第02講等差數(shù)列（4個(gè)知識(shí)點(diǎn)方法練創(chuàng)新練成果練）

第02講等差數(shù)列（4個(gè)知識(shí)點(diǎn)+方法練+創(chuàng)新練+成果練）【目錄】【新知講解】知識(shí)點(diǎn)1.等差數(shù)列的概念知識(shí)點(diǎn)2.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式知識(shí)點(diǎn)3.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及其應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)4.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的綜合應(yīng)用【方法練】【創(chuàng)新練】【成果練】【知識(shí)導(dǎo)圖】【新知講解】知識(shí)點(diǎn)1.等差數(shù)列的概念等差數(shù)列:一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示，公差可正可負(fù)可為零．思考你能根據(jù)等差數(shù)列的概念寫(xiě)出它的數(shù)學(xué)表達(dá)式嗎？答案an＋1－an＝d(d為常數(shù)，n∈N*)．等差中項(xiàng)由三個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列．這時(shí)，A叫做a與b的等差中項(xiàng)且2A＝a＋b.3.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d.從函數(shù)角度認(rèn)識(shí)等差數(shù)列{an}若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為a1，公差為d，則an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．(1)點(diǎn)(n，an)落在直線y＝dx＋(a1－d)上，這條直線的斜率為d，在y軸上的截距為a1－d

；(2)這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)每增加1，函數(shù)值增加d.4.等差數(shù)列通項(xiàng)公式的變形及推廣設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，則①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，③d＝eq\f(an－am,n－m)(m，n∈N*，且m≠n)．其中，①的幾何意義是點(diǎn)(n，an)均在直線y＝dx＋(a1－d)上．②可以用來(lái)利用任一項(xiàng)及公差直接得到通項(xiàng)公式，不必求a1.③可用來(lái)由等差數(shù)列任兩項(xiàng)求公差．5.等差數(shù)列的性質(zhì)(1)若{an}，{bn}分別是公差為d，d′的等差數(shù)列，則有數(shù)列結(jié)論{c＋an}公差為d的等差數(shù)列(c為任一常數(shù)){c·an}公差為cd的等差數(shù)列(c為任一常數(shù)){an＋an＋k}公差為kd的等差數(shù)列(k為常數(shù)，k∈N*){pan＋qbn}公差為pd＋qd′的等差數(shù)列(p，q為常數(shù))(2）下標(biāo)性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.特別地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，則有am＋an＝2ap.（3）在等差數(shù)列中每隔相同的項(xiàng)選出一項(xiàng)，按原來(lái)的順序排成一列，仍然是一個(gè)等差數(shù)列．（4）等差數(shù)列{an}的公差為d，則d>0?{an}為遞增數(shù)列；d<0?{an}為遞減數(shù)列；d＝0?{an}為常數(shù)列．例一、單選題1．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）等差數(shù)列中，，則的公差為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】設(shè)公差為，然后由已知的兩式相減求解即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以，則，得，故選：B例二、多選題2．（2021·高二課時(shí)練習(xí)）給出下列命題，正確命題的是（

）A．?dāng)?shù)列6，4，2，0是公差為2的等差數(shù)列；B．?dāng)?shù)列是公差為的等差數(shù)列；C．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式一定能寫(xiě)成的形式(k，b為常數(shù))；D．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列．【答案】BCD【分析】利用等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，即可判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】等差數(shù)列的定義知，數(shù)列6，4，2，0為等差數(shù)列，但公差為，A錯(cuò)誤；等差數(shù)列的定義知，數(shù)列為等差數(shù)列且公差為，B正確；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得，令，則，C正確；，數(shù)列是等差數(shù)列，D正確.故選：BCD例三、填空題3．（2020·江蘇蘇州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知和均為等差數(shù)列，若，，則的值是.【答案】12【分析】根據(jù)和均為等差數(shù)列，，，利用等差中項(xiàng)，由求解.【詳解】因?yàn)楹途鶠榈炔顢?shù)列，，，所以，所以，故答案為：12.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差中項(xiàng)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.例四、解答題4．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列，滿足，，記.(1)試證明數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】(1)證明見(jiàn)及解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由遞推關(guān)系式代入計(jì)算，結(jié)合等差數(shù)列的定義，即可證明；（2）由（1）可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再由代入計(jì)算，即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式．