數(shù)學(xué)-專題31 一次函數(shù)與菱形結(jié)合（帶答案）

專題31一次函數(shù)與菱形結(jié)合1．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的對角線AC=10，邊OA=6，把矩形OABC沿直線DE對折使點(diǎn)C落在點(diǎn)A處，直線DE與OC、AC、AB的交點(diǎn)分別為D、F、E，點(diǎn)M在y軸上，以M、D、F、N為項(xiàng)點(diǎn)的四邊形是菱形，滿足條件的點(diǎn)N有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】A【分析】分三種情形①若DF為菱形的一邊，當(dāng)DM為菱形的對角線時，如圖3中，②當(dāng)DM為菱形的一邊時，如圖4中，③若DF為菱形的對角線，如圖5，分別求解即可解決問題.【詳解】解：如圖2中，分別取OA、OC的中點(diǎn)P，Q，連接PF，QF．∵F是中點(diǎn)，，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3，4）．①若DF為菱形的一邊，當(dāng)DM為菱形的對角線時，如圖3中，①若DF為菱形的一邊，當(dāng)DM為菱形的對角線時，如圖3中，

點(diǎn)N與點(diǎn)F關(guān)于y軸對稱，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-3，4），②當(dāng)DM為菱形的一邊時，如圖4中，此時FN∥DM，，∵F（3，4），∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為或即點(diǎn)N的坐標(biāo)為：或.③若DF為菱形的對角線，如圖5，∵四邊形DNFM為菱形，∴DM=FM，∴∠MDF=∠MFD，∵∠DFC=90°，∴∠MCF=∠MFC，∴MC=MF，∴點(diǎn)M是CD中點(diǎn)，則，∵四邊形MDNF為菱形，∴NF∥DM，NF=DM=，∴點(diǎn)N坐標(biāo)為

即點(diǎn)N坐標(biāo)為：.綜上所述，滿足條件的點(diǎn)N坐標(biāo)為（-3，4），，，，共4個.【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)綜合題、矩形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線解決問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題．2．如圖，直線y=-x+4分別與x軸，y軸交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)C在直線AB上，D是y軸右側(cè)平面內(nèi)一點(diǎn)，若以點(diǎn)O，A，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是_______________．【答案】（2，?2）或（6，2）．【分析】設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，-x+4）．分兩種情況，分別以C在x軸的上方、C在x軸的下方做菱形，畫出圖形，根據(jù)菱形的性質(zhì)找出點(diǎn)C的坐標(biāo)即可得出D點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】∵一次函數(shù)解析式為線y＝-x+4，令x=0,解得y=4∴B（0，4），令y=0,解得x=4∴A（4，0），如圖一，∵四邊形OADC是菱形，設(shè)C（x，-x+4），∴OC＝OA＝，整理得：x2?6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4，∴C（2，2），

∴D（6，2）；如圖二、如圖三，∵四邊形OADC是菱形，設(shè)C（x，-x+4），∴AC＝OA＝，整理得：x2?8x＋12＝0，解得x1＝2，x2＝6，∴C（6，?2）或（2，2）∴D（2，?2）或（?2，2）∵D是y軸右側(cè)平面內(nèi)一點(diǎn)，故（?2，2）不符合題意，故答案為（2，?2）或（6，2）．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)C、D的位置．本題屬于中檔題，難度不大，在考慮菱形時需要分類討論．3．如圖，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，四邊形OADC是菱形，求OD的長．

