數(shù)學(xué)-6.2立方根（帶答案）

6.2立方根立方根的定義如果一個(gè)數(shù)的立方等于，那么這個(gè)數(shù)叫做的立方根或三次方根.這就是說，如果，那么叫做的立方根.求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫做開立方.立方根的特征：正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0.注意：①一個(gè)數(shù)的立方根，用表示，其中是被開方數(shù)，3是根指數(shù).開立方和立方互為逆運(yùn)算.②任何數(shù)都有立方根，一個(gè)數(shù)的立方根有且只有一個(gè)，并且它的符號(hào)與這個(gè)非零數(shù)的符號(hào)相同.兩個(gè)互為相反數(shù)的數(shù)的立方根也互為相反數(shù).題型1：開立方1.求下列各數(shù)的立方根：（1）﹣27；（2）；（3）0.216；（4）﹣5．【分析】根據(jù)立方根的定義逐個(gè)計(jì)算可得．【解答】解：（1）∵（﹣3）3＝﹣27，∴﹣27的立方根為﹣3，即＝﹣3；

（2∵（）3＝，∴的立方根為，即＝；（3）∵0.63＝0.216，∴0.216的立方根為0.6，即＝0.6；（4）﹣5的立方根為．【變式1-1】求下列各數(shù)的立方根：（1）﹣0.125；（2）（3）﹣15（4）2×32．【分析】（1）把小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，再求立方根；（2）直接求立方根即可；（3）把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再求立方根；（4）求出2×32的值，再求立方根．【解答】解：（1）﹣0.125＝﹣的立方根是﹣；（2）的立方根是；（3）﹣15＝﹣的立方根是﹣；（4）2×32＝64的立方根是4題型2：辨析平方根與立方根2.（2022秋?溫州期末）下列說法正確的是（）

A．4的平方根是2 B．﹣8沒有立方根 C．8的立方根是±2 D．4的算術(shù)平方根是2【分析】根據(jù)平方根，立方根和算術(shù)平方根的定義即可求出答案．【解答】解：A、根據(jù)平方根的定義可知4的平方根是±2，該選項(xiàng)不符合題意；B、根據(jù)立方根的定義可知﹣8的立方根是﹣2，該選項(xiàng)不符合題意；C、根據(jù)立方根的定義可知8的立方根是2，該選項(xiàng)不符合題意；D、根據(jù)算術(shù)平方根的定義可知4的算術(shù)平方根是2，該選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平方根，立方根和算術(shù)平方根，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用其定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式2-1】（2022秋?拱墅區(qū)期末）下列說法正確的是（）A．4的平方根是2 B．8的立方根是±2 C．＝﹣3 D．﹣6沒有平方根【分析】根據(jù)平方根、算術(shù)平方根、立方根的定義逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A.4的平方根是±2，因此選項(xiàng)A不符合題意；B.8的立方根是2，因此選項(xiàng)B不符合題意；C.＝3，因此選項(xiàng)C不符合題意；D．﹣6沒有平方根，因此選項(xiàng)D符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平方根、算術(shù)平方根、立方根，理解平方根、算術(shù)平方根、立方根的定義是正確解答的前提．【變式2-2】（2022秋?渠縣期末）下列說法，其中錯(cuò)誤的有（）①的平方根是9；②是2的算術(shù)平方根；③﹣8的立方根為±2；④＝|a|．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)平方根，算術(shù)平方根，立方根和絕對(duì)值的定義逐個(gè)判斷．

