數(shù)學(xué)-第二章 相交線與平行線B卷壓軸題考點(diǎn)訓(xùn)練（解析版）

第二章相交線與平行線B卷壓軸題考點(diǎn)訓(xùn)練1．若a，b，c分別為三角形的三邊，化簡(jiǎn)：＝_____．【答案】【詳解】解：∵a，b，c分別為三角形的三邊，∴，，，∴，，，∴原式，故答案為：．2．已知等腰中一腰上的高與另一腰的夾角為，則的底角度數(shù)為___________度．【答案】或【詳解】解：分兩種情況討論：①若，如圖1所示：，，，，；；②若，如圖2所示：同①可得：，；

，綜上所述，底角的度數(shù)為或，故答案為：或．3．ABC中，AD是BC邊上的高，∠BAD=40°，∠CAD=30°，則∠BAC=__________．【答案】70°或10°【詳解】解：分為兩種情況：①如圖1，∵∠BAD=40°，∠CAD=30°∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝40°+30°＝70°；②如圖2，∵∠BAD=40°，∠CAD=30°∴∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝40°﹣30°＝10°；故答案為：70°或10°．4．圖1是一張足夠長(zhǎng)的紙條，其中，點(diǎn)、分別在，上，記．如圖2，將紙條折疊，使與重合，得折痕；如圖3，將紙條展開后再折疊，使與重合，得折痕：將紙條展開后繼續(xù)折疊，使與重合，得折痕；．．．依此類推，第次折疊后，_______（用含和的代數(shù)式表示）．【答案】180°-．

【詳解】解：設(shè)紙條QM所在直線為QC，第一次將紙條折疊，使與重合，得折痕；∵PR1∥QB，∴∠MAR1=∠ABM=.∠AR1B=∠R1BC=，∵AM∥R1N，∴∠MAR1+∠AR1N=180°，∴∠AR1N=180°-∠MAR1=180°-；第二次將紙條折疊，使與重合，得折痕；∵PR2∥QB，∴∠MR1R2=∠R1BC=.∠R1R2B=∠R2BC=，∵R1M∥R2N，∴∠MR1R2+∠AR2N=180°，∴∠AR2N=180°-∠MR1R2=180°-；第三次將紙條折疊，使與重合，得折痕；∵PR3∥QB，∴∠MR2R3=∠R2BC=.∠R2R3B=∠R3BC=，∵R2M∥R3N，∴∠MR2R3+∠AR3N=180°，∴∠AR3N=180°-∠MR2R3=180°-；……第n次將紙條折疊，使與重合，得折痕；∵PRn∥QB，∴∠MRn-1Rn=∠Rn-1BC=.∠Rn-1RnB=∠RnBC=，∵Rn-1M∥RnN，∴∠MRn-1Rn+∠ARnN=180°，

∴∠ARnN=180°-∠MRn-1Rn=180°-．故答案為：180°-．5．如圖，AB∥CD，則∠α、∠β、∠γ之間的等量關(guān)系為________________．【答案】∠α+∠β-∠γ=180°．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作EF∥AB，∴∠1+∠γ=∠β，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠1+∠α=180°，∴∠α-∠γ=180°-∠β，∴∠α+∠β-∠γ=180°．6．把一張長(zhǎng)方形紙條ABCD沿EF折疊成圖①，再沿HF折疊成圖②，若∠DEF＝β（0°＜β＜90°），用β表示∠C''FE，則∠C''FE＝_______．

【答案】【詳解】四邊形為長(zhǎng)方形，，，，方形紙條沿折疊成圖①，，，長(zhǎng)方形沿折疊成圖②，，．故答案為：．7．一副直角三角板如圖放置，其中∠B＝∠D＝90°，∠E＝45°，∠A＝30°，將三角板CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度（0°＜α＜180°）．若DE所在直線與三角板ABC各邊所在直線平行，則α的度數(shù)為___．【答案】90°，30°，45°【詳解】解：①當(dāng)CD∥AB時(shí)，則∠DCB=90°，即：α=90°；②當(dāng)ED∥AC時(shí)，則∠DCA=90°，即：α=120°-90°=30°；③當(dāng)ED∥BC時(shí)，則∠DCB=90°，即：α=90°；④當(dāng)EC∥AB時(shí)，則∠ECB=90°，即：α=90°-45°=45°．故答案是：90°，30°，45°．