【答案】【分析】由直線的解析式利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)、的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出、的長度，由、的長度利用勾股定理可求出的長度，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得出、，利用面積相等法可求出的長度，再根據(jù)即可求出的長度．【詳解】解：直線與軸、軸分別交于點(diǎn)，，點(diǎn)，點(diǎn)，，，．四邊形是菱形，，，，即，解得：，．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、菱形的性質(zhì)、勾股定理以及三角形的面積，解題的關(guān)鍵是借用面積相等法求出的長度．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y＝﹣x+8分別與x軸、y軸交于點(diǎn)B、C，且與直線l2：y＝x交于點(diǎn)A．（1）直接寫出A、B、C的坐標(biāo)，A的坐標(biāo)是，B的坐標(biāo)是，C的坐標(biāo)是．（2）若M是線段OA上的點(diǎn)，且△COM的面積為24，求直線CM的函數(shù)表達(dá)式．（3）在（2）的條件下，設(shè)E是射線CM上的點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)F，使以O(shè)、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）（，），（16，0），（0，8）；（2）y＝﹣x+8；（3）存在，（﹣4，4），（4，﹣4），（8，8）．【分析】（1）利用坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn)B，C坐標(biāo)，聯(lián)立兩直線解析式確定出點(diǎn)A坐標(biāo)；（2）設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式建立方程即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）分兩種情況即可解決問題．【詳解】∵直線l1：y＝﹣x+8分別與x軸、y軸交于點(diǎn)B、C，令x＝0，則y＝8，∴C（0，8），令y＝0，則﹣x+8＝0，∴x＝16，∴B（16，0），聯(lián)立直線l1和直線l2得，，解得，，∴A（，），故答案為（，），（16，0），（0，8）；（2）∵點(diǎn)M在線段OA上，且直線OA的解析式為y＝x，設(shè)M（m，m）（m＞0），∵△COM的面積為24，∴S△COM＝×8×m＝24，∴m＝6，∴M（6，2），

設(shè)直線CM的解析式為y＝kx+b，∴，∴，∴直線CM的解析式為y＝﹣x+8，（3）如圖，①CE是菱形的對角線時，由（2）知，直線CM的解析式為y＝﹣x+8，令y＝0，則﹣x+8＝0，∴x＝8，∴E'（8，0），∵四邊形OCF'E'是菱形，∴E'F'＝OB＝8，∴∠OCE'＝45°，OC＝OE'，過點(diǎn)C作CF'∥x軸，過點(diǎn)E'作E'F'∥y軸相交于F'，．∴F'（8，8），②CE為菱形的邊時，∵四邊形OCF'E'是菱形；在射線CM上取一點(diǎn)E使CE＝OC，∵四邊形OECF是菱形，∴CE＝OE，∴點(diǎn)E是OC的垂直平分線，當(dāng)y＝4時，﹣x+8＝4，∴E（4，4），∴F（﹣4，4），同理，F(xiàn)''（4，﹣4），即：滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣4，4），（4，﹣4），（8，8）．

【點(diǎn)睛】一次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，三角形的面積公式，菱形的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是畫出圖形，是一道中考?？碱}．5．在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點(diǎn)在軸正半軸上，，，的長滿足．過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，的面積等于面積的，請解答下列問題：（1）求點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)：（2）過點(diǎn)作于，交軸于點(diǎn)，求線段的長；（3）點(diǎn)在軸上，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）A（-2，0），D（4，2）；（2）2；（3）或或或．【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出OA，OB，求出△ABC和的面積，設(shè)D（x，y），由的面積可求出y，求出直線BC解析式，把y值代入求出x值即可；（2）證明△ABH≌△GBO，即可求出OG的長；（3）分三種情況討論求解即可．【詳解】解：（1）∵，且∴

∴∴AB=AO+OB=2+6=8∴∵的面積等于面積的，∴設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y），則有∴y=2，設(shè)直線BC的解析式為∵OC=6∴C（0，6）∴把B，C點(diǎn)坐標(biāo)代入得，，解得，∴直線BC的解析式為又點(diǎn)D在直線BC上，且y=2∴，解得，x=4∴D（4，2）；（2）如圖，∵BH⊥AC，OC⊥OB∴∠CHG=∠BOG=90°又∠CGH=∠BGO∴∠ACO=∠GBO