【詳解】（1）證明：,又，∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．（2）由（1）知，因?yàn)?，所以∴?shù)列的通項(xiàng)公式為.5．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高三揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)校考期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列，問(wèn)是否存在正整數(shù)，使得，若存在，求出所以滿足要求的的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)不存在，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系構(gòu)造為等差數(shù)列，從而求出通項(xiàng)公式；（2）代入利用裂項(xiàng)相消求出，判斷單調(diào)性，進(jìn)而判斷求出的值是否存在.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，，即，所以是以為首?xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，即，當(dāng)時(shí)，，所以，又滿足上式，所以;（2）因?yàn)?，則,所以是單調(diào)遞增數(shù)列，又因?yàn)椋?，所以不存在正整?shù)，使得.知識(shí)點(diǎn)2.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式已知量首項(xiàng)，末項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)，公差與項(xiàng)數(shù)求和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法是倒序相加法.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式有上面兩種表示形式.等差數(shù)列的五個(gè)量a1，d，n，an，Sn的關(guān)系是：能夠由其中三個(gè)求另外兩個(gè)．例一、單選題1．（2023下·河南·高二襄城高中校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則下列各項(xiàng)中值最大的為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)的性質(zhì)，結(jié)合前項(xiàng)和公式逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)椋?在中，最大，在中，是最小的正數(shù)，所以最大.故選：A例二、多選題2．（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶南開(kāi)中學(xué)校考期中）已知數(shù)列和都是等差數(shù)列，，，，設(shè)集合，，，若將集合中的元素從小到大排列，形成一個(gè)新數(shù)列，下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．?dāng)?shù)列的前20項(xiàng)和為610【答案】ACD【分析】對(duì)于A，直接由等差數(shù)列的性質(zhì)運(yùn)算即可判斷；對(duì)于B、C，令，并結(jié)合數(shù)列的定義即可判斷；由題意可知數(shù)列的前20項(xiàng)和為，由此即可判斷.【詳解】對(duì)于A：由，，解得，，所以，，所以A對(duì)；對(duì)于B、C：令，所以當(dāng)，時(shí)，，且相鄰公共項(xiàng)之間依次有，，，所以當(dāng)時(shí)，所以B錯(cuò)，C對(duì)；對(duì)于D：由B可知，記前項(xiàng)和為，則約前20項(xiàng)和為，1，2，3，4時(shí)，所以D對(duì).故選：ACD.例三、填空題3．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上面一層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球……．設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，其中，，，則．【答案】15【分析】由分析可知每次小球數(shù)量剛好是等差數(shù)列的求和，最后直接公式即可算出答案.【詳解】由題意可知,，所以，

故答案為：15例四、解答題4．（2023上·河北石家莊·高二石家莊一中?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求其前n項(xiàng)和為．【答案】(1)(2)【分析】（1）把條件都用，表示出來(lái)，解方程求出，，可得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）采用裂項(xiàng)求和的方法求數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，由題意：，解得.所以：.（2）由（1）可得：，所以：，故：.5．（2023上·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，記數(shù)列的前99項(xiàng)和為，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）首先通過(guò)累加法求解，然后解得；（2）首先通過(guò)分析判斷出數(shù)列是周期數(shù)列，然后通過(guò)平方差公式分解求得，最后代入求解即可；【詳解】（1）因?yàn)?，所以，，累加得，所?（2）因?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以數(shù)列是以3為周期的數(shù)列.故.知識(shí)點(diǎn)3.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及其應(yīng)用一、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)1．若數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差數(shù)列，且公差為eq\f(d,2).2．設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，Sn為其前n項(xiàng)和，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為m2d.3．