8．已知直線AB∥CD，（1）如圖1，直接寫出∠BME、∠E、∠END的數(shù)量關(guān)系為；（2）如圖2，∠BME與∠CNE的角平分線所在的直線相交于點(diǎn)P，試探究∠P與∠E之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）如圖3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直線MB、ND交于點(diǎn)F，則=．【答案】(1)∠E=∠END﹣∠BME；(2)∠E+2∠NPM=180°；（3）【詳解】解：（1）如圖1，∵AB∥CD，∴∠END=∠EFB，∵∠EFB是△MEF的外角，∴∠E=∠EFB﹣∠BME=∠END﹣∠BME，故答案是：∠E=∠END﹣∠BME；（2）如圖2，∵AB∥CD，∴∠CNP=∠NGB，∵∠NPM是△GPM的外角，

∴∠NPM=∠NGB+∠PMA=∠CNP+∠PMA，∵M(jìn)Q平分∠BME，PN平分∠CNE，∴∠CNE=2∠CNP，∠FME=2∠BMQ=2∠PMA，∵AB∥CD，∴∠MFE=∠CNE=2∠CNP，∵△EFM中，∠E+∠FME+∠MFE=180°，∴∠E+2∠PMA+2∠CNP=180°，即∠E+2（∠PMA+∠CNP）=180°，∴∠E+2∠NPM=180°；（3）如圖3，延長(zhǎng)AB交DE于G，延長(zhǎng)CD交BF于H，∵AB∥CD，∴∠CDG=∠AGE，∵∠ABE是△BEG的外角，∴∠E=∠ABE﹣∠AGE=∠ABE﹣∠CDE，①∵∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，∴∠ABM=∠ABE=∠CHB，∠CDN=∠CDE=∠FDH，∵∠CHB是△DFH的外角，∴∠F=∠CHB﹣∠FDH=∠ABE﹣∠CDE=（∠ABE﹣∠CDE），②由①代入②，可得∠F=∠E，即.故答案是：．9．如圖1，將三角板ABC與三角板ADE擺放在一起：如圖2，其中∠ACB=30°，∠DAE=45°，∠BAC=∠D=90°，固定三角板ABC，將三角板ADE繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角∠CAE=ɑ（0°＜ɑ＜180°）

(1)當(dāng)ɑ為________度時(shí)，.(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，若0°＜α＜90°試探究∠CAD與∠BAE之間的關(guān)系.(3)當(dāng)△ADE旋轉(zhuǎn)速度為5°/秒時(shí)，且它的一邊與△ABC的某一邊平行（不共線）時(shí)，直接寫出時(shí)間t的所有值.【答案】(1)15(2)當(dāng)時(shí)，∠BAE-∠CAD=45°，當(dāng)時(shí)，∠BAE+∠CAD=45°(3)t=3或9或21或27或30【解析】（1）當(dāng)α=15°時(shí)，，如圖：

故答案為15；（2）設(shè)：∠CAD=γ，∠BAE=β，①如圖，當(dāng)0°＜α≤45°時(shí)，α+β=90°，α+γ=45°，故β-γ=45°；即∠BAE-∠CAD=45°②當(dāng)45°＜α≤90°時(shí)，γ+β=90°，即∠BAE+∠CAD=45°（3）①當(dāng)ADBC時(shí)，α=15°，t=3；

