數(shù)學(xué)-專項07 全等三角形中的倍長中線模型（帶答案）

專題07全等三角形中的倍長中線模型【模型展示】特點已知：在△ABC中，D為AC中點，連接BD并延長到E使得DE=BD，連接AE則：BC平行且等于AE．【證明】延長BD到E，使DE＝BD，連接CE，∵AD是斜邊BC的中線∴AD＝CD∵∠ADE＝∠BDC∴△ADE≌△BDC（SAS）∴AE＝BC，∠DBC＝∠AED∴AE∥BC結(jié)論倍長中線是指加倍延長中線，使所延長部分與中線相等，然后往往需要連接相應(yīng)的頂點，則對應(yīng)角對應(yīng)邊都對應(yīng)相等。常用于構(gòu)造全等三角形。中線倍長法多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系（通常用“SAS”證明）（注：一般都是原題已經(jīng)有中線時用，不太會有自己畫中線的時候）。

【模型證明】解決方案方法一：已知：如圖，E是BC的中點，點A在DE上，且∠BAE＝∠CDE，則：AB＝CD．【證明】延長DE至點F，使EF＝DE．∵E是BC的中點∴BE＝CE，在△BEF和△CED中，∴△BEF≌△CED（SAS）．∴BF＝CD，∠D＝∠F．又∵∠BAE＝∠D，∴∠BAE＝∠F．∴AB＝BF．∴AB＝CD．方法二：

【證明】作BF⊥DE于點F，CG⊥DE于點G．∴∠F＝∠CGE＝90°．又∵∠BEF＝∠CEG，BE＝CE，在△BEF和△CEG中，，∴△BFE≌△CGE．∴BF＝CG．在△ABF和△DCG中，∵，∴△ABF≌△DCG．∴AB＝CD．方法三：作CF∥AB，交DE的延長線于點F．

∴∠F＝∠BAE．又∵∠BAE＝∠D，∴∠F＝∠D．∴CF＝CD．∵，∴△ABE≌△FCE．∴AB＝CF．∴AB＝CD．【題型演練】一、解答題1．如圖，中，AD是BC邊上的中線，E，F(xiàn)為直線AD上的點，連接BE，CF，且．(1)求證：≌；(2)若，，試求DE的長．【答案】(1)見解析；

(2)；【分析】（1）根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等；全等三角形的判定（角角邊）；即可證明；（2）由（1）結(jié)論計算線段差即可解答；（1）證明：∵BE∥CF，∴∠BED=∠CFD，∵∠BDE=∠CDF，BD=CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）；（2）解：由（1）結(jié)論可得DE=DF，∵EF=AE-AF=15-8=7，∴DE=；【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定（AAS）和性質(zhì)；掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D是AB的中點，小明發(fā)現(xiàn)，用已學(xué)過的“倍長中線”加倍構(gòu)造全等，就可以測量CD與AB數(shù)量關(guān)系．請根據(jù)小明的思路，寫出CD與AB的數(shù)景關(guān)系，并證明這個結(jié)論．【答案】CD=AB，證明過程詳見解析【分析】延長CD到點E，使ED=CD，連接BE，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可求解．【詳解】解：CD=AB，證明：如圖，延長CD到點E，使ED=CD，連接BE，

在△BDE和△ADC中，∴△BDE≌△ADC(SAS)，∴EB=AC，∠DBE=∠A，∴BEAC，∵∠ACB=90°，∴∠EBC=180°-∠ACB=90°，∴∠EBC=∠ACB，在△ECB和△ABC中，∴△ECB≌△ABC(SAS)，∴EC=AB，∴CD=EC=AB．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線．3．我們規(guī)定：有兩組邊相等，且它們所夾的角互補的兩個三角形叫兄弟三角形．如圖，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列問題：

(1)求證：△OAC和△OBD是兄弟三角形．(2)“取BD的中點P，連接OP，試說明AC＝2OP．”聰明的小王同學(xué)根據(jù)所要求的結(jié)論，想起了老師上課講的“中線倍長”的輔助線構(gòu)造方法，解決了這個問題，按照這個思路回答下列問題．①請在圖中通過作輔助線構(gòu)造△BPE≌△DPO，并證明BE＝OD；②求證：AC＝2OP．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②見解析【分析】（1）證出∠AOC+∠BOD=180°，由兄弟三角形的定義可得出結(jié)論；（2）①延長OP至E，使PE=OP，證明△BPE≌△DPO（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出BE=OD；②證明△EBO≌△COA（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出OE=AC，則可得出結(jié)論．（1）證明：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC+∠BOD=360°-∠AOB-∠COD=360°-90°-90°=180°，又∵AO=OB，OC=OD，∴△OAC和△OBD是兄弟三角形；（2）①證明：延長OP至E，使PE=OP，

