陜西省西安市重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

-2024學(xué)年陜西省西安重點(diǎn)中學(xué)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.雙曲線x29?yA.3 B.3 C.4 D.2.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為SnA.350 B.700 C.1752 D.3.下列命題：①y=ln2，則y′=12；②y=cosx，則y′=sinx；③y=e2x，則y′=e2x；④y=2sinxcosxA.0 B.1 C.2 D.34.已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，若點(diǎn)P在E上，M為AF的中點(diǎn)，A.25 B.35 C.235.已知點(diǎn)A(2,2)，B(?2,?1)，若點(diǎn)A到直線l的距離為1，點(diǎn)B到直線l的距離為4，則滿足條件的l有條(

)A.1 B.2 C.3 D.46.如圖是函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx+dA.23

B.43

C.83

7.已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)，其導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)滿足：對(duì)任意x∈R都有f(x)<f′(x)，則下列各式恒成立的是(

)A.f(1)<e?f(0)，f(2023)<e2023?f(0)

B.f(1)>e?f(0)，f(2023)>e20238.定義域?yàn)镽的函數(shù)y=f(x)，若對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，都有x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(A.①② B.③④ C.②③ D.①②③二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.對(duì)于直線l1：ax+2y+3a=0和直線l2：3x+(a?1)y+3?a=0.以下說法正確的有(

)A.直線l2一定過定點(diǎn)(?23,1) B.若l1⊥l2，則a=25

C.l10.如圖，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC=BC=1，AA1=2，DA.直線DC1與BC所成角為90°

B.三棱錐D?BCC1的體積為13

C.二面角A1?BD?C1

11.函數(shù)f(x)=x2ex在區(qū)間(k,k+32A.?3 B.?2 C.?1 D.012.已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，SA.若{an}是等差數(shù)列，則S12=48S4 B.若{an}是等比數(shù)列，則S12=273S4三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.直線y=2x+1的一個(gè)法向量n=______．14.已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)P在拋物線上，直線PF與拋物線交于另一點(diǎn)A，設(shè)直線MP，MA的斜率分別為k1，k2，則k1+k15.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2，a2=6，且an+2?2a16.如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為4cm，該紙片上的正方形ABCD的中心為O，E，F(xiàn)，G，H為圓O上的點(diǎn)，△ABE、△BCF、△CDG、△DAH分別是以AB，BC，CD，DA為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以AB，BC，CD，DA為折痕折起△ABE、△BCF、△CDG、△DAH，使得E，F(xiàn)，G，H重合，得到一個(gè)三棱錐，當(dāng)正方形ABCD的邊長為______cm時(shí)，三棱錐體積最大．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題10分)

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)A(1,0)，B(4,0)的距離的比是2．

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；

(2)直線l過點(diǎn)(2,1)，且被曲線C截得的弦長為23，求直線l的方程．18.(本小題12分)

已知曲線f(x)=x3?x，

求(1)曲線在點(diǎn)(?1,0)處的切線方程；

(2)曲線過點(diǎn)(?1,0)的切線方程；

(3)曲線平行于直線11x?y+1=019.(本小題12分)

如圖，BC是⊙O的直徑，BC=2，點(diǎn)A是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A作PA垂直⊙O所在的平面，且PA=1．

(1)當(dāng)三棱錐O?PAC體積最大時(shí)，求直線PO與平面PAC所成角的大小；

(2)當(dāng)點(diǎn)A是BC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)時(shí)，求二面角A?PO?B的正弦值．20.(本小題12分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為22，橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為2．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)已知直線y=k(x?1)(k>0)與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且與x軸，y軸交于M、N兩點(diǎn)．

(i)若MB=AN，求21.(本小題12分)

各項(xiàng)都為整數(shù)的數(shù)列{an}滿足a2=?2，a7=4，前6項(xiàng)依次成等差數(shù)列，從第5項(xiàng)起依次成等比數(shù)列．

(1)求數(shù)列{an}22.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=a?lnxx?2x2，其中a>0．

(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)若g(x)=xf(x)，且當(dāng)ax答案和解析1.【答案】C

【解析】解：雙曲線x29?y216=1的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是(5,0)，一條漸近線為y=43x，