∵OC=OB=6∴△ABH≌△GBO∴OG=OA=2（3）點(diǎn)在軸上，要使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則有以下幾種情形：(a)以AB，AM為鄰邊的菱形，則AM=AB=8∵，即解得，(負(fù)值舍去)∵M(jìn)N=AB=8∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為或；(b)以AB，BM為鄰邊的菱形，則BM=AB=8∵，即解得，(負(fù)值舍去)∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為或；(c)以AM，BM為鄰邊的菱形不存在．綜上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題．6．已知：在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸，y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)．(1)求直線的解析式；(2)如圖1，點(diǎn)P為直線一個動點(diǎn)，若的面積等于10時，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，將沿著x軸平移，平移過程中的記為，請問在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)

D，使得以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)，或，(3)存在，，，【分析】（1）設(shè)直線的解析式，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，把、的坐標(biāo)代入解析式計(jì)算即可；（2）設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，根據(jù)三角形的面積公式建立方程，求解即可．（3）按為菱形邊長和對角線兩種情況討論，最后根據(jù)菱形的性質(zhì)求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：設(shè)直線的解析式，直線與軸，軸分別交于、兩點(diǎn)，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，，直線的解析式：；（2）由題意可知，，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，或．，或，；（3）設(shè)將沿著軸平移個單位長度得到△，，，，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，①當(dāng)為以、、、為頂點(diǎn)的菱形邊長時，有兩種情況：

當(dāng)時，即，此時，即點(diǎn)在軸上，且，點(diǎn)與點(diǎn)重合，即．當(dāng)時，，，，解得，此時，即點(diǎn)在軸上，且，．②當(dāng)為以、、、為頂點(diǎn)的菱形對角線時，，即點(diǎn)在的垂直平分線上，且，關(guān)于對稱，當(dāng)向左一移動，，，，，解得或（舍），當(dāng)向右移動時，，，，，解得（舍）或（舍），，．綜上所述，存在點(diǎn)，使得以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，．【點(diǎn)睛】本題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的面積公式，菱形的性質(zhì)與判定等相關(guān)知識，分類討論等數(shù)學(xué)思想，根據(jù)題意進(jìn)行正確的分類討論是解題關(guān)鍵．7．在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B，直線經(jīng)過點(diǎn)B，與x軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是線段AB上的一個動點(diǎn)．

(1)b的值是______；(2)如圖1，過點(diǎn)D作BC的平行線與直線相交于點(diǎn)P，直線與直線AB相交于點(diǎn)Q．當(dāng)時，求點(diǎn)D坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)D在移動過程中，是否存在點(diǎn)E，使得以點(diǎn)B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)－3(2)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3)存在點(diǎn)E，以點(diǎn)B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，點(diǎn)E的坐標(biāo)為；或【分析】（1）根據(jù)題意，先求出點(diǎn)B坐標(biāo)，進(jìn)一步可求出b的值；（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，?m?3），根據(jù)兩直線平行可設(shè)直線DP的解析式為y＝3x＋n，將點(diǎn)D坐標(biāo)代入求出直線DP的解析式，然后分情況表示出PQ的長，根據(jù)，列方程求出m，即可求出點(diǎn)D坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，?m?3），表示出，，，由以點(diǎn)B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，分三種情況討論：當(dāng)BD＝BC時，當(dāng)CD＝CB時，當(dāng)DC＝DB時，分別列方程求出點(diǎn)D坐標(biāo)，再根據(jù)平移的性質(zhì)解答即可．（1）解：∵直線y＝?x?3與y軸相交于點(diǎn)B，∴B（0，?3），

∵直線y＝3x＋b經(jīng)過點(diǎn)B，∴b＝?3，故答案為：?3；（2）解：當(dāng)時，解得：，∴，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，由（1）知，直線BC的函數(shù)表達(dá)式為，∵，∴設(shè)直線DP的解析式為，∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為，∴，∴，∴，∴當(dāng)時，，，∴，，當(dāng)點(diǎn)D在線段AQ上時，，∵，∴，解得：或（舍去），∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為，當(dāng)點(diǎn)D在線段BQ上時，，∵，∴，整理得：，解得：（舍去）或（舍去），綜上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為；（3）

