生物統(tǒng)計課件

資料的整理第一節(jié)資料的分類

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正確地進行資料的分類是資料整理的前提。在調查或試驗中，由觀察、測量所得的數(shù)據(jù)按其性質的不同，一般可以分為數(shù)量性狀資料、品質性狀資料和半定量（等級）資料三大類。

一、數(shù)量性狀資料下一張

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數(shù)量性狀(quantitativecharacter)是指能夠以量測或計數(shù)的方式表示其特徵的性狀。觀察測定數(shù)量性狀而獲得的數(shù)據(jù)就是數(shù)量性狀資料(dataofquantitativecharacteristics)。數(shù)量性狀資料的獲得有量測和計數(shù)兩種方式，因而數(shù)量性狀資料又分為計量資料和計數(shù)資料兩種。下一張

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（一）計量資料指用量測方式獲得的數(shù)量性狀資料，即用度、量、衡等計量工具直接測定獲得的數(shù)量性狀資料。其數(shù)據(jù)是用長度、容積、重量等來表示。這種資料的各個觀測值不一定是整數(shù)，兩個相鄰的整數(shù)間可以有帶小數(shù)的任何數(shù)值出現(xiàn)，其小數(shù)位數(shù)的多少由度量工具的精度而定，它們之間的變異是連續(xù)性的。因此，計量資料也稱為連續(xù)性變異資料。下一張

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（二）計數(shù)資料指用計數(shù)方式獲得的數(shù)量性狀資料。在這類資料中，它的各個觀察值只能以整數(shù)表示，在兩個相鄰整數(shù)間不得有任何帶小數(shù)的數(shù)值出現(xiàn)。這些觀察值只能以整數(shù)來表示，各觀察值是不連續(xù)的，因此該類資料也稱為不連續(xù)性變異資料或間斷性變異資料。下一張

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二、品質性狀資料

品質性狀(qualitativecharacter)是指能觀察到而不能直接測量的性狀，如顏色、性別、生死等。這類性狀本身不能直接用數(shù)值表示，要獲得這類性狀的數(shù)據(jù)資料，須對其觀察結果作數(shù)量化處理，其方法有以下兩種：下一張

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（一）統(tǒng)計次數(shù)法

在一定的總體或樣本中，根據(jù)某一品質性狀的類別統(tǒng)計其次數(shù)，以次數(shù)作為品質性狀的數(shù)據(jù)。例如，在研究豬的毛色遺傳時，白豬與黑豬雜交，子二代中白豬、黑豬和花豬的頭數(shù)分類統(tǒng)計如下表。下一張

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表2-1白豬和黑豬子二代的毛色分離情況下一張

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這種由品質性狀數(shù)量化得來的資料又叫次數(shù)資料。

（二）評分法

對某一品質性狀，因其類別不同，分別給予評分。例如，在研究豬的肉色遺傳時，常用的方法是將屠宰後2小時的豬眼肌橫切面與標準圖譜對比，由淺到深分別給予1

5分的評分，以便統(tǒng)計分析。

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三、半定量（等級）資料

半定量或等級資料

(semi-quantitativeorrankeddata)是指將觀察單位按所考察的性狀或指標的等級順序分組，然後清點各組觀察單位的次數(shù)而得的資料。這類資料既有次數(shù)資料的特點，又有程度或量的不同。

如糞便潛血試驗的陽性反應是在塗有糞便的棉簽上加試劑後觀察顏色出現(xiàn)的快慢及深淺程度分為六個等級；又如用某種藥物治療畜禽的某種疾病，療效分為“無效”、“好轉”、“顯效”和“控制”四個級別；然後統(tǒng)計各級別的供試畜禽數(shù)。半定量資料在獸醫(yī)研究中是常見的。下一張

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三種不同類型的資料相互間是有區(qū)別的，但有時可根據(jù)研究的目的和統(tǒng)計方法的要求將一種類型資料轉化成另一種類型的資料。例如，獸醫(yī)臨床化驗動物的白細胞總數(shù)得到的資料屬於計數(shù)資料，根據(jù)化驗的目的，可按白細胞總數(shù)正?；虿徽７譃閮山M，清點各組的次數(shù)，計數(shù)資料就轉化為品質性狀次數(shù)資料；如果按白細胞總數(shù)過高、正常、過低分為三組，清點各組次數(shù)，就轉化成了半定量資料。下一張

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第二節(jié)資料的整理

一、資料的檢查與核對檢查和核對原始資料的目的在於確保原始資料的完整性和正確性。所謂完整性是指原始資料無遺缺或重複。所謂正確性是指原始資料的測量和記載無差錯或未進行不合理的歸併。檢查中要特別注意特大、特小和異常數(shù)據(jù)（可結合專業(yè)知識作出判斷）。對於有重複、異常或遺漏的資料，應予以刪除或補齊；對有錯誤、相互矛盾的資料應進行更正，必要時進行復查或重新試驗。下一張

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二、資料的整理方法當觀測值不多(n≤30)時，不必分組，直接進行統(tǒng)計分析。當觀測值較多(n>30)時，宜將觀測值分成若干組，以便統(tǒng)計分析。將觀測值分組後，製成次數(shù)分佈表，即可看到資料的集中和變異情況。

（一）計數(shù)資料的整理現(xiàn)以50枚受精種蛋孵化出雛雞的天數(shù)為例，說明計數(shù)料的整理。下一張

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表2-250枚受精種蛋孵化出雛雞的天數(shù)

小雞出殼天數(shù)在19─24天範圍內變動，有6個不同的觀察值。用各個不同觀察值進行分組，共分為6組，可得表2-3形式的次數(shù)分佈表。下一張

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表2-350枚受精種蛋出雛天數(shù)的次數(shù)分佈表下一張

