2023-2024學(xué)年上海市長(zhǎng)寧區(qū)復(fù)旦附中八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

-2024學(xué)年上海市長(zhǎng)寧區(qū)復(fù)旦附中八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共6小題，每題3分，共18分）1．（3分）下列代數(shù)式，，33，，中，二次根式有A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)2．（3分）下列根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是A． B． C． D．3．（3分）下列說(shuō)法正確的是A．的根為 B．是的根 C．方程的根為 D．沒有實(shí)數(shù)根4．（3分）能說(shuō)明命題“若為無(wú)理數(shù)，則也是無(wú)理數(shù)”是假命題的反例是A． B． C． D．5．（3分）下列等式中，一定成立的是A． B． C． D．6．（3分）命題：①鄰補(bǔ)角互補(bǔ)；②三角形的一個(gè)外角等于它的兩個(gè)內(nèi)角和；③兩邊及其中一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；④在三角形中，如果一邊上的中線等于這一邊長(zhǎng)的一半，那么這條邊所對(duì)的角是直角；⑤兩點(diǎn)之間線段最短；其中真命題的個(gè)數(shù)有A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)二、填空題（本大題共7小題，每題2分，共24分）7．（2分）寫出二次根式的一個(gè)有理化因式是．8．（2分）化簡(jiǎn)：．9．（2分）方程的根是．10．（2分）命題：“同角的余角相等”的逆命題是．11．（2分）等式成立的條件是．12．（2分）方程的常數(shù)項(xiàng)是1，的值為．13．（2分）已知關(guān)于的方程沒有實(shí)數(shù)根，那么的取值范圍是．14．（2分）現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)廣泛應(yīng)用，催生快遞行業(yè)的高速發(fā)展，上海某家小型快遞公司，去年十月份與十二月份完成投送的快遞件數(shù)分別為10萬(wàn)件和12.1萬(wàn)件．則該公司每月投送的快遞件數(shù)的增長(zhǎng)率為為．15．（2分）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：．16．（2分）最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，則的值為．17．（2分）如圖，中，于點(diǎn)，于點(diǎn)，、相交于點(diǎn)，如果，，，那么．18．（2分）已知等腰△，，，如果將△繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)正好落在直線上的點(diǎn)處，那么度．三、解答題（本大題共9小題，共58.0分）19．（5分）計(jì)算：．20．（5分）計(jì)算：21．（5分）解方程：．22．（5分）解方程：23．（5分）解方程：．24．（5分）已知關(guān)于的一元二次方程為常數(shù)）．如果方程根的判別式為1，求的值及該方程的根．25．（8分）如圖，要建一個(gè)面積為130平方米的長(zhǎng)方形倉(cāng)庫(kù)，現(xiàn)有32米長(zhǎng)的木板，倉(cāng)庫(kù)的一邊靠墻，并在與墻垂直的一邊開一道1米寬的小門．（1）如果墻長(zhǎng)16米，求倉(cāng)庫(kù)的長(zhǎng)和寬（垂直于墻的邊為寬）；（2）如果墻長(zhǎng)米，在離開墻9米開外倉(cāng)庫(kù)一側(cè)修條小路，直接寫出墻長(zhǎng)至少要米？26．（10分）已知一元二次方程、、為常數(shù)，的兩個(gè)實(shí)數(shù)解為，，則有，．這個(gè)結(jié)論稱為一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，因?yàn)槭欠▏?guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)的，人們又稱它為“韋達(dá)定理”．（1）請(qǐng)你證明這個(gè)定理．（2）若關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)解為，，直接寫出的值（用表示）．（3）一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)解為，，求的值．27．（10分）如圖，在中，平分，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，交于，交的延長(zhǎng)線于．求證：（1）；（2）．

參考答案一、選擇題（本大題共6小題，每題3分，共18分）1．（3分）下列代數(shù)式，，33，，中，二次根式有A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)解：形如的式子叫做二次根式．在，，33，，中，33不含根號(hào)，被開方數(shù)小于0，不符合要求，不是二次根式，其余3個(gè)是二次根式，所以，二次根式有3個(gè)．故選：．2．（3分）下列根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是A． B． C． D．解：因?yàn)椋?、；、；、；所以這三項(xiàng)都可化簡(jiǎn)，不是最簡(jiǎn)二次根式．故選：．3．（3分）下列說(shuō)法正確的是A．的根為 B．是的根 C．方程的根為 D．沒有實(shí)數(shù)根解：、的根為，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、時(shí)，，所以是的根，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、△，方程沒有實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、△，當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：．4．（3分）能說(shuō)明命題“若為無(wú)理數(shù)，則也是無(wú)理數(shù)”是假命題的反例是A． B． C． D．解：，是無(wú)理數(shù)，不符合題意；，是無(wú)理數(shù)，不符合題意；，是有理數(shù)，符合題意；，是無(wú)理數(shù)，不符合題意；故選：．