∵P為BD的中點，∴BP=PD，又∵∠BPE=∠DPO，PE=OP，∴△BPE≌△DPO（SAS），∴BE=OD；②證明：∵△BPE≌△DPO，∴∠E=∠DOP，∴BEOD，∴∠EBO+∠BOD=180°，又∵∠BOD+∠AOC=180°，∴∠EBO=∠AOC，∵BE=OD，OD=OC，∴BE=OC，又∵OB=OA，∴△EBO≌△COA（SAS），∴OE=AC，又∵OE=2OP，∴AC=2OP．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了新定義兄弟三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．4．【發(fā)現(xiàn)問題】小強在一次學(xué)習(xí)過程中遇到了下面的問題：

如圖1，AD是△ABC的中線，若AB＝8，AC＝6，求AD的取值范圍．【探究方法】小強所在學(xué)習(xí)小組探究發(fā)現(xiàn)：延長AD至點E，使ED＝AD，連接BE．可證出△ADC與△EDB，利用全等三角形的性質(zhì)可將已知的邊長與AD轉(zhuǎn)化到同一個△ABE中，進而求出AD的取值范圍．方法小結(jié)：從上面思路可以看出，解決問題的關(guān)鍵是將中線AD延長一倍，構(gòu)造出全等三角形，我們把這種方法叫做倍長中線法．【應(yīng)用方法】（1）請你利用上面解答問題的方法思路，寫出求AD的取值范圍的過程；【拓展應(yīng)用】（2）已知：如圖2，AD是△ABC的中線，BA＝BC，點E在BC的延長線上，EC＝BC．寫出AD與AE之間的數(shù)量關(guān)系并證明．【答案】（1）1＜AD＜7；（2）2AD=AE．理由見解析【分析】（1）延長AD至點E，使DE=AD，連接BE，證明△BDE≌△CDA（SAS），得出AC=BE=6，由三角形三邊關(guān)系可得出答案；（2）延長AD至F，使DF=AD，由SAS證明△BDF≌△CDA，利用已知條件推出∠FBA=∠ACE，再由SAS證明△ACE≌△FBA即可得到2AD=AE．【詳解】（1）證明：延長AD至E，使DE=AD，∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD，在△BDE和△CDA中，，

∴△BDE≌△CDA（SAS），∴AC=BE=6，在△ABE中，AB-BE＜AE＜AB+BE，∴8-6＜2AD＜8+6，∴1＜AD＜7；（2）2AD=AE．理由如下：證明：延長AD至F，使DF=AD，∵AD是BC的中線，∴BD=CD，在△BDF和△CDA中，，∴△BDF≌△CDA（SAS），∴AC=BF，∠CAD=∠F，∴AC∥BF，∴∠FBA+∠BAC=180°，∵BA=BC，∴∠BAC=∠BCA，∵∠ACE+∠BCA=180°，∴∠FBA=∠ACE，∵BA=BC，EC=BC，∴BA=EC，

在△ACE和△FBA中，，∴△ACE≌△FBA（SAS），∴AE=AF，∵2AD=AF，∴2AD=AE．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．5．[問題背景]①如圖1，CD為△ABC的中線，則有S△ACD＝S△BCD；②如圖2，將①中的∠ACB特殊化，使∠ACB＝90°，則可借助“面積法”或“中線倍長法”證明AB＝2CD；[問題應(yīng)用]如圖3，若點G為△ABC的重心（△ABC的三條中線的交點），CG⊥BG，若AG×BC＝16，則△BGC面積的最大值是（）A．2B．8C．4D．6【答案】[問題背景]①見解析；②見解析；[問題應(yīng)用]C【分析】[問題背景]①設(shè)AB邊的高長為h，可得，再由AD=BD，即可求證；②延長CD至點E，使DE=CD，連接AE，BE，根據(jù)AD=BD，可得四邊形ACBE是平行四邊形，再由∠ACB＝90°，可得到四邊形ACBE是矩形，即可求證[問題應(yīng)用]如圖，過點G作GH⊥BC于點H，根據(jù)題意可得點D是BC的中點，AG=2DG，從而得到，得到AG=BC，再由AG×BC＝16，可得到AG=BC=4，再由GH⊥BC，可得GH≤DG，從而得到當GH=DG時，△BGC面積的最大，即可求解．

