱為棱柱若平面立體所有棱線交于一點(diǎn)，稱為棱錐棱錐體平面立體：是由若干個平面圖形所圍成的幾何體，如棱柱體、棱錐體等。

棱柱體

是平面立體各表面投影的集合----由直線段組成的封閉圖形。

平面立體的投影曲線、曲面及立體相交

由兩個底面和六個側(cè)棱面組成。側(cè)棱面與側(cè)棱面的交線叫側(cè)棱線，側(cè)棱線相互平行。1）六棱柱1、棱柱14曲線、曲面及立體相交（1）六棱柱的投影視圖---無軸投影圖曲線、曲面及立體相交(2)棱柱表面上取點(diǎn)a

a(a

)(b

)bb

點(diǎn)的可見性判別：

若點(diǎn)所在的平面的投影可見，點(diǎn)的投影也可見；若平面的投影積聚成直線，點(diǎn)的投影也可見。c

c

c16曲線、曲面及立體相交（1）三棱柱的視圖

由兩個底面和三個側(cè)棱面組成。側(cè)棱面與側(cè)棱面的交線叫側(cè)棱線，側(cè)棱線相互平行。2）三棱柱曲線、曲面及立體相交

三棱柱的兩底面為水平面，在俯視圖中反映實(shí)形。其余三個側(cè)棱面都是鉛垂面，水平投影積聚，與三角形的邊重合。

曲線、曲面及立體相交點(diǎn)的可見性判別：

若點(diǎn)所在的平面的投影可見，點(diǎn)的投影也可見；若平面的投影積聚成直線，點(diǎn)的投影也可見。

由于三棱柱的表面都是平面，所以在三棱柱的表面上取點(diǎn)與在平面上取點(diǎn)的方法相同。

mk

k

km

用相對坐標(biāo)，量取坐標(biāo)差的方法在表面取點(diǎn)。m

（2）三棱柱表面的點(diǎn)曲線、曲面及立體相交2、棱錐1）棱錐的組成

由一個底面和若干側(cè)棱面組成。側(cè)棱線交于有限遠(yuǎn)的一點(diǎn)——錐頂。曲線、曲面及立體相交s

Basa’cs

bCASb”(c”)a”c’b’

棱錐處于圖示位置時,其底面ABC是水平面，在俯視圖上反映實(shí)形。側(cè)棱面SBC為側(cè)垂面，另兩個側(cè)棱面為一般位置平面。2）棱錐的投影三視圖曲線、曲面及立體相交s(c

)s

a

ac

b

b

cs

ba

3）棱錐表面上取點(diǎn)2

2

23(3

)3

ⅡBCASmm

N1ⅠM1

n

n1

曲線、曲面及立體相交截平面斷面斷面的邊界線：截平面與立體表面的交線——截交線。6.3.4平面截切平面立體曲線、曲面及立體相交一、平面立體的截交線平面立體的截交線是截平面與平面立體表面的交線。曲線、曲面及立體相交二、平面立體截交線的性質(zhì)曲線、曲面及立體相交三、平面立體截交線的求法曲線、曲面及立體相交1.棱柱上截交線的求法曲線、曲面及立體相交作圖方法:1求棱線與截平面的共有點(diǎn)2連線3根據(jù)可見性處理輪廓線1?2?1?2?2?2?2?7?7?5?6?5?6?12345673?4?3?4?求截交線的實(shí)質(zhì)是求兩平面的交線[例題1]求六棱柱被截切后的水平投影和側(cè)面投影曲線、曲面及立體相交2．棱錐上截交線的求法曲線、曲面及立體相交[例題2]求如圖所示三棱錐被正垂面所截切，求作截交線的水平投影和側(cè)面投影。

s’a’b’c’c”a”b”sPvs”abc曲線、曲面及立體相交[例題2]求如圖所示三棱錐被正垂面所截切，求作截交線的水平投影和側(cè)面投影。

s’a’b’c’c”a”b”sPvs”(1)求Pv與s’a’、s’b’、s’c’的交點(diǎn)1’、2’、3’為截平面與各棱線的交點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。1’2’3’(2)根據(jù)線上取點(diǎn)的方法，求出1、2、3和1”、2”、3”。11”2”23(3)連接各點(diǎn)的同面投影即等截交線的三個投影。(4)補(bǔ)全棱線的投影。3”具體步驟如下：abc曲線、曲面及立體相交1’2’3’(4’)1”3”4”1243[例題3]求三棱錐被截切后的水平投影和側(cè)面投影yy曲線、曲面及立體相交[例題4]