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有些計數(shù)資料，觀察值較多，變異範圍較大，若以每一觀察值為一組，則組數(shù)太多，而每組內包含的觀察值太少，資料的規(guī)律性顯示不出來。對於這樣的資料，可擴大為以幾個相鄰觀察值為一組，適當減少組數(shù)，這樣資料的規(guī)律性就較明顯，對資料進一步計算分析也比較方便。例如觀測某品種100只蛋雞每年每只下一張

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雞產蛋數(shù)（原始資料略），其變異範圍為200

299枚。這樣的資料如以每個觀察值為一組，則組數(shù)太多（該資料最多可分為100組），如間隔10枚為一組，則可使組數(shù)適當減少。經(jīng)初步整理後分為10組，資料的規(guī)律性就比較明顯，見表2-4。下一張

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表2-4100只蛋雞每年產蛋數(shù)的次數(shù)分佈表下一張

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(二)計量資料的整理

計量資料在分組前需要確定全距、組數(shù)、組距、組中值及組限，然後將全部觀測值劃線計數(shù)歸組。

【例2.1】將126頭基礎母羊的體重資料(見表2-5)整理成次數(shù)分佈表。下一張

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1、求全距

全距是資料中最大值與最小值之差，又稱為極差(range)，用R表示，即

R=Max(x)-Min(x)

本例R=65.0-37.0=28.0（kg）下一張

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2、確定組數(shù)

組數(shù)的多少視樣本含量及資料的變動範圍大小而定，一般以達到既簡化資料又不影響反映資料的規(guī)律性為原則。組數(shù)要適當，不宜過多，亦不宜過少。分組越多所求得的統(tǒng)計量越精確，但增大了運算量；若分組過少，資料的規(guī)律性就反映不出來，計算出的統(tǒng)計量的精確性也較差。一般組數(shù)的確定，可參考表2-6。下一張

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表2-5126頭基礎母羊的體重資料

單位：kg下一張

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表2-6樣本含量與組數(shù)

本例中，n＝126，根據(jù)表2-6，初步確定組數(shù)為10組。下一張

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3、確定組距每組最大值與最小值之差稱為組距，記為i。分組時要求各組的組距相等。組距的計算公式為：組距(i)＝全距／組數(shù)本例i＝28.0／10≈3.0下一張

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4、確定組限及組中值

各組的最大值與最小值稱為組限。最小值稱為下限，最大值稱為上限。每一組的中點值稱為組中值，它是該組的代表值。組中值與組限、組距的關係如下：組中值＝(組下限＋組上限)/2＝組下限＋1/2組距＝組上限－1/2組距由於相鄰兩組的組中值間的距離等於組距，所以當?shù)谝唤M的組中值確定以後，加上組距就是第二組的組中值，第二組的組中值加上組距就是第三組的組中值，其餘類推。下一張

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組距確定後，首先要選定第一組的組中值。在分組時為了避免第一組中觀察值過多，一般第一組的組中值以接近或等於資料中的最小值為好。第一組組中值確定後，該組組限即可確定，其餘各組的組中值和組限也可相繼確定。注意，最末一組的上限應大於資料中的最大值。下一張

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表2-5中，最小值為37.0，第一組的組中值取37.5，因組距已確定為3.0，所以第一組的下限為：

37.5-(1/2)×3.0＝36.0；第一組的上限也就是第二組的下限為：

36.0+3.0=39.0；第二組的上限也就是第三組的下限為：

39.0+3.0=42.0，……，以此類推，一直到某一組的上限大於資料中的最大值為止。於是可分組為：

36.0

39.0，39.0

42.0，……。下一張

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為了使恰好等於前一組上限和後一組下限的數(shù)據(jù)能確切歸組，約定將其歸入後一組。通常將上限略去不寫。第一組記為36.0

，第二組記為39.0

，

……

5、歸組劃線計數(shù)，作次數(shù)分佈表分組結束後，將資料中的每一觀測值逐一歸組,劃線計數(shù)，然後製成次數(shù)分佈表。下一張

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表2-7126頭基礎母羊的體重的次數(shù)分佈表下一張

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在歸組劃線時應注意，不要重複或遺漏，歸組劃線後將各組的次數(shù)相加，結果應與樣本含量相等，如不等，證明歸組劃線有誤，應予糾正。在分組後所得實際組數(shù)，有時和最初確定的組數(shù)不同，如第一組下限和資料中的最小值相差較大或實際組距比計算的組距為小，則實際分組的組數(shù)將比原定組數(shù)多；反之則少。下一張

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（三）品質性狀資料、半定量（等級）資料的整理對於品質性狀資料、半定量（等級）資料，可按性狀或等級進行分組，分別統(tǒng)計各組的次數(shù)，然後製成次數(shù)分佈表。下一張

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表2-8F2代山羊的有角無角分離情況下一張

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表2-9仔豬死亡情況下一張

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第三節(jié)常用統(tǒng)計表與統(tǒng)計圖

一、統(tǒng)計表

（一）統(tǒng)計表的結構和要求統(tǒng)計表由標題、橫標目、縱標目、線條、數(shù)字及合計構成，其基本格式如下表:下一張

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表號標題編制統(tǒng)計表的總原則：結構簡單，層次分明，內容安排合理，重點突出，數(shù)據(jù)準確，便於理解和比較分析。具體要求如下：下一張

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1、標題標題要簡明扼要、準確地說明表的內容，有時須注明時間、地點。

2、標目標目分橫標目和縱標目兩項。橫標目列在表的左側，用以表示被說明事物的主要標誌；縱標目列在表的上端，說明橫標目各統(tǒng)計指標內容，並注明計算單位，如％、kg、cm等等。下一張

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3、數(shù)字一律用阿拉伯數(shù)字，數(shù)字以小數(shù)點對齊，小數(shù)位數(shù)一致，無數(shù)字的用“─”表示，數(shù)字是“0”的，則填寫“0”。

