離散數(shù)學(xué)(第二版)課后習(xí)題答案詳解

習(xí)題一

1.下列句子中期B些是命題？在是命題的句子中，哪些是簡單命題？哪些是真命題？哪些命題的

真值現(xiàn)在還不知道？

(1)中國有四大發(fā)明.

答：此命題是簡單命題，其真值為1.

(2)如無理數(shù).

答：此命題是簡單命題，其真值為1.

(3)3是素?cái)?shù)或4是素?cái)?shù).

答：是命題，但不是簡單命題，其真值為1.

(4)2x+<35答：不是命題.

(5)你去圖書館嗎？答：不是命題.

(6)2與3是偶數(shù).

答：是命題，但不是簡單命題，其真值為0.

(7)劉紅與魏新是同學(xué).

答：此命題是簡單命題，其真值還不知道.

(8)這朵玫瑰花多美麗呀！答：不是命題.

(9)吸煙請到吸煙室去！答：不是命題.

(10)圓的面積等于半徑的平方乘以TT.

答：此命題是簡單命題，其真值為1.

(11)只有6是偶數(shù)，3才能是2的倍數(shù).

答：是命題，但不是簡單命題，其真值為0.

(12)8是偶數(shù)的充分必要條件是8能被3整除.

答：是命題，但不是簡單命題，其真值為0.

(13)2008年元旦下大雪.

答：此命題是簡單命題，其真值還不知道.

2.將上題中是簡單命題的命題符號化.

解：(1)p：中國有四大發(fā)明.

(2)p:、丐是無理數(shù).

(7)p:劉紅與魏新是同學(xué).

(10)p:圓的面積等于半徑的平方乘以n.

(13)p:2008年元旦下大雪.

3.寫出下列各命題的否定式，并將原命題及其否定式都符號化，最后指出各否定式的真值.

(1)如有理數(shù).

答:否定式：5A無理數(shù).p：5是有蜃數(shù)q：5是無理近其否定式q的真值

為1.

(2)無5是無理數(shù).

答：否定式：是有理數(shù).p：2赤蕤無理數(shù).4：25是雁數(shù).其否定式q的

真值為1.

(3)2.5是自然數(shù).

答：否定式：2.5不是自然數(shù).p：2.5是自然數(shù).02.5不是自然數(shù).其否定式q的真值

為1.

(4)Ini是整數(shù).

答：否定式：Ini不是整數(shù).p：Ini是整數(shù).0Ini不是整數(shù).其否定式夕的真值為1.

4.將下列命題符號化，并指出真值.

(1)2與5都是素?cái)?shù)

答：p：2是素?cái)?shù)，＜?：5是素?cái)?shù)，符號化為pq/\,其真值為1.

(2)不但TT是無理數(shù)，而且自然對數(shù)的底e也是無理數(shù).

答：p：IT是無理數(shù)，0自然對數(shù)的底e是無理數(shù)，符號化為pqh,其真值為1.

(3)雖然2是最小的素?cái)?shù)，但2不是最小的自然數(shù).

答：p：2是最小的素?cái)?shù)，q：2是最小的自然數(shù)，符號化為pq/\r,其真值為1.

(4)3是偶素?cái)?shù).

答：p：3是素?cái)?shù)，q：3是偶數(shù)，符號化為pq/\,其真值為0.

(5)4既不是素?cái)?shù)，也不是偶數(shù).

答：p：4是素?cái)?shù)，q：4是偶數(shù)，符號化為r八rpq,其真值為0.

5.將下列命題符號化，并指出真值.

(1)2或3是偶數(shù).

(2)2或4是偶數(shù).

(3)3或5是偶數(shù).

(4)3不是偶數(shù)或4不是偶數(shù).

(5)3不是素?cái)?shù)或4不是偶數(shù).

答:p：2是偶數(shù)，q：3是偶數(shù)，r：3是素?cái)?shù)，s：4是偶數(shù),25是偶數(shù)

⑴符號化:pqV,其真值為1.

