北師大版九年級數學上冊基礎知識專項講練 專題6.4 反比例函數的圖象和性質（知識講解）

專題6.4反比例函數的圖象和性質（知識講解）【學習目標】1.能根據解析式畫出反比例函數的圖象，初步掌握反比例函數的圖象和性質．2.會用待定系數法確定反比例函數解析式，進一步理解反比例函數的圖象和性質．3.會解決一次函數和反比例函數有關的問題．【要點梳理】【知識點一】反比例函數的圖象特征：反比例函數的圖象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函數的圖象關于原點對稱，永遠不會與軸、軸相交，只是無限靠近兩坐標軸.特別說明：若點()在反比例函數的圖象上，則點()也在此圖象上，所以反比例函數的圖象關于原點對稱；在反比例函數(為常數，)中，由于，所以兩個分支都無限接近但永遠不能達到軸和軸．【知識點二】畫反比例函數的圖象的基本步驟：（1）列表：自變量的取值應以0為中心，在0的兩側取三對（或三對以上）互為相反數的值，填寫值時，只需計算右側的函數值，相應左側的函數值是與之對應的相反數；（2）描點：描出一側的點后，另一側可根據中心對稱去描點；（3）連線：按照從左到右的順序連接各點并延伸，連線時要用平滑的曲線按照自變量從小到大的順序連接，切忌畫成折線.注意雙曲線的兩個分支是斷開的，延伸部分有逐漸靠近坐標軸的趨勢，但永遠不與坐標軸相交；【知識點三】反比例函數的圖象的位置反比例函數圖象的分布是由的符號決定的：當時，兩支曲線分別位于第一、三象限內，當時，兩支曲線分別位于第二、四象限內．【知識點四】反比例函數圖象的增減性（1）如圖1，當時，雙曲線的兩個分支分別位于第一、三象限，在每個象限內，值隨值的增大而減??；（2）如圖2，當時，雙曲線的兩個分支分別位于第二、四象限，在每個象限內，值隨值的增大而增大；特別說明：反比例函數的增減性不是連續(xù)的，它的增減性都是在各自的象限內的增減情況，反比例函數的增減性都是由反比例系數的符號決定的；反過來，由雙曲線所在的位置和函數的增減性，也可以推斷出的符號.【典型例題】類型一、描點法畫反比例函數的圖象1．在同一平面直角坐標系中，畫出反比例函數與的圖象.【答案】見分析.【分析】用描點法畫反比例函數的圖象，步驟：列表---描點---連線．解：列表如下：x-4-3-2-11234-2-4-8842248-8-4-2描點、連線，如圖所示.【點撥】本題主要考查了反比例函數的圖象，列表取值時，x≠0，因為x=0函數無意義，為了使描出的點具有代表性，可以以“0”為中心，向兩邊對稱式取值，即正、負數各一半，且互為相反數，這樣也便于求y值．舉一反三：【變式】畫出反比例函數與的圖象．【答案】見分析【分析】先列表、描點，再畫圖象．解：列表表示幾組x與y的對應值（填空）：x…1234612……62……12431…描點連線：以表中各對對應值為坐標，描出各點，并用平滑的曲線順次連接這些點，就得到函數與的圖象．【點撥】此題考查畫反比例函數的圖象，掌握畫函數圖象的步驟：列表、描點、連線是解題的關鍵．類型二、已知反比例函數圖象求解析式2．把下列函數的解析式與其圖象對應起來．（1）；（2）；（3）；（4）．A．