此焦點(diǎn)到漸近線的距離d=2032.【答案】D

【解析】解：∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a13=7，

∴S25=252(a13.【答案】B

【解析】解：①y=ln2，

則y′=0，故①錯(cuò)誤；

②y=cosx，則y′=?sinx，故②錯(cuò)誤；

③y=e2x，則y′=2e2x，故③錯(cuò)誤；

④y=2sinxcosx=sin2x，

則y′=2cos2x，故④正確．

故選：B．4.【答案】B

【解析】解：由題意橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，若點(diǎn)P在E上，M為AF的中點(diǎn)，PA⊥PF，且|PM|=b，如圖：

而a+c=2b，(a+c)2=4b2，即，(a+c)2=4a2?4c2，

整理可得：5e2+2e?3=0，e∈(0,1)，解得e=35.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，以A為圓心，1為半徑作圓A，以B為圓心，4為半徑作圓B，

點(diǎn)A(2,2)，B(?2,?1)，則|AB|=16+9=5，則圓A與圓B外切，兩圓有3條公切線，

則滿足條件的直線有3條，

故選：C．

根據(jù)題意，以A為圓心，1為半徑作圓A，以B為圓心，4為半徑作圓B6.【答案】C

【解析】解：由圖象知f(x)=0的根為0，1，2，∴d=0．

∴f(x)=x3+bx2+cx=x(x2+bx+c)=0．

∴x2+bx+c=0的兩個(gè)根為1和2.∴b=?3，c=2．

∴f(x)=x3?3x2+2x.∴f′(x)=3x2?6x+2．

∵x1，x2為3x2?6x+2=0的兩根，7.【答案】B

【解析】不妨設(shè)g(x)=f(x)ex，函數(shù)定義域?yàn)镽，

可得g′(x)=f′(x)ex?f(x)ex(ex)2=f′(x)?f(x)ex，

因?yàn)閷?duì)任意x∈R都有f(x)<f′(x)，

所以f′(x)?f(x)>0在x∈R上恒成立，

此時(shí)g′(x)>0，

則函數(shù)g(x)=f(x)ex在R上單調(diào)遞增，

所以g(1)=f(1)e8.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，若函數(shù)為“H函數(shù)”，則對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，都有x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)，

變形可得：(x1?x2)[f(x1)?f(x2)]>0，

則函數(shù)f(x)為R上是增函數(shù)；

反之，若函數(shù)f(x)為R上是增函數(shù)，必有(x1?x2)[f(x1)?f(x2)]>0，則函數(shù)為“H函數(shù)”；

由此依次分析所給的4個(gè)函數(shù)：

①y=?x3+x+1，其導(dǎo)數(shù)y′=?3x2+1，不滿足y′≥0在R上恒成立，即y=?x3+x+1在R上不是增函數(shù)，不是“H函數(shù)”；

②y=3x?2(sinx?cosx)，其導(dǎo)數(shù)y′=3?2(cosx+sinx)=3?22sin9.【答案】ABD

【解析】解：對(duì)于A，直線l2：3x+(a?1)y+3?a=0，即3x?y+3+a(y?1)=0，

令3x?y+3=0y?1=0，解得x=?23y=1，

故直線l2一定過定點(diǎn)(?23,1)，故A正確，

對(duì)于B，l1⊥l2，

則3×a+(a?1)×2=0，解得a=25，故B正確，

對(duì)于C，由a(a?1)?6=0，解得a=3或a=?2，經(jīng)驗(yàn)證a=3，a=?2時(shí)兩條直線平行，故C錯(cuò)誤，

對(duì)于D，∵直線l1過定點(diǎn)N(?3,0)，

∴點(diǎn)P(1,3)到直線l1的距離的最大值為PN=(1+310.【答案】ABD

【解析】解：對(duì)于A，在矩形AA1C1C中，因?yàn)锳C=1，AA1=2，

所以DC1⊥DC，又因?yàn)镈C1⊥BD，BD∩DC=D，

所以DC1⊥平面BCD，于是DC1⊥BC，

所以直線DC1與BC所成角為90°，所以A對(duì)；

對(duì)于B，因?yàn)镈C1⊥BD，再由A知CA、CB、CC1兩兩垂直，

三棱錐D?BCC1與三棱錐B?DCC1的體積相同，

其大小為13?12?2?1?1=13，所以B對(duì)；

對(duì)于C，取A1B1中點(diǎn)M，連接C1M、DM，C1M⊥A1B1，

因?yàn)槠矫鍭1B1C1⊥平面A1ABB1，所以C1M⊥平面A1ABB1，11.【答案】AC

【解析】解：f′(x)=(x2+2x)ex，

當(dāng)x>0或x<?2時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)?2<x<0時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減，

