北郵期中概率總結(jié)

概率論總結(jié)

想來學概率已經(jīng)將近半個學期了，其中的感受頗多，剛接觸概

率的時候感覺似曾相識，與高中所學的概率部分十分相似，在前九個

學時的時候感覺學起來很輕松很容易，但是到了后面部分就感覺有些

東西確實不好理解，抽象的概念，抽象的思維，確實需要花費一定的

時間去理解去記憶，現(xiàn)在就把所學的知識總結(jié)如下：

第一章隨機事件和概率

【我眼中的重點】：

重點掌握條件概率、三個重要公式、獨立性

?試驗：

試驗可以在相同的條件下重復進行，試驗的結(jié)果可能不止一個，

但試驗前知道所有可能的全部結(jié)果，在每次試驗前無法確定會出現(xiàn)那

個結(jié)果，具有上述特征的試驗稱為隨機試驗，簡稱試驗。

【樣本空間】：試驗E的所有可能結(jié)果組成的集合稱為E的樣本空間,

記為S。

【樣本點】：樣本空間的元素，即E的每一個結(jié)果稱為樣本點。

【隨機事件】：稱試驗E的樣本本空間S的子集為E的隨機事件，

簡稱事件。記作A,B,C..…,當且僅當這一子集中的一個樣本點出現(xiàn)時,

則稱該事件發(fā)生。

【基本事件】：由一個樣本點組成的單點集稱為基本事件。

【不可能事件］：在任何試驗中都不會出現(xiàn)的事件稱為不可能事件。

?隨機事件間的關系及其運算：

設試驗E的樣本空間為S,而

,Ak（k=1,2,…）是s的子集

【事件的包含】：如果事件A發(fā)生必然導致事件B發(fā)生（A中的每個樣

本點都包含在B中）則稱事件B包含事件A或A含于事件Bo記

作：8=>4或4（=3

【事件的相等】:若事件A,B滿足Au3且3uA

則稱事件A與B相等，記作A=B,A與B包含的樣本點完全相同。

【事件的合并】：若“兩個事件A,B至少有一個發(fā)生〃，稱這樣的事件

為A與B的和（并），記作A+6或或xwB}

【事件的積（交）】：若“兩個事件A與B同時發(fā)生〃也是一個事件，

則稱這樣的事件為A與B的積，記作=%且xe/}

【事件的差】：若事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生，則稱這樣的事件為事

件A與事件B的差。記作={%]%wA且x任5}

【互不相容】：若事件A與事件B不同時發(fā)生即A3二①

【對立事件]：若事件A,B中必有一個發(fā)生且僅有一個發(fā)生。即：

則稱事件A與B互為對立事件，或稱互為逆事件。A的對立事件

記為：A=S—A

事件運算所滿足的下述定律：

交換律：AuB=BuA,AnB=BnA

結(jié)合律：Au(BuC)=(AuB)uC

An(BnC)=(AnB)nC

分配律：Au(BnC)=(AuB)n(AuC)

An(BuC)=(AnB)o(AnC)

對偶定律：A°6=2c2

Ar\B=AuB

?概率的性質(zhì)：

性質(zhì)iM①)=。

性質(zhì)2(有限可加性)：若…'是兩兩互不相容事件，則有：

p(4u……UA")=P(A)+。(&)+…+P(A〃)

性質(zhì)3若Au民則有

(可減性)P(B-A)=P(B)-P(A)

(單調(diào)性)尸⑻"⑷

性質(zhì)4(加法定理)設A,B為任意兩個事件，則有：

P(AuB)=P(A)+P(B)-P(AB)

性質(zhì)5對任意事件A有：P(A)=1-尸(A)

?古典型隨機試驗(等可能概型)

一般，如果隨機試驗E具有：

⑴有限性：它的樣本空間的元素只有有限個

⑵等可能性：在每次試驗中，每個基本事件發(fā)生的可能性相同

則稱隨機試驗E為古典型隨機試驗，也稱等可能概型

定義：設E是古典隨機試驗，S是它的樣本空間，5={4與廣當}，

若事件A包含k個基本事件A=MJ。{ei2u{eik}

(1＜，＜，2＜.4?〃)則稱

可｛'J\、_kn'包S含中的基基本本事事件件為事件人的概率

?條件概率

尸⑷5)=尸(一)

設A,B是兩個事件，則稱尸(5)為在事件B發(fā)

生的條件下事件A發(fā)生的條件概率，其中P(B)大于0

尸(6|A)=尸尸(：：―))-，(尸(A)>0)

(1)P(①忸)=0

性質(zhì)：(2)P(A\B)=\-P(A\B)

(3)P(A,uA2\B)=P(Ar\B)+P(A2\B)-PiA.A^B)

條件概率的計算

尸(AB)

P(AIB)=

P(B)

定理工設P(B)>0或P(A)>0,則：)=P(B)P(A\B)=P(A)P(B|A)

(1)P(ABC)=P(A)P(B\A)P(C\AB)

⑵p(A&…A,)=尸(4>P(&|A)?尸(4%4)?

