新教材2023年高考數(shù)學總復習考案23周測卷十四計數(shù)原理排列與組合二項式定理古典概型

新教材2023年高考數(shù)學總復習考案23周測卷十四計數(shù)原理排列與組合二項式定理古典概型目錄計數(shù)原理二項式定理古典概型高考真題演練總結與展望計數(shù)原理0101加法原理02乘法原理若完成一件事有$n$類不同的方法，且這些方法互不干擾，則完成這件事共有$n$種方法之和。若完成一件事需要分成$n$個不同的步驟，且這些步驟互不干擾，則完成這件事共有$n$個步驟方法數(shù)之積。加法原理與乘法原理從$n$個不同的元素中取出$m(mleqn)$個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從$n$個元素中取出$m$個元素的一個排列。排列從$n$個不同的元素中取出$m(mleqn)$個元素，并成一組，叫做從$n$個元素中取出$m$個元素的一個組合。組合排列與組合基本概念$A_{n}^{m}=n(n-1)(n-2)cdots(n-m+1)$，表示從$n$個元素中取出$m$個元素的排列數(shù)。$C_{n}^{m}=frac{n!}{m!(n-m)!}$，表示從$n$個元素中取出$m$個元素的組合數(shù)。排列數(shù)公式與組合數(shù)公式組合數(shù)公式排列數(shù)公式0102特殊元素和特殊位置優(yōu)先…對于存在特殊元素或者特殊位置的計數(shù)問題，可以優(yōu)先考慮這些特殊元素或位置，從而簡化問題。相鄰問題捆綁策略對于要求某些元素相鄰的計數(shù)問題，可以將這些相鄰的元素看作一個整體進行考慮。不相鄰問題插空策略對于要求某些元素不相鄰的計數(shù)問題，可以先考慮其他元素的排列，再將不相鄰的元素插入到空隙中。定序問題倍縮策略對于要求某些元素順序一定的計數(shù)問題，可以先不考慮順序進行計數(shù)，然后再除以這些元素的排列數(shù)。分組問題消序策略對于要求將元素分成幾組的計數(shù)問題，需要注意消除組內(nèi)的排列。030405常見計數(shù)問題解決方法輸入標題02010403排列的定義及性質排列的定義：從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個元素中取出m個元素的一個排列。排列中允許有重復元素出現(xiàn)。排列具有順序性，即元素的排列順序不同，則排列也不同。排列的性質組合的定義：從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個元素中取出m個元素的組合數(shù)。組合具有無序性，即元素的排列順序不影響組合的結果。組合中不允許有重復元素出現(xiàn)。組合的性質組合的定義及性質

排列與組合的關系排列與組合都是研究從n個元素中取出m個元素的問題，但排列考慮元素的順序，而組合不考慮元素的順序。排列數(shù)是從n個元素中取出m個元素的所有排列的個數(shù)，而組合數(shù)是從n個元素中取出m個元素的所有組合的個數(shù)。排列數(shù)與組合數(shù)之間有關系：排列數(shù)等于組合數(shù)乘以m的階乘，即Amn=Cmn×m!。典型問題解析定序問題對于定序的元素，可以先不考慮它們的順序，計算出所有可能的排列數(shù)，然后再除以定序元素的排列數(shù)。不相鄰問題對于不相鄰的元素，可以先考慮其他元素的排列，然后再將不相鄰的元素插入到合適的位置。相鄰問題對于相鄰的元素，可以將其看作一個整體進行排列，然后再考慮整體內(nèi)部的排列。插空法對于需要插入到已有元素之間的問題，可以先考慮已有元素的排列，然后將需要插入的元素插入到合適的位置。捆綁法對于需要捆綁在一起進行處理的元素，可以先將其看作一個整體進行排列，然后再考慮整體內(nèi)部的排列。二項式定理0203展開式的特點每一項的系數(shù)都是二項式系數(shù)，即組合數(shù)$C_n^k$。01二項式定理的基本形式$(a+b)^n$的展開式，其中$n$為非負整數(shù)。02通項公式$T_{k+1}=C_n^ka^{n-k}b^k$，其中$k=0,1,2,...,n$。二項式定理的展開式01對稱性在二項式展開式中，與首末兩端等距離的兩項二項式系數(shù)相等。02增減性與最大值二項式系數(shù)先增后減，且對稱軸上的二項式系數(shù)最大。03各二項式系數(shù)的和所有二項式系數(shù)的和為$2^n$。二項式系數(shù)的性質010203利用通項公式求展開式中特定項的系數(shù)。