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，當(dāng)時，解得，，∴，∵，∴，，，∵以點(diǎn)B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，故分三種情況：如圖2，當(dāng)時，∴，∴，解得：，（舍去），∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為，∵，，∴點(diǎn)D向右移動1個單位長度，向上移動3個單位長度得到點(diǎn)E，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為；如圖3，當(dāng)時，∴，∴，解得：，（舍去），∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為，∵，，∴點(diǎn)D向左移動1個單位長度，向下移動3個單位長度得到點(diǎn)E，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為；如圖4，當(dāng)時，∴，∴，

解得：，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為，∵點(diǎn)，∴點(diǎn)C向右移動2.5個單位長度，向下移動2.5個單位長度得到點(diǎn)E，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為；綜上，存在點(diǎn)E，以點(diǎn)B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，點(diǎn)E的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，兩直線平行的位置關(guān)系，菱形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，解一元二次方程，勾股定理和平移的性質(zhì)等知識，本題綜合性較強(qiáng)，難度較大，熟練掌握分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．8．如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在、軸的正半軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，8），一次函數(shù)的圖象與邊OC、AB分別交于點(diǎn)D、E，并且滿足OD=BE，點(diǎn)M是線段DE上的一個動點(diǎn)．（1）求的值；（2）連結(jié)OM，若△ODM的面積與四邊形OAEM的面積之比為1：2，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)N是x軸上方平面內(nèi)的一點(diǎn)，以O(shè)、M、D、N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形時，請求出點(diǎn)N的坐標(biāo)．

【答案】（1）b=6；（2）M；（3）N點(diǎn)坐標(biāo)為或【分析】（1）根據(jù)OD=BE，可得點(diǎn)E（6，8-b），將E代入解析式，即可求解；（2）由（1）知：一次函數(shù)的解析式為：，OD=6，AE=2，根據(jù)△ODM的面積與四邊形OAEM的面積之比為1：2，可得，可得到，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，則，即可求解；（3）分兩種情況：若以O(shè)D為對角線，得到菱形OMDN；若以DM為對角線，得到菱形ODNM，討論，即可求解．【詳解】解：（1）∵四邊形OABC是矩形，∴軸，軸，∵一次函數(shù)的圖象與邊OC、AB分別交于點(diǎn)D、E，并且滿足OD=BE，∴OD=BE=b，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，8），∴AB=8，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為6，∴AE=AB-BE=8-b，∴點(diǎn)E（6，8-b），將點(diǎn)E代入，得：，解得：；（2）由（1）知：一次函數(shù)的解析式為：，OD=6，AE=2，∵△ODM的面積與四邊形OAEM的面積之比為1：2，∴，

∵，∴，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，則，即，解得：，將代入，得：，∴M；（3）如圖（1），若以O(shè)D為對角線，得到菱形OMDN，則MN垂直平分OD，M和N關(guān)于y軸對稱，∵OD=6，∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)均是，將代入，得：，解得：，∴點(diǎn)M，∴點(diǎn)N；如圖（2），若以DM為對角線，得到菱形ODNM，則OM=OD=6，線段DM與線段ON的中點(diǎn)重合，

設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為a，則縱坐標(biāo)為，∴，即，解得：或（舍去），∴點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)N，由（1）知：，∴，解得：，∴點(diǎn)N，綜上所述，以O(shè)、M、D、N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形時，點(diǎn)N的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)與菱形的判定與性質(zhì)的綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，菱形的判定方法，正確根據(jù)菱形的性質(zhì)求得M的坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵．9．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線：與：交于點(diǎn)A，分別與x軸、y軸交于點(diǎn)B、C．（1）分別求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；（2）若D是線段上的點(diǎn)，且的面積為12，求直線的函數(shù)表達(dá)式；（3）在（2）的條件下，設(shè)P是射線上的點(diǎn)．