B．

C．

D．【答案】（1）B；（2）A；（3）C；（4）D【分析】根據反比例函數的選擇即可得到結論．解：（1）的圖象在一，三象限，對應著圖象B；（2）的圖象關于y軸對稱，且函數值為正，在x軸上方，對應著圖象A；（3）的圖象在二，四象限，對應著圖象C；（4）的圖象關于y軸對稱，且函數值為負，在x軸方下方，對應著圖象D．【點撥】本題考查了反比例函數的選擇，熟練掌握反比例函數的性質是解題的關鍵．舉一反三：【變式】如圖，在平面直角坐標系中，將坐標原點O沿x軸向左平移2個單位長度得到點A，過點A作y軸的平行線交反比例函數y＝的圖象于點B，AB＝.求反比例函數的解析式．【答案】反比例函數的解析式為y＝－.【分析】根據平移及AB的長度求出點B坐標即可得答案.解：∵將坐標原點O沿x軸向左平移2個單位長度得到點A，∴OA=2，∵AB//y軸，AB=，∴B點坐標為：（-2，），把B（-2，），代入y＝中，得到k＝－3，∴反比例函數的解析式為y＝－.【點撥】本題考查待定系數法求反比例函數解析式，根據平移及AB的長度求出B點坐標是解題關鍵.類型三、由雙曲線對稱性求點的坐標3．如圖，與的直徑為2，反比例函數的圖像與兩圓分別交于點A，B，C，D，求圖中陰影部分的面積．【答案】【分析】根據反比例函數的圖像是中心對稱圖形，那么陰影部分的面積可看作半徑為1的半圓的面積．解：由題意得：圖中陰影部分的面積為．【點撥】本題考查了反比例函數的對稱性，解題的關鍵是根據所給的圖形的對稱性得到陰影部分的面積為一個半圓的面積．舉一反三：【變式】已知，在平面直角坐標系中，有反比例函數y=的函數圖像：如圖1，點A是該函數圖像第一象限上的點，且橫坐標為a（a＞0），延長AO使得AO=A'O，判斷點A'是否為該函數圖像第三象限上的點，并說明理由；如圖2，點B、C均為該函數圖像第一象限中的點，連接BC，點D為線段BC的中點，請僅用一把無刻度的直尺作出點D關于點O的對稱點D'．（不寫作圖過程，保留作圖痕跡）【答案】(1)點A'是該函數圖像第三象限上的點，理由見分析(2)見分析【分析】（1）過點A作AM⊥x軸于點M，過點作軸于點N，先求出點A的坐標，再證明，得出，即可得出結論；（2）連接BO、CO并延長，交反比例函數第三象限的圖像于點、點，連接，連接DO并延長，交于點，即可得到點點．解：（1）點A'是該函數圖像第三象限上的點，理由如下：過點A作AM⊥x軸于點M，過點作軸于點N，點A是反比例函數y=的圖像第一象限上的點，且橫坐標為a（a＞0），，即，，，，，，，點A'是該函數圖像第三象限上的點；（2）連接BO并延長，交反比例函數第三象限的圖像于點，連接CO并延長，交反比例函數第三象限的圖像于點，連接，連接DO并延長，交于點，此時，點即為所求．【點撥】本題考查了反比例函數的圖像上的點的坐標特征，關于原點對稱點的特點即作圖，掌握知識點是解題的關鍵．類型四、由雙曲線位置求參數取值范圍4．已知反比例函數的圖象位于第二、四象限，正比例函數圖象經過第一、三象限，求k的整數值．【答案】1【分析】根據反比例函數和正比例函數的性質可得，解出即可求解．解：根據題意，得，解這個不等式組，得，∴k的整數值為1．【點撥】本題主要考查了反比例函數和正比例函數的性質，熟練掌握反比例函數和正比例函數的性質是解題的關鍵．舉一反三：【變式】如圖是反比例函數y＝的圖象的一支．根據圖象解決下列問題：求m的取值范圍；若點A（m-3，b1）和點B（m-4，b2）是該反比例函數圖象上的兩點，請你判斷b1與b2的大小關系，并說明理由．【答案】(1)(2)，理由見分析【分析】（1）由圖象可知，，計算求解即可；（2）判斷，的大小，根據反比例函數性質：當時，隨著的增大而減小，進行大小比較即可．（1）解：由圖象可知，，解得，∴的取值范圍為．（2）解：．理由如下：∵，∴，由反比例函數的圖象與性質可知，當時，隨著的增大而減小，∴．【點撥】本題考查了反比例函數的圖象與性質．解題的關鍵在于熟練掌握反比例函數的圖象與性質．類型五、判斷反比例函數的增減性5．已知點都在反比例函數的圖象上，且，比較與的大?。敬鸢浮慨敚划敃r，；當時，．【分析】根據反比例函數圖象上點的坐標特征得到y1=，y2=，然后分類討論：當x1＞x2＞0或x1<x2<0，易得y1＜y2；當x2<0<x1，可判斷y1＞y2．解：∵點（x1，y1），（x2，y2）都在反比例函數的圖象上，∴y1=，y2=，當x1＞x2＞0或x1<x2<0，則y1＜y2；當x2<0<x1，則y1＞y2．【點撥】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征：反比例函數y=（k為常數，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy=k．舉一反三：【變式】已知點都在反比例函數的圖象上，比較與的大?。敬鸢浮俊痉治觥堪阉膫€點的坐標代入分別求出y1，y2，y3與y4的值，然后比較大小即可．解：∵點（2，y1），（1，y2），（-1，y3），（-2，y4）都在反比例函數的圖象上，∴y1=，y2=1，y3=-1，y4=-，∴y3＜y4＜y1＜y2．【點撥】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征：反比例函數y=（k為常數，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy=k．類型六、由反比例函數判定其位置6．我們已經學習過反比例函數y=的圖像和性質，請你回顧研究它的過程，運用所學知識對函數的圖像和性質進行探索，并解決下列問題：（1）該函數的圖像大致是()A．B．C．D．（2）寫出該函數兩條不同類型的性質：①；②．（3）寫出不等式－＋4＞0的解集．【答案】（1）C；（2）答案不唯一，寫出兩條即可，如：在第三象限內，y隨x的增大而增?。辉诘谒南笙迌?，y隨x的增大而減大；函數圖像關于y軸成軸對稱圖形；（3）x＜－或x＞．【分析】（1）對于函數的圖象，無論x取非零實數時，y的值總小于零，可得圖象；（2）可以從函數的增減性方面進行說明，也可以從函數圖象位于的象限說明；函數圖象關于y軸成軸對稱圖形；（3）先求出y=-4時x的值，再根據圖形確定不等式的解集．解：（1）∵函數，∴函數的圖象是：C故答案為：C．（2）答案不唯一，寫出兩條即可，如：在第三象限內，y隨x的增大而增小，在第四象限內，y隨x的增大而減大，函數圖像關于y軸成軸對稱圖形；（3）當y=-4時，，解得：，根據函數的圖象和性質得，不等式的解集是：或．【點撥】本題考查函數的意義以及反比例函數的圖象和性質，特別注意利用圖象得出性質，再利用性質解決問題．舉一反三：【變式】已知，反比例函數圖象經過點