求立體切割后的投影23541

11

6

6

5

4

3

2

6ⅠⅤⅣⅢⅡⅥ4

（5

）2

（3

）曲線、曲面及立體相交1、圓柱2、圓錐3、圓球4、圓環(huán)6.3.6回轉(zhuǎn)體曲線、曲面及立體相交工程中常見的曲面立體,是回轉(zhuǎn)體。

直母線生成的回轉(zhuǎn)曲面稱為直線回轉(zhuǎn)面如:圓柱面、圓錐面等。

回轉(zhuǎn)曲面是由母線(直線或曲線)繞定軸線作回轉(zhuǎn)運(yùn)動生成的。

曲母線生成的回轉(zhuǎn)曲面稱為曲線回轉(zhuǎn)面如:圓球面、圓環(huán)面等?；剞D(zhuǎn)體的表面主要由回轉(zhuǎn)曲面構(gòu)成。表面由曲面或曲面和平面構(gòu)成的立體稱為曲面立體。曲線、曲面及立體相交回轉(zhuǎn)面的術(shù)語OO頂圓素線赤道圓喉圓緯圓底圓母線軸線回轉(zhuǎn)體（面）的形成曲線、曲面及立體相交

圓柱面上與軸線平行的任一直線稱為圓柱面的素線。1）圓柱體的組成

由圓柱面和上下兩底圓組成。

圓柱面是由直母線AA1繞與之平行的軸線旋轉(zhuǎn)而成。1、圓柱曲線、曲面及立體相交2）圓柱的投影

圓柱面的俯視圖積聚成一個圓，在另兩個視圖上分別以兩個方向的外形輪廓線的投影表示。其上下底圓為水平面,在俯視圖上反映實(shí)形，在另兩個視圖上分別積聚成為一直線。曲線、曲面及立體相交（1）分析圓柱輪廓線的投影一曲線、曲面及立體相交（1）分析圓柱輪廓線的投影二曲線、曲面及立體相交（2）圓柱投影對V面可見性的判別前半面可見后半面不可見曲面的可見性的判斷輪廓線的投影是判斷曲面可見性的依據(jù)曲線、曲面及立體相交（3）圓柱投影對W面可見性的判別左半面可見右半面不可見曲面的可見性的判斷曲線、曲面及立體相交3）圓柱表面上取點(diǎn)()A(D)Cc”

輪廓線的投影是判斷曲面可見性的依據(jù)()B利用積聚性先求出水平投影曲線、曲面及立體相交a’c’4）圓柱面上的曲線曲線投影的求法是先求出線段上一系列點(diǎn)的投影；然后，再將這些點(diǎn)的投影依次光滑地連接起來。

利用積聚性先求出側(cè)面投影注意求出特殊位置的點(diǎn)（A、C）

----特殊點(diǎn)曲線、曲面及立體相交圓錐面是由直母線SA繞與它相交的軸線OO1旋轉(zhuǎn)而成。1）圓錐體的組成由圓錐面和底圓組成。

S稱為錐頂，圓錐面上過錐頂?shù)娜我恢本€稱為圓錐面的素線。SAOO12、圓錐曲線、曲面及立體相交2）圓錐的投影

如圖示位置，俯視圖為一圓。另兩個視圖為等腰三角形，三角形的底邊為圓錐底圓的投影，兩腰分別為圓錐面不同方向的兩條輪廓素線的投影。曲線、曲面及立體相交(1)圓錐的投影特點(diǎn)輪廓線的投影底圓的投影曲線、曲面及立體相交(2)圓錐可見性的判別—V面前半面可見后半面不可見曲面的可見性的判斷。注意：輪廓線的投影與曲面的可見性的判斷曲線、曲面及立體相交(3)圓錐可見性的判別—W面左半面可見右半面不可見曲面的可見性的判斷。曲線、曲面及立體相交3）圓錐表面上取點(diǎn)輔助素線法輔助圓法Aaa

如何取圓的半徑？曲線、曲面及立體相交圓錐表面上特殊位置的取點(diǎn)例：a

a

b

ba

b

曲線、曲面及立體相交4）圓錐面上的曲線

求曲線上一系列點(diǎn)的投影；注意：特殊點(diǎn)然后，再將這些點(diǎn)的投影依次光滑地連接起來。

曲線、曲面及立體相交1）圓球的形成

球是由球面圍成的。球面可看作圓繞其直徑為軸線旋轉(zhuǎn)而成。3、圓球曲線、曲面及立體相交2）圓球的投影三個視圖均為與圓球的直徑相等的圓，它們分別是圓球三個方向輪廓素線的投影。曲線、曲面及立體相交（1）圓球的投影特點(diǎn)圓球的輪廓線的投影曲線、曲面及立體相交（2）圓球可見性的判別曲線、曲面及立體相交3）圓球表面上取點(diǎn)采用輔助圓法求圓球面上的點(diǎn)圓的半徑？曲線、曲面及立體相交(c