【解答】解：①∵＝9，∴的平方根是±3，原說法錯(cuò)誤；②是2的算術(shù)平方根，原說法正確；③﹣8的立方根為﹣2，原說法錯(cuò)誤；④，原說法正確．∴錯(cuò)誤的說法有2個(gè)．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平方根，算術(shù)平方根，立方根和絕對(duì)值，掌握其定義是關(guān)鍵．題型3：利用立方根的定義求值3.（2022秋?東臺(tái)市月考）已知3是2a﹣1的一個(gè)平方根，也是3a+b+10的立方根，求a+b的平方根．【分析】根據(jù)平方根、立方根的定義求出a、b的值，再代入計(jì)算即可．【解答】解：∵3是2a﹣1的一個(gè)平方根，也是3a+b+10的立方根，∴2a﹣1＝9，3a+b+10＝27，解得a＝5，b＝2，∴a+b＝7，∴a+b的平方根為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定義是正確解答的前提．【變式3-1】（2021秋?鯉城區(qū)校級(jí)月考）已知3a﹣7的立方根是2，2a+2b+2的算術(shù)平方根是4．（1）求a，b的值；（2）求6a+3b的平方根．【分析】根據(jù)平方根和立方根的概念和性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算求解．【解答】解：（1）∵3a﹣7的立方根是2，2a+2b+2的算術(shù)平方根是4，∴，解得，即a＝5，b＝2；

（2）由（1）知a＝5，b＝2，∴6a+3b＝6×5+3×2＝36，∴6a+3b的平方根為±6．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平方根與立方根概念與性質(zhì)的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用以上知識(shí)．【變式3-2】（2022秋?天橋區(qū)期中）已知2a+1的一個(gè)平方根是3，1﹣b的立方根為﹣1．（1）求a與b的值；（2）求3a+2b的算術(shù)平方根．【分析】（1）首先根據(jù)2a+1的一個(gè)平方根是3，可得：2a+1＝9，據(jù)此求出a的值是多少；然后根據(jù)1﹣b的立方根為﹣1，可得：b﹣1＝1，據(jù)此求出b的值是多少即可．（2）把（1）中求出的a與b的值代入3a+2b，求出算術(shù)的值是多少，進(jìn)而求出它算術(shù)平方根是多少即可．【解答】解：（1）∵2a+1的一個(gè)平方根是3，∴2a+1＝9，解得a＝4；∵1﹣b的立方根為﹣1，∴b﹣1＝1，解得b＝2．（2）∵a＝4，b＝2，∴3a+2b＝3×4+2×2＝16，∴3a+2b的算術(shù)平方根4．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了立方根、平方根、算術(shù)平方根的含義和求法，要熟練掌握．立方根的性質(zhì)

注意：第一個(gè)公式可以將求負(fù)數(shù)的立方根的問題轉(zhuǎn)化為求正數(shù)的立方根的問題.題型4：利用立方根的性質(zhì)求值4.若＝k﹣4，求k的值．【分析】根據(jù)立方根的性質(zhì)，構(gòu)建方程即可解決問題．【解答】解：∵＝4﹣k，由題意：4﹣k＝k﹣4，∴k＝4，故答案為4．【變式4-1】已知與互為相反數(shù)，求x的值．【分析】先根據(jù)相反數(shù)的定義列出關(guān)于x的方程，求出x的值即可．【解答】解：∵與互為相反數(shù)，∴+＝0，即2x﹣1＝﹣（4﹣x），解得x＝﹣3．【變式4-2】已知＝a，y2＝b（y＜0），且＝8（b＞4a），＝18，求xy的值．【分析】根據(jù)開方運(yùn)算，可得二元一次方程組，根據(jù)解方程組，可得a、b的值，再根據(jù)乘方運(yùn)算、開方運(yùn)算，可得x、y的值，再根據(jù)有理數(shù)的乘法，可得答案．【解答】解：＝8（b＞4a），＝18，，解得，＝a，y2＝b（y＜0），

