由遞推公式求通項(xiàng)公式的方法

由遞推公式求通項(xiàng)公式的方法由數(shù)列遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)公式是數(shù)學(xué)中針對(duì)性較強(qiáng)的一種數(shù)學(xué)解題方法，它從一個(gè)側(cè)面體現(xiàn)數(shù)學(xué)的研究方法，自從二十世紀(jì)八十年代以來(lái)，這一直是全國(guó)高考和高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的熱點(diǎn)之一.一、一階遞推數(shù)列（一）、已知前后項(xiàng)的差是個(gè)新數(shù)列用累加法。例1在數(shù)列{}中，,，求通項(xiàng)公式.解：原遞推式可化為：則，……，逐項(xiàng)相加得：.故.（二）、已知前后項(xiàng)的商是個(gè)新數(shù)列用累乘法。例2設(shè)數(shù)列{}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且（n=1,2,3…），則它的通項(xiàng)公式是=▁▁▁（2000年高考15題）.解：原遞推式可化為：=0∵＞0，則……，逐項(xiàng)相乘得：，即=.（三）、構(gòu)造法。1、（A、B為常數(shù)）型，可化為=A（）的形式.例3已知數(shù)列滿足，解法一：（構(gòu)造法Ⅰ），是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即解法二：（構(gòu)造法Ⅱ）……①……②①、②兩式相減得是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即解法三：（階差法）由，可得：………以上n式相加得即解法四：（迭代法）由，可得：即練習(xí)（1993年全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽題一試第五題）設(shè)正數(shù)列，，…，，…滿足=且，求的通項(xiàng)公式.解將遞推式兩邊同除以整理得：設(shè)=，則=1，，故有⑴⑵…………()由⑴+⑵+…+()得=，即=.逐項(xiàng)相乘得：=，考慮到，故.2、（A、B、C為常數(shù)，下同）型，可化為=）的形式.例10在數(shù)列{}中，求通項(xiàng)公式。解法一：原遞推公式兩邊同除以2n+1解法二：原遞推式可化為：①比較系數(shù)得=-4，①式即是：.則數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)，公比是2.∴即.3、型，可化為的形式。例11在數(shù)列{}中，，當(dāng)，①求通項(xiàng)公式.解：①式可化為：比較系數(shù)得=-3或=-2，不妨取=-2.①式可化為：則是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)=2-2（-1）=4，公比為3.∴.利用上題結(jié)果有：.4、型，可化為的形式。例12在數(shù)列{}中，，=6①求通項(xiàng)公式.解法一：迭代法解法二：構(gòu)造法①式可化為：②比較系數(shù)可得： =-6，，②式為 是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比為.∴即故.（四）、取倒數(shù)例6已知數(shù)列{}中，其中，且當(dāng)n≥2時(shí)，，求通項(xiàng)公式。解將兩邊取倒數(shù)得：，這說(shuō)明是一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)是，公差為2，所以，即本題的遞推公式如果寫成整式就是2anan-1+an=an-1,要注意該式的變形。練習(xí)若數(shù)列{}中，=1，是數(shù)列{}的前項(xiàng)之和，且（n），求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式是.解遞推式可變形為（1）設(shè)（1）式可化為（2）比較（1）式與（2）式的系數(shù)可得，則有。故數(shù)列{}是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列。=。所以。當(dāng)n，。數(shù)列{}的通項(xiàng)公式是（五）、周期性（六）、取對(duì)數(shù)法例7若數(shù)列{}中，=3且（n是正整數(shù)），則它的通項(xiàng)公式是=▁▁▁（2002年上海高考題）.解由題意知＞0，將兩邊取對(duì)數(shù)得，即，所以數(shù)列是以=為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，，即.二、簡(jiǎn)單二階遞推數(shù)列已知數(shù)列{}，其中，且當(dāng)n≥3時(shí)，，求通項(xiàng)公式（1986年高考文科第八題改編）.解：設(shè)，原遞推式可化為：是一個(gè)等比數(shù)列，，公比為.故.故