常用的因式分解公式

常用的因式分解公式:

(x+a)(x+b)=+(a+b)x+a6

(a±b)a=『±2ab+/

(a±b)i=ai±3aib^3ab2±b3

a2-*=g_6)g+/>)

?土/=似±如千必+/)

a'-b9=(a-b)(，T+a-3i+a-^3+???+ai"-3+i,_|)("為正控數(shù))

a'-b*—(a+b)(a"‘—,,?4-ah*'3-&**1)(丹為偶數(shù))

a"+b"=(a+i>)(a,'1+Jb2-ab*+6*-1)(〃為奇數(shù))

(a+b+c)’=J+b'+c?+2ab+2bc+2ca

a3+/+c3-3abc-(a+6+c)(a'+3+c2-ab-bc-ca)

待定系數(shù)法（因式分解）

待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中的一種重要的解題方法，應(yīng)用很廣泛，這里介紹它在

因式分解中的應(yīng)用.

在因式分解時，一些多項式經(jīng)過分析,可以斷定它能分解成某幾個因式，

但這幾個因式中的某些系數(shù)尚未確定，這時可以用一些字母來表示待定的系

數(shù).由于該多項式等于這幾個因式的乘積，根據(jù)多項式恒等的性質(zhì)，兩邊對應(yīng)項

系數(shù)應(yīng)該相等，或取多項式中原有字母的幾個特殊值，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程

（或方程組），解出待定字母系數(shù)的值，這種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法.

例1分解因式:x2+3xy+2y"+4x+5y+3.

分析由于

(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y),

若原式可以分解因式，那么它的兩個一次項一定是x+2y+m和x+y+n的形式,

應(yīng)用待定系數(shù)法即可求出m和n,使問題得到解決.

解設(shè)

x2+3xy+2y2+4x+5y+3

=(x+2y+m)(x+y+n)

=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn,

比較兩邊對應(yīng)項的系數(shù)，則有

解之得m=3,n=l.所以

原式=(x+2y+3)(x+y+1).

說明本題也可用雙十字相乘法,請同學(xué)們自己解一下.

例2分解因式：X-2X-27X2-44X+7.

分析本題所給的是一元整系數(shù)多項式，根據(jù)前面講過的求根法,若原式有

有理根，則只可能是±1,±7(7的約數(shù))，經(jīng)檢驗，它們都不是原式的根，所以,

在有理數(shù)集內(nèi),原式?jīng)]有一次因式.如果原式能分解，只能分解為

(x'+ax+b)(x'+cx+d)的形式.

解設(shè)

原式=(x?+ax+b)(x?+cx+d)

=x4+(a+c)x'!+(b+d+ac)xJ+(ad+bc)x+bd,

所以有

由bd=7,先考慮b=l,d=7有

所以

原式=(x'-7x+l)(x'+5x+7).

說明由于因式分解的唯一性，所以對b=T,d=-7等可以不加以考慮.本題

如果b=l,d=7代入方程組后，無法確定a,c的值，就必須將bd=7的其他解代

入方程組,直到求出待定系數(shù)為止.

本題沒有一次因式，因而無法運用求根法分解因式.但利用待定系數(shù)法，使

我們找到了二次因式.由此可見，待定系數(shù)法在因式分解中也有用武之地.

求根法(因式分解)

我們把形如anxn+an-1xn~1+?，,+alx+aO(n為非負整數(shù))的代數(shù)式稱為關(guān)于x

的一元多項式，并用f(x),g(x),…等記號表示，如f(x)=x2-3x+2,

g(x)=x5+x2+6,…，當x=a時，多項式f(x)的值用f(a)表示.如對上面的

多項式f(x)f(l)=12-3X

我們把形如aW+anTx"」+…+&x+a°(n為非負整數(shù))的代數(shù)式稱為關(guān)于x的一元

多項式，并用f(x),g(x),…等記號表示，如

f(x)=x"-3x+2,g(x)=X5+X2+6,…，

當x=a時，多項式f(x)的值用f(a)表示.如對上面的多項式f(x)

f(l)=l2-3X1+2=0；

f(-2)=(-2)-3X(-2)+2=12.

若f(a)=O,則稱a為多項式f(x)的一個根.

定理1(因式定理)若a是一元多項式f(x)的根，即f(a)=O成立，則多項式

f(x)有一個因式x-a.