(2)符號化：prV,其真值為1.

(3)符號化：r/V,其真值為0.

(4)符號化：「7rqs,其真值為I.

(5)符號化：■"77S,其真值為0.

6.將下列命題符號化.

(1)小麗只能從筐里拿一個(gè)蘋果或一個(gè)梨.

答：p：小麗從筐里拿一個(gè)蘋果，q：小麗從筐里拿一個(gè)梨，符號化為:pqV.

(2)這學(xué)期，劉曉月只能選學(xué)英語或日語中的一門外語課.

答：p：劉曉月選學(xué)英語，0劉曉月選學(xué)日語，符號化為AVipq)(pq).

7.設(shè)p：王冬生于1971年，q：王冬生于1972年，說明命題“王冬生于1971年或1972

年''既可以化答:列出兩種符號化的真值表：

Pq

(PArq)V(->pAq)pVq

0000

0i11

1011

1i01

根據(jù)真值表，可以判斷出，只有當(dāng)p與q同時(shí)為真時(shí)兩種符號化的表示才會有不同的真值，但結(jié)

合命題可以發(fā)現(xiàn),p與q不可能同時(shí)為真，故上述命題有兩種符號化方式.

&將下列命題符號化，并指出真值.

(1)只要2<1,就有3V4

(2)如果2V1,則3>2；

⑶只有"1,才有3>2.

⑷除非2<1,才有3>2；

(5)除非2V1,否則3:2；

7.<1僅當(dāng)3<2

(6)

答:設(shè)p?[1,則[P：2>1;設(shè)q：*>2,則-iq：3>2

符號化真值

(1)1

P->q

(2)1

P~nQ

(3)0

->q->P

(4)0

-<qtP

(5)0

->qtP

(6)1

P->q

9.設(shè)p：俄羅斯位于南半球,q：亞洲人口最多，將下面命題用自然語言表述，并指出其真值:

（1）PTq；

（2）qTP；；

（3）「PTq；

（4）PT「q；

（5）mTP;

（6）-'PTF；

（7）FTF.

答:根據(jù)題意,p為假命題,q為真命題.

自然語言真值

(1)只要俄羅斯位于南半球，亞洲人口就最多1

(2)只要亞洲人口最多,俄羅斯就位于南半球0

(3)只要俄羅斯不位于南半球，亞洲人口就最多1

(4)只要俄羅斯位于南半球，亞洲人口就不是最多1

(5)只要亞洲人口不是最多，俄羅斯就位于南半球1

(6)只要俄羅斯不位于南半球，亞洲人口就不是最多0

(7)只要亞洲人口不是最多，俄羅斯就不位于南半球1

10.設(shè)p：9是3的倍數(shù),q：英國與土耳其相鄰，將下面命題用自然語言表述,并指出真值:

（1）P—q；

(2)P-F；

(3)--P-Q：

(4)F9F

答:根據(jù)題意,p為真命題,q為假命題.

自然語言真值

(1)9是3的倍數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)英語與土耳其相鄰0

(2)9是3的倍數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)英語與土耳其不相鄰1

(3)9不是3的倍數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)英語與土耳其相鄰1

(4)9不是3的倍數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)英語與土耳其不相鄰0

11.將下列命題符號化，并給出各命題的真值:

(1)若2+2=4,則地球是靜止不動的；

(2)若2+2=4,則地球是運(yùn)動不止的；

(3)若地球上沒有樹木，則人類不能生存；

(4)若地球上沒有水，則是無理數(shù).

答：

命題1命題2符號化真值

(1)p:2+2=4q:地球是靜止不動的0

P->q

(2)p:2+2=4q：地球是靜止不動的1

pT->q

(3)p:地球上有樹木q：人類能生存1

->Pt->q

(4)p:地球上有樹木q:人類能生存1

->P-?q

12.將下列命題符號化，并給出各命題的真值:

(1)2+2=4當(dāng)且僅當(dāng)3+3=6；

(2)2+2=4的充要條件是3+jfe；

(3)2+2才與3+3=6互為充要條件;

(4)若2+2*4,則3+3*6,反之亦然.