4、線條表的上下兩條邊線略粗，縱、橫標目間及合計用細線分開，表的左右邊線可省去，表的左上角一般不用斜線。下一張

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(二)統(tǒng)計表的種類

統(tǒng)計表可根據(jù)縱、橫標目是否有分組分為簡單表和複合表兩類。

1、簡單表由一組橫標目和一組縱標目組成，縱橫標目都未分組。此類表適於簡單資料的統(tǒng)計，如表2-10。下一張

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表2-10某品種雞雜種二代冠形分離情況下一張

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2、複合表由兩組或兩組以上的橫標目與一組縱標目結合而成，或由一組橫標目與兩組或兩組以上的縱標目結合而成，或由兩組或兩組以上的橫、縱標目結合而成。此類表適用於複雜資料的統(tǒng)計，如表2-11。下一張

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表2-11幾種動物性食品的營養(yǎng)成分下一張

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二、統(tǒng)計圖常用的統(tǒng)計圖有長條圖

(barchart)、園圖(piechart)、線圖(linearchart)、直方圖(histogram)和折線圖(broken-linechart)等。一般情況下，計量資料採用直方圖和折線圖，計數(shù)資料、品質性狀資料、半定量（等級）資料常用長條圖、線圖或園圖。下一張

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（一）統(tǒng)計圖繪製的基本要求

1、標題簡明扼要，列於圖的下方。

2、縱、橫兩軸應有刻度，注明單位。

3、橫軸由左至右、縱軸由下而上，數(shù)值由小到大；圖形長寬比例約5：4或6：5。

4、圖中需用不同顏色或線條代表不同事物時，應有圖例說明。下一張

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（二）常用統(tǒng)計圖及其繪製方法

1、長條圖

它用等寬長條的長短或高低表示按某一研究指標劃分屬性種類或等級的次數(shù)或頻率分佈。如果只涉及一項指標，則採用單式長條圖；如果涉及兩個或兩個以上的指標，則採用複式長條圖。下一張

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在繪製長條圖時，應注意以下幾點：（1）縱軸尺度從“0”開始，間隔相等，標明所表示指標的尺度及單位。（2）橫軸是長條圖的共同基線，應標明各長條的內容。長條的寬度要相等，間隔相同。間隔的寬度可與長條寬度相同或者是其一半。（3）在繪製複式長條圖時，將同一屬性種類、等級的兩個或兩個以上指標的長條繪製在一起，各長條所表示的指標用圖例說明，同一屬性種類、等級的各長條間不留間隔。下一張

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2、園圖用於表示計數(shù)資料、品質性狀資料或半定量（等級）資料的構成比。所謂構成比，就是各類別、等級的觀測值個數(shù)(次數(shù))與觀測值總個數(shù)(樣本含量)的百分比。把園圖的全面積看成100%，按各類別、等級的構成比將園面積分成若干分，以扇形面積的大小表分別表示各類別、等級的比例。下一張

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繪製園圖時，應注意以下三點：（1）園圖每3.6°園心角所對應的扇形面積為1%。（2）園圖上各部分按資料順序或大小順序，以時鐘9時或12時為起點，順時針方向排列。（3）園圖中各部分用線條分開，注明簡要文字及百分比。例如根據(jù)表2-11中的數(shù)據(jù)用園圖繪出四種動物性食品的營養(yǎng)成分，見圖2-3。下一張

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3、線圖用來表示事物或現(xiàn)象隨時間而變化發(fā)展的情況。線圖有單式和複式兩種。

（1）單式線圖表示某一事物或現(xiàn)象的動態(tài)。

（2）複式線圖在同一圖上表示兩種或兩種以上事物或現(xiàn)象的動態(tài)。這時可用實線“

”，斷線“------”，點線“····”，橫點線“-?-?-?-”等來標誌區(qū)別。下一張

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4、直方圖(柱形圖、矩形圖)

對計量資料，可根據(jù)次數(shù)分佈表作出直方圖以表示資料的分佈情況。其作法是：在橫軸上標記組限，縱軸標記次數(shù)（f），在各組上作出其高等於次數(shù)的矩形，即得次數(shù)分佈直方圖。下一張

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5、折線圖對於計量資料，還可根據(jù)次數(shù)分佈表作出次數(shù)分佈折線圖。其作法是：在橫軸上標記組中值，縱軸上標記次數(shù)，以各組組中值為橫坐標，次數(shù)為縱坐標描點，用線段依次連接各點，即可得次數(shù)分佈折線圖。下一張

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方差分析

t檢驗法適用於樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)及兩樣本平均數(shù)間的差異顯著性檢驗，但在生產和科學研究中經(jīng)常會遇到比較多個處理優(yōu)劣的問題，即需進行多個平均數(shù)間的差異顯著性檢驗。這時，若仍採用t檢驗法就不適宜了。這是因為：下一張

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1、檢驗過程煩瑣例如，一試驗包含5個處理，採用t檢驗法要進行=10次兩兩平均數(shù)的差異顯著性檢驗；若有k個處理，則要作k(k-1)/2次類似的檢驗。下一張

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2、無統(tǒng)一的試驗誤差，誤差估計的精確性和檢驗的靈敏性低對同一試驗的多個處理進行比較時，應該有一個統(tǒng)一的試驗誤差的估計值。若用t檢驗法作兩兩比較，由於每次比較需計算一個，故使得各次比較誤差的估計不統(tǒng)一，同時沒有充分利用資料所提供的資訊而使誤差估計的精確性降低，從而降低檢驗的靈敏性。下一張

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例如，試驗有5個處理，每個處理重複6次，共有30個觀測值。進行t檢驗時，每次只能利用兩個處理共12個觀測值估計試驗誤差，誤差自由度為2(6-1)=10；若利用整個試驗的30個觀測值估計試驗誤差，顯然估計的精確性高，且誤差自由度為5(6-1)=25?？梢?，在用t檢法進行檢驗時，由於估計誤差的精確性低，誤差自由度小，使檢驗的靈敏性降低，容易掩蓋差異的顯著性。下一張