5．（3分）下列等式中，一定成立的是A． B． C． D．解：、一定成立，故符合題意；、當(dāng)時(shí)，，故不符合題意；、，故不符合題意；、，故不符合題意；故選：．6．（3分）命題：①鄰補(bǔ)角互補(bǔ)；②三角形的一個(gè)外角等于它的兩個(gè)內(nèi)角和；③兩邊及其中一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；④在三角形中，如果一邊上的中線等于這一邊長(zhǎng)的一半，那么這條邊所對(duì)的角是直角；⑤兩點(diǎn)之間線段最短；其中真命題的個(gè)數(shù)有A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)解：①鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，正確，是真命題，符合題意；②三角形的一個(gè)外角等于它的不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；③兩邊及其中一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，不正確，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；反例：如圖，在△、△中，，，高，但兩個(gè)三角形不全等，；④在三角形中，如果一邊上的中線等于這一邊長(zhǎng)的一半，那么這條邊所對(duì)的角是直角，正確，是真命題，符合題意；⑤兩點(diǎn)之間線段最短，正確，是真命題，符合題意；真命題有3個(gè)，故選：．二、填空題（本大題共7小題，每題2分，共24分）7．（2分）寫出二次根式的一個(gè)有理化因式是．解：，的一個(gè)有理化因式是；故答案為：．8．（2分）化簡(jiǎn)：．．解：原式，故答案為：．9．（2分）方程的根是或．解：，，或，解得：或，故答案為：或．10．（2分）命題：“同角的余角相等”的逆命題是如果兩個(gè)角相等，那么它們是同一個(gè)角的余角．解：“同角的余角相等”的逆命題為“如果兩個(gè)角相等，那么它們是同一個(gè)角的余角”．故答案為：如果兩個(gè)角相等，那么它們是同一個(gè)角的余角．11．（2分）等式成立的條件是．解：由題意可得，解得：，故答案為：．12．（2分）方程的常數(shù)項(xiàng)是1，的值為．．解：，，由題意得：且，解得：且，，故答案為：．13．（2分）已知關(guān)于的方程沒有實(shí)數(shù)根，那么的取值范圍是．解：關(guān)于的方程沒有實(shí)數(shù)根，，解得，故答案為：．14．（2分）現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)廣泛應(yīng)用，催生快遞行業(yè)的高速發(fā)展，上海某家小型快遞公司，去年十月份與十二月份完成投送的快遞件數(shù)分別為10萬(wàn)件和12.1萬(wàn)件．則該公司每月投送的快遞件數(shù)的增長(zhǎng)率為為．解：由題意得：，解得：，（不合題意，舍去），故答案為：．15．（2分）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：．解：根據(jù)，其中、是一元二次方程的兩個(gè)根，的兩個(gè)根為，，，故答案為：．16．（2分）最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，則的值為．解：由題意得：，整理得：，解得：或2，當(dāng)時(shí)，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意，故答案為：．17．（2分）如圖，中，于點(diǎn)，于點(diǎn)，、相交于點(diǎn)，如果，，，那么4．解：，，，，，，在與中，，，，，，，，故答案為：4．18．（2分）已知等腰△，，，如果將△繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)正好落在直線上的點(diǎn)處，那么37.5或52.5度．解：，，，當(dāng)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，落在的位置，，，，；當(dāng)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，落在的位置，，則．故答案為：37.5或52.5．三、解答題（本大題共9小題，共58.0分）19．（5分）計(jì)算：．解：原式．20．（5分）計(jì)算：解：原式．21．（5分）解方程：．解：方程變形為：，，或，，．22．（5分）解方程：解：，，則，即，，則，．23．（5分）解方程：．解：，，，，，△，，，，即：．24．（5分）已知關(guān)于的一元二次方程為常數(shù)）．如果方程根的判別式為1，求的值及該方程的根．解：原方程化為，關(guān)于的一元二次方程根的判別式為1，，△，解得：（不符合題意，舍去），，原方程化為：，，．25．（8分）如圖，要建一個(gè)面積為130平方米的長(zhǎng)方形倉(cāng)庫(kù)，現(xiàn)有32米長(zhǎng)的木板，倉(cāng)庫(kù)的一邊靠墻，并在與墻垂直的一邊開一道1米寬的小門．（1）如果墻長(zhǎng)16米，求倉(cāng)庫(kù)的長(zhǎng)和寬（垂直于墻的邊為寬）；（2）如果墻長(zhǎng)米，在離開墻9米開外倉(cāng)庫(kù)一側(cè)修條小路，直接寫出墻長(zhǎng)至少要20米？解：（1）設(shè)倉(cāng)庫(kù)的長(zhǎng)為米，則寬為米，由題意得：，解得：，，，，不符合題意，舍去，，，答：倉(cāng)庫(kù)的長(zhǎng)為13米，寬為10米；（2）寬為10米米，此時(shí)不符合題意．當(dāng)長(zhǎng)為20米時(shí)，寬為6.5米米，米，故答案為：20．26．（10分）已知一元二次方程、、為常數(shù)，的兩個(gè)實(shí)數(shù)解為，，則有，．這個(gè)結(jié)論稱為一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，因?yàn)槭欠▏?guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)的，人們又稱它為“韋達(dá)定理”．（1）請(qǐng)你證明這個(gè)定理．（2）若關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)解為，，直接寫出的值（用表示）．（3）一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)解為，，求的值．【解答】