)(b)bb

a

a圓球面上特殊點(diǎn)的求法A為一般點(diǎn)；例：

c

a

(c)B、C為特殊點(diǎn)。曲線、曲面及立體相交4）圓球面上的曲線采用輔助圓法求圓球面上的線注意：特殊點(diǎn)曲線、曲面及立體相交注意：特殊點(diǎn)采用輔助圓法求圓球面上的線4）圓球面上的曲線曲線、曲面及立體相交

一圓母線繞其所在平面內(nèi)的一條軸線作回轉(zhuǎn)而成。4、圓環(huán)

點(diǎn)擊圖片播放動畫曲線、曲面及立體相交1）圓環(huán)的畫法曲線、曲面及立體相交2）圓環(huán)的投影特點(diǎn)

主視圖是素線極限位置和內(nèi)、外環(huán)分圓的投影；俯視圖是上、下環(huán)面的投影；左視圖與主視圖相同。曲線、曲面及立體相交3）圓環(huán)投影可見性的判別由前向后看，此部分可見由上向下看，此部分可見曲線、曲面及立體相交圓環(huán)面上的輔助圓曲線、曲面及立體相交m1'24）圓環(huán)表面上取點(diǎn)m'（n'）12'

采用輔助圓法求圓環(huán)面上的點(diǎn)或線曲線、曲面及立體相交截交線截平面截交線截平面6.4平面與曲面立體相交曲線、曲面及立體相交一、截交線的性質(zhì)：

截交線的形狀取決于曲面立體表面的形狀及截平面與曲面立體軸線的相對位置。

截交線都是封閉的平面圖形。

截交線是截平面與曲面立體表面的共有線。曲線、曲面及立體相交二、求平面與曲面立體截交線的一般步驟

⒈空間及投影分析☆分析回轉(zhuǎn)體的形狀以及截平面與回轉(zhuǎn)體軸線的相對位置，以便確定截交線的形狀?！罘治鼋仄矫媾c投影面的相對位置，明確截交

線的投影特性，如積聚性、類似性等。找出截交線的已知投影，預(yù)見未知投影。⒉畫出截交線的投影當(dāng)截交線的投影為非圓曲線時，其作圖步驟為：☆將各點(diǎn)光滑地連接起來，并判斷截交線的可見性?！钕日姨厥恻c(diǎn)，補(bǔ)充中間點(diǎn)。曲線、曲面及立體相交三、具體的作圖步驟曲線、曲面及立體相交四、截交線上的特殊點(diǎn)極限點(diǎn)轉(zhuǎn)向點(diǎn)特征點(diǎn)結(jié)合點(diǎn)曲線、曲面及立體相交矩形橢圓圓6.4.1平面與圓柱相交曲線、曲面及立體相交

截平面垂直于圓柱軸線，截交線為垂直于軸線的圓

截平面平行于圓柱軸線，截交線為平行于軸線的兩條直線

截平面傾斜于圓柱軸線，截交線為橢圓6.4.1平面與圓柱相交曲線、曲面及立體相交[例1]求圓柱被截切后的側(cè)面投影分析：截平面與圓柱軸線斜交，截交線為橢圓。作圖方法:1.求特殊點(diǎn)1’1”12’2”23”4”342.適當(dāng)求一般點(diǎn)3’4’3.連線4.處理輪廓線作圖方法:表面取點(diǎn)法曲線、曲面及立體相交注意:當(dāng)截平面與圓柱軸線交線交角為45°時，截交線投影為圓。曲線、曲面及立體相交[例2]

求圓柱截交線11'1"5"4"8'8"83254ⅥⅦⅢⅡⅣⅤⅠⅧ4’(5’)2’(3’)2"3"解題步驟1．分析截平面為正垂面，截交線的側(cè)面投影為圓，水平投影為橢圓；2．求出截交線上的特殊點(diǎn)Ⅰ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅷ；3．求出若干個一般點(diǎn)Ⅱ、Ⅲ、Ⅵ、Ⅶ；4．光滑且順次地連接各點(diǎn)，作出截交線，并且判別可見性；5．整理輪廓線。766’(7’)6"7"曲線、曲面及立體相交[例3]

求圓柱截交線解題步驟1．分析側(cè)面投影為圓的一部分，截交線的水平投影為橢圓的一部分；2．求出截交線上的特殊點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ

；3．求出若干個一般點(diǎn)Ⅳ、Ⅴ

；4．光滑且順次地連接各點(diǎn)，作出截交線，并且判別可見性；5整理輪廓線。3453'3"4’(5’)5'4'1’(2’)2"1"12曲線、曲面及立體相交[例4]求切口圓柱的水平投影和側(cè)面投影解題步驟1分析截交線的水平投影為橢圓，側(cè)面投影為圓；2求出截交線上的特殊點(diǎn)Ⅰ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅷ；3求出若干個一般點(diǎn)Ⅱ、Ⅲ、Ⅵ、Ⅶ；4光滑且順次地連接各點(diǎn)，作出截交線，并且判別可見性；5整理輪廓線。曲線、曲面及立體相交[例5]

求截切圓柱的水平投影和側(cè)面投影解題步驟1分析截交線的水平投影為圓的一部分，側(cè)面投影為矩形；2求出截交線上的特殊點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3順次地連接各點(diǎn)，作出截交線并判別可見性；4整理輪廓線。ⅠⅡⅢⅣ曲線、曲面及立體相交6.4.2平面與圓錐相交圓橢圓三角形雙曲線加直線段拋物線加直線段曲線、曲面及立體相交

截平面垂直于圓錐軸線，截交線為垂直于軸線的圓。

截平面平行于圓錐軸線，或截平面傾斜于圓錐軸線且過錐頂，截交線為兩相交直線。平面截圓錐（一）曲線、曲面及立體相交截平面平行于圓錐軸線，或截平面傾斜于圓錐軸線，且b<f，截交線為雙曲線。截平面傾斜于圓錐軸線，且b>f，截交線為橢圓。截平面傾斜于圓錐軸線，且b=f，截交線為拋物線。平面截圓錐（二）曲線、曲面及立體相交求圓錐截交線上點(diǎn)的方法素線法緯圓法曲線、曲面及立體相交分析：截平面過錐頂,截交線為三角形。[例題1]求圓錐被截切后的水平投影和側(cè)面投影作圖：曲線、曲面及立體相交[例題2]

求圓錐截交線解題步驟1．分析截平面為正垂面，截交線為橢圓；截交線的水平投影和側(cè)面投影均為橢圓；2．求出截交線上的特殊點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3．求出一般點(diǎn)Ⅴ；4．光滑且順次地連接各點(diǎn)，作出截交線，并且判別可見性；5．整理輪廓線。3'33曲線、曲面及立體相交截平面截圓球，截交線為圓。平面截圓球緯圓法在圓球表面上取若干個緯圓，并求出這些緯圓與截平面的交點(diǎn)。求圓球截交線上點(diǎn)的方法6.4.3平面與圓球相交圓曲線、曲面及立體相交[例1]求圓球截交線解題步驟1．分析截平面為正垂面，截交線為圓；截交線的水平投影和側(cè)面投影均為橢圓；2．求出截交線上的特殊點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ；3．求出若干個一般點(diǎn)A、B、C、D；4．光滑且順次地連接各點(diǎn)，作出截交線，并且判別可見性；5．整理輪廓線。1"2"123"4"34565"6"787"8"a"b"c"d"bacd2'1'3'4'5'6'7'8'a'bc'd'曲線、曲面及立體相交

水平面截圓球的截交線的投影，在俯視圖上為部分圓弧，在側(cè)視圖上積聚為直線。

兩個側(cè)平面截圓球的截交線的投影，在側(cè)視圖上為部分圓弧，在俯視圖上積聚為直線。[例2]求圓球截交線曲線、曲面及立體相交[例2]求圓球截交線曲線、曲面及立體相交6.5曲面立體與曲面立體相貫

兩曲面立體的相貫線，在一般情況下是封閉的空間曲線，相貫線上每個點(diǎn)都是兩曲面立體表面的共有點(diǎn)。

相貫線是兩曲面立體表面的共有線，相貫線上的點(diǎn)是兩曲面立體表面的共有點(diǎn)。不同的立體以及不同的相貫位置，相貫線的形狀也不同。一般情況下兩回轉(zhuǎn)體相貫，相貫線為封閉的空間曲線，特殊情況為平面曲線或直線。曲線、曲面及立體相交1.兩回轉(zhuǎn)體相交,交線為相貫線相貫線2.相貫線為二立體表面的公共線3.相貫線一般為封閉的空間曲線圓柱與圓錐相貫線為二立體表面公共線相貫線相貫線圓柱與圓柱封閉的空間曲線6.5.1兩回轉(zhuǎn)體相交曲線、曲面及立體相交一、曲面立體相貫線的性質(zhì)圖例曲線、曲面及立體相交二、曲面立體相貫的三種基本形式2．外表面