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3、推斷的可靠性低，檢驗的I型錯誤率大即使利用資料所提供的全部資訊估計了試驗誤差，若用t檢驗法進行多個處理平均數(shù)間的差異顯著性檢驗，由於沒有考慮相互比較的兩個平均數(shù)的秩次問題，因而會增大犯I型錯誤的概率，降低推斷的可靠性。由於上述原因，多個平均數(shù)的差異顯著性檢驗不宜用t檢驗，須採用方差分析法。方差分析(analysisofvariance)是由英國統(tǒng)計學家R.A.Fisher於1923年提出的。

這種方法是將k個處理的觀測值作為一個整體看待，把觀測值總變異的平方和及自由度分解為相應於不同變異來源的平方和及自由度，進而獲得不同變異來源總體方差估計值；通過計算這些總體方差的估計值的適當比值，就能檢驗各樣本所屬總體平均數(shù)是否相等。

“

方差分析法是一種在若干能相互比較的資料組中，把產生變異的原因加以區(qū)分開來的方法與技術”，方差分析實質上是關於觀測值變異原因的數(shù)量分析。下一張

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幾個常用術語:1、試驗指標(experimentalindex)

為衡量試驗結果的好壞或處理效應的高低，在試驗中具體測定的性狀或觀測的專案稱為試驗指標。由於試驗目的不同，選擇的試驗指標也不相同。在畜禽、水產試驗中常用的試驗指標有：日增重、產仔數(shù)、產奶量、產蛋率、瘦肉率、某些生理生化和體型指標(如血糖含量、體高、體重)等。下一張

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2、試驗因素(experimentalfactor)

試驗中所研究的影響試驗指標的因素叫試驗因素。如研究如何提高豬的日增重時，飼料的配方、豬的品種、飼養(yǎng)方式、環(huán)境溫濕度等都對日增重有影響，均可作為試驗因素來考慮。當試驗中考察的因素只有一個時，稱為單因素試驗；若同時研究兩個或兩個以上的因素對試驗指標的影響時，則稱為兩因素或多因素試驗。試驗因素常用大寫字母A、B、C、…等表示。下一張

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3、因素水準(leveloffactor)

試驗因素所處的某種特定狀態(tài)或數(shù)量等級稱為因素水準，簡稱水準。如比較3個品種奶牛產奶量的高低，這3個品種就是奶牛品種這個試驗因素的3個水準；研究某種飼料中4種不同能量水準對肥育豬瘦肉率的影響，這4種特定的能量水準就是飼料能量這一試驗因素的4個水準。下一張

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因素水準用代表該因素的字母加添足標1，2，…

，來表示。如A1、A2、…

，B1、B2、…，等。

4、試驗處理(treatment)

事先設計好的實施在試驗單位上的具體專案叫試驗處理，簡稱處理。在單因素試驗中，實施在試驗單位上的具體專案就是試驗因素的某一水準。例如進行飼料的比較試驗時，實施在試驗單位(某種畜禽)上的具體專案就是喂飼某一種飼料。所以進行單因素試驗時，試驗因素的一個水準就是一個處理。下一張

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在多因素試驗中，實施在試驗單位上的具體專案是各因素的某一水準組合。例如進行3種飼料和3個品種對豬日增重影響的兩因素試驗，整個試驗共有3×3=9個水準組合，實施在試驗單位(試驗豬)上的具體專案就是某品種與某種飼料的結合。所以，在多因素試驗時，試驗因素的一個水準組合就是一個處理。下一張

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5、試驗單位(experimentalunit)

在試驗中能接受不同試驗處理的獨立的試驗載體叫試驗單位。在畜禽、水產試驗中，一只家禽、一頭家畜、一只小白鼠、一尾魚，即一個動物；或幾只家禽、幾頭家畜、幾只小白鼠、幾尾魚，即一組動物都可作為試驗單位。試驗單位往往也是觀測數(shù)據(jù)的單位。下一張

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6、重複(repetition)

在試驗中，將一個處理實施在兩個或兩個以上的試驗單位上，稱為處理有重複；一處理實施的試驗單位數(shù)稱為處理的重複數(shù)。例如，用某種飼料喂4頭豬，就說這個處理(飼料)有4次重複。下一張

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第一節(jié)方差分析的基本原理與步驟

本節(jié)結合單因素試驗結果的方差分析介紹其原理與步驟。

一、線性模型與基本假定假設某單因素試驗有k個處理，每個處理有n次重複，共有nk個觀測值。這類試驗資料的數(shù)據(jù)模式如表6-1所示。下一張

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表6-1k個處理每個處理有n個觀測值的數(shù)據(jù)模式下一張

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表中表示第i個處理的第j個觀測值（i=1,2,…,k；j=1,2,…,n）；表示第i個處理n個觀測值的和；表示全部觀測值的總和；表示第i個處理的平均數(shù)；表示全部觀測值的總平均數(shù)；可以分解為下一張

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(6-1)

表示第i個處理觀測值總體的平均數(shù)。為了看出各處理的影響大小，將再進行分解，令

(6-2)(6-3)則

(6-4)

其中μ表示全試驗觀測值總體的平均數(shù)；下一張

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ai是第i個處理的效應（treatmenteffects）表示處理i對試驗結果產生的影響。顯然有

(6-5)εij是試驗誤差，相互獨立，且服從正態(tài)分佈N（0，σ2）。（6-4）式叫做單因素試驗的線性模型（linearmodel）亦稱數(shù)學模型。在這個模型中Xii表示為總平均數(shù)μ、處理效應αi、試驗誤差εij之和。下一張