②當(dāng)DEAB時(shí)，α=45°，t=9；③當(dāng)DEBC時(shí)，α=105°，t=21；④當(dāng)DEAC時(shí)，α=135°，t=27；⑤當(dāng)AEBC時(shí)，α=150°，t=30；綜上，t=3或9或21或27或30．

10．問題情境：如圖1，ABCD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度數(shù)．小明的思路是：過P作PEAB，通過平行線性質(zhì)來求∠APC．(1)按小明的思路，易求得∠APC的度數(shù)為______度；(2)問題遷移：如圖2，ABCD，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，記∠PAB＝α，∠PCD＝β，當(dāng)點(diǎn)P在B、D兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，問∠APC與α、β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；(3)在（2）的條件下，如果點(diǎn)P在B、D兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)O、B、D三點(diǎn)不重合），請(qǐng)直接寫出∠APC與α、β之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)110(2)∠APC=α+β，理由見解析(3)當(dāng)P在BD延長(zhǎng)線上時(shí)，∠CPA=α-β；當(dāng)P在DB延長(zhǎng)線上時(shí)，∠CPA=β-α【詳解】（1）解：過點(diǎn)P作PEAB，∵ABCD，∴PEABCD，∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，∴∠APE=50°，∠CPE=60°，∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．故答案為：110．（2）解：∠APC=α+β，理由：如圖2，過P作PEAB交AC于E，

∵ABCD，∴ABPECD，∴α=∠APE，β=∠CPE，∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β；（3）解分兩種情況：當(dāng)P在BD延長(zhǎng)線上時(shí)，過P作PE∥AB交AC于E，如圖所示，∵ABCD，∴ABPECD，∴α=∠APE，β=∠CPE，∴∠CPA=∠APE-∠CPE=α-β，即∠CPA=α-β；當(dāng)P在DB延長(zhǎng)線上時(shí)，過P作PEAB交AC于E，如圖所示，∵ABCD，∴ABPECD，

∴α=∠APE，β=∠CPE，∴∠CPA=∠CPE-∠CPA=β-α，即∠CPA=β-α．綜上，當(dāng)P在BD延長(zhǎng)線上時(shí)，∠CPA=α-β；當(dāng)P在DB延長(zhǎng)線上時(shí)，∠CPA=β-α．11．如圖，，為、之間一點(diǎn)．(1)若平分，平分求證：；(2)如圖，若，，且的延長(zhǎng)線交的角平分線于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交的角平分線于點(diǎn)，猜想的結(jié)果并且證明你的結(jié)論；(3)如圖，若點(diǎn)是射線之間一動(dòng)點(diǎn)，平分，平分，過點(diǎn)作于點(diǎn)，請(qǐng)猜想與的關(guān)系；并證明你的結(jié)論．【答案】(1)見解析(2)，見解析(3)，見解析【詳解】（1）證明：，，平分，平分，，，，，；（2）解：，證明：過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，如圖所示：

，，，，，，，，，，，平分，平分，，，，，；（3）解：，證明：，，平分，平分，，，，，．12．已知：直線EF分別與直線AB，CD相交于點(diǎn)G，H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．

（1）如圖1，求證：AB∥CD；（2）如圖2，點(diǎn)M在直線AB，CD之間，連接GM，HM，求證：∠M＝∠AGM+∠CHM；（3）如圖3，在（2）的條件下，射線GH是∠BGM的平分線，在MH的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)N，連接GN，若∠N＝∠AGM，∠M＝∠N+∠FGN，求∠MHG的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）60°【詳解】（1）證明：如圖1，∵∠AGE+∠DHE＝180°，∠AGE＝∠BGF．∴∠BGF+∠DHE＝180°，∴AB∥CD；（2）證明：如圖2，過點(diǎn)M作MR∥AB，又∵AB∥CD，∴AB∥CD∥MR．∴∠GMR＝∠AGM，∠HMR＝∠CHM．∴∠GMH＝∠GMR+∠RMH＝∠AGM+∠CHM．（3）解：如圖3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，則∠N＝2α，∠M＝2α+β，