【詳解】解：[問題背景]①設(shè)AB邊的高長為h，∴，∵CD為△ABC的中線，即AD=BD，∴；②如圖，延長CD至點E，使DE=CD，連接AE，BE，∵CD為△ABC的中線，∴AD=BD，∵DE=CD，∴四邊形ACBE是平行四邊形，∵∠ACB＝90°，∴四邊形ACBE是矩形，∴AB=CE，∵DE=CD，∴AB=CD+DE=2CD；[問題應(yīng)用]如圖，過點G作GH⊥BC于點H，∵點G為△ABC的重心（△ABC的三條中線的交點），∴點D是BC的中點，AG=2DG，∵CG⊥BG，

∴，∴AG=BC，∵AG×BC＝16，∴AG=BC=4，∴DG=2，∵GH⊥BC，∴GH≤DG，∴GH≤2，∴當GH=2，即GH=DG時，△BGC面積的最大，最大值為．【點睛】本題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)，重心的性質(zhì)，熟練掌握矩形的判定和性質(zhì)定理，重心的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．先閱讀，再回答問題：如圖1，已知△ABC中，AD為中線．延長AD至E，使DE=AD．在△ABD和△ECD中，AD=DE，∠ADB=∠EDC，BD=CD，所以，△ABD≌△ECD（SAS），進一步可得到AB=CE，AB∥CE等結(jié)論．在已知三角形的中線時，我們經(jīng)常用“倍長中線”的輔助線來構(gòu)造全等三角形，并進一步解決一些相關(guān)的計算或證明題．解決問題：如圖2，在△ABC中，AD是三角形的中線，F(xiàn)為AD上一點，且BF=AC，連結(jié)并延長BF交AC于點E，求證：AE=EF．

【答案】證明見試題解析．【分析】延長AD到G，使DF=DG，連接CG，得到BD=DC，根據(jù)SAS推出△BDF≌△CDG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BF=CG，∠BFD=∠G，求出∠AFE=∠G，CG=AC，推出∠G=∠CAF，求出∠AFE=∠CAF即可．【詳解】解：延長AD到G，使DF=DG，連接CG，∵AD是中線，∴BD=DC，在△BDF和△CDG中，∵BD=DC，∠BDF=∠CDG，DF=DG，∴△BDF≌△CDG，∴BF=CG，∠BFD=∠G，∵∠AFE=∠BFD，∴∠AFE=∠G，∵BF=CG，且已知BF=AC，∴CG=AC，∴∠G=∠CAF，∴∠AFE=∠CAF，∴AE=EF．【點睛】本題考查了倍長中線法、三角形全等的判定、性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)等，本題的關(guān)鍵是借助閱讀材料中提供的方法延長AD到G，使DF=DG，進而構(gòu)造三角形全等．7．（1）如圖1，若△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，點D是BC的中點，延長AD到點E，使DE=AD，連接CE，可以得到△ABD≌△ECD，這種作輔助線的方法我們通常叫做“倍長中線法”.求證：

△ACE是直角三角形（2）如圖2，△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DE⊥DF.試說明BE2+CF2=EF2；（3）如圖3，在（2）的條件下，若AB=AC，BE=12，CF=5，求△DEF的面積.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和直角三角形的判定解答即可；（2）延長ED至點G，使得DG=DE，連接FG，CG，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)進行解答；（3）連接AD，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)和三角形的面積公式解答即可．【詳解】（1）∵△ABD≌△ECD∴∠ECD=∠B