根據(jù)因式定理，找出一元多項式f(x)的一次因式的關(guān)鍵是求多項式f(x)的

根.對于任意多項式f(x),要求出它的根是沒有一般方法的，然而當多項式f(x)

的系數(shù)都是整數(shù)時,即整系數(shù)多項式時，經(jīng)常用下面的定理來判定它是否有有理

根.

定理2

的根，則必有p是a。的約數(shù)，q是a”的約數(shù).特別地，當a0=l時，整系數(shù)

多項式f(x)的整數(shù)根均為a0的約數(shù).

我們根據(jù)上述定理，用求多項式的根來確定多項式的一次因式，從而對多項

式進行因式分解.

例2分解因式:X3-4X2+6X-4.

分析這是一個整系數(shù)一元多項式，原式若有整數(shù)根，必是-4的約數(shù)，逐個

檢驗-4的約數(shù)：±1,±2,±4,只有

f(2)=23-4X2z+6X2-4=0,

即x=2是原式的一個根，所以根據(jù)定理1,原式必有因式x-2.

解法1用分組分解法，使每組都有因式(x-2).

原式=(X3-2X2)-(2x2-4x)+(2x-4)

=X2(X-2)-2X(X-2)+2(x-2)

=(x-2)(x2—2x+2).

解法2用多項式除法，將原式除以(x-2),

所以

原式=(x-2)(x'-2x+2).

說明在上述解法中，特別要注意的是多項式的有理根一定是-4的約數(shù)，反

之不成立，即-4的約數(shù)不一定是多項式的根.因此，必須對-4的約數(shù)逐個代入

多項式進行驗證.

例3分解因式：9X-3X3+7X2-3X-2.

分析因為9的約數(shù)有±1,±3,±9；-2的約數(shù)有±1,

為：

所以，原式有因式9x?-3x-2.

解9X'-3X:!+7X2-3X-2

=9x4-3x-2x2+9x-3x-2

=x2(9x!-3x-2)+9x2-3x-2

=(9x~-3x-2)(x2+l)

=(3x+l)(3x-2)(x2+l)

說明若整系數(shù)多項式有分數(shù)根，可將所得出的含有分數(shù)的因式化為整系數(shù)

因式，如上題中的因式

可以化為9X2-3X-2,這樣可以簡化分解過程.

總之，對一元高次多項式f(x),如果能找到一個一次因式(x-a),那么f(x)

就可以分解為(x-a)g(x),而g(x)是比f(x)低一次的一元多項式，這樣，我們就

可以繼續(xù)對g(x)進行分解了.

雙十字相乘法(因式分解)

分解二次三項式時，我們常用十字相乘法.對于某些二元二次六項式

(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我們也可以用十字相乘法分解因式.例如，分解因式

2x2-7xy-22y2-5x+35y-3.我們將上式按x降幕排列,并把y當作常數(shù)，于是上

式可變形為2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3),可

分解二次三項式時，我們常用十字相乘法.對于某些二元二次六項式

(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我們也可以用十字相乘法分解因式.

例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3.我們將上式按x降基排列，并把y

當作常數(shù),于是上式可變形為

2x-(5+7y)x-(22y2-35y+3),

可以看作是關(guān)于x的二次三項式.

對于常數(shù)項而言，它是關(guān)于y的二次三項式，也可以用十字相乘法，分解為

即

-22y2+35y-3=(2y-3)(-lly+1).

再利用十字相乘法對關(guān)于x的二次三項式分解

所以

原式=[x+(2y-3)]原x+(-lly+1)]

=(x+2y-3)(2x-lly+l).

上述因式分解的過程，實施了兩次十字相乘法.如果把這兩個步驟中的十字

相乘圖合并在一起，可得到下圖：

它表示的是下面三個關(guān)系式：

(x+2y)(2x-lly)=2x'-7xy-22y2；

(x-3)(2X+1)=2X2-5X-3；

(2y-3)(-lly+l)=-22y2+35y-3.

這就是所謂的雙十字相乘法.

用雙十字相乘法對多項式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f進行因式分解的步驟是：

(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2,得到一個十字相乘圖(有兩列)；

(2)把常數(shù)項f分解成兩個因式填在第三列上，要求第二、第三列構(gòu)成的十

字交叉之積的和等于原式中的ey,第一、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于

原式中的dx.