若等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為2n，則S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(an＋1,an).4．若等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為2n＋1，則S2n＋1＝(2n＋1)·an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(n,n＋1).思考在性質(zhì)3中，an和an＋1分別是哪兩項(xiàng)？在性質(zhì)4中，an＋1是哪一項(xiàng)？答案中間兩項(xiàng)，中間項(xiàng)．二、等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式的函數(shù)特征1．公式Sn＝na1＋eq\f(nn－1d,2)可化成關(guān)于n的表達(dá)式：Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n.當(dāng)d≠0時(shí)，Sn關(guān)于n的表達(dá)式是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)式，即點(diǎn)(n，Sn)在其相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象上，這就是說(shuō)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是關(guān)于n的二次函數(shù)，它的圖象是拋物線y＝eq\f(d,2)x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))x上橫坐標(biāo)為正整數(shù)的一系列孤立的點(diǎn)．2．等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值(1)在等差數(shù)列{an}中，當(dāng)a1>0，d<0時(shí)，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))確定；當(dāng)a1<0，d>0時(shí)，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))確定．(2)Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，若d≠0，則從二次函數(shù)的角度看：當(dāng)d>0時(shí)，Sn有最小值；當(dāng)d<0時(shí)，Sn有最大值．當(dāng)n取最接近對(duì)稱軸的正整數(shù)時(shí)，Sn取到最值．例一、單選題1．（2022上·陜西西安·高二校聯(lián)考期中）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則（

）A．138 B．674 C．675 D．2023【答案】C【分析】利用分組求和法結(jié)合等差數(shù)列公式計(jì)算得到答案.【詳解】故選：C.例二、多選題2．（2021上·福建龍巖·高二福建省連城縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知公差為的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，，則是數(shù)列中絕對(duì)值最小的項(xiàng)B．若，則C．若，，則D．若，，則【答案】CD【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)“若，則”得到，進(jìn)而判定選項(xiàng)A錯(cuò)誤；利用，，，為等差數(shù)列求，進(jìn)而判定選項(xiàng)B錯(cuò)誤；先利用方程思想求出通項(xiàng)公式，再求出前8項(xiàng)的絕對(duì)值的和即可判定選項(xiàng)C正確；利用等差數(shù)列的求和公式及性質(zhì)“若，則”判定選項(xiàng)D正確.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，且，所以，即，所以，即是數(shù)列中絕對(duì)值最小的項(xiàng).故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，，，為等差數(shù)列，設(shè)，由得：，故，，，為等差數(shù)列解得，所以.故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，且，，所以，，則.則.故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，且，，所以，，則.故選項(xiàng)D正確；故選：CD.例三、填空題3．（2020上·上海浦東新·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則【答案】【解析】已知與的關(guān)系式，利用即可求的通項(xiàng)公式.【詳解】由已知條件，知：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)n=1時(shí)不滿足上式，∴，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)與的關(guān)系求通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.例四、解答題4．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)為．（1）若為等差數(shù)列，求證：；（2）若，求證：為等差數(shù)列．（3）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)無(wú)窮等差數(shù)列、，公差均不為0且滿足，求證：數(shù)列有無(wú)窮多個(gè)，而數(shù)列唯一確定．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）設(shè)公差為，得倒序相加可得答案；（2）由利用可得答案；（3）設(shè)、的公差分別為，代入利用多項(xiàng)式相等可得答案.【詳解】（1）為等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，又，兩式相加得，所以.（2）若，則當(dāng)時(shí)，，所以，①得，②②①得所以，即為等差數(shù)列．（3）設(shè)、的公差分別為，且都不為0，代入，得，由多項(xiàng)式相等可得，解得可得，，所以可取無(wú)窮多個(gè)正實(shí)數(shù)，可得由無(wú)窮多個(gè)，而數(shù)列是唯一確定的.