尸聞A&……A,』)

?獨立性

【定義。

設A,B是兩個事件，如果具有等式：P(A^=P(A)P(5)

則稱A,B為相互獨立的事件。

【定義2(兩兩獨立)】

設A,B,C三個事件，如果具有如下等式:

P(AB)=P(A)P(B)

<P(BC)=P(B)P(C)

P(AQ=P(A)P(Q

則稱A,B,C兩兩獨立。

注：若A,B,C兩兩獨立，尸(A3C)=P(A)P(3)P(C)不一定成立。

【定義3】

設A,B,C是三個事件，如果具有等式：

P(AB)=P(A)P(b)

尸(3C)=P(b)P(C)

尸(AC)=P(A)P(C)

P(ABC)=P(A)P(3)P(C)

則稱事件A,B,C為相互獨立的事件。

具有等式尸(44…&)=P(&)P(&)…P(&)

則稱…A”為相互獨立的事件。

【相互獨立與兩兩獨立的關系】：

兩兩獨立-------n個事件任何兩個彼此獨立

相互獨立n個事件任意k個~")都是獨立

的。故相互獨立=兩兩獨立，反之則不真

n個獨立事件和的概率公式：設事件A1,A2.......相互獨立，則

P0i+...Mn)=1一尸(4+42+…+A)

=1—尸(A)…耳)

=I-P(4)P(&A,P(4)

定理：設A,B是兩事件，且P(A)>0,若A,B相互獨立則：

尸⑵4)=尸⑻反之亦然。

第二章隨機變量及其分布

4-基本概念

【隨機變量的定義】：

設隨機試驗E的樣本空間§={e},如果對訐每一個渚B有一

個實數(shù)X(e)與之對應，這樣得到了一個定義在S上的單值函數(shù)X(e),

稱*=X(e)為隨機變量。

【性質(zhì)】：

(1).pk>0,4=0,L2…

⑵.冗Pk=l

4=0

上常見分布

L(0—1)分布］：

若隨機變量X只能取0與1兩個值，它的分布律為

P(X=k)=pk(l-pf-k)A;=0,1.0<p<l

則稱X服從(0-1)分布,記為：X?(0,1)

【貝努力概型】：

設隨機試驗E只有兩種可能的結(jié)果，且在每次試驗中A與氏

出現(xiàn)的概率為：只4)=〃，P(A)=l-p=^(0<p<l)

則稱這樣的n次重復獨立試驗概型為：n重貝努利概型.

定理：設一次試驗中事件A發(fā)生的概率為p,(0<p<l)

則在n次貝努利試驗中事件A恰發(fā)生k次概率為：

P網(wǎng)=(牙。一位依=以2…我

【二項分布】:

若用X表示n重貝努利概型中事件A發(fā)生的次數(shù)，它的分布律為：

P“(k)=Cpk(l—prk4=0,1,2…〃

則稱X服從參數(shù)為n,p(0<p<l)的二項分布，記為：X~B(n,p)

【泊松分

若隨機變量X的所有可能取值為：°，1，2,一?

Ake~x,_,_

而它的分布律(它所取值的各個概率)為：尸('=幻=~—A=04,2,…

K?

其中;1>0是常數(shù).

則稱X服從參數(shù)為X的泊松分布，記為X~尸(丸)

4-隨機變量的分布函數(shù)

【定義】：

尸(x)=J0(XWx)(-00<x<4-00)

設X是一個隨機變量，稱:

為X的分布函數(shù).記作：X?F(x)或Fx(x).