∵∠BAC=90°∴∠B+∠BCA=90°∴∠BCE+∠BCA=90°,即∠ACE=90°

∴△ACE是直角三角形（2）延長ED至點G，使得DG=DE，連接FG，CG，∵DE=DG，DF⊥DE，∴DF垂直平分DE，∴EF=FG，

∵D是BC中點，

∴BD=CD，在△BDE和△CDG中，，∴△BDE≌△CDG（SAS），∴BE=CG，∠DCG=∠DBE，∵∠ACB+∠DBE=90°，∴∠ACB+∠DCG=90°，即∠FCG=90°，∵CG2+CF2=FG2，∴BE2+CF2=EF2；（3）連接AD，

∵AB=AC，D是BC中點，∴∠BAD=∠C=45°，AD=BD=CD，∵∠ADE+∠ADF=90°，∠ADF+∠CDF=90°，∴∠ADE=∠CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE=CF，BE=AF，AB=AC=17，∴S四邊形AEDF=S△ABC，∴S△AEF=×5×12=30，

∴△DEF的面積=S△ABC﹣S△AEF=.【點睛】考查全等三角形的判定與性質(zhì)，通過證明三角形全等得出對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等是解題基礎(chǔ)，將待求線段轉(zhuǎn)化成求等長線段是解題的關(guān)鍵．8．（1）閱讀理解：課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：在△ABC中，AB＝9，AC＝5，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖1）：①延長AD到Q，使得DQ＝AD；②再連接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得4<AQ<14，則AD的取值范圍是_____________．感悟：解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”等條件，可以考慮倍長中線，構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三角形中．（2）請你寫出圖1中AC與BQ的位置關(guān)系并證明．（3）思考：已知，如圖2，AD是△ABC的中線，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠FAC＝90°．試探究線段AD與EF的數(shù)量和位置關(guān)系并加以證明．【答案】（1）2＜AD＜7；（2）AC∥BQ，理由見解析；（3）EF＝2AD，AD⊥EF，理由見解析【分析】（1）先判斷出BD＝CD，進而得出△QDB≌△ADC（SAS），得出BQ＝AC＝5，最后用三角形三邊關(guān)系即可得出結(jié)論；（2）由（1）知，△QDB≌△ADC（SAS），得出∠BQD＝∠CAD，即可得出結(jié)論；（3）同（1）的方法得出△BDQ≌△CDA（SAS），則∠DBQ＝∠ACD，BQ＝AC，進而判斷出∠ABQ＝∠EAF，進而判斷出△ABQ≌△EAF，得出AQ＝EF，∠BAQ＝∠AEF，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）延長AD到Q使得DQ＝AD，連接BQ，

∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△QDB和△ADC中，，∴△QDB≌△ADC（SAS），∴BQ＝AC＝5，在△ABQ中，AB﹣BQ＜AQ＜AB+BQ，∴4＜AQ＜14，∴2＜AD＜7，故答案為2＜AD＜7；（2）AC∥BQ，理由：由（1）知，△QDB≌△ADC，∴∠BQD＝∠CAD，∴AC∥BQ；（3）EF＝2AD，AD⊥EF，理由：如圖2，延長AD到Q使得BQ＝AD，連接BQ，由（1）知，△BDQ≌△CDA（SAS），∴∠DBQ＝∠ACD，BQ＝AC，∵AC＝AF，∴BQ＝AF，在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠ABC+∠DBQ＝180°，∴∠BAC+ABQ＝180°，∵∠BAE＝∠FAC＝90°，∴∠BAC+∠EAF＝180°，∴∠ABQ＝∠EAF，在△ABQ和△EAF中，，∴△ABQ≌△EAF，

∴AQ＝EF，∠BAQ＝∠AEF，延長DA交EF于P，∵∠BAE＝90°，∴∠BAQ+∠EAP＝90°，∴∠AEF+∠EAP＝90°，∴∠APE＝90°，∴AD⊥EF，∵AD＝DQ，∴AQ＝2AD，∵AQ＝EF，∴EF＝2AD，即：EF＝2AD，AD⊥EF．【點睛】本題是三角形綜合題，主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，倍長中線法，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．9．在利用構(gòu)造全等三角形來解決的問題中，有一種典型的利用倍延中線的方法，例如：在△ABC中，AB＝8，AC＝6，點D是BC邊上的中點，怎樣求AD的取值范圍呢？我們可以延長AD到點E，使AD＝DE，然后連接BE（如圖①），這樣，在△ADC和△EDB中，由于，∴△ADC≌△EDB，∴AC＝EB，接下來，在△ABE中通過AE的長可求出AD的取值范圍．請你回答：