答:設(shè)p:2+2=4,q:3+3=6.

符號化真值

(1)1

p—q

(2)0

P-->q

(3)0

->Pq

(4)1

-1Pc-|Q

13.將下列命題符號化，并討論各命題的真值:

(1)若今天是星期一，則明天是星期二；

(2)只有今天是星期一，明天才是星期二；

(3)今天是星期一當(dāng)且僅當(dāng)明天是星期二；

(4)若今天是星期一，則明天是星期三.

答:設(shè)p:今天是星期一,q:明天是星期二,r:明天是星期三.

符號化真值討論

(1)不會出現(xiàn)前句為真，后句為假的情況

ptq

(2)不會出現(xiàn)前句為真，后句為假的情況

qtP

(3)必然為1

pcq

(4)若P為真，則真值為0；若P為假，則真值為1

ptr

14.將下列命題符號化：

(1)劉曉月跑得快，跳得高；

(2)老王是山東人或者河北人；

(3)因?yàn)樘鞖饫?所以我穿了羽絨服；

(4)王歡與李樂組成一個(gè)小組；

(5)李欣與李末是兄弟；

(6)王強(qiáng)與劉威都學(xué)過法語；

(7)他一面吃飯,一面聽音樂；

(8)如果天下大雨，他就乘班車上班；

(9)只有天下大雨，他才乘班車上班；

(10)除非天下大雨，否則他不乘班車上班；

(11)下雪路滑，他遲到了；

(12)2與4都是素?cái)?shù),這是不對的；

(13)“2或4是素?cái)?shù)，這是不對的”是不對的.

答：

命題1命題2命題3符號化

(1)p:劉曉月跑得快q:劉曉月跳得高-pAq

(2)p:老王是山東人q:老王是河北人-(pA->q)V(->pAq)

(3)p:天氣冷q：我穿羽絨服-pTq

p:王歡與李樂組成p:王歡與李樂組成一個(gè)

(4)--

一個(gè)小組小組

p:李辛與李末是兄

(5)--p:李辛與李末是兄弟

弟

(6)p:王強(qiáng)學(xué)過法語q：劉威學(xué)過法語-PAq

(7)p:他吃飯q：他聽音樂-PAq

(8)p:天下大雨q:他乘車上班-Ptq

(9)p:天下大雨q:他乘車上班-qTp

(10)p:天下大雨q:他乘車上班-qtp

(11)p:下雪q：路滑r:他遲到了(pAq)->r

(12)p:2是素?cái)?shù)q:4是素?cái)?shù)-

(13)p：2是素?cái)?shù)q：4是素?cái)?shù)-Vq))

15.設(shè)p：2+3=5.

q：大熊貓產(chǎn)在中國.

r:太陽從西方升起.求下列符合命題的真值:

(1)(P—q)-r；

(2)Gt(pAq))-->p；

(3)(~>rt(->pV->qVr));

(4)

(pAqA->r)<->((-.pV-r).解：p

真值為1,q真值為1,r真值為0.

(1)0,(2)0,(3)0,(4)1

16.當(dāng)p,q的真值為0,r,s的真值為1時(shí),求下列各命題公式的真值:

(1)pV(qAr);

(2)(P一r)A(-iqVs);

(3)C-iPA->qAr)w(pAqA->r);

(4)(~>rAs)->(pA->q).