如圖2，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以O(shè)、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1），；（2）；（3）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或（6，6）【分析】（1）構(gòu)建方程組確定交點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法確定B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)即可．（2）設(shè)，利用三角形的面積公式，構(gòu)建方程求出m的值，再利用待定系數(shù)法即可解決問題．（3）①構(gòu)建，設(shè)，利用兩點(diǎn)間距離公式，構(gòu)建方程求出m即可．②如圖2-1中，當(dāng)為菱形的對角線時，垂直平分線段，利用對稱性解決問題即可．③當(dāng)CP是菱形對角線時，設(shè)直線CD與x軸交點(diǎn)為M，求出OM=CO，得到菱形為正方形，故可求解．【詳解】解：（1）由，解得，∴．∵與分別與x軸、y軸交于點(diǎn)B、C，∴．（2）設(shè)，由題意：的面積為12，∴，

∴，∴，∵，設(shè)直線的解析式為，則有，解得，∴直線的解析式為．（3）①如圖2-1中，∵四邊形是菱形，∴，設(shè)，∵∴PC=，解得或（舍去），∴，∵，∴，②如圖2-1中，當(dāng)為菱形的對角線時，垂直平分線段，∴P’的縱坐標(biāo)為3代入直線CD得∴P’(3,3)∵P’、Q’關(guān)于y軸對稱∴∴滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為．③如圖2-1中，當(dāng)CP是菱形對角線時，則CO=OP’’=6設(shè)直線CD與x軸交點(diǎn)為M，把y=0代入得x=6∴M（6,0）

∴OM=CO=6∴OP’’=OM即M、P’’重合∵CO⊥OM∴菱形COP’’Q’’為正方形，∴Q’’（6，6）．綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或（6，6）．【點(diǎn)睛】本題屬于一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，三角形的面積，菱形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．10．如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，4），一次函數(shù)y＝的圖象與邊OC，AB分別交于點(diǎn)D，E，并且滿足OD＝BE，點(diǎn)M是線段DE上的一個動點(diǎn)．（1）求b的值；（2）當(dāng)DM：ME＝1：2時，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)N是x軸上方的平面內(nèi)的一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)O，M，D，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)．

【答案】（1）3；（2）M（1，）；（3）N（，）或N（﹣，）．【分析】（1）分別表示出D和E點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)OD＝BE列出等式即可求出b的值；（2）過點(diǎn)E作EF⊥OC于F，過點(diǎn)M作MP⊥OC于P，求出DE的長，再設(shè)M（a，3﹣a），由DP2＋MP2＝DM2列出等式即可求出M的坐標(biāo)；（3）設(shè)M（m，3﹣m），分當(dāng)OD為菱形一邊時和當(dāng)OD為菱形一條對角線時兩種情況，根據(jù)菱形鄰邊相等或?qū)蔷€的對稱性等特點(diǎn)找到等量列出等式即可求出M點(diǎn)坐標(biāo)，從而再找到N的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）由題知：A（3，0），C（0，4），D（0，b），E（3，b﹣2），∵OD＝BE，∴b＝4﹣（b﹣2），∴b＝3；（2）過點(diǎn)E作EF⊥OC于F，過點(diǎn)M作MP⊥OC于P，如圖所示，由（1）得，D（0，3），E（3，1）由勾股定理得，DE＝，∵DM：ME＝1：2，∴DM＝DE＝，設(shè)點(diǎn)M（a，3﹣a），由DP2＋MP2＝DM2得（3＋a﹣3）2＋a2＝（）2，解得：a1＝1，a2＝﹣1（舍去），∴M（1，）；（3）N1（，），N2（﹣，），理由如下：設(shè)M（m，3﹣m），①當(dāng)OD為菱形一邊時，OD＝OM，如圖所示：