（1）在圖①中，中線AD的取值范圍是．（2）應(yīng)用上述方法，解決下面問題①如圖②，在△ABC中，點D是BC邊上的中點，點E是AB邊上的一點，作DF⊥DE交AC邊于點F，連接EF，若BE＝4，CF＝2，請直接寫出EF的取值范圍．②如圖③，在四邊形ABCD中，∠BCD＝150°，∠ADC＝30°，點E是AB中點，點F在DC上，且滿足BC＝CF，DF＝AD，連接CE、ED，請判斷CE與ED的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）1＜AD＜7；（2）①2＜EF＜6；②CE⊥ED，理由見解析【分析】（1）在△ABE中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理即可得出結(jié)果；（2）①延長ED到點N，使，連接CN、FN，由SAS證得，得出，由等腰三角形的性質(zhì)得出，在△CFN中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理即可得出結(jié)果；②延長CE與DA的延長線交于點G，易證DG∥BC，得出，由ASA證得，得出，即可證得，由，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出．【詳解】（1）在△ABE中，由三角形的三邊關(guān)系定理得：，即，即故答案為：；（2）①如圖②，延長ED到點N，使，連接CN、FN∵點D是BC邊上的中點在△NDC和△EDB中，

是等腰三角形，在△CFN中，由三角形的三邊關(guān)系定理得：，即；②；理由如下：如圖③，延長CE與DA的延長線交于點G∵點E是AB中點在△GAE和△CBE中，，即．（等腰三角形的三線合一）【點睛】本題考查了三角形全等的判定定理與性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)等

知識點，較難的是題（2）②，通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．10．閱讀材料，解答下列問題．如圖1，已知△ABC中，AD為中線．延長AD至點E，使DE=AD．在△ADC和△EDB中，AD=DE，∠ADC=∠EDB，BD=CD，所以，△ACD≌△EBD，進一步可得到AC=BE，AC//BE等結(jié)論．在已知三角形的中線時，我們經(jīng)常用“倍長中線”的輔助線來構(gòu)造全等三角形，并進一步解決一些相關(guān)的計算或證明題．解決問題：如圖2，在△ABC中，AD是三角形的中線，點F為AD上一點，且BF=AC，連結(jié)并延長BF交AC于點E，求證：AE=EF．【答案】詳見解析【分析】延長AD到M，使DM=AD，連接BM，根據(jù)SAS推出△BDM≌△CDA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BM=AC，∠CAD=∠M，根據(jù)BF=AC可得BF=BM，推出∠BFM=∠M，求出∠AFE=∠EAF即可．【詳解】如圖，延長至點，使得，并連結(jié)，∵是三角形的中線，∴，在和中，

∴，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴，即．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運用性質(zhì)進行推理的能力，關(guān)鍵是能根據(jù)“倍長中線”法作出輔助線來構(gòu)造全等三角形．11．（1）如圖1所示，在中，為的中點，求證：甲說：不可能出現(xiàn)，所以此題無法解決；乙說：根據(jù)倍長中線法，結(jié)合我們新學(xué)的平行四邊形的性質(zhì)和判定，我們可延長至點，使得，連接、，由于，所以可得四邊形是平行四邊形，請寫出此處的依據(jù)_______________________________________（平行四邊形判定的文字描述）所以，中，，即請根據(jù)乙提供的思路解決下列問題：（2）如圖2，在中，為的中點，，，，求的面積；（3）如圖3，在中，為的中點，為的中點，連接交于，若．求證：．【答案】（1）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；（2）6；（3）見解析．【分析】（1）根據(jù)題意，，即可得四邊形的對角線相等，根據(jù)平行四邊形的判定定理即

可寫出；（2）根據(jù)倍長中線法，延長至點，使得，可以求得,再根據(jù)勾股定理的逆定理可知為，繼而即可求得面積（3）根據(jù)倍長中線法，延長至點,證明四邊形是平行四邊形，由即可證明．【詳解】解：（1），四邊形是平行四邊形依據(jù)是：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．故答案為：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．（2）如圖，根據(jù)倍長中線法，延長至點，使得，由（1）可知，四邊形是平行四邊形,，，,是（3）如圖，根據(jù)倍長中線法，延長至點，使