解(1)0,(2)0,(3)0,(4)1

17.判斷下面一段論述是否為真：“口是無理數(shù).并且，如果3是無理數(shù)，則也是無理數(shù).另

外，只有6能被2整除,6才能被4整除

解：P：n是無理數(shù)q：3是無理數(shù)r店

是無理數(shù)s:6能被2整除t：6能被4整除

符號化為：PA(qTr)V(sTt),該式為重言式，所以論述為真。

18.在什么情況下，下面一段論述是真的:“說小王不會唱歌或小李不會跳舞是正確的,而說如

果小王會唱歌，小李就會跳舞是不正確的解：p:小王會唱歌。q:小李會跳舞。

「pVrq真值為1.PTq真值為0.可得，p真值為1,q真值為0.

所以，小王會唱歌，小李不會跳舞。

19.用真值表判斷下列公式的類型：

(1)pt(pVqVr);

(2)(t->p)—~>q；p

(3)Tr)Ar；

(4)(Ptq)t(Ft->P)；

(5)(PA。-SpA->q);

(6)?PTq)A(qTr))T(pTr);

(7)(pT0)J(rTs)

解⑴

pqr

p(pVqVr)

0001

0011

0i01

0i11

1001

1011

1101

1111

此式為重言式

(2)

Pq

(pT「p)T

001

010

101

111

此式為可滿足式

(3)

qr

-i(qtr)Ar

000

010

i00

110

此式為矛盾式

(4)

pq

(ptq)->(iqtip)

001

011

101

111

此式為重言式

(5)

pqr

(pAr)—(->pA-iq)

0000

0010

0101

0111

1001

1010

1101

1110

此式為可滿足式

(6)

Pqr

C(pTq)A(qTr))T(pTr)

0001

0011

0101

0111

1001

1011

1101

1111

此式為重言式

(7)

pqrs

(ptq)—(r—s)

00001

00010

00100

00111

01001

01010

01100

01111

10000

10010

10101

10111

11001

11010

11100

11111

此式為可滿足式

20.求下列公式的成真賦值:

(1)ip-*Q；

(2)PViq；

(3)(pAq)T->P；

(4)->(PVq)tq解:

Pq

-iptqpViq(pAq)t-ip-i(pVq)tq

000110

011011

101111

111101

由真值表得：(1)的成真賦值是01,10,11(2)的成真賦值是00,10,11

(3)的成真賦值是00,01,10(4)的成真賦值是01,10,11

21.求下列各公式的成假賦值：

(1)->(->pAq)V-nr；

(2)C-!QVr)A(ptq);

(3)(ptq)A?p/\r)Vp).解:

pqr

Aq)V-irVr)A(pq)(p~q)A([(pAr)Vp)

000111

001111

0i0101

0i1011

100110

101110

110101

111111

由真值表得：(1)的成假賦值是011(2)的成假賦值是010,110

(3)的成假賦值是100,101

22.已知公式「(qTP)AP是矛盾式，求公式->(qTp)APArr成真和成假賦值.

解：[(q->P)AP是矛盾式「STP)APA「r也是矛盾式。

由此可得:該式無成真賦值。而成假賦值為：000,001,010,011,100,101,110,111

23.已知公式(pAq)Tp是重言式,求公式((pAq)TP)Vr的成真和成假賦值.

解：...(pAq)Tp是重言式，Tp)Vr也是重言式。

由此可得：該式無成假賦值。而成真賦值為：000,001,010,011,100,101,110,111

24,已知?T(PVq))A(?Aq)TP)是重言式，試判斷公式p-(pvq)及

(pAq)Tp的類型

解：?.?(PT(PVq))A(?Aq)?P)是重言式，而要使該式為重言式，其成真賦值只有

.(PT(PVq)/I]((pAq)Tp)

11,??都7E里^口式。

25.已知([(PTq)Aq)VHHqVp)Aq)是矛盾式，試判斷公式Tq)Aq及

->(rqVp)Aq的類型

解：???(->(pTq)Aq)V(->(rqvp)/\q)是矛盾式，而要使該式為矛盾式，其成假賦值

只有00,A(->(p->q)Aq)和(r(-iqVp)Aq)都是重言式。

26.已知PT8vq)是重言式，r(ptq)Aq是矛盾式，試判斷

(p->(pvq))A(-I(p-?q)Aq)及(pT(pVq))V(-.(p->q)Aq)的類型

解：8->力"4))八(->8->q)/\4)是矛盾式。

(pT(pVq))V(->(pTq)Aq)是重言式。

27.設(shè)A、B都是含命題變量項(xiàng)Pl,p2,…,p”的公式,證明：AAR是重言式當(dāng)且僅當(dāng)A和B都是

重言式.