∴m2＋（3﹣m）2＝32，解得，m＝＜3或m＝0（不合題意，舍去），∴M（，）在線段DE上，過點(diǎn)M作MNOD，MN＝OD，則四邊形OMND是菱形，則點(diǎn)N為所求，N（，）；②當(dāng)OD為菱形一條對角線時，過OD中點(diǎn)P作PM⊥OD交直線CE于點(diǎn)M（c，），∴＝﹣c＋3，∴c＝＜3，∴點(diǎn)M（，）在線段DE上，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于y軸對稱時，四邊形OMDN是菱形，∴N（﹣，），綜上，符合條件的點(diǎn)N有兩個，其坐標(biāo)分別為N（，）或N（﹣，）．【點(diǎn)睛】本題屬于一次函數(shù)綜合大題，考查了一次函數(shù)基本性質(zhì)，坐標(biāo)的變化規(guī)律以及菱形的基本性質(zhì)等知識，熟練掌握好一次函數(shù)的基本性質(zhì)以及平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的綜合變化，并能將菱形特點(diǎn)與平面直角坐標(biāo)系坐標(biāo)變化相互結(jié)合，靈活運(yùn)用是解決本題的關(guān)鍵．11．如圖1，已知在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)是，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段向終點(diǎn)運(yùn)動，同時動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段向終點(diǎn)運(yùn)動．點(diǎn)，

的運(yùn)動速度均為1個單位/秒，運(yùn)動時間為秒．過點(diǎn)作交于點(diǎn)．（1）求直線的解析式；（2）在點(diǎn)，的運(yùn)動過程中，當(dāng)為直角三角形時，請求出的值；（3）在動點(diǎn)運(yùn)動的過程中，在矩形內(nèi)（包括邊界）是否存在一點(diǎn)使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，請求出的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）秒或2秒；（3）存在，的坐標(biāo)為或【分析】（1）根據(jù)矩形性質(zhì)求出點(diǎn)A、C坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求解；（2）分和兩種情況，利用相似即可求解；（3）分用含t式子表示出點(diǎn)E坐標(biāo)，分在左側(cè)和在右側(cè)兩種情況，結(jié)合菱形性質(zhì)得到關(guān)于t的方程，求解，舍去不合題意解，問題得解．【詳解】解:（1）∵矩形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)是，的坐標(biāo)是，的坐標(biāo)是，設(shè)直線的解析式為：，則：，解得，∴直線的解析式為：；（2）①當(dāng)時，如圖1，由題意可知，，三點(diǎn)共線，，分別是，的中點(diǎn)，秒；

②當(dāng)時，如圖2，由題意可知，，，，，，，，，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的根，且符合題意，

∴當(dāng)秒或2秒時，為直角三角形．（3）由題意可知的坐標(biāo)為①如圖3，當(dāng)在左側(cè)時：，∴可知的坐標(biāo)為，∵菱形，，即，，解得，（舍去），的坐標(biāo)為；②如圖4，當(dāng)在右側(cè)時：，∴可知的坐標(biāo)為，∵菱形，，即，，解得，（舍去），的坐標(biāo)為；

的坐標(biāo)為或時，以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與幾何圖形動點(diǎn)問題，菱形性質(zhì)，相似三角形判定與性質(zhì)，一元二次方程應(yīng)用等知識，綜合性較強(qiáng)，根據(jù)題意靈活應(yīng)用所學(xué)知識并進(jìn)行分類討論是解題關(guān)鍵．12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸分別交于兩點(diǎn)．（1）求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）為軸上一點(diǎn)，將直線AC沿著直線AB平移，使得點(diǎn)A落在點(diǎn)B處，此時點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為D，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，請判斷四邊形ABDC的形狀，并說明理由．（3）點(diǎn)M為軸上一點(diǎn)，點(diǎn)N為坐標(biāo)平面內(nèi)另一點(diǎn)，若以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請求出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)．【答案】（1）、；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為、平行四邊形，理由見解析；（3），，，．【分析】（1）分別令、求解；（2）由平移性質(zhì)可知，，求得坐標(biāo)和判斷形狀；（3）分三種情況討論：當(dāng)AC與AM為兩鄰邊時；當(dāng)AC與CM為兩鄰邊，AM與CN

為對角線時；當(dāng)AM和AN為兩鄰邊時，AC為對角線，時；分別根據(jù)菱形的性質(zhì)求解．【詳解】（1）∵，∴令，，∴，令，∴，∴，∴，；（2）①解：由平移性質(zhì)可知，，∵，，∴，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；②四邊形為平行四邊形，理由如下：由平移性質(zhì)可知，∵，，∴四邊形為平行四邊形；（3）由①可知，，∴，∵以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，∴①當(dāng)AC與AM為兩鄰邊時，，，∴，；②當(dāng)AC與CM為兩鄰邊時，AM與CN為對角線，∵，∴；③當(dāng)AM和AN為兩鄰邊時，AC為對角線，，設(shè)，∴，