求特定項的系數(shù)利用二項式定理進行近似計算，如求平方根、對數(shù)的近似值等。近似計算利用二項式定理證明與二項式系數(shù)有關的恒等式。證明恒等式二項式定理的應用二項式系數(shù)的性質問題利用二項式系數(shù)的性質求解問題，如最大二項式系數(shù)、系數(shù)和等。二項式定理的應用問題利用二項式定理求解實際問題，如近似計算、證明恒等式等。特定項的系數(shù)問題求解展開式中特定項的系數(shù)，如$x^2$的系數(shù)、常數(shù)項等。典型問題解析古典概型03定義古典概型是一種特殊的數(shù)學模型，用于描述在一定條件下，某一事件發(fā)生的可能性大小。特點在古典概型中，每個基本事件發(fā)生的可能性是相等的，且所有基本事件是互斥的。古典概型的定義及特點事件的概率=該事件包含的基本事件數(shù)/總的基本事件數(shù)?；竟搅信e法排列組合法通過列舉所有可能的基本事件，計算每個基本事件發(fā)生的概率。利用排列組合的知識，計算滿足特定條件的基本事件數(shù)，從而求得事件的概率。030201古典概型的概率計算123在已知某一事件發(fā)生的條件下，另一事件發(fā)生的概率。條件概率兩事件相互獨立，當且僅當其中一事件發(fā)生的概率不受另一事件發(fā)生與否的影響。獨立性若兩事件相互獨立，則它們的條件概率等于各自的概率之積。條件概率與獨立性的關系條件概率與獨立性通過計算不同抽簽方式下，滿足特定條件的基本事件數(shù)，求得事件的概率。抽簽問題將一定數(shù)量的物品分配給若干個人或組，計算滿足特定條件的分配方式的概率。分配問題在幾何圖形中，利用古典概型的知識，計算某一區(qū)域或點集的概率。幾何概型與古典概型的結合對于涉及多個因素或多個步驟的復雜事件，需要綜合運用古典概型、條件概率和獨立性等知識進行概率計算。復雜事件的概率計算典型問題解析高考真題演練042022年全國卷I第17題01考查了排列組合中的分組分配問題，以及二項式定理的應用。2022年全國卷II第16題02考查了古典概型的計算，以及排列組合在概率問題中的應用。2022年全國卷III第18題03考查了計數(shù)原理中的加法原理和乘法原理，以及排列組合的綜合應用。歷年高考真題回顧首先明確問題的實際意義，判斷是排列問題還是組合問題，然后利用加法原理和乘法原理進行求解。排列組合的解題思路首先確定二項式展開式的次數(shù)和項數(shù)，然后根據(jù)通項公式求出各項的系數(shù)和次數(shù)，最后進行求和或化簡。二項式定理的解題思路首先確定試驗的樣本空間和基本事件的總數(shù)，然后求出所求事件包含的基本事件個數(shù)，最后利用古典概型的概率公式進行求解。古典概型的解題思路解題思路與方法總結模擬試題1：從5名男生和4名女生中選出4人參加數(shù)學競賽，要求男生和女生至少各有一人參加，則不同的選法共有____種。答案解析：首先，從9人中選出4人參加數(shù)學競賽的選法有$C{9}^{4}$種。然后，排除其中只包含男生或只包含女生的情況，即$C{5}^{4}+C{4}^{4}$種。因此，滿足條件的選法共有$C{9}^{4}-(C{5}^{4}+C{4}^{4})=126-(5+1)=120$種。模擬試題2：若$(x-\frac{a}{x})^{6}$的展開式中$x^{3}$的系數(shù)為$20$，則$a=$____。答案解析：根據(jù)二項式定理的通項公式，$(x-\frac{a}{x})^{6}$的展開式中第$r+1$項為$T{r+1}=C{6}^{r}x^{6-r}(-\frac{a}{x})^{r}=(-a)^{r}C_{6}^{r}x^{6-2r}$。令$6-2r=3$，解得$r=\frac{3}{2}$（舍去）。再令$6-2r=-3$，解得$r=\frac{9}{2}$（舍去）。因此，$(x-\frac{a}{x})^{6}$的展開式中不存在$x^{3}$項，故題目有誤。模擬試題訓練與答案解析總結與展望05包括加法原理與乘法原理，是排列組合問題的基本出發(fā)點。計數(shù)原理明確排列與組合的定義，掌握排列數(shù)公式和組合數(shù)公式，理解其區(qū)別與聯(lián)系。排列與組合掌握二項式定理的展開式，了解通項公式，能運用二項式定理解決相關問題。二項式定理理解古典概型的定義，掌握其概率計算公式，能運用古典概型解決實際問題。古典概型知識體系梳理與總結二項式定理展開式的誤用要注意二項式定理展開式的使用條件，以及通項公式的正確應用。古典概型中樣本空間的確定在古典概型中，要正確確定樣本空間，避免遺漏或重復計算樣本點。排列與組合