例1分解因式：

(1)x2-3xy-10yJ+x+9y-2；

(2)x2-y2+5x+3y+4；

(3)xy+yJ+x-y-2；

(4)6x°-7xy-3廣xz+7yz-2z二

解(1)

原式=(x-5y+2)(x+2yT).

(2)

原式=(x+y+l)(x-y+4).

(3)原式中缺x?項，可把這一項的系數(shù)看成0來分解.

原式=(y+l)(x+y-2).

(4)

原式二（2x-3y+z）（3x+y-2z）.

說明（4）中有三個字母，解法仍與前面的類似.

筆算開平方

對于一個數(shù)的開方，可以不用計算機，也不用查表，直接筆算出來，下面通

過一個例子來說明如何筆算開平方，對于其它數(shù)只需模仿即可

例求316.4841的平方根.

第一步，先將被開方的數(shù)，從小數(shù)點位置向左右每隔兩位用逗號，分段，如把數(shù)

316.4841分段成3,16.48,41.

第二步，找出第一段數(shù)字的初商，使初商的平方不超過第一段數(shù)字，而初商加1

的平方則大于第一段數(shù)字，本例中第一段數(shù)字為3,初商為1,因為12=1<3,而

（1+1）2=4>3.

第三步，用第一段數(shù)字減去初商的平方，并移下第二段數(shù)字，組成第一余數(shù)，在

本例中第一余數(shù)為216.

第四步，找出試商，使（20X初商+試商）義試商不超過第一余數(shù)，而【20X初商

+（試商+1）】X（試商+1）則大于第一余數(shù).

第五步，把第一余數(shù)減去（20X初商+試商）X試商，并移下第三段數(shù)字，組成第

二余數(shù)，本例中試商為7,第二余數(shù)為2748.依此法繼續(xù)做下去，直到移完所有

的段數(shù)，若最后余數(shù)為零，則開方運算告結(jié)束.若余數(shù)永遠不為零，則只能取某

一精度的近似值.

第六步，定小數(shù)點位置，平方根小數(shù)點位置應(yīng)與被開方數(shù)的小數(shù)點位置對齊.本

例的算式如下：

17.79

/J3,16.48,41

1............I2

20X1=20216........第一余數(shù)

+7

27189...........27X7

20X17=3402748.....第二余數(shù)

_______+7

3472429........347X7

20X177=354031941……第三余數(shù)

_________+9

3549319413549X9

0

根式的概念

【方根與根式】數(shù)a的n次方根是指求一個數(shù)，它的n次方恰好等于a.a的n

次方根記為正（n為大于1的自然數(shù)）.作為代數(shù)式，正稱為根式.n稱為根指數(shù),

a稱為根底數(shù).在實數(shù)范圍內(nèi)，負數(shù)不能開偶次方，一個正數(shù)開偶次方有兩個方

根，其絕對值相同,符號相反.

【算術(shù)根】正數(shù)的正方根稱為算術(shù)根.零的算術(shù)根規(guī)定為零.

【基本性質(zhì)】由方根的定義，有

（與a=a八序

于根式運算

【乘積的方根】乘積的方根等于各因子同次方根的乘積；反過來，同次方根的

乘積等于乘積的同次方根，即

弋日=蚯.必（a、0,b20）

【分式的方根】分式的方根等于分子、分母同次方根相除，即

20,b>0)

【根式的乘方】哂)"=行920)

【根式化簡】

衍=行缶對)

i=—(a>0)

y)aa

y/c+yfd(、E+(^/c+4-

_s.(a-b

3>0Q>0aHEcN0,d20)

y/c+yjd(、R+--

(*\/^4~—^/b')a-b

3>0?>0。工加20,心0)

【同類根式及其加減運算】根指數(shù)和根底數(shù)都相同的根式稱為同類根式，只有

同類根式才可用加減運算加以合并.

序進位制的基與數(shù)字

任一正數(shù)可表為通常意義下的有限小數(shù)或無限小數(shù)，各數(shù)字的值與數(shù)字所在的位

置有關(guān)，任何位置的數(shù)字當小數(shù)點向右移一位時其值擴大10倍，當小數(shù)點向左

移一位時其值縮小10倍.例如

173.246=1x102+7x10+3+2x10-1+4x10」+6x10-3

一般地，任一正數(shù)a可表為

a=???alaca-1a.3???