﹣x＝23＝8，y＝﹣＝﹣4，x＝﹣8，y＝﹣4，xy＝﹣8×（﹣4）＝32題型5：利用開立方解方程5.解方程：（1）27x3＝64；【解答】∵27x3＝64，∴x3＝，∴x＝（2）64（x﹣2）3﹣1＝0．解，，解得．【變式5-1】解方程：（1）（x+2）3＝﹣64．【解答】（2）∵（x+2）3＝﹣64，∴x+2＝﹣4．∴x＝﹣6．（2）2（x﹣1）3+16＝0．解：2（x﹣1）3+16＝0，2（x﹣1）3＝﹣16，（x﹣1）3＝﹣8，x﹣1＝﹣2解得x＝﹣1．【變式5-2】解方程：（1）2（x+1）3＝﹣54（2）3（x﹣1）3+24＝0【解答】（1）方程變形得：（x+1）3＝﹣27，開立方得：x+1＝﹣3，

解得：x＝﹣4（2）3（x﹣1）3+24＝0，∴3（x﹣1）3＝﹣24，∴（x﹣1）3＝﹣8，∴x﹣1＝﹣2，∴x＝﹣1．題型6：分類討論-求立方根中未知數(shù)的值6.已知31-a2=1-a2，求【解答】解∶立方根等于它本身的數(shù)有-1，0，1.當(dāng)1-a=-1時(shí)，a=±2;當(dāng)1-a=0時(shí)，a=±1;當(dāng)1-a2=1時(shí)，a=0.故a的值為0，±1，±2;【變式6-1】若一個(gè)數(shù)a的平方根等于它本身，數(shù)b的立方根等于它本身，求a+3b的立方根．【分析】根據(jù)平方根的定義求出a，再根據(jù)立方根的定義求出b，然后求出a+3b的值，再利用立方根的定義解答即可．【解答】解：∵數(shù)a的平方根等于它本身，

∴a=0，

∵數(shù)b的立方根等于它本身，

∴b=0或1或-1，

∴a+3b=0或3或-3，

∴a+3b的立方根是0或33或【變式6-2】（2022秋?成縣期中）已知a+3和2a﹣15是某正數(shù)的兩個(gè)平方根，b的立方根是﹣2，c的算術(shù)平方根是其本身，求a+b﹣2c的值．【分析】先依據(jù)平方根的性質(zhì)列出關(guān)于a的方程，從而可求得a的值，然后依據(jù)立方根的定義求得b的值，根據(jù)算術(shù)平方根得出c，最后，再進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：∵某正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是a+3和2a﹣15，b的立方根是﹣2．c算術(shù)平方根是其本身∴a+3+2a﹣15＝0，b＝﹣8，c＝0或1，解得a＝4．當(dāng)a＝4，b＝﹣8，c＝0，a+b﹣2c＝4﹣8﹣0＝﹣4；

當(dāng)a＝4，b＝﹣8，c＝1，a+b﹣2c＝4﹣8﹣2＝﹣6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平方根、立方根、算術(shù)平方根的性質(zhì)，掌握相關(guān)知識(shí)是關(guān)鍵．【變式6-3】已知a的倒數(shù)為它本身，b的絕對(duì)值為2，c的平方根為它本身，且ab＞0，求2a+3b的立方根．【分析】先根據(jù)題意求出a、b、c的值，再求出2a+3b的值，即可得出答案．【解答】解：∵a的倒數(shù)為它本身，∵a＝±1，∵b的絕對(duì)值為2，∴b＝±2，∵ab＞0，∴①a＝1，b＝2或②a＝﹣1，b＝﹣2，∵c的平方根為它本身，∴c＝0，①當(dāng)a＝1，b＝2，c＝0時(shí)，2a+3b＝8，即2a+3b的立方根是＝2；②當(dāng)a＝﹣1，b＝﹣2，c＝0時(shí)，2a+3b＝﹣8，即2a+3b的立方根是﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了立方根，倒數(shù)，平方根的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力．立方根小數(shù)點(diǎn)位數(shù)移動(dòng)規(guī)律被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右或者向左移動(dòng)3位，它的立方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右或者向左移動(dòng)1位.例如，，，，.題型7：立方根與規(guī)律性問題7.（1）填表：a0.0000010.0011100010000000.010.1110100（2）觀察上表，當(dāng)數(shù)a的小數(shù)點(diǎn)每向右（或向左）移動(dòng)三位時(shí)，它的立方根怎樣變化？你能總結(jié)出其中的規(guī)律嗎？（3）已知≈5.625，利用（2）的結(jié)論，寫出的近似值．【分析】（1）根據(jù)進(jìn)行開立方計(jì)算作答；