解:

AB

AAR

000

010

100

11i

由真值表可得，當(dāng)且僅當(dāng)A和B都是重言式時(shí)，AAB是重言式。

28.設(shè)A、B都是含命題變量項(xiàng)p⑷2,…,小的公式，已知A人R是矛盾式,能得出A和B都是

矛盾式的結(jié)論嗎?為什么？

解：

AB

AAR

000

010

100

111

同樣由真值表可得，AAB的成假賦值有00,01,10.所以無法得到A和B都是矛盾式.

29.設(shè)A、B都是含命題變量項(xiàng)piQ”..,p.的公式，證明:AVB是矛盾式當(dāng)且僅當(dāng)A和B都

是矛盾式.

解：

AB

AVR

000

011

101

111

由真值表可得，當(dāng)且僅當(dāng)A和B都是矛盾式時(shí)，AAB是矛盾式。

30.設(shè)A、B都是含命題變量項(xiàng)pi,P”…,p”的公式，已知AAR是重言式,能得出A和B都是

重言式的結(jié)論嗎？

解:

AB

AVR

000

011

101

111

由真值表可得AAR的成真賦值有01,10,11.所以無法得到A和B都是重言式。

習(xí)題二

1.設(shè)公式Apq=t,Bpq=5,用真值表驗(yàn)證公式A和B適合德摩根律:

-1v<=>->A(AB)AB

pqABrArA8

iV(AB)

001011

011000

100100

111000

2.公式A和3同題(1),用真值表驗(yàn)證公式A和5適合蘊(yùn)涵等值式.

ABTQrVAB

pqABABT->vAB

001000

011000

100111

111000

3.用等值演算法判斷下列公式的類型，對不是重言式的可滿足式，再用真值表法求出

成真賦值.

(1)-1A—(pqq)

答：原式Aqq))

V-iV(pqq)

二0是矛盾式.

4.用等值演算法證明下面等值式.

(1)p=AV/\r(pqpq)()答：

右式=pqq/\V->()=p/\1=p

(2)((pq-八tot八)(pr))⑦(qr))

答：右式=-ivA/?<7r()=(rv人rq)(p

r)=(pqpl人f=左式

(3)->—=vAr/\(pq)。夕)(pg)答：

左式=rrV7rVr(pq)0g)

=(PV->AArVr人(p4))(q(pq))

=(Pqv。/\)(pq)

(4)(pq/\~<V->A<=>VAr人)(pq)(p

q)(pq)答:左式=(/>Vr人人rVr人(〃[))

(q(pq))

=(pqVArA)(pq)

5.求下列公式的主析取范式，并求成真賦值：

⑴(rpiq)T(rqvp)

答：

(->-?-?->v=v->-iV=->vv->vp(/)(qp)(pq)(qp)(pq)(qp)

=(-1A->V->AV-IVAV-<pq)(qpp())(pqq()

=(p^AVV->V->A-'=VV)(pp)(pqmmm)o23

成真賦值為00,10,11.