∵射線GH是∠BGM的平分線，∴，∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α，∵，∴，∴∠FGN＝2β，過點(diǎn)H作HT∥GN，則∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，∴∠GHM＝∠MHT+∠GHT＝2α+2β，∠CHG＝∠CHM+∠MHT+∠GHT＝β+2α+2β＝2α+3β，∵AB∥CD，∴∠AGH+∠CHG＝180°，∴90°+α+2α+3β＝180°，∴α+β＝30°，∴∠GHM＝2（α+β）＝60°．13．如圖1，已知兩條直線，被直線所截，分別交于點(diǎn)，點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，且．（1）猜想直線與直線有怎樣的位置關(guān)系？說明你的理由；

（2）若點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），平分交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若，求的度數(shù)；②當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出和的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）AB∥CD，理由見解析過程；（2）28°；（3）α=β或α=90°-β【詳解】解：（1）結(jié)論：．理由：如圖1中，平分交于點(diǎn)，，．，．（2）①如圖2中，，，，，，，，

，．②結(jié)論：或．理由：①當(dāng)點(diǎn)在的右側(cè)時(shí)，可得．，，，，，，，，．②當(dāng)點(diǎn)在的左側(cè)時(shí)，可得．理由：，，又平分，平分，，，，

又，中，，即．14．已知，AB∥CD，點(diǎn)E為射線FG上一點(diǎn)．（1）如圖1，若∠EAF＝40°，∠EDG＝50°，則∠AED＝°；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在FG延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)CD與AE交于點(diǎn)H，則∠AED，∠EAF，∠EDG之間滿足怎樣的關(guān)系，請(qǐng)說明你的結(jié)論；（3）如圖3，DI平分∠EDC，交AE于點(diǎn)K，交AI于點(diǎn)I，且∠EAI：∠BAI＝1：2，∠AED＝22°，∠I＝20°，求∠EKD的度數(shù)．【答案】（1）90；（2）∠EAF=∠AED+∠EDG，理由見解析；（3）142°【詳解】解：（1）延長(zhǎng)DE交AB于H，∵AB∥CD，∴∠EDG=∠AHE=50°，∵∠AED是△AEH的外角，∴∠AED=∠EAF+∠AHE=40°+50°=90°．故答案為：90．（2）∠EAF=∠AED+∠EDG．

∵AB∥CD，∴∠EAF=∠EHC，∵∠EHC是△DEH的外角，∴∠EHC=∠AED+∠EDG，∴∠EAF=∠AED+∠EDG．（3）∵∠EAI：∠BAI=1：2，設(shè)∠EAI=x，則∠BAE=3x，∵∠AED-∠I=22°-20°=2°，∠DKE=∠AKI，又∵∠EDK+∠DKE+∠DEK=180°，∠KAI+∠KIA+∠AKI=180°，∴∠EDK=∠EAI-2°=x-2°，∵DI平分∠EDC，∴∠CDE=2∠EDK=2x-4°，∵AB∥CD，∴∠EHC=∠EAF=∠AED+∠EDG，即3x=22°+2x-4°，解得x=18°，∴∠EDK=18°-2°=16°，∴∠EKD=180°-16°-22°=142°．15．已知AB∥CD，點(diǎn)E為平面內(nèi)一點(diǎn)，BE⊥CE于E,(1)如圖1，請(qǐng)直接寫出∠ABE和∠DCE之間的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2，過點(diǎn)E作EF⊥CD，垂足為F，求證：∠CEF=∠ABE；(3)如圖3，在(2)的條件下，作EG平分∠CEF交DF于點(diǎn)G，作ED平分∠BEF交CD于D，連接BD，若∠DBE+∠ABD=180°，且∠BDE=3∠GEF，求∠BEG的度數(shù)．【答案】（1）∠DCE=90°+∠ABE；（2）見解析；（3）∠BEG=105°．【詳解】解：（1）結(jié)論：∠DCE=90°