（2）根據(jù)被開方數(shù)每移動(dòng)三位，立方根就相應(yīng)移動(dòng)一位，兩者移動(dòng)的方向一致．由此特征作答便可；（3）根據(jù)規(guī)律解答便可．【解答】解：（1）通過開立方得，a0.0000010.0011100010000000.010.1110100故答案為：0.01；0.1；1；10；100；（2）觀察可知，當(dāng)數(shù)a的小數(shù)點(diǎn)每向右（或向左）移動(dòng)三位時(shí)，它的立方根相應(yīng)地向左（或向右）移動(dòng)一位；（3）根據(jù)題意得，∵≈5.625，178的小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)三位得0.178，∴178的立方根5.625向左移動(dòng)一位得0.178的立方根，即≈0.5625．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查立方根，數(shù)字規(guī)律探索，難度不大，開立方計(jì)算是解答的關(guān)鍵．【變式7-1】一組數(shù)1，，，2，…符合這個(gè)規(guī)律的第8個(gè)數(shù)是．【分析】根據(jù)已知的幾個(gè)數(shù)可以得到：被開方數(shù)是對(duì)應(yīng)的數(shù)的序號(hào)的平方，據(jù)此即可求解．【解答】解：一組數(shù)1，，，2，…，由2＝，可得符合這個(gè)規(guī)律的第8個(gè)數(shù)為＝4．故答案是：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了立方根，正確得到被開方數(shù)之間的規(guī)律是關(guān)鍵．【變式7-2】計(jì)算，，，，，你能從中找出計(jì)算的規(guī)律嗎？如果將根號(hào)內(nèi)的2換成10，這種計(jì)算的規(guī)律是否仍然保持？【分析】先依據(jù)算術(shù)平方根和立方根的性質(zhì)計(jì)算，然后找出規(guī)律即可．【解答】解：＝2，＝2；＝＝22；＝＝22；＝＝23；＝＝23．

所以＝a（a≥0），＝a．依據(jù)上述規(guī)律可知將根號(hào)內(nèi)的2換成10，這種計(jì)算的規(guī)律仍然成立．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是立方根和算術(shù)平方根的性質(zhì)，通過計(jì)算找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．（2021八上·北票期中）下列說法正確的是()A．－4沒有立方根 B．1的立方根為±1C．5的立方根為35 D．136【答案】C【解析】【解答】解：∵正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，∴A．-4有立方根，不符合題意；B．1的立方根是1，不符合題意；C．5的立方根35D．136的立方根是3故答案為：C．

【分析】根據(jù)立方根的定義逐項(xiàng)判斷即可.2．（2022七上·富陽期中）下列計(jì)算正確的是()A．（-5）2=-5 B．3127=【答案】D【解析】【解答】解：A、-52=5，故A不符合題意；

B、3127=13，3-127=-13，故B不符合題意；

C、16=4【分析】根據(jù)平方根的定義，算術(shù)平方根的定義，立方根的定義，逐項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可得出答案.3．（2021七下·宜州期末）對(duì)于實(shí)數(shù)2021描述正確的是（）

A．2021不是有理數(shù) B．2021的倒數(shù)是1202C．2021的相反數(shù)是-2021 D．-2021沒有立方根【答案】C【解析】【解答】解：A、2021是有理數(shù)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、2021的倒數(shù)是：12021C、2021的相反數(shù)是?2021，故此選項(xiàng)正確，符合題意；D、-2021的立方根為3-2021故答案為：C.【分析】利用有理數(shù)、倒數(shù)、相反數(shù)、立方根的定義分別判斷即可.4．（2022七下·郯城期中）下列等式正確的是（）A．-9=-3 B．49144=±712 C【答案】C【解析】【解答】解：A、-9B、49144C、3(-8)D、-(-5)故答案為：C．【分析】利用算術(shù)平方根、立方根和二次根式的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可。5．（2021八上·隆昌期中）已知3y-1與31-2x互為相反數(shù)，則A．12 B．0 C．-2 D【答案】A【解析】【解答】解：根據(jù)題意，∵3y-1與∴3y-∴y-1+1-2∴y=2x∴xy=