【點(diǎn)睛】應(yīng)熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，考查遞推、運(yùn)算求解能力，考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，注意解題方法的積累.5．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）等差數(shù)列的公差為，數(shù)列的前項(xiàng)和為．(1)已知，，，求及；(2)已知，，，求；(3)已知，求.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列求和公式和通項(xiàng)公式相關(guān)概念直接計(jì)算；（2）根據(jù)等差數(shù)列求和公式和通項(xiàng)公式相關(guān)概念直接計(jì)算；（3）方法一：根據(jù)題意得到，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式進(jìn)行計(jì)算；方法二：結(jié)合題意得到，利用等差數(shù)列的性質(zhì)直接求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以整理得，解得或（?fù)值舍去），所以（2）因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以?）方法一：由，即，所以方法二：由，得，所以知識(shí)點(diǎn)4.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的綜合應(yīng)用(1)等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn最大(小)值的情形①若a1>0，d<0，則Sn存在最大值，即所有非負(fù)項(xiàng)之和．②若a1<0，d>0，則Sn存在最小值，即所有非正項(xiàng)之和．(2)求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn最值的方法①尋找正、負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn)，可利用等差數(shù)列性質(zhì)或利用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))來(lái)尋找．②運(yùn)用二次函數(shù)求最值．例一、單選題1．已知數(shù)列為等差數(shù)列，滿足，其中在一條直線上，為直線外一點(diǎn)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的值為A． B．2015 C．2016 D．2013【答案】A【分析】根據(jù)已知向量的線性關(guān)系及共線可得，再利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及下標(biāo)和的性質(zhì)，即可求.【詳解】由題設(shè)，根據(jù)在一條直線上，則，所以，故選：A.例二、多選題2．（2023·河南信陽(yáng)·信陽(yáng)高中?？寄M預(yù)測(cè)）若數(shù)列滿足（為正整數(shù)），為數(shù)列的前項(xiàng)和則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】直接代入遞推公式求得，可知A正確；根據(jù)遞推式求，構(gòu)造數(shù)列為常數(shù)列，求得數(shù)列的通項(xiàng)，得，B正確；代入等差數(shù)列求和公式可得，C錯(cuò)誤；先放縮，再利用裂項(xiàng)相消求和可證明D正確.【詳解】，故A正確；由知，，兩式相減得，故，故當(dāng)時(shí)，為常數(shù)列，故，故，故，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故，故D正確.故選：ABD.例三、填空題3．已知，等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則的值為.【答案】【分析】先求出，并判斷，（且），再由函數(shù)得到，最后求的值即可.【詳解】解：因?yàn)榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為，且，所以，解得：，則，（且）因?yàn)?，則，所以設(shè)，則，由上述兩式相加得：，則故答案為：1009.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)的性質(zhì)、等差數(shù)列的前項(xiàng)和、倒序相加法，是中檔題.例四、解答題4．已知數(shù)列為按如下規(guī)律排成的一列數(shù)：此數(shù)列的前項(xiàng)和為．（1）是此數(shù)列的第幾項(xiàng)？（2）若，求的值．【答案】（1）108項(xiàng)；（2）.【分析】（1）將數(shù)列分組（如圖所示），根據(jù)各組的元素的個(gè)數(shù)可得為第項(xiàng).（2）算出前組的和，令該和小于或等于11，從而得到第項(xiàng)所在的組，再結(jié)合故可得的值.【詳解】將數(shù)列按如下方式分組：，（1）自左至右，第組的分母為且有項(xiàng)，那么應(yīng)為第項(xiàng)．（2）前組的和為．令，滿足條件的最大整數(shù)．分母小于或等于5的所有項(xiàng)共項(xiàng)，和為．又，所以使得成立的．【點(diǎn)睛】本題考查分組數(shù)列，此類問(wèn)題需弄清楚各組的特征，且需通過(guò)前組和的計(jì)算來(lái)定位第項(xiàng)的位置，本題屬于中檔題.5．（2021·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在①，②是公差為1的等差數(shù)列，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的問(wèn)題中并作答.問(wèn)題：在公差不為0的等差數(shù)列中，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，_________.設(shè)，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求使成立的最小正整數(shù)的值.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】答案見(jiàn)解析【分析】選擇條件①：利用公式可化簡(jiǎn)得，從而得，從而求得通項(xiàng)；選擇條件②：先求得，再結(jié)合公式求得通項(xiàng)；選擇條件③：由轉(zhuǎn)化為基本量計(jì)算即可得通項(xiàng)；由通項(xiàng)求得，最后利用裂項(xiàng)相消法求和即可得結(jié)果．【詳解】選擇條件①：因?yàn)?，所以，上面兩式相減得，所以（）.在中，令，得，所以，從而，所以.選擇條件②：因?yàn)槭枪顬?的等差數(shù)列，，于是.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，所以.