由（1）可知：四邊形是平行四邊形，,又【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理的逆定理，等角對等邊，運用倍長中線法是解題的關(guān)鍵．12．（1）方法學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)興趣小組活動時，張老師提出了如下問題：如圖1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖2），①延長AD到M，使得DM＝AD；②連接BM，通過三角形全等把AB、AC、2AD轉(zhuǎn)化在△ABM中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得AM的取值范圍為AB﹣BM＜AM＜AB+BM，從而得到AD的取值范圍是；方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系．

（2）請你寫出圖2中AC與BM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．（3）深入思考：如圖3，AD是△ABC的中線，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，請直接利用（2）的結(jié)論，試判斷線段AD與EF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】（1）1＜AD＜7；（2）AC∥BM，且AC＝BM，證明見解析；（3）EF＝2AD，證明見解析．【分析】（1）延長AD到M，使得DM＝AD，連接BM，根據(jù)題意證明△MDB≌△ADC，可知BM＝AC，在△ABM中，根據(jù)AB﹣BM＜AM＜AB+BM，即可；（2）由（1）知，△MDB≌△ADC，可知∠M＝∠CAD，AC＝BM，進而可知AC∥BM；（3）延長AD到M，使得DM＝AD，連接BM，由（1）（2）的結(jié)論以及已知條件證明△ABM≌△EAF，進而可得AM＝2AD，由AM＝EF，即可求得AD與EF的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）如圖2，延長AD到M，使得DM＝AD，連接BM，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△MDB和△ADC中，，∴△MDB≌△ADC（SAS），∴BM＝AC＝6，在△ABM中，AB﹣BM＜AM＜AB+BM，∴8﹣6＜AM＜8+6，2＜AM＜14，∴1＜AD＜7，故答案為：1＜AD＜7；（2）AC∥BM，且AC＝BM，理由是：由（1）知，△MDB≌△ADC，∴∠M＝∠CAD，AC＝BM，∴AC∥BM；（3）EF＝2AD，理由：如圖2，延長AD到M，使得DM＝AD，連接BM，由（1）知，△BDM≌△CDA（SAS），

∴BM＝AC，∵AC＝AF，∴BM＝AF，由（2）知：AC∥BM，∴∠BAC+∠ABM＝180°，∵∠BAE＝∠FAC＝90°，∴∠BAC+∠EAF＝180°，∴∠ABM＝∠EAF，在△ABM和△EAF中，，∴△ABM≌△EAF（SAS），∴AM＝EF，∵AD＝DM，∴AM＝2AD，∵AM＝EF，∴EF＝2AD，即：EF＝2AD．【點睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系，三角形全等的性質(zhì)與判定，利用倍長中線輔助線方法是解題的關(guān)鍵．

13．【閱讀理解】倍長中線是初中數(shù)學(xué)一種重要的數(shù)學(xué)思想，如圖①，在中，是邊上的中線，若延長至，使，連接，可根據(jù)證明，則．(1)【類比探究】如圖②，在中，，，點是的中點，求中線的取值范圍；(2)【拓展應(yīng)用】如圖③，在四邊形中，，點是的中點．若是的平分線．試探究，，之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)2＜DG＜5(2)AD=DC+AB【分析】（1）延長DG至M，使GM=DG，連接MF，根據(jù)SAS可證△DEG≌△MFG，得出MF=3，然后根據(jù)三角形三邊不等關(guān)系定理求出DM取值范圍，最后把DM=2DG代入即可求解；（2）延長AE，DC相交于點F，根據(jù)ASA可證△ABE≌△FCE，則AB=FC，然后由AE平分∠BAD，ABCD可證∠F=∠DAF，由等角對等邊可得AD=DF，最后由線段的和差關(guān)系即可求解．(1)解：延長DG至M，使GM=DG，連接MF，又EG=FG，∠EGD=∠FGM，∴△DEG≌△MFG，