故答案為：A.【分析】由立方根互為相反數(shù)可得立方數(shù)也互為相反數(shù)，據(jù)此建立方程，求解得出x、y的值，進(jìn)而代入即可算出答案.6．（2021八上·隆昌期中）已知x為實(shí)數(shù)，且3x-3-32x+1＝A．3 B．﹣3 C．3和﹣3 D．2和﹣2【答案】C【解析】【解答】解：∵x為實(shí)數(shù)，且3x-3-3∴x﹣3＝2x+1，解得：x＝﹣4，∴x2+x﹣3＝16﹣4﹣3＝9，∴±9＝±3故答案為：C.【分析】由立方根相等得立方數(shù)也相等，據(jù)此建立方程，求出x值，再代入計(jì)算即可.二、填空題7．（2021八上·高邑期中）實(shí)數(shù)64的算術(shù)平方根是，平方根是，立方根．【答案】8；±8；4【解析】【解答】解：實(shí)數(shù)64的算術(shù)平方根為64=8，平方根是±64=±8立方根是364=4故答案為8；±8，4．

【分析】根據(jù)算數(shù)平方根、平方根及立方根的計(jì)算方法求解即可。8．下列說法正確的有①任何數(shù)都有立方根，且只有一個(gè)立方根；②一個(gè)數(shù)的平方等于1，那么這個(gè)數(shù)就是1；③4是8的算術(shù)平方根；④如果一個(gè)數(shù)的立方根等于它本身，那么這個(gè)數(shù)是0；⑤±2是8的立方根．【答案】①【解析】【解答】解：①何數(shù)都有立方根，且只有一個(gè)立方根，正確；②一個(gè)數(shù)的平方等于1，那么這個(gè)數(shù)等于±1，錯(cuò)誤；③4是16的算術(shù)平方根，錯(cuò)誤；④如果一

個(gè)數(shù)的立方根等于它本身，那么這個(gè)數(shù)是0或±1，錯(cuò)誤；⑤2是8的立方根，錯(cuò)誤；

綜上，錯(cuò)誤的是①，

故答案為：①.

【分析】根據(jù)立方根的定義判斷①④⑤；根據(jù)算術(shù)平方根的定義判斷③；根據(jù)一個(gè)數(shù)的平方的運(yùn)算判斷②.9．若x=(3-5)3，則-x-1=【答案】2【解析】【解答】解：x=(3-5)3=-5．-x-10．（2021八上·青神期末）3(-3)3=，(-3【答案】-3；3【解析】【解答】解：3(-3)3=(-3)故答案為：-3；3.【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方法則可得(-3)3=-27，然后利用立方根的概念可得第一空的答案；根據(jù)乘方的意義可得第二空的答案.三、計(jì)算題11．（2021七上·惠山期中）求下列各式中x的值：（1）（x﹣2）2＝4；（2）（x+1）3﹣64＝0.【答案】（1）解：∵（x﹣2）2＝4，∴x﹣2＝±2，∴x＝4或x＝0；（2）解：∵（x+1）3﹣64＝0，∴（x+1）3＝64，∴x+1＝4，∴x＝3.【解析】【分析】（1）利用直接開平方法可得x-2=±2，求解即可；

（2）原方程可變形為(x+1)3＝64，然后開立方即可.12．（2021七下·密山期末）求下列各式中的x：（1）x2﹣12149=0（2）（x﹣1）3=64．【答案】（1）解：∵x2∴x2∴x=±（2）解：∵(x∴x-∴x=5【解