∴，在中，，，∴，∴，∴綜上所述，滿足條件的N點(diǎn)共有4個，即，，，．【點(diǎn)睛】本題綜合性較強(qiáng)，涉及到一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)計(jì)算、平移的性質(zhì)和規(guī)律、菱形的性質(zhì)，計(jì)算量也較大，分類討論的數(shù)學(xué)思想是解題的關(guān)鍵．13．如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）動點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒個單位長度的速度在線段上向點(diǎn)作勻速運(yùn)動，連接，設(shè)運(yùn)動時間為秒，的面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（3）若點(diǎn)是軸上的點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)若以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．

【分析】（1）聯(lián)立兩直線的解析式求出x、y的值即可得出P點(diǎn)坐標(biāo)；（2）先求出A點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論；（3）分OP為菱形的邊與對角線兩種情況進(jìn)行討論．【詳解】解：（1）解方程組：得點(diǎn)的坐標(biāo)為（2），（3）如圖，當(dāng)OP為菱形的邊時，∵P（2，2），∴OP＝，∴N1，N2，N3；當(dāng)OP為對角線時，設(shè)M（0，a），則MP＝a，即22＋（2?a）2＝a2，解得a＝，∴N點(diǎn)的縱坐標(biāo)＝2，∴N4．綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．

【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到菱形的性質(zhì)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．14．在平面直角坐標(biāo)系之中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別交x、y軸于點(diǎn)B、A，直線與直線交于點(diǎn)C．（1）如圖1，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．（2）如圖2，點(diǎn)P（t，0）為C點(diǎn)的右側(cè)x軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸垂線分別交AB、OC于點(diǎn)N、M，若MN=5NP，求t的值．（3）如圖3，點(diǎn)F為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，是否存在y軸正半軸上一點(diǎn)E，使點(diǎn)E、F、M、N圍成的四邊形為菱形，若存在求出點(diǎn)E坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）C；（2）t=2.4；（3），，，

．【分析】（1）聯(lián)立正比例函數(shù)與一次函數(shù)解析式組成方程組，求出方程組的解得到x與y

的值，確定出C點(diǎn)坐標(biāo)即可；（2）設(shè)P（t，0），則N（t，），M（t，3t），利用兩點(diǎn)間距離公式表示出MN，NP的長，然后根據(jù)題意列方程求解；（3）根據(jù)t的值求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)和MN的長度，然后分MN為對角線或MN為邊結(jié)合菱形的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行分情況討論求解．【詳解】解：（1）∵直線與直線交于點(diǎn)C．∴聯(lián)立，解得

∴C（2）設(shè)P（t，0），則N（t，），M（t，3t）MN=3t-（）=，NP=∵M(jìn)N=5NP，∴=5（），解得t=2.4

（3）經(jīng)過計(jì)算：當(dāng)t=2.4時，M（），N（），MN=6，情況1，以MN為對角線，作MN的垂直平分線交y軸正半軸于點(diǎn)E，∴MT=NT=3，ET=TF=2.4，∴此時，即

情況2：以MN為邊，點(diǎn)E在點(diǎn)M的下面，，作⊥MN，∴在Rt△中，MY=，∴此時情況3：以MN為邊，點(diǎn)E在點(diǎn)M的上面

同理作⊥MN，解得MW=，此時或．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，掌握菱形的性質(zhì)，勾股定理的計(jì)算，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵．15．如圖，直線與x軸y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，直線BC與x軸、y軸分別交于C、B兩點(diǎn)，連接BC，且.（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)及直線BC的函數(shù)關(guān)系式；（2）若點(diǎn)P在x軸上，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使點(diǎn)B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.（3）點(diǎn)M在x軸上，連接MB，當(dāng)時，求點(diǎn)M的坐標(biāo).【答案】（1）A（4，0），；（2）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，0）或（，0）；（3）點(diǎn)Q