=4x10*+a..]x10*'+,??+a]X10+%

+x10"+Q_2x10-2+…

這就是10進數(shù)，記作a(10),數(shù)10稱為進位制的基，式中ai在｛0,1,2,L,9｝中

取值，稱為10進數(shù)的數(shù)字，顯然沒有理由說進位制的基不可以取其他的數(shù).現(xiàn)在

取q為任意大于1的正整數(shù)當作進位制的基,于是就得到q進數(shù)表示

4

Q.)=4，]…???=a*g*++…++&+a4g++???

(1)

式中數(shù)字ai在｛0,1,2,,q-1｝中取值，a?a?.ae。稱為q進數(shù)a(q)的整數(shù)部

分，記作[a(q)];

aTa-2...稱為a(q)的分數(shù)部分，記作｛a(q)｝.常用進位制，除10進制外，還

有2進制、8進制、16進制等，其數(shù)字如下

2進制0,1

8進制0,1,2,3,4,5,6,7

16進制0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

各種進位制的相互轉(zhuǎn)換

1q-10轉(zhuǎn)換適用通常的10進數(shù)四則運算規(guī)則，根據(jù)公式(1),可以把q進

數(shù)a(q)轉(zhuǎn)換為10進數(shù)表示.例如

743您=7X*+4*8+3=448+32+3=483網(wǎng)

1011.101(2)=lx23+0x23+1x2+l+lx2-,+0x2-a+lx2-3

=11625郵)

210-q轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換時必須分為整數(shù)部分和分數(shù)部分進行.

對于整數(shù)部分其步驟是：

(1)用q去除[a(10)],得到商和余數(shù).

(2)記下余數(shù)作為q進數(shù)的最后一個數(shù)字.

(3)用商替換替(10)］的位置重復(fù)(1)和(2)兩步,直到商等于零為止.

對于分數(shù)部分其步驟是：

⑴用q去塞｛a(10)｝.

(2)記下乘積的整數(shù)部分作為q進數(shù)的分數(shù)部分第一個數(shù)字.

(3)用乘積的分數(shù)部分替換值(10)｝的位置，重復(fù)(1)和(2)兩步，直到乘積變?yōu)檎?/p>

數(shù)為止，或直到所需要的位數(shù)為止.例如I：

103.118(10)=147.074324...(8)

整數(shù)部分的草式分數(shù)部分的草式

.1188

.944

8||77.552

TW4.416

13.328

2.624

4.992

3p-q轉(zhuǎn)換通常情況下其步驟是：a(p)->a(10)fa(q).如果p,q是同一數(shù)s

的不同次塞，其步驟是：a(p)fa(s)fa(q).例如,8進數(shù)127.653(8)轉(zhuǎn)換為16

進數(shù)時，由于8=23,16=24,所以s=2,其步驟是：首先把8進數(shù)的每個數(shù)字根

據(jù)8-2轉(zhuǎn)換表轉(zhuǎn)換為2進數(shù)(三位一組)

127.653(8)=001010111.110101011(2)

然后把2進數(shù)的所有數(shù)字從小數(shù)點起(左和右)每四位一組分組，從16-2轉(zhuǎn)換表

中逐個記下對應(yīng)的16進數(shù)的數(shù)字，即

127653Pl)=01010111110101011000p)=57,358(10)

正多邊形各量換算公式

n為邊數(shù)R為外接圓半徑a為邊長燎為內(nèi)切圓半徑為圓心角S為多邊形面

積重心G與外接圓心0重合正多邊形各量換算公式表各量正三角形

n為邊數(shù)R為外接圓半徑

a為邊長」為內(nèi)切圓半徑

&為圓心角'、〃，S為多邊形面積

重心G與外接圓心0重合

正多邊形各量換算公式表

各量正三角形正方形正五邊形正六邊形正n邊形

□O

圖形AO

包？

不金

A2

1725+1075a1

S逑R，述臚

42—sina

2&22

2技2

3月4戶nr3tan一a

2

a例病gjlO-275AR22?sin—

2

a

由屐1,0+2牝

R—a—aa

2V52

32。2

16+2aa

r—ala石—a—cot—

62215~a222

或許你還對作圖感興趣：正多邊形作圖

所謂初等幾何作圖問題，是指使用無刻度的直尺和圓規(guī)來作圖.若使用尺規(guī)

有限次能作出幾何圖形，則稱為作圖可能，或者說歐幾里得作圖法是可能的，否

則稱為作圖不可能.

