解點差法公式在拋物線中點弦問題中的妙用

“點差法”公式在拋物線中點弦問題中的妙用圓錐曲線的中點弦問題是高考常見的題型，在選擇題、填空題和解答題中都是命題的熱點。它的一般方法是：聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關系、中點坐標公式及參數(shù)法求解。若已知直線與圓錐曲線的交點（弦的端點）坐標，將這兩點代入圓錐曲線的方程并對所得兩式作差，得到一個與弦的中點和斜率有關的式子，可以大大減少運算量。我們稱這種代點作差的方法為“點差法”，它的一般結(jié)論叫做點差法公式。本文就拋物線的點差法公式在高考中的妙用做一些粗淺的探討，以饗讀者。定理在拋物線SKIPIF1<0中，若直線SKIPIF1<0與拋物線相交于M、N兩點，點SKIPIF1<0是弦MN的中點，弦MN所在的直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.證明：設M、N兩點的坐標分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.注意：能用這個公式的條件：（1）直線與拋物線有兩個不同的交點；（2）直線的斜率存在.同理可證，在拋物線SKIPIF1<0中，若直線SKIPIF1<0與拋物線相交于M、N兩點，點SKIPIF1<0是弦MN的中點，弦MN所在的直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.注意：能用這個公式的條件：（1）直線與拋物線有兩個不同的交點；（2）直線的斜率存在，且不等于零.例1．拋物線SKIPIF1<0的過焦點的弦的中點的軌跡方程是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0解：SKIPIF1<0，焦點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上.設弦的中點M的坐標為SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0.SKIPIF1<0所求的軌跡方程為SKIPIF1<0.故選B.例2．拋物線SKIPIF1<0上一組斜率為2的平行弦中點的軌跡方程是（）A.SKIPIF1<0（SKIPIF1<0＞SKIPIF1<0）B.SKIPIF1<0（SKIPIF1<0＞SKIPIF1<0）C.SKIPIF1<0（SKIPIF1<0＞SKIPIF1<0）D.SKIPIF1<0解：由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，焦點在SKIPIF1<0軸上.設平行弦的中點M的坐標為SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0點M的軌跡方程為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0＞SKIPIF1<0）.故答案選A.例3．（03上海）直線SKIPIF1<0被拋物線SKIPIF1<0截得的線段的中點坐標是___________.解：SKIPIF1<0，焦點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上.設弦MN的中點P的坐標為SKIPIF1<0，弦MN所在的直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0從而SKIPIF1<0.SKIPIF1<0所求的中點坐標是SKIPIF1<0.例4．拋物線的頂點在原點，焦點在SKIPIF1<0軸上，它和直線SKIPIF1<0相交，所得的弦的中點在SKIPIF1<0上，求拋物線的方程.解：設拋物線的方程為SKIPIF1<0，直線與拋物線的兩個交點為M、N，弦MN的中點P的坐標為SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0點SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0解之得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0直線與拋物線有兩個不同的交點，SKIPIF1<0＞0.SKIPIF1<0m＜SKIPIF1<0，或m＞0.SKIPIF1<0故所求的拋物線方程為SKIPIF1<0例5．已知拋物線SKIPIF1<0上永遠有關于直線SKIPIF1<0對稱的相異兩點，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.解：設拋物線上A、B兩點關于直線SKIPIF1<0對稱，且弦AB的中點為SKIPIF1<0.根據(jù)題意，點P在直線SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.又由SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0.點SKIPIF1<0在拋物線的開口內(nèi)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0＜SKIPIF1<0.解之得：SKIPIF1<0＜SKIPIF1<0.故實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍SKIPIF1<0.例6.（05全國Ⅲ文22）設SKIPIF1<0兩點在拋物線SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0是AB的垂直平分線.（Ⅰ）當且僅當SKIPIF1<0取何值時，直線SKIPIF1<0經(jīng)過拋物線的焦點F？證明你的結(jié)論.（Ⅱ）當SKIPIF1<0時，求直線SKIPIF1<0的方程.解：（Ⅰ）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.設線段AB的中點為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.若直線SKIPIF1<0的斜率不存在，當且僅當SKIPIF1<0時，AB的垂直平分線SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，經(jīng)過拋物線的焦點F.若直線SKIPIF1<0的斜率存在，則其方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.若直線SKIPIF1<0經(jīng)過焦點F，則得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0相矛盾.SKIPIF1<0當直線SKIPIF1<0的斜率存在時，它不可能經(jīng)過拋物線的焦點F.綜上所述，當且僅當SKIPIF1<0時，直線SKIPIF1<0經(jīng)過拋物線的焦點F.（Ⅱ）當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0.SKIPIF1<0所求的直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0例7．已知直線SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0交于A、B兩點，那么線段AB的中點坐標是________.