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由εij相互獨立且服從正態(tài)分佈N（0，σ2），可知各處理Ai(i=1，2，…，k)所屬總體亦應具正態(tài)性，即服從正態(tài)分佈N(μi,σ2)。儘管各總體的均數(shù)

可以不等或相等，σ2則必須是相等的。所以，單因素試驗的數(shù)學模型可歸納為：

效應的可加性

（additivity）、分佈的正態(tài)性（normality）、方差的同質性（homogeneity）。這也是進行其他類型方差分析的前提或基本假定。下一張

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若將表（6-1）中的觀測值xij（i=1,2,…,k;j=1,2,…,n）的數(shù)據(jù)結構（模型）用樣本符號來表示，則

(6-6)

與（6-4）式比較可知，分別是μ、（μi-μ）=、（xij-）=的估計值。下一張

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（6-4）、（6-6）兩式告訴我們：每個觀測值都包含處理效應（μi-μ或），與誤差（或)，故kn個觀測值的總變異可分解為處理間的變異和處理內的變異兩部分。二、平方和與自由度的剖分在方差分析中是用樣本方差即均方（meansquares）來度量資料的變異程度的。表6-1中全部觀測值的總變異可以用總均方來度量。將總變異分解為處理間變異和處理內變異，就是要將總均方分解為處理間均方和處理內均方。但這種分解是通過將總均方的分子──稱為總離均差平方和，簡稱為總平方和，剖分成處理間平方和與處理內平方和兩部分；將總均方的分母──稱為總自由度，剖分成處理間自由度與處理內自由度兩部分來實現(xiàn)的。下一張

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（一）總平方和的剖分

在表6-1中，反映全部觀測值總變異的總平方和是各觀測值xij與總平均數(shù)的離均差平方和，記為SST。即下一張

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因為

其中所以（6-7）（6-7）式中，為各處理平均數(shù)與總平均數(shù)的離均差平方和與重複數(shù)n的乘積，反映了重複n次的處理間變異，稱為處理間平方和，記為SSt，即下一張

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(6-7)式中，為各處理內離均差平方和之和，反映了各處理內的變異即誤差，稱為處理內平方和或誤差平方和，記為SSe，即於是有

SST

=SSt+SSe

（6-8）這個關係式中三種平方和的簡便計算公式如下：下一張

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(6-9)

其中，C=/kn稱為矯正數(shù)。（二）總自由度的剖分

在計算總平方和時，資料中的各個觀測值要受這一條件的約束，故總自由度等於資料中觀測值的總個數(shù)減1，即kn-1?？傋杂啥扔洖閐fT，即dfT=kn-1。下一張

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在計算處理間平方和時，各處理均數(shù)要受這一條件的約束，故處理間自由度為處理數(shù)減1，即k-1。處理間自由度記為dft，即dft=k-1。在計算處理內平方和時，要受k個條件的約束，即（i=1,2,…,k。故處理內自由度為資料中觀測值的總個數(shù)減k，即kn-k

。處理內自由度記為dfe，即dfe=kn-k=k(n-1)。下一張

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因為所以

(6-10)

綜合以上各式得：

(6-11)下一張

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各部分平方和除以各自的自由度便得到總均方、處理間均方和處理內均方，分別記為MST（或）、MSt（或）和MSe（或）。即（6-12）總均方一般不等於處理間均方加處理內均方。下一張

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【例6.1】某水產研究所為了比較四種不同配合飼料對魚的飼喂效果，選取了條件基本相同的魚20尾，隨機分成四組，投喂不同飼料，經(jīng)一個月試驗以後，各組魚的增重結果列於下表。下一張

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表6-2飼喂不同飼料的魚的增重

（單位：10g）下一張

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這是一個單因素試驗，處理數(shù)k=4，重複數(shù)n=5。各項平方和及自由度計算如下：矯正數(shù)總平方和下一張

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處理間平方和處理內平方和

總自由度處理間自由度處理內自由度用SSt、SSe分別除以dft和dfe便得到處理間均方MSt及處理內均方MSe。因為方差分析中不涉及總均方的數(shù)值，所以不必計算之。下一張

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三、期望均方如前所述，方差分析的一個基本假定是要求各處理觀測值總體的方差相等，即（i=1,2,…,k）表示第i個處理觀測值總體的方差。如果所分析的資料滿足這個方差同質性的要求，那麼各處理的樣本方差S21，S22，…

，S2k都是σ2的無偏估計（unbiasedestimate）量。

S2i(i=1,2,…,k)是由試驗資料中第i個處理的n個觀測值算得的方差。下一張

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顯然，各S2i的合併方差（以各處理內的自由度n-1為權的加權平均數(shù)）也是σ2的無偏估計量，且估計的精確度更高。很容易推證處理內均方MSe就是各的合併。下一張

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其中SSi、dfi（i=1，2，…，k）分別表示由試驗資料中第i個處理的n個觀測值算得的平方和與自由度。這就是說，處理內均方MSe是誤差方差σ2的無偏估計量。試驗中各處理所屬總體的本質差異體現(xiàn)在處理效應的差異上。我們把稱為效應方差，它也反映了各處理觀測值總體平均數(shù)的變異程度，記為。下一張

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(6-13)

因為各μi未知，所以無法求得的確切值，只能通過試驗結果中各處理均數(shù)的差異去估計。然而，並非的無偏估計量。這是因為處理觀測值的均數(shù)間的差異實際上包含了兩方面的內容：一是各處理本質上的差異即αi（或μi）間的差異，二是本身的抽樣誤差。統(tǒng)計學上已經(jīng)證明，是+σ2/n的無偏估計量。因而，我們前面所計算的處理間均方MSt實際上是n+σ2的無偏估計量。下一張