故當(dāng)x=?2時(shí)，函數(shù)取得極大值，x=0時(shí)，函數(shù)取得極小值，

若函數(shù)f(x)在區(qū)間(k,k+32)上不存在極值點(diǎn)，

則k+32≤?2或k≥0或?2≤k≤k+32≤0，

解得k≤?72或k≥0或?2≤k≤?1.5，

所以當(dāng)?3.5<k<?2或?1.5<k<0時(shí)，函數(shù)在區(qū)間(k,k+312.【答案】AB

【解析】解：根據(jù)題意，若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則S4、S8?S4、S12?S8也成等差數(shù)列，

則有2(S8?S4)=S4+(S12?S8)，又由S8=17S4，

則有2×16S4=S4+(S12?17S4)，變形可得S12=48S4，故A正確，

若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，由S8=17S4可得，8a1+28d=17(4a1+6d)，13.【答案】(?2,1)(答案不唯一)

【解析】解：直線y=2x+1的方向向量為a=(1,2)，而n??a=0，

所以直線y=2x+1的一個(gè)法向量n=(?2,1)．

故答案為：(?2,1)(答案不唯一14.【答案】0

【解析】解：設(shè)過F的直線x=my+1交拋物線于P(x1,y1)，A(x2,y2)，M(?1,0)，

聯(lián)立方程組x=my+1y2=4x，得：y2?4my?4=0，

于是，有：y1+y2=4m，y1y2=?4，

∴15.【答案】2016

【解析】【分析】

本題考查了構(gòu)造方法、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“累加求和”方法、“裂項(xiàng)求和”方法、取整數(shù)函數(shù)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．

構(gòu)造bn=an+1?an，則b1=a2?a1=4，由題意可得(an+2?an+1)?(an+1?an)=bn+1?bn=2，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：bn=an+1?an=2n+2，再利用“累加求和”方法可得an?a1=(n?1)(4+2n)2，解得an=n(n+1)，1an=1n(n+1)=1n?1n+1，利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

16.【答案】165【解析】解：如圖所示，連結(jié)OG交CD于點(diǎn)M，則OG⊥DC，且點(diǎn)M為CD的中點(diǎn)，

連接OC，△OCM為直角三角形，

設(shè)正方形的邊長為2x，由圓的性質(zhì)可知OM=x，

圓的半徑為4，則MG=4?x，

如圖所示，設(shè)E，F(xiàn)，G，H重合于點(diǎn)P，

則PM=MG=4?x>x，

則0<x<2，高PO=(4?x)2?x2=16?8x，

則錐體的體積V=13(2x)216?8x=8232x4?x5，

設(shè)y=2x4?x5，y′=x3(8?5x)，

當(dāng)0<x<17.【答案】解：(1)設(shè)點(diǎn)P(x,y)，

∵動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)A(1,0)，B(4,0)的距離的比是2，

∴|PA||PB|=2，即|PA|=2|PB|，

則(x?1)2+y2=2(x?4)2+y2，

化簡得x2+y2?10x+21=0，

所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為(x?5)2+y2=4；

(2)由(1)可知點(diǎn)P的軌跡C是以(5,0)為圓心，2為半徑的圓，

∵直線被曲線C截得的弦長為23，

∴圓心(5,0)到直線l的距離d=4?3=1，

①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=2，此時(shí)圓心到直線l的距離是3，不符合條件；

②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y?1=k(x?2)，即kx?y?2k+1=0，【解析】(1)直接利用條件求出點(diǎn)P的軌跡方程，結(jié)合圓的定義即可求解；

(2)直線l的斜率分存在與不存在兩種情況，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，檢驗(yàn)不滿足條件；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，用點(diǎn)斜式設(shè)出直線的方程，根據(jù)弦長和點(diǎn)到直線的距離公式列出等式即可求出直線的斜率，進(jìn)而求出直線的方程．

本題主要考查了點(diǎn)的軌跡方程的求解，還考查了直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．18.【答案】解：由f(x)=x3?x，得f′(x)=3x2?1．