很多平面圖形可以用直尺和圓規(guī)作出，例如上面列舉的正五邊形、正六邊

形、正八邊形、正十邊形等.而另一些就不能作出，例如正七邊形、正九邊形、

正十一邊形等，這些多邊形只能用近似作圖法.如何判斷哪些作圖可能，哪些作

圖不可能呢？直到百余年前，用代數(shù)的方法徹底地解決了這個問題，即給出一個

關(guān)于尺規(guī)作圖可能性的準則：作圖可能的充分必要條件是，這個作圖問題中必需

求出的未知量能夠由若干已知量經(jīng)過有限次有理運算及開平方運算而算出.幾千

年來許多數(shù)學(xué)家耗費了不少的精力，企圖解決所謂“幾何三大問題”：

1°立方倍積問題，即作一個立方體，使它的體積二倍于一已知立方體的體積.

2°三等分角問題，即三等分一已知角.

3°化圓為方問題，即作一正方形，使它的面積等于一已知圓的面積.

后來已嚴格證明了這三個問題不能用尺規(guī)作圖.

代數(shù)式的求值

代數(shù)式的求值與代數(shù)式的恒等變形關(guān)系十分密切.許多代數(shù)式是先化簡再求值，

特別是有附加條件的代數(shù)式求值問題，往往需要利用乘法公式、絕對值與算術(shù)根

的性質(zhì)、分式的基本性質(zhì)、通分、

求值中的方法技巧主要是代數(shù)式恒等變形的技能、技巧和方法.下面結(jié)合例

題逐一介紹.

1.利用因式分解方法求值

因式分解是重要的一種代數(shù)恒等變形，在代數(shù)式化簡求值中，經(jīng)常被采用.

分析X的值是通過一個一元二次方程給出的，若解出X后，再求值，將會

很麻煩.我們可以先將所求的代數(shù)式變形，看一看能否利用已知條件.

解已知條件可變形為3X2+3XT=0,所以

6X1+15X3+10X2

=(6X4+6X3-2X2)+(9X3+9X2-3X)+(3x'+3xT)+1

=(3X2+3X-1)(2Z2+3X+1)+1

=0+1=1.

說明在求代數(shù)式的值時，若已知的是一個或幾個代數(shù)式的值，這時要盡可

能避免解方程(或方程組)，而要將所要求值的代數(shù)式適當變形，再將已知的代數(shù)

式的值整體代入，會使問題得到簡捷的解答.

例2已知a,b,c為實數(shù)，且滿足下式：

a2+b"+c"=l,①

求a+b+c的值.

解將②式因式分解變形如下

即

所以

a+b+c=0或bc+ac+ab=0.

若bc+ac+ab=O,則

(a+b+c)2=a2+b'+c2+2(bc+ac+ab)

=a2+b2+c2=l,

所以a+b+c=±l.所以a+b+c的值為0,1,-1.

說明本題也可以用如下方法對②式變形：

即

前一解法是加一項，再減去一項；這個解法是將3拆成1+1+1,最終都是將

②式變形為兩個式子之積等于零的形式.

2.利用乘法公式求值

例3已知x+y=m,x3+y3=n,mWO,求x'+y'的值.

解因為x+y=m,所以

m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m?xy,

所以

求x2+6xy+y2的值.

分析將x,y的值直接代入計算較繁，觀察發(fā)現(xiàn)，已知中x,y的值正好是

一對共攏無理數(shù),所以很容易計算出x+y與xy的值，由此得到以下解法.

解x2+6xy+y-x2+2xy+y2+4xy

=(x+y)2+4xy

3.設(shè)參數(shù)法與換元法求值

如果代數(shù)式字母較多，式子較繁，為了使求值簡便，有時可增設(shè)一些參數(shù)(也

叫輔助未知數(shù)),以便溝通數(shù)量關(guān)系，這叫作設(shè)參數(shù)法.有時也可把代數(shù)式中某

一部分式子，用另外的一個字母來替換，這叫換元法.

分析本題的已知條件是以連比形式出現(xiàn)，可引入?yún)?shù)k,用它表示連比的

比值，以便把它們分割成幾個等式.

x=(a-b)k,y=(b-c)k,z=(c-a)k.

所以

x+y+z=(a-b)k+(b-c)k+(c-a)k=0.

u+v+w=l,①

由②有

把①兩邊平方得