（1）求這個反比例函數的解析式；（2）這個函數的圖象位于哪些象限？（3）隨的增大如何變化？（4）點是否在這個函數圖象上？【答案】（1）（2）一、三象限（3）在每個象限內隨的增大而減?。?）點在這個函數圖象上【分析】(1)設出解析式,把點的坐標代入即可;(2)根據比例系數的符號進行判斷;(3)根據比例系數,應說出在每個象限內的情況;(4)看此點的橫縱坐標的積是否等于反比例函數的比例系數,進行判斷.解：（1）設反比例函數的解析式為．∵點在函數的圖象上，∴，解得．∴反比例函數的解析式為．（2）∵，∴這個函數的圖象位于一、三象限．∵，∴在每個象限內隨的增大而減?。撸嘣擖c在這個函數圖象上．【點撥】本題考查了運用待定系數法確定函數的解析式,以及反比例函數的圖象的性質.類型七、由反比例函數增減性求參數7．已知反比例函數，當時，隨的增大而減小，求正整數的值．【答案】m=1【分析】根據反比例函數的性質解答即可．解：∵對于反比例函數，當時，隨的增大而減小，∴，解得：，∵m為正整數，∴m=1．【點撥】本題考查反比例函數的性質，熟練掌握反比例函數的性質是解答的關鍵．舉一反三：【變式】已知，反比例函數的圖象在每個分支中隨的增大而減小，試求的取值范圍．【答案】＜3【分析】根據反比函數圖像在每個象限內y的值隨x的值增大而減小，可知范圍，進行求解即可．解：由題意得：，解得，∴，則＜3．【點撥】本題主要考查了反比例函數圖像的性質，熟記并能靈活運用反比例函數的性質是解答本題的關鍵．類型八、由反比例函數求函數值或自變量取值范圍8．如圖是反比例函數的圖像的一支，根據圖像回答下列問題：圖像的另一支位于哪個象限？常數m的取值范圍是什么？在這個函數圖像的任取點A（x1,y1）和點B（x2,y2），若x1>x2，則y1和y2的大小關系如何？【答案】(1)另一支位于第三象限，(2)當x1＞x2>0或0>x1＞x2時，y1＜y2；當x1＞0>x2，y1>y2【分析】（1）根據圖像的對稱性即可得；（2）根據圖像的性質，分情況討論：①當x1＞x2>0或0>x1＞x2，②當x1＞0>x2，即可得．解：(1)由圖像在第一象限，根據對稱性可知另一支位于第三象限，∵圖像在第一、三象限，∴m﹣5＞0，解得m＞5；（2）①當x1＞x2>0或0>x1＞x2時，y1＜y2，②當x1＞0>x2，y1>y2，綜上，當x1＞x2>0或0>x1＞x2時，y1＜y2，當x1＞0>x2，y1>y2．【點撥】本題考查了函數的圖像，解題的關鍵是掌握函數的圖像．舉一反三：【變式】已知