選擇條件③：因?yàn)?，所以，整理?因?yàn)?，所以，從而?shù)列的通項(xiàng)公式為.因?yàn)椋?，解得，所以使成立的最小正整?shù)的值為4．【點(diǎn)睛】本題考查的核心是裂項(xiàng)求和，使用裂項(xiàng)法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫(xiě)未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的．【方法練】一、單選題1．（2020·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知在等差數(shù)列中，，，則數(shù)列的前項(xiàng)和（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將題干中兩個(gè)已知等式相加，利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出的值，然后利用等差數(shù)列求和公式可求得的值.【詳解】已知在等差數(shù)列中，，，所以，，，因此，.故選：B.2．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知遞增等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則下列各式中為正的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】由已知可得且，分別計(jì)算選項(xiàng)的值即可判斷正負(fù).【詳解】設(shè)遞增等差數(shù)列的公差為，則，，，解得，，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故D正確.故選：BD.二、多選題3．（2022·高二單元測(cè)試）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則是等差數(shù)列B．若是等差數(shù)列，則三點(diǎn)共線C．若是等差數(shù)列，且，則當(dāng)時(shí)數(shù)列的前n項(xiàng)和有最小值D．若等差數(shù)列的前12項(xiàng)和為354，前12項(xiàng)中，偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和之比為32：27，則公差為5【答案】BCD【分析】A選項(xiàng)利用求出即可判斷；B選項(xiàng)根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式對(duì)點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行處理，同時(shí)利用斜率相等證明共線；C選項(xiàng)利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出公差，再結(jié)合首項(xiàng)和公差的正負(fù)判斷有無(wú)最小值；D選項(xiàng)根據(jù)偶數(shù)項(xiàng)和奇數(shù)項(xiàng)的比值求出偶數(shù)項(xiàng)和奇數(shù)項(xiàng)的和，從而作差求出公差.【詳解】A選項(xiàng)：，當(dāng)時(shí)，，不符合，所以，故A錯(cuò)；B選項(xiàng)：因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，，，，因?yàn)椋?，所以三點(diǎn)共線，B正確；C選項(xiàng)：因?yàn)?，，所以，，又因?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)開(kāi)口向上，且對(duì)稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，故C正確；D選項(xiàng)：因?yàn)?，?2項(xiàng)里偶數(shù)項(xiàng)和奇數(shù)項(xiàng)的和的比為32:27，所以偶數(shù)項(xiàng)和為192，奇數(shù)項(xiàng)和為162，所以偶數(shù)項(xiàng)和奇數(shù)項(xiàng)和，所以公差為，故D正確.故選：BCD.4．（2023上·湖南株洲·高二?？计谀┮阎炔顢?shù)列的公差，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的前n項(xiàng)和最小，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)給定條件，確定等差數(shù)列的負(fù)數(shù)項(xiàng)和正數(shù)項(xiàng)，求出首項(xiàng)范圍，再利用前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)判斷作答.【詳解】等差數(shù)列的公差，則數(shù)列是遞增等差數(shù)列，又當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，最小，因此當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，于是，解得，而，從而，，，，即與0的關(guān)系不確定，ABD正確，C錯(cuò)誤.故選：ABD三、填空題5．已知數(shù)列滿足，，則的值為．【答案】96【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，是首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，則有，當(dāng)時(shí)，，顯然不滿足上式，所以.故答案為：966．（2022上·云南玉溪·高二統(tǒng)考期末）程大位《算法統(tǒng)宗》里有詩(shī)云“九百九十六斤棉，贈(zèng)分八子做盤(pán)纏.次第每人多十七，要將第八數(shù)來(lái)言.務(wù)要分明依次弟，孝和休惹外人傳.”意為：996斤棉花，分別贈(zèng)送給8個(gè)子女做旅費(fèi)，從第一個(gè)開(kāi)始，以后每人依次多17斤，直到第八個(gè)孩子為止.分配時(shí)一定要等級(jí)分明，使孝順子女的美德外傳，則第七個(gè)孩子分得斤數(shù)為.【答案】167【分析】由題設(shè)知8個(gè)孩子分得斤數(shù)是公差為17的等差數(shù)列，設(shè)第一個(gè)孩子分得斤，應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求，進(jìn)而由等差數(shù)列通項(xiàng)公式求即可.【詳解】由題意，設(shè)第一個(gè)孩子分得斤，則，所以，可得，故斤.故答案為：167.四、解答題7．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）等差數(shù)列的公差為，數(shù)列的前項(xiàng)和為．(1)已知，，，求及；(2)已知，，，求；(3)已知，求.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列求和公式和通項(xiàng)公式相關(guān)概念直接計(jì)算；（2）根據(jù)等差數(shù)列求和公式和通項(xiàng)公式相關(guān)概念直接計(jì)算；（3）方法一：根據(jù)題意得到，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式進(jìn)行計(jì)算；方法二：結(jié)合題意得到，利用等差數(shù)列的性質(zhì)直接求解即可.【詳解】（1）因?yàn)椋哉淼?，解得或（?fù)值舍去），所以（2）因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋裕?）方法一：由，即，所以方法二：由，得，所以8.已知(≥0)，數(shù)列中，，=2，時(shí)，且.（1）求的表達(dá)式；