的坐標(biāo)為（-5，4）或（5，4）或（0，-4）或(?，4)．【分析】（1）首先求出A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式即可．（2）當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A的左邊時，可以證明BC=BM，OC=OM=3，推出M（3，0），當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A的右邊時，作點(diǎn)M關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)N，作直線BN交x軸于M1，則∠M1BA=∠MBA，點(diǎn)M1滿足條件即可（3）畫出圖形，分兩種情形討論即可①當(dāng)BC為菱形的邊時，四邊形CP1Q1B，四邊形CP3Q3B，四邊形BCQ2P2是菱形，②當(dāng)BC是菱形的對角線時，四邊形CP4BQ4是菱形．【詳解】解：（1）直線y=-x+4，當(dāng)x=0的y=4，當(dāng)y=0得x=4，∴A（4，0），B（0，4），∴OB=OA=4，∵，∴OC=3，∴C（-3，0），設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，∴∴∴直線BC的解析式為（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A的左邊時，∵OB=OA=4，∠AOB=90°，∴∠ABO=45°，∴∠CBO+∠MBA=∠MBA+∠MBO=45°，

∴∠CBO=∠OBM，∵∠CBO+∠BCO=90°，∠BMO+∠OBM=90°，∴∠BCO=∠BMO，∴BC=BM，OC=OM=3，∴M（3，0），當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A的右邊時，作點(diǎn)M關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)N，作直線BN交x軸于M1，則∠M1BA=∠MBA，點(diǎn)M1滿足條件．∵N（4，1），B（0，4），∴直線BN的解析式為y=-x+4，令y=0，得x=，∴M1（，0），綜上所述，滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，0）或（，0）．（3）如圖2，當(dāng)BC為菱形的邊時，四邊形CP1Q1B，四邊形CP3Q3B，四邊形BCQ2P2是菱形，此時Q1（-5，4），Q3（5，4），Q2（0，4），當(dāng)BC是菱形的對角線時，四邊形CP4BQ4是菱形，可得Q4（-，4）．綜上所述，滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-5，4）或（5，4）或（0，-4）或(?，4)．

【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題、考查了菱形的判定和性質(zhì)、待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式、勾股定理等知識，熟練掌握相關(guān)知識，分類討論思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．16．如圖，已知一次函數(shù)圖象交直線OA于點(diǎn)A（1，2），交y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)．（1）求k值；（2）若以O(shè)、A、B、C為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則C點(diǎn)坐標(biāo)為；（3）在直線AB上找點(diǎn)D，使的面積與（2）中菱形面積相等，則D點(diǎn)坐標(biāo)為．【答案】（1）；（2）（﹣1，2）；（3）（﹣1，6）或（3，﹣2）【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可解決問題；（2）只要證明A、C關(guān)于y軸對稱即可解決問題；（3）分兩種情形，根據(jù)即可解決問題；【詳解】（1）將點(diǎn)A（1，2）代入一次函數(shù)中，，得．（2）∵一次函數(shù)解析式為，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4），∵A（1，2），∴OA=，AB=，∵以O(shè)、A、B、C為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，∴存在OB⊥AC，且OB、AC互相平分，由對稱性得C點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，2）．

故答案為（﹣1，2）．（3）∵四邊形OABC是菱形，∴，∴當(dāng)點(diǎn)時，的面積與（2）中菱形面積相等，∴D點(diǎn)有兩個（如圖）∴∵一次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)為（2，0），∴D（﹣1，6）或（3，﹣2）．【點(diǎn)睛】本題考查兩直線相交、菱形的性質(zhì)和判定、一次函數(shù)的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．17．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線l分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)（OA＜OB）且OA、OB的長分別是一元二次方程的兩個根，點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，且AB：AC=1：2（1）求A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)M從C點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿射線CB運(yùn)動，連接AM，設(shè)△ABM的面積為S，點(diǎn)M的運(yùn)動時間為t，寫出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式