【性質(zhì)1

即若則XX

性質(zhì)1F(x)是一個不減函數(shù),“1<”2,F(,)-F(2)<0

性質(zhì)2F(-od)=limF(x)=0

尸(+(動=hmb(x)=l

IX-H-co

性質(zhì)3/(*)是右連續(xù)的函數(shù)，即limF(x)=F(x0)

XfX。

上連續(xù)型隨機變量的概率密度

【定義】:

若對于隨機變量X的分布函數(shù),存在非負函數(shù)f(x),使得對于任

意實數(shù)x有：尸(%)=1/?)力(=P(X<x))

則稱X為連續(xù)型變量，f(x)為X的概率密度函數(shù)。

【性質(zhì)】:

性質(zhì)1

性質(zhì)2

性質(zhì)3P(X1<X<X2)=F(X2)-F(X1)=￡/(x)dr

性質(zhì)4若/(X)在點X處連續(xù)，則有尸'(x)=/(x)

4-連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)

【定義】：

若定義在(—8，+8)上的可積函數(shù)/(X)滿足:

(1)./(x)>0

(2).「/(x)血=1

^-00

則稱F(x)=f于(x)dx

J-00

為連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)

【常見分布】：

>均勻分布

若連續(xù)型隨機變量X具有概率密度f(x)為:

17

——a<x<b

/(x)=\b-a

、0其它

則稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布(或等概率分布)

>指數(shù)分布rx

—€。x>0

若連續(xù)型隨機變量x具有概率密度f(x)為：

o其它

其中。>。為常數(shù)，則稱x為服從參數(shù)e的指數(shù)分布

?正態(tài)分布

若隨機變量X的概率密度為："")=甌'

則稱X服從參數(shù)為〃和b,的正態(tài)分布，記作

X-N"w"(x)所確定的曲線叫作正態(tài)曲線

>標準正態(tài)分布

稱〃=0,b=1的正態(tài)分布為標準正態(tài)分布。其密度函數(shù)和分布

函數(shù)常用9(x)和①(")表示：

1上

(P(x)=e2,-oo<x<oo

4-隨機變量的函數(shù)的定義

設g(x)是定義在隨機變量X的一切可能取值x的集合上的函數(shù),

如果對于X的每一個可能取值x,有另一個隨機變量y的相應取值y

=g(x),則稱y為x的函數(shù)，記為y=g(x).

定理：設隨機變量X具有概率密度fx(%)(-8<“<+8),

又設函數(shù)g(x)處處可導，且有g'(")>°(或g'(x)>°)

則Y=g(X)是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為：

J-)>|"U)|a<y<P

人3)=[o其它

第三章多維隨機變量及其分布

上二維隨機變量及分布函數(shù)的概念

【定義1】：設S=｛e｝是隨機試驗E的樣本空間，

X=X（e）,Y=Y（e）是定義在s上的隨機變量，由它們構成

的向量（X,丫）稱為二維隨機變量或二維隨機向量.

【定義2】（二維隨機變量的分布函數(shù)）

設（X，丫）是二維隨機變量，對于任意的實數(shù)了

二元函數(shù)F（x,y）=尸｛（X<x）n（y<j）｝=RX<x,Y<y）

稱為二維隨機變量（X,Y）的分布函數(shù)或稱為（X,Y）的聯(lián)合分布函

數(shù)。

【二維離散型隨機變量的定義】：如果隨機變量X,Y的取值（x,y）只能是

有限對或可列無限多對，則稱（X,Y）為二維離散型隨機變量.

【二維離散型隨機變量的分布律】：

設二維離散型隨機變量（X,Y）的所有可能取的值為

（不”）工j=L2.........

則：其相應的概率與=/睛>與￥=%）

為二維離散型隨機變量（X,Y）的概率分布或分布律，或稱為聯(lián)合分布律.

【二維連續(xù)型隨機變量的定義】：

如果隨機變量（X,Y）的取值不能——列出，而是連續(xù)的，則稱（X,Y）

為連續(xù)型隨機變量。

【二維連續(xù)型隨機變量的（聯(lián)合）概率密度與分布函數(shù)】

若存在非負的二元函數(shù)/O,對任意的有：

F(x,y)=iIf(u,v)dudv

J—00J—00

則稱（X,Y）是連續(xù)型的二維隨機變量，/（x，7）為（X,Y）的聯(lián)合概率密

度；/（X，y）為（X,Y）的聯(lián)合分布函數(shù).

f（x,y）的性質(zhì)：

性質(zhì)1/（x,j）＞0

性質(zhì)2CCf（x,y）dxdy=l

J-ooJ-oo

性質(zhì)3若f（x,y）在點（x,y）處連續(xù)，則（工"）=f（x,y）

dxdy

性質(zhì)4設G是XOY平面上的一個區(qū)域，則點（x,y）落在G內(nèi)的概

率為：P{（x,j）eG}=dxdy

1ax<x<b1

1°若/(”)=?