(2)r(p-q)人q/\r答:-1AA=->->VAA=A->Af\=(pqqr){pqqrpq

q)0

所以為矛盾式。

(3)(pqrv人-?vv())(pqr)

答

(/?(/rVA-VV=->VAVVV=->A-?AVVV())(pqr)(pqr())

(pqr)(p(qr))(pqf)

=(r/\rVrVVV=r人rVrArVVVp(qr))(pqr)(pq)(pr){pqr)

=(->A-IAV-IVrAV-IA-IVA7rAV->prr()(Pqq()「)(pqqrr()(

))

vv-?AAv~?pqrr)))((ppqqzrAv->A)())

=(-1A-?AV->人rpqC(pqY人rv-?AA-1VAAVAiAV)(/?r)(j)qf)(/?(7r)

(/?(7rAA-iVA-?A-iV-iAA=VVVVVVV)(pqr)(pqrmmmmmm

〃2加)01234567所以是重言式，真值為

000,001,010,011,100,101,110,111.

6.求下列公式的主析取范式，并求成真賦值：

(1)r(qT-ip)八-ip答:-1T-I八-1=1-17rA->=AA-?=(qp)p(qp)pq

〃p0,是矛盾式，所有賦值均為成真賦值。

(2)(pA^)V(「pVr)答：(pq'V->V=7rVA7fV=->VV=)(p

r){pprqpf)()(pqrM)4,成假賦值為100.

(3)09T(pYq))Yr答:(pTvv=-?vvv=">vvv=(pq玲)(ppq

r())(ppqr1,所以為重言式。所

有賦值均為成真賦值。

7.求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式：

(1)(p/\q)Vr答：(pqrpqrr/\V=AAV-iV)(())

((ppqqr\/-yAV-iA)())

=(pqrr/\A7fV())((/?pqqr\/AV-iA)())

=(p^rAAVAA-?VA-iAV-iAAV-iA-?A)(pqr)(pqf){pqf){pqf)

=mmmmmMMM\VVVV3567=0A2A4

(2)(p-q)八(qf

答：

(pqqA->=_>VA-?V=->A->vAvA-?vA)()(Pq)(q玲(pq)(pr

qqqr)()()

=(->A-iAV-iV-iAV-?AV/2(7rr()){pqqr())((p/2(7rV-1AA))

=(-iA->AV-iA^A->V-?AAVAA/7<7r)(pqf)(PqD(PqC

=mmmmMMMM()vvV137=2"4V5V6

8.求下列公式的主合取范式，再用主合取范式求主析取范式：

(1)(/?/\q)Tq答：(pq/\=1AV=1V-iV==VVV)(y

(pqqpqq)\mmm\23

為重言式。

(2)(pqi—)r答：(pqi一=rAV-15V=-?AA-?-?

A--V)r((/?q)(pqr))((pq)(pqr))

=((「v-iAVV=-1V-?VAVYpq)(pqr))(pqf)(pqrMM)=o

A6

=mmmmmm\VVVVV23457

(3)rt八八(rppq)答：r—八八二八-i八A(r/2pqrppcf)

—M.MMMMMMMoA八12A3八4八5八6八7

=0

因此為矛盾式.

9.用真值表求下面的公式的主析取范式.

(1)(pv-?A)(/?r)

答：公式的真值表如下：

PqrrPpqvA/7r(7?<7VV->A)(/?

r)

0001000

0011011

0101101

0111111

1000101

1010101

1100101

1110101

其成真賦值為001,010,011,100,101,110,111,所以其主析取范式為

mmwmm/??mivvvvvV234567

(2)(pq-T-r)(pq)答:公式的真值表如

下:

pqrqpqip-「q(pqiT-r)(p

001100

010111

101011

110100

(pq--?<->->=A->V->V->AV)(pq)(pq)((pq)(pq))

=(r…八rpq)(pq)

故其成真賦值為001,010.所以其主析取范式為mmiV2.

10.用真值表求下面公式的主合取范式.

(1)(pqr人7)答：(pqrp

r<7rAV=VAV)()()

=MAfM()A2A4

(2)(pqqr-Af()答：

()(〃(?)(")

=MMMM2A4A5A6

11.用真值表求下面公式的主析取范式和主合取范式.(1)(p

qrVA)

(2)p—VV(pqr)(3)->

-r八r(qp)p

pqr(