數(shù)學(xué)-專項21 最值問題中的阿氏圓模型（原版）

專題21最值問題中的阿氏圓模型【模型展示】特點“PA+k·PB”型的最值問題是近幾年中考考查的熱點更是難點。當(dāng)k值為1時，即為“PA+PB”之和最短問題，用“飲馬問題”模型來處理，即可以轉(zhuǎn)化為軸對稱問題來處理。當(dāng)k取不為1的正數(shù)時，再以常規(guī)的軸對稱思想來解決問題，則無法進(jìn)行，因此必須轉(zhuǎn)換思路。此類問題的處理通常以動點P所在圖像的不同來分類：點P在直線上運動和點P在圓上運動。其中點P在直線上運動的類型稱之為“胡不歸”問題；點P在圓周上運動的類型稱之為“阿氏圓”問題?！鞍⑹蠄A”又稱“阿波羅尼斯圓”，已知平面上兩點A、B，則所有滿足PA=k·PB（k≠1）的點的軌跡是一個圓，這個軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”。如圖1所示，圓O的半徑為r，點A、B都在圓O外，P為圓O上一動點，已知r=kOB，連接PA、PB，則當(dāng)“PA+kPB”的值最小時，P點的位置如何確定？如圖2，在線段OB上截取OC使△BPO與△PCO相似，即k·PB=PC。故本題中“PA+k·PB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+PC”的最小值，其中A與C為定點，P為動點，故當(dāng)A、P、C三點共線時，“PA+PC”值最小，如圖3

一般將含有k的線段兩端點分別與圓心O相連，即連接OB、OP；計算出線段OP與OB及OP與OA的線段比，找到線段比為k的情況連接AC，與圓O的交點即為點P將圖2中△BPO單獨提取出，如圖4，△PCO∽△BPO（母子型相似模型）（構(gòu)造出△PCO∽△BPO，就可以得到OC/OP=OP/OB，進(jìn)而推出OP2=OB·OC，即“半徑的平方＝原有線段×構(gòu)造線段”，確定C的位置后，連接AC，求出AC的長度“阿氏圓”即可破解）結(jié)論“PA+k·PB”型的最值

【題型演練】一、單選題1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C為圓心、3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動點，連接AP、BP，則AP＋BP的最小值為（

）A．7 B．5 C． D．二、填空題2．如圖，在中，，以點B為圓心作圓B與相切，點P為圓B上任一動點，則的最小值是___________．3．如圖，已知正方ABCD的邊長為6，圓B的半徑為3，點P是圓B上的一個動點，則的最大值為_______．

4．如圖，邊長為4的正方形，內(nèi)切圓記為⊙O，P是⊙O上一動點，則PA＋PB的最小值為________．5．【新知探究】新定義：平面內(nèi)兩定點A,B，所有滿足k(k為定值)的P點形成的圖形是圓，我們把這種圓稱之為“阿氏圓”，【問題解決】如圖，在△ABC中，CB4，AB2AC，則△ABC面積的最大值為_____．6．如圖，在Rt中，AB＝AC＝4，點E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，點P是扇形AEF的上任意一點，連接BP，CP，則BP+CP的最小值是_____．7．如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，⊙B的半徑為2，點P是⊙B上的一個動點，則PD﹣PC的最大值為_____．

8．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以點C為圓心，6為半徑的圓上有一個動點D.連接AD、BD、CD，則2AD+3BD的最小值是________.三、解答題9．如圖1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圓C的半徑為2，點P為圓上一動點，連接AP，BP，求：①，②，③，④的最小值．10．如圖，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C為頂點的正方形CDEF（C、D、E、F四個頂點按逆時針方向排列）可以繞點C自由轉(zhuǎn)動，且CD＝，連接AF，BD

（1）求證：△BDC≌△AFC（2）當(dāng)正方形CDEF有頂點在線段AB上時，直接寫出BD＋AD的值；（3）直接寫出正方形CDEF旋轉(zhuǎn)過程中，BD＋AD的最小值．11．如圖，點A、B在上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，點C是OA的中點，點D在OB上，且OD＝4，動點P在上．求2PC＋PD的最小值．12．婆羅摩芨多是公元7世紀(jì)古印度偉大的數(shù)學(xué)家，他在三角形、四邊形、零和負(fù)數(shù)的運算規(guī)則，二次方程等方面均有建樹，他也研究過對角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形，我們把這類對角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形稱為“婆氏四邊形”．（1）若平行四邊形ABCD是“婆氏四邊形”，則四邊形ABCD是．（填序號）①矩形；②菱形；③正方形（2）如圖1，RtABC中，∠BAC=90°，以AB為弦的⊙O交AC于D，交BC于E，連接DE、AE、BD，AB=6，，若四邊形ABED是“婆氏四邊形”，求DE的長．（3）如圖2，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，連接AC，BD，OA，OB，OC，OD，已知∠BOC+∠AOD=180°．①求證：四邊形ABCD是“婆氏四邊形”；②當(dāng)AD+BC=4時，求⊙O半徑的最小值．