（4一％）電一“2）a2<x<b2

0

則稱（X,Y）服從均勻分布

獷(，+y)x>0,j>0

2°若/(%,[)=

0

2

則稱（X,Y）服從參數(shù)為人的指數(shù)分布

3°若/(x,y)

1"-“I)2、(X-〃i)(y-〃2)(y-〃2)2

2]

1-2---(-l----p--2H)-----c--r-ij---------P----------5%+-------5—

2g；一P1

其中Nl，N2，b1，。2，P

為5個常數(shù)，則稱(X,Y)服從，〃2，6，，夕的正態(tài)分布

*邊緣分布的定義

【定義】：

設尸(x,y)為x,Y的聯(lián)合分布函數(shù)，則

Fx(%)=F(X,+OO),FF(J)=F(+oo,j)

分別稱為二維隨機變量(X,Y)關于X和關于Y的邊緣分布函數(shù).

1.當(X,Y)為離散型隨機變量

已知尸(x=Xi,Y=力)=PU為(*，y)的聯(lián)合分布律，財

00

X——邊緣分布函數(shù)，4.=尸。=七)=￡/i=l,23

；=100

X——邊緣分布律，F(xiàn)X(X)=F(X,4OO)=￡^.

XjWxj=l

00

Y一一邊緣分布函數(shù)，4(7)=尸(+8,y)=ZZ%

力Myi=l

Y--邊緣分布律，號=”=匕)=力〃J=1,2...

2.當(X,Y)為連續(xù)型隨機變量，=1

已知連續(xù)型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度及聯(lián)合分

布函數(shù)下(“，》)

則X的邊緣分布函數(shù)Fx(x)=F(x,4<?)=r[P/(x,j>Zy]6Z￥

?F-CO?F-00

x的邊緣概率密度fx(x)=^f(x,y)dy

Y的邊緣分布函數(shù)Fr(j)=F(+oo,j)=￡[|T/(x,j)rfx]Jy

J-ooJ-oo

丫的邊緣概率密度人。0=，/(匹了)成

L條件分布

1.離散型隨機變量的條件分布

若(X,Y)是二維隨機變量，其聯(lián)合分布律為6*=/丫寸)=與，iJ=lZr

(X,Y)關于X和Y的邊緣分布律為P｛X=Xi)=Pi,

昨初二與,班〉(居〉0''

則在事件｛，=已發(fā)生的條件下事件｛x=%?｝發(fā)生的概率

為:P(X=xY=y.)P

HX=%y=y.)i9=-:上i=L2-

'“十=功Pj

亦稱為x在t，一)下的條件分布律.

同理y在條件X天下的條件分布律為:

HX=E，y=RP

P(Y=y.X=)=--二上廠1，2,…

JXi'A

【性質(zhì)】：

1°Pix=Xiy=jy)>o

00

00811

2。￡尸("=毛,=")=￡一=可學廣可號=1

1=11=1,

00

3°.%丫=出=巧)=1

7=1

2.連續(xù)型隨機變量的條件分布

【定義1】：

給定y,設對于任意的正數(shù)￡〉0,P｛y-￡<y《y+￡)>0

且對任意實數(shù)x：

極限liiq尸(X?x|y_￡<y?y+￡)二則.(X?x,y￡<yWy+￡)存在

則稱此極限為在條件y=y下,x的條件分布函數(shù)。記為：

尸X|y（小）=P（X<x\Y=y）

同理/y|x（?。?尸。"y\x="）為條件X=x下Y的

條件分布函數(shù)。

【定義2】：若在點（""）處/（孫7）連續(xù)，邊緣概率密度九㈠）連

續(xù)，且打（））>。/鄧（邛）=

JyVJ7/

在條件y=丁下x的條件密度函數(shù)

同理人戌3%）=4鬻

/x（%）

為在條件X=X下Y的條件密度函數(shù)

*隨機變量相互獨立的定義

【定義】：

設（X,Y）的聯(lián)合分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)為F（x,y）

及FX（x）,FY（y）,若對任意的x,y都有：

P（X<x,y<j）=P（X<x）P（y<j）即F（x,y）=Fx（xyFY（y）

則稱隨機變量X和Y是相互獨立的.