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因為MSe是σ2的無偏估計量，MSt是n+σ2的無偏估計量，所以σ2為MSe的數(shù)學期望（mathematicalexpectation），n+σ2為MSt的數(shù)學期望。又因為它們是均方的期望值（expectedvalue），故又稱期望均方，簡記為EMS（expectedmeansquares）。當處理效應的方差=0，亦即各處理觀測值總體平均數(shù)（i=1，2，…,k）相等時，處理間均方MSt與處理內均方一樣，也是誤差方差σ2的估計值，方差分析就是通過MSt

與MSe的比較來推斷是否為零即是否相等的。下一張

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四、F分佈與F檢驗

（一）F分佈

設想我們作這樣的抽樣試驗，即在一正態(tài)總體N（μ，σ2）中隨機抽取樣本含量為n的樣本k個，將各樣本觀測值整理成表6-1的形式。此時所謂的各處理沒有真實差異，各處理只是隨機分的組。因此，由（6-12）式算出的和都是誤差方差的估計量。以為分母，為分子，求其比值。統(tǒng)計學上把兩個均方之比值稱為F值。即下一張

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（6-14）F具有兩個自由度：若在給定的k和n的條件下，繼續(xù)從該總體進行一系列抽樣，則可獲得一系列的F值。這些F值所具有的概率分布稱為F分布（Fdistribution）。F分布密度曲線是隨自由度df1、df2的變化而變化的一簇偏態(tài)曲線，其形態(tài)隨著df1、df2的增大逐漸趨於對稱，如圖6-1所示。下一張

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F分佈的取值範圍是（0，+∞），其平均值=1。用表示F分佈的概率密度函數(shù)，則其分佈函數(shù)為：

(6-15)因而F分佈右尾從到+∞的概率為：

(6-16)下一張

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附表4列出的是不同df1和df2下，P（F≥）=0.05和P（F≥）=0.01時的F值，即右尾概率α=0.05和α=0.01時的臨界F值，一般記作，。

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(二)F檢驗附表4是專門為檢驗代表的總體方差是否比代表的總體方差大而設計的。若實際計算的F值大於，則F值在α=0.05的水準上顯著，我們以95%的可靠性(即冒5%的風險)推斷代表的總體方差大於代表的總體方差。這種用F值出現(xiàn)概率的大小推斷兩個總體方差是否相等的方法稱為F檢驗(F-test)。

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在方差分析中所進行的F檢驗目的在於推斷處理間的差異是否存在，檢驗某項變異因素的效應方差是否為零。因此，在計算F值時總是以被檢驗因素的均方作分子，以誤差均方作分母。應當注意，分母項的正確選擇是由方差分析的模型和各項變異原因的期望均方?jīng)Q定的。下一張

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在單因素試驗結果的方差分析中，無效假設為H0：μ1=μ2=…=μk，備擇假設為HA：各μi不全相等，或H0

：=0,HA:≠0；

F=MSt/MSe，也就是要判斷處理間均方是否顯著大於處理內(誤差)均方。如果結論是肯定的，我們將否定H0；反之，不否定H0。下一張

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反過來理解：如果H0是正確的，那麼MSt與MSe都是總體誤差σ2的估計值，理論上講F值等於1；如果H0是不正確的，那麼MSt之期望均方中的就不等於零，理論上講F值就必大於1。但是由於抽樣的原因，即使H0正確，F(xiàn)值也會出現(xiàn)大於1的情況。所以，只有F值大於1達到一定程度時，才有理由否定H0。下一張

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實際進行F檢驗時，是將由試驗資料所算得的F值與根據(jù)df1=dft(大均方，即分子均方的自由度)、df2=dfe(小均方，即分母均方的自由度)查附表4所得的臨界F值，相比較作出統(tǒng)計推斷的。若F＜，即P＞0.05，不能否定H0，統(tǒng)計學上，把這一檢驗結果表述為：各處理間差異不顯著，在F值的右上方標記“ns”，或不標記符號；

若≤F＜，即0.01＜P≤0.05，否定H0，接受HA，統(tǒng)計學上，把這一檢驗結果表述為：各處理間差異顯著，在F值的右上方標記“*”；若F≥，即P≤0.01，否定H0，接受HA，統(tǒng)計學上，把這一檢驗結果表述為：各處理間差異極顯著，在F值的右上方標記“**”。下一張

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對於【例6.1】：因為

F=MSt/MSe=38.09/5.34=7.13**；根據(jù)df1=dft=3，df2=dfe=16查附表4，得F0.01(3，16)；因為F＞F0.01(3，16)=5.29,P＜0.01

表明四種不同飼料對魚的增重效果差異極顯著，用不同的飼料飼喂，增重是不同的。

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表6-3表6-2資料方差分析表下一張

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在方差分析中，通常將變異來源、平方和、自由度、均方和F值歸納成一張方差分析表，見表6-3。

在實際進行方差分析時，只須計算出各項平方和與自由度，各項均方的計算及F檢驗可在方差分析表上進行。下一張

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五、多重比較

F值顯著或極顯著，否定了無效假設HO，表明試驗的總變異主要來源於處理間的變異，試驗中各處理平均數(shù)間存在顯著或極顯著差異，但並不意味著每兩個處理平均數(shù)間的差異都顯著或極顯著，也不能具體說明哪些處理平均數(shù)間有顯著或極顯著差異，哪些差異不顯著。下一張

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因而，有必要進行兩兩處理平均數(shù)間的比較，以具體判斷兩兩處理平均數(shù)間的差異顯著性。統(tǒng)計上把多個平均數(shù)兩兩間的相互比較稱為多重比較(multiplecomparisons)。多重比較的方法甚多，常用的有最小顯著差數(shù)法(LSD法)和最小顯著極差法(LSR法)，現(xiàn)分別介紹如下。

（一）最小顯著差數(shù)法

(LSD法，leastsignificantdifference)

此法的基本作法是：在F檢驗顯著的前提下，先計算出顯著水平為α的最小顯著差數(shù)，然後將任意兩個處理平均數(shù)的差數(shù)的絕對值與其比較。下一張

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若＞LSDα時，則與在α水準上差異顯著；反之，則在α水準上差異不顯著。最小顯著差數(shù)由(6-17)式計算。