13．閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)任務(wù)．阿波羅尼斯（ApolloniusofPerga），古希臘人（公元前262~190年），數(shù)學(xué)家，寫了八冊圓錐曲線論著，其中有七冊流傳下來，書中詳細(xì)討論了圓錐曲線的各種性質(zhì)，阿波羅尼斯圓是他的論著中一個著名的問題．一動點與兩定點，的距離之比等于定比，則點的軌跡是以定比內(nèi)分和外分線段的兩個分點的連線為直徑的圓，這個圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱“阿氏圓”．如圖1，點，為兩定點，點為動點，滿足，點在線段上，點在的延長線上且，則點的運動軌跡是以為直徑的圓．下面是“阿氏圓”的證明過程（部分）：過點作交的延長線于點．∴，．∴．∴．又∵，∴．∴．∴．∴．如圖2，在圖1（隱去，）的基礎(chǔ)上過點作交于點，可知，……

任務(wù)：（1）判斷是否平分，并說明理由；（2）請根據(jù)上面的部分證明及任務(wù)（1）中的結(jié)論，完成“阿氏圓”證明的剩余部分；（3）應(yīng)用：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，則點所在圓的圓心坐標(biāo)為________．14．如圖1，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，其中點的坐標(biāo)為，拋物線的對稱軸是直線．(1)求拋物線的解析式；(2)若點是直線下方的拋物線上一個動點，是否存在點使四邊形的面積為16，若存在，求出點的坐標(biāo)若不存在，請說明理由；(3)如圖2，過點作交拋物線的對稱軸于點，以點為圓心，2為半徑作，點為上的一個動點，求的最小值．15．如圖1所示，⊙O的半徑為r，點A、B都在⊙O外，P為⊙O上的動點，已知r＝k·OB．連接PA、PB，則當(dāng)“PA＋k·PB”的值最小時，P點的位置如何確定？

16．問題提出：如圖①，在中，，，，⊙C的半徑為2，P為圓上一動點，連接AP、BP，求的最小值．（1）嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路：如圖①，連接CP，在CB上取一點D，使，則．又，所以∽．所以．所以，所以．請你完成余下的思考，并直接寫出答案：的最小值為________；（2）自主探索：在“問題提出”的條件不變的前提下，求的最小值；（3）拓展延伸：如圖②，已知在扇形COD中，，，，，P是上一點，求的最小值．

17．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣5x+5與x軸，y軸分別交于A，C兩點，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A，C兩點，與x軸的另一交點為B（1）求拋物線解析式及B點坐標(biāo)；（2）若點M為x軸下方拋物線上一動點，連接MA、MB、BC，當(dāng)點M運動到某一位置時，四邊形AMBC面積最大，求此時點M的坐標(biāo)及四邊形AMBC的面積；（3）如圖2，若P點是半徑為2的⊙B上一動點，連接PC、PA，當(dāng)點P運動到某一位置時，PC+PA的值最小，請求出這個最小值，并說明理由．18．如圖，拋物線與軸交于，，兩點（點在點的左側(cè)），與軸交于點，且，的平分線交軸于點，過點且垂直于的直線交軸于點，點是軸下方拋物線上的一個動點，過點作軸，垂足為，交直線于點．（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)點的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時，求的值；（3）當(dāng)直線為拋物線的對稱軸時，以點為圓心，為半徑作，點為上的一個動點，求的最小值．

19．閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù).已知平面上兩點，則所有符合且的點會組成一個圓.這個結(jié)論最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱阿氏圓.阿氏圓基本解法：構(gòu)造三角形相似.【問題】如圖1，在平面直角坐標(biāo)中，在軸，軸上分別有點，點是平面內(nèi)一動點，且，設(shè)，求的最小值.阿氏圓的關(guān)鍵解題步驟：第一步：如圖1，在上取點，使得；第二步：證明；第三步：連接，此時即為所求的最小值.下面是該題的解答過程(部分)：解：在上取點，使得，又.

任務(wù)：將以上解答過程補(bǔ)充完整.如圖2，在中，為內(nèi)一動點，滿足，利用中的結(jié)論，請直接寫出的最小值.20．?dāng)?shù)學(xué)概念如圖①，AE是△ABC的角平分線，D是直線BC上一點，如果點D滿足DA＝DE，那么點D叫做△ABC的邊BC上的“阿氏點”．概念理解（1）在圖②中，利用直尺和圓規(guī)作△ABC的