1.當（X,Y）為離散型隨機變量

x和Y相互獨立Hx=&y=乃）=HX弓）

（與，兒?）是（X,y）的所有可能的取值。

2.當（X,Y）為連續(xù)型隨機變量

X和丫相互獨立?"f（x,y）=fx（x）-fY（y）

第四章隨機變量的數(shù)學特征

一.離散型隨機變量的數(shù)學期望

定義1設X是離散型隨機變量，它的分布律為:P(X=x/=Pk,k=l,2,...

8

ZPk

如果級數(shù)絕對收斂，則稱此級數(shù)的和為隨機變量X的數(shù)

學期望，記為：E(X)=%Pk

k=l

(1)(°一1)分布

若隨機變量X只能取0與1兩個值，它的分布律為：

p(x=k)=pk(l-p?"k)4=0,1.o<P<1

則E(X)=0?q+l?0二p

⑵二項分布

設隨機變量X服從參數(shù)為(n,p)的二項分布即*~p),

E(X)=np

(3)泊松分布

E(X)=2

二.連續(xù)性隨機變量的數(shù)學期望

定義：設X是連續(xù)型隨機變量，其概率密度函數(shù)為f(x),如果積分:

[x^f(x)dx絕對收斂，則稱此積分的值為連續(xù)型隨機變量X

J-00

的數(shù)學期望，記為：E(x)=rxf(x)dx

J-00

(1).均勻分布

若連續(xù)型隨機變量X具有概率密度f(x)為：

,/、---1--a<x<

f(x)=-a

b/v、a+b

即X?U[a,b]E(X)=-r

(2).指數(shù)分布

若連續(xù)型隨機變量X具有概率密度f(x)為:

1」

“、-e0x>0

f(x)=<0

0斯

則E(X)=e

(3).正態(tài)分布1

若隨機變量X的概率密度為：，")=0岳6

X~N(〃，/)E(X)=4

三.隨機變量的函數(shù)的數(shù)學期望

定理：設Y是隨機變量X的函數(shù)：Y=g(X)(g是連續(xù)函數(shù))

則

⑴x是離散型隨機變量，它的分布律為：pk=PiX=xk\

00

若石冢絕對收斂，則有a,

￡(y)=E[g(X)]=￡g(Z)P?

k=l

(2)X是連續(xù)型隨機變量，它的概率密度為/(*)若匚g(x)/(x)dx

絕對收斂，則有附=現(xiàn)g(X)]=「g(x)/(x)dr

J-oo

四.數(shù)學期望的性質(zhì)

1.設C是常數(shù)，則有E(c)=c

2.設c是常數(shù)，X是隨機變量，則有E(fiX)=cE(X)

3.X,Y是兩個隨機變量，貝IJ："X+F)=￡UO+碩

4.X,Y是兩個相互獨立的隨機變量，則：E(XY)=E(X)E(Y)

五.方差

1.方差的定義

設X是一個隨機變量，若E[(X-E(X)]2存在，則稱。(X)=E[X-E(X)]2

為X的方差。記為：aX)=E[X-E(X)]2即O(X)=E[X-E(X)『

方差的算術平方根配H稱為標準差或均方差。記為：“田=麻

2.離散型隨機變量的方差

￡[xk-E(X了「卜

如果級數(shù)*=i絕對收斂，則稱此級數(shù)為X的

方差，記為：D(X)=Var(X)=^[xk-E(X)fpk

k=l

⑴(°_1)分布

D(X)=(0-p)2q+(l-p)2p=pqE(X)=p

⑵二項分布

D(X)=npqE(X)=np

(3)泊松分布

D(X)=2E(X)=2

3.連續(xù)型隨機變量的方差

設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為"X)如果積分

+00

\[x-E(X)]2f(x)dx

絕對收斂，則稱此積分為X的方差，記

為:+00

〃凰=際出=j[x-E(X)ff(x)dx=E[X-E(X)f

(1),均勻分布即X-u[a,b]

內(nèi))=史@"加中

122

(2).指數(shù)分布

D(X)=01E(X)=0

(3).正態(tài)分布

D(X)=cr2￡(兇="

4.方差的性質(zhì)

⑴.D(X)=E(X2)-[E(X)f

⑵.若c是常數(shù)，貝小"。)二°

⑶.若c是常數(shù)，X是隨機變量，貝ij：D(CX)=C2D(X)

⑷.若X,Y是相互獨立的隨機變量，貝ij：〃x+j>〃x)+〃y)

⑸ZXX)二g勺充分必要條件是X以概率工取常數(shù)C,即RX=c)=l

⑹.(切比雪夫不等式)設隨機變量X具有數(shù)學期望E