(6-17)

式中：為在F檢驗中誤差自由度下，顯著水準為α的臨界t值，為均數(shù)差異標準誤，由(6-18)式算得。

(6-18)下一張

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其中為F檢驗中的誤差均方，n為各處理的重複數(shù)。當顯著水準α=0.05和0.01時，從t值表中查出和，代入(6-17)式得：

(6-19)

利用LSD法進行多重比較時，可按如下步驟進行：

(1)列出平均數(shù)的多重比較表比較表中各處理按其平均數(shù)從大到小自上而下排列；(2)計算最小顯著差數(shù)和；

(3)將平均數(shù)多重比較表中兩兩平均數(shù)的差數(shù)與、比較，作出統(tǒng)計推斷。對於【例6.1】，各處理的多重比較如表6-4所示。下一張

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表6-4四種飼料平均增重的多重比較表

(LSD法)

注：表中A4與

A3的差數(shù)3.22用q檢驗法與新複極差法時，在α=0.05的水準上不顯著。

因為查t值表得：

t0.05(dfe)=t0.05(16)=2.120t0.01(dfe)=t0.01(16)=2.921

所以，顯著水準為0.05與0.01的最小顯著差數(shù)為下一張

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將表6-4中的6個差數(shù)與，比較：

小於者不顯著,在差數(shù)的右上方標記“ns”，或不標記符號；介於與之間者顯著，在差數(shù)的右上方標記“*”；大於者極顯著，在差數(shù)的右上方標記“**”。

檢驗結果除差數(shù)1.68、1.54不顯著、3.22顯著外，其餘兩個差數(shù)6.44、4.90極顯著。表明A1飼料對魚的增重效果極顯著高於A2和A3，顯著高於A4；A4飼料對魚的增重效果極顯著高於A3飼料；A4

與A2、A2與A3的增重效果差異不顯著，以A1飼料對魚的增重效果最佳。

關於LSD

法的應用有以下幾點說明：

1、LSD法實質上就是t檢驗法。它是將t檢驗中由所求得的t之絕對值與臨界ta值的比較轉為將各對均數(shù)差值的絕對值與最小顯著差數(shù)的比較而作出統(tǒng)計推斷的。但是，由於LSD法是利用F檢驗中的誤差自由度dfe查臨界tα值，利用誤差均方計算均數(shù)差異標準誤，因而法又不同於每次利用兩組數(shù)據(jù)進行多個平均數(shù)兩兩比較的檢驗法。它解決了本章開頭指出的檢驗法檢驗過程煩瑣，無統(tǒng)一的下一張

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試驗誤差且估計誤差的精確性和檢驗的靈敏性低這兩個問題。但法並未解決推斷的可靠性降低、犯I型錯誤的概率變大的問題。

2、有人提出，與檢驗任何兩個均數(shù)間的差異相比較，LSD法適用於各處理組與對照組比較而處理組間不進行比較的比較形式。實際上關於這種形式的比較更適用的方法有頓納特(Dunnett)法(關於此法，讀者可參閱其他有關統(tǒng)計書籍)。3、因為LSD法實質上是t檢驗，故有人指出其最適宜的比較形式是：在進行試驗設計時就確定各處理只是固定的兩個兩個相比，每個處理平均數(shù)在比較中只比較一次。例如，在一個試驗中共有4個處理，設計時已確定只是處理1與處理2、處理3與處理4(或1與3、2與4；或1與4、2與3)比較，而其他的處理間不進行比較。因為這種比較形式實際上不涉及多個均數(shù)的極差問題，所以不會增大犯I型錯誤的概率。下一張

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綜上所述，對於多個處理平均數(shù)所有可能的兩兩比較，LSD法的優(yōu)點在於方法比較簡便，克服一般檢驗法所具有的某些缺點，但是由於沒有考慮相互比較的處理平均數(shù)依數(shù)值大小排列上的秩次，故仍有推斷可靠性低、犯I型錯誤概率增大的問題。為克服此弊病，統(tǒng)計學家提出了最小顯著極差法。下一張

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(二)最小顯著極差法(LSR法,Leastsignificantranges)

LSR法的特點是把平均數(shù)的差數(shù)看成是平均數(shù)的極差，根據(jù)極差範圍內所包含的處理數(shù)(稱為秩次距)k的不同而採用不同的檢驗尺度，以克服LSD法的不足。這些在顯著水準α上依秩次距k的不同而採用的不同的檢驗尺度叫做最小顯著極差LSR。

例如有10個要相互比較，先將10個依其數(shù)值大小順次排列，兩極端平均數(shù)的差數(shù)(極差)的顯著性，由其差數(shù)是否大於秩次距k=10時的最小顯著極差決定(≥為顯著，＜為不顯著）；而後是秩次距k=9的平均數(shù)的極差的顯著性，則由極差是否大於k=9時的最小顯著極差決定；……直到任何兩個相鄰平均數(shù)的差數(shù)的顯著性由這些差數(shù)是否大於秩次距k=2時的最小顯著極差決定為止。因此，有k個平均數(shù)相互比較，就有k-1種秩次距(k，k-1，k-2，…，2)，因而需求得k-1個最小顯著極差(LSRα，k)，分別作為判斷具有相應秩次距的平均數(shù)的極差是否顯著的標準。下一張

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因為LSR法是一種極差檢驗法，所以當一個平均數(shù)大集合的極差不顯著時，其中所包含的各個較小集合極差也應一概作不顯著處理。

LSR法克服了LSD法的不足，但檢驗的工作量有所增加。常用的LSR法有q檢驗法和新複極差法兩種。

1、q檢驗法(qtest)

此法是以統(tǒng)計量q的概率分佈為基礎的。q值由下式求得：

(6-20)