∴DE=MF，又DE=3，∴MF=3，又DF=7，∵DF-MF＜DM＜DF+MF，∴7-3＜DM＜7+3，即4＜DM＜10，∴4＜2DG＜10，∴2＜DG＜5；(2)延長AE，DC相交于點F，∵ABCD，∴∠BAE=∠F，又BE=CE，∠AEB=∠FEC，∴△ABE≌△FCE，∴AB=CF，∵∠BAE=∠F，∠DAF=∠BAE，∴∠F=∠DAF，∴AD=FD，又FD=CD+DF，CF=AB，∴AD=CD+AB．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系定理等知識，讀懂題意，添加“倍長中線”的輔助線是解題的關(guān)鍵．14．閱讀下面材料：小軍遇到這樣一個問題：如圖1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，點D為BC

的中點，求AD的取值范圍．（1）小軍發(fā)現(xiàn)老師講過的“倍長中線法”可以解決這個問題．他的做法是：如圖2，延長AD到E，使DE＝AD，連接BE，構(gòu)造△BED≌△CAD，經(jīng)過推理和計算使問題得到解決．請回答：AD的取值范圍是．（2）參考小軍思考問題的方法，解決問題：如圖3，△ABC中，E為AB中點，P是CA延長線上一點，連接PE并延長交BC于點D．求證：PA?CD＝PC?BD．【答案】（1）1<AD<5；（2）證明見試題解析．【詳解】試題分析：（1）由△BED≌△CAD，得到BE=AC，在△ABE中，由三角形三邊關(guān)系即可得到結(jié)論；（2）延長PD至點F，使EF＝PE，連接BF．得到△BEF≌△AEP，從而∠APE＝∠F，BF＝PA，又由∠BDF＝∠CDP，得到△BDF∽△CDP，故＝，即可得到結(jié)論．試題解析：（1）1<AD<5；（2）證明：延長PD至點F，使EF＝PE，連接BF．∵BE＝AE，∠BEF＝∠AEP，∴△BEF≌△AEP，∴∠APE＝∠F，BF＝PA，又∵∠BDF＝∠CDP，∴△BDF∽△CDP，∴＝，∴＝，即PA·CD＝PC·BD．．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)．

15．在通過構(gòu)造全等三角形解決的問題中，有一種典型的方法是倍延中線法．(1)如圖1，是的中線，，求的取值范圍．我們可以延長到點M，使，連接，易證，所以．接下來，在中利用三角形的三邊關(guān)系可求得的取值范圍，從而得到中線的取值范圍是___________．(2)如圖2，是的中線，點E在邊上，交于點F，且，求證：；【答案】(1)1<AD<6(2)見解析【分析】(1)如圖1，延長AD到點M，使DM=AD，連接BM，證明△ADC≌△MDB(SAS)，推出AC=BM=5，再根據(jù)AB?BM?AM?AB+BM，可得結(jié)論；(2)如圖2，延長AD到T，使得DT=AD，連接BT，由△ADC≌△TDB，推出AC=BT，∠C=∠TBD，推出，再證明BF=BT，可得結(jié)論．（1）解：如圖1中，延長AD到點M，使DM=AD，連接BM，∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，在△ADC和△MDB中，

，∴△ADC≌△MDB(SAS)，∴AC=BM=5，∵AB=7，∴AB?BM<AM<AB+BM，∴2<AM<12，∴2<2AD<12，∴1<AD<6，故答案為：1<AD<6；（2）證明：如圖2中，延長AD到T，使得DT=AD，連接BT，∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，在△ADC和△TDB中，，∴△ADC≌△TDB(SAS)，∴AC=BT，∠C=∠TBD，∴，∴∠T=∠DAC，

∵EA=EF，∴∠EAF=∠EFA，∵∠EFA=∠BFT，∴∠T=∠BFT，∴BF=BT，∴AC=BF【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了三角形的三邊關(guān)系，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，倍長中線構(gòu)造全等三角形解決問題．16．在通過構(gòu)造全等三角形解決的問題中，有一種典型的方法是倍延中線．（1）如圖1，是的中線，求的取值范圍．我們可以延長到點，使，連接，易證，所以．接下來，在中利用三角形的三邊關(guān)系可求得的取值范圍，從而得到中線的取值范圍是；（2）如圖2，是的中線，點在邊上，交于點且，求證：；（3）如圖3，在四邊形中，，點是的中點，連接，且，試猜想線段之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并予以證明．

【答案】（1）；（2）見解析；（3），證明見解析【分析】（1）延長到點，使，連接，即可證明，則可得，在中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得到的取值范圍，進而得到中線的取值范圍；（2）延長到點使，連接，由（1）知，則可