解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.直線的斜率為1.由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0.代入SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0.SKIPIF1<0線段AB的中點坐標是SKIPIF1<0.例8．直線SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0交于不同的兩點P、Q，若PQ中點的橫坐標是2，則SKIPIF1<0=____.解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0若PQ中點的縱坐標是SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.解之得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0.SKIPIF1<0直線與拋物線交于不同的兩點，SKIPIF1<0SKIPIF1<0解之得：SKIPIF1<0＞SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0.設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0.例9．已知拋物線C的頂點在原點，焦點在SKIPIF1<0軸的正半軸上，直線SKIPIF1<0被拋物線C所截得的弦AB的中點M的縱坐標為SKIPIF1<0，則拋物線C的方程為____________.解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0.SKIPIF1<0AB所在的直線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.例10．設SKIPIF1<0SKIPIF1<0為拋物線SKIPIF1<0的弦，如果這條弦的垂直平分線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，求弦SKIPIF1<0SKIPIF1<0所在的直線方程.解：設拋物線的方程為SKIPIF1<0（m＞0）.在SKIPIF1<0中，斜率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0弦AB的中點M的坐標為SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0所求的拋物線的方程為SKIPIF1<0.例11．過點SKIPIF1<0作拋物線SKIPIF1<0的弦AB，若弦AB恰被Q平分，則AB所在的直線方程為_______.解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.弦SKIPIF1<0SKIPIF1<0所在直線的斜率為1.設弦SKIPIF1<0SKIPIF1<0的中點坐標為SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0.弦SKIPIF1<0SKIPIF1<0的中點也在直線SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.弦SKIPIF1<0SKIPIF1<0的中點坐標為SKIPIF1<0.SKIPIF1<0弦SKIPIF1<0SKIPIF1<0所在的直線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.例12．已知拋物線SKIPIF1<0上有不同的兩點A、B關于直線SKIPIF1<0對稱，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.解：設弦AB的中點為SKIPIF1<0.根據(jù)題意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.又由SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0.點SKIPIF1<0在拋物線的開口內(nèi)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0＜SKIPIF1<0.解之得：SKIPIF1<0＞SKIPIF1<0.故實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍SKIPIF1<0.例13．（05全國Ⅲ理21）設SKIPIF1<0兩點在拋物線SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0是AB的垂直平分線.（Ⅰ）當且僅當SKIPIF1<0取何值時，直線SKIPIF1<0經(jīng)過拋物線的焦點F？證明你的結(jié)論.（Ⅱ）當直線SKIPIF1<0的斜率為2時，求SKIPIF1<0在y軸上的截距的取值范圍.解：（Ⅰ）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.設線段AB的中點為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.若直線SKIPIF1<0的斜率不存在，當且僅當SKIPIF1<0時，AB的垂直平分線SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，經(jīng)過拋物線的焦點F.若直線SKIPIF1<0的斜率存在，則其方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.若直線SKIPIF1<0經(jīng)過焦點F，則得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0相矛盾.SKIPIF1<0當直線SKIPIF1<0的斜率存在時，它不可能經(jīng)過拋物線的焦點F.綜上所述，當且僅當SKIPIF1<0時，直線SKIPIF1<0經(jīng)過拋物線的焦點F.（Ⅱ）當SKIPIF1<0時，由（Ⅰ）知，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0它在y軸上的截距SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.直線AB的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.代入SKIPIF1<0并整理得：SKIPIF1<0.SKIPIF1<0直線AB與拋物線有兩個不同交點，SKIPIF1<0SKIPIF1<0＞0，即SKIPIF1<0＞0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0＞SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0在y軸上的截距的取值范圍是SKIPIF1<0.例14．(08陜西文理20)已知拋物線SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0交C于A、B兩點，M是線段AB的中點，過M作x軸的垂線交C于點N.（Ⅰ）證明：拋物線C在點N處的切線與AB平行；（Ⅱ）是否存在實數(shù)SKIPIF1<0使SKIPIF1<