(1)f′(?1)=2，則曲線在點(diǎn)(?1,0)處的切線方程為y=2(x+1)，即2x?y+2=0；

(2)設(shè)切點(diǎn)為(x0,x03?x0)，則f′(x0)=3x02?1，

∴過切點(diǎn)的切線方程為y?(x03?x0)=(3x02?1)(x?x0)，

把(?1,0)代入，可得?x03+x0=?3x02+1?3x03【解析】(1)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f′(?1)，再由直線方程的點(diǎn)斜式得答案；

(2)利用導(dǎo)數(shù)求出過切點(diǎn)的切線方程，代入已知點(diǎn)的坐標(biāo)，求得切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)一步可得切線方程；

(3)由導(dǎo)函數(shù)值為11求得切點(diǎn)橫坐標(biāo)，進(jìn)一步求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再由直線方程的點(diǎn)斜式得答案．

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，設(shè)切點(diǎn)是關(guān)鍵，是中檔題．19.【答案】解：(1)因?yàn)锽C是⊙O的直徑，BC=2，所以O(shè)A=1．

VO?PAC=VP?OAC=13?S△OAC?PA=13?12?OA?OC?sin∠AOC?PA=16sin∠AOC．

當(dāng)∠AOC=π2時(shí)，VO?PAC有最大值，此時(shí)點(diǎn)A是BC的中點(diǎn)．

因?yàn)镻A垂直于⊙O所在平面，所以PA⊥AB．

因?yàn)锽C是⊙O的直徑，所以AC⊥AB．

又因?yàn)镻A，AC?平面PAC，AC∩PA=A，所以AB⊥平面PAC．

如圖①，取AC的中點(diǎn)E，連接OE，PE，則OE/?/AB，所以O(shè)E⊥平面PAC，

所以∠OPE為直線PO與平面PAC所成的角，

此時(shí)AB=2，所以O(shè)E=12AB=22．

又因?yàn)樵赗t△PAO中，PA=1，OA=1，所以PO=2，

所以sin∠OPE=OEPO=12，故∠OPE=π6．

當(dāng)三棱錐O?PAC體積最大時(shí)，直線PO與平面PAC所成角的大小為π6．

(2)當(dāng)點(diǎn)A是BC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)時(shí)，∠AOC=π3，故∠ABC=π6．

因?yàn)锽C是⊙O的直徑，所以AC⊥AB．

又因?yàn)锽C=2，所以AC=1，AB=3

因?yàn)镻A垂直于⊙O所在平面，所以PA⊥AC，PA⊥AB，即AP，AC，AB兩兩垂直，

如圖②，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB，AC，AP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0)，B(3,0,0)，O(32,12,0)，P(0,0,1)，

則AP=(0,0,1)，AO=(32,12,0)，PB=(3,0,?1)【解析】(1)當(dāng)O?PAC體積最大時(shí)，由體積公式確定此時(shí)點(diǎn)A是BC的中點(diǎn)，再由幾何方法確定OE⊥平面PAC，所以∠OPE為直線PO與平面PAC所成的角，最后解三角形求出結(jié)果．

(2)建系，分別求出設(shè)平面APO的法向量和平面PBO的法向量，再由空間向量法求出二面角的余弦值，最后求出正弦值．

本題考查三棱錐的體積和二面角的求法，屬于中檔題．20.【答案】解：(Ⅰ)∵e=ca=22，

∴a2=2c2，代入a2=b2+c2

得b=c．

又橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為2，

即12b×2c=2，即bc=2，以上各式聯(lián)立解得a2=4，b2=2，

則橢圓方程為x24+y22=1．

(Ⅱ)(ⅰ)直線y=k(x?1)與x軸交點(diǎn)為M(1,0)，與y軸交點(diǎn)為N(0,?k)，

聯(lián)立x2+2y2=4y=k(x?1)消去y得：(1+2k2)x?4k2x+2k2?4=0，

△=16k4?4(1+2k2)(2k2?4)=24k2+16>0，

設(shè)A(【解析】(Ⅰ)根據(jù)橢圓的離心率和三角形的面積即可求出a2=4，b2=2，則橢圓方程可得，

(Ⅱ)(i)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算即可求出，

21.【答案】解：(1)設(shè)前6項(xiàng)的公差為d，