式中，ω為極差，為標準誤，分佈依賴於誤差自由度dfe及秩次距k。利用q檢驗法進行多重比較時，為了簡便起見，不是將由(6-20)式算出的q值與臨界q值比較，而是將極差與比較，從而作出統(tǒng)計推斷。即為α水準上的最小顯著極差。下一張

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(6-21)

當顯著水準α=0.05和0.01時，從附表5(q值表)中根據(jù)自由度及秩次距k查出和代入(6-21)式得

(6-22)

實際利用q檢驗法進行多重比較時，可按如下步驟進行：(1)列出平均數(shù)多重比較表；

(2)由自由度dfe、秩次距k查臨界q值，計算最小顯著極差LSR0.05,k，LSR0.01,k；

(3)將平均數(shù)多重比較表中的各極差與相應的最小顯著極差LSR0.05,k,LSR0.01,k比較，作出統(tǒng)計推斷。對於【例6.1】，各處理平均數(shù)多重比較表同表6-4。在表6-4中，極差1.54、1.68、3.22的秩次距為2；極差3.22、4.90的秩次距為3；極差6.44的秩次距為4。下一張

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因為，MSe=5.34，故標準誤為根據(jù)dfe=16，k=2，3，4由附表5查出α=0.05、0.01水準下臨界q值，乘以標準誤求得各最小顯著極差，所得結果列於表6-5。

表6-5q值及LSR值下一張

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將表6-4中的極差1.54、1.68、3.22與表6-5中的最小顯著極差3.099、4.266比較；將極差3.22、4.90與3.770、4.948比較；將極差6.44與4.184、5.361比較。檢驗結果，除A4與

A3的差數(shù)3.22由LSD法比較時的差異顯著變?yōu)椴町惒伙@著外，其餘檢驗結果同法。

2、新複極差法(newmultiplerangemethod)

此法是由鄧肯(Duncan)於1955年提出，故又稱Duncan法，此法還稱SSR法(shortestsignificantranges)。新複極差法與q檢驗法的檢驗步驟相同，唯一不同的是計算最小顯著極差時需查SSR表(附表6)而不是查q值表。最小顯著極差計算公式為

(6-23)下一張

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其中是根據(jù)顯著水準α、誤差自由度dfe、秩次距k，由SSR表查得的臨界SSR，。α=0.05和α=0.01水準下的最小顯著極差為：

(6-24)

對於【例6.1】，各處理均數(shù)多重比較表同表6-4。已算出=1.033，依dfe=16k=2,3,4,由附表6查臨界SSR0.05(16,k)和SSR0.01(16,k)值，乘以=1.033，求得各最小顯著極差，所得結果列於表6-6。

表6-6SSR值與LSR值下一張

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將表6-4中的平均數(shù)差數(shù)(極差)與表6-6中的最小顯著極差比較，檢驗結果與q檢驗法相同。當各處理重複數(shù)不等時，為簡便起見，不論LSD法還是LSR法，可用(6-25)式計算出一個各處理平均的重複數(shù)n0，以代替計算或所需的n。

(6-25)

式中k為試驗的處理數(shù)，(i=1,2,…,k)為第i處理的重複數(shù)。

以上介紹的三種多重比較方法，其檢驗尺度有如下關係：

LSD

法≤新複極差法≤q檢驗法當秩次距k=2時，取等號；秩次距k≥3時，取小於號。在多重比較中，LSD法的尺度最小，q檢驗法尺度最大，新複極差法尺度居中。用上述排列順序前面方法檢驗顯著的差數(shù)，用後面方法檢驗未必顯著；用後面方法檢驗顯著的差數(shù)，用前面方法檢驗必然顯著。一般地講，一個下一張

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試驗資料，究竟採用哪一種多重比較方法，主要應根據(jù)否定一個正確的H0和接受一個不正確的H0的相對重要性來決定。如果否定正確的H0是事關重大或後果嚴重的，或對試驗要求嚴格時，用檢驗法較為妥當；如果接受一個不正確的H0是事關重大或後果嚴重的，則宜用新複極差法。生物試驗中，由於試驗誤差較大，常採用新複極差法；F檢驗顯著後，為了簡便，也可採用LSD法。

(三)多重比較結果的表示法各平均數(shù)經(jīng)多重比較後，應以簡明的形式將結果表示出來，常用的表示方法有以下兩種。

1、三角形法此法是將多重比較結果直接標記在平均數(shù)多重比較表上，如表6-4所示。此法的優(yōu)點是簡便直觀，缺點是占的篇幅較大。

2、標記字母法此法是先將各處理平均數(shù)由大到小自上而下排列；然後在最大平均數(shù)後標記字母，並將該平均數(shù)與以下各平均數(shù)依次相比，凡差異不顯著標記同一字母，直到某一個與其差異顯著的平均數(shù)標記字母b；下一張

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再以標有字母b的平均數(shù)為標準，與上方比它大的各個平均數(shù)比較，凡差異不顯著一律再加標b

，直至顯著為止；再以標記有字母b的最大平均數(shù)為標準，與下麵各未標記字母的平均數(shù)相比，凡差異不顯著，繼續(xù)標記字母b，直至某一個與其差異顯著的平均數(shù)標記c；……；如此重複下去，直至最小一個平均數(shù)被標記、比較完畢為止。這樣，各平均數(shù)間凡有一個相同字母的即為差異不顯著，凡無相同字母的即為差異顯著。用小寫拉丁字母表示顯著水準α=0.05，用大寫拉丁字母表示顯著水準α=0.01。在利用字母標記法表示多重比較結果時，常在三角形法的基礎上進行。此法的優(yōu)點是占篇幅小，在科技文獻中常見。

對於【例6.1】，現(xiàn)根據(jù)表6-4所表示的用新複極差法進行多重比較結果用字母標記如表6-7所示(