（2）已知時(shí)，求并化簡(jiǎn).【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由已知得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得答案．（2）由（1）得，運(yùn)用裂項(xiàng)求和法可求得答案．【詳解】（1）因?yàn)?，時(shí)，，所以時(shí)，，又，所以，又=2，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，=2滿足，所以．（2）由（1）得，所以，所以．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：裂項(xiàng)相消法求數(shù)列和的常見(jiàn)類型：（1）等差型，其中是公差為的等差數(shù)列；（2）無(wú)理型；（3）指數(shù)型；（4）對(duì)數(shù)型.【創(chuàng)新練】一、單選題1．兩個(gè)等差數(shù)列、的前n項(xiàng)和分別為、，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)可設(shè)，則，從而計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)?、為等差?shù)列，且所以設(shè)，則故選：【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)，對(duì)于等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則，屬于基礎(chǔ)題.2．對(duì)于任一實(shí)數(shù)序列，定義為序列，它的第項(xiàng)是，假定序列的所有項(xiàng)都是1，且，則（

）A．1000 B．2000 C．100 D．200【答案】A【分析】是公差為的等差數(shù)列，可先設(shè)出的首項(xiàng)，然后表示出的通項(xiàng)，再用累加法表示出序列的通項(xiàng)，再結(jié)合求出的首項(xiàng)和的首項(xiàng)，從而求出序列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而獲解.【詳解】設(shè)序列的首項(xiàng)為，則序列為，則它的第項(xiàng)為，因此數(shù)列的第項(xiàng)，，則是關(guān)于的二次多項(xiàng)式，其中的系數(shù)是，∵，∴必有，∴.故選：A.二、多選題3．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，，，，是互不相同的正整數(shù)，且，若在平面直角坐標(biāo)系中有點(diǎn)，，，，則下列選項(xiàng)成立的有（

）A． B．C．直線與直線的斜率相等 D．直線與直線的斜率不相等【答案】ABC【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)及合比性質(zhì)判斷A；根據(jù)兩點(diǎn)距離公式、兩點(diǎn)斜率公式判斷B、C、D.【詳解】由題設(shè)，且，又是等差數(shù)列，若公差為，，又，所以，A正確；由，，又，故，B正確；由，，故直線與直線的斜率相等，C正確；同理，，故直線與直線的斜率相等，D錯(cuò)誤.故選：ABC4．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，現(xiàn)將數(shù)列與數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大排列得到新數(shù)列，則下列敘述正確的是（

）A． B．C． D．?dāng)?shù)列的前10項(xiàng)和為【答案】ACD【分析】根據(jù)等差數(shù)列公式計(jì)算，得到A正確B錯(cuò)誤，確定，計(jì)算C正確，，利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算得到D正確，得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：，，，故，正確；對(duì)選項(xiàng)B：，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：表示從開(kāi)始的奇數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，故，故，正確；對(duì)選項(xiàng)D：，數(shù)列的前10項(xiàng)和為，正確；故選：ACD.三、填空題5．（2020·上海楊浦·統(tǒng)考二模）數(shù)列滿足對(duì)任意恒成立，則.【答案】3031【分析】由已知再寫(xiě)出，兩式相減可得數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，求出后，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得．【詳解】由，兩式相減得.而，∴.故答案為：3031．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與等差數(shù)列的判斷，解題關(guān)鍵是由已知遞推式寫(xiě)出相鄰式（用代）后兩式相減．6．（2023上·湖北恩施·高三校考期中）疫情期間，按照防疫要求，學(xué)生在進(jìn)校時(shí)必須排隊(duì)接受體溫檢測(cè)，某校早上開(kāi)校門(mén)，此時(shí)刻沒(méi)有學(xué)生，一分鐘后有名學(xué)生到校，以后每分鐘比前一分鐘少到人校門(mén)口的體溫自動(dòng)檢測(cè)棚每分鐘可檢測(cè)人，為了減少排隊(duì)等候的時(shí)間，校門(mén)口臨時(shí)增設(shè)一個(gè)人工體溫檢測(cè)點(diǎn)，人工每分鐘可檢測(cè)人，則人工檢測(cè)分鐘后校門(mén)口不再出現(xiàn)排隊(duì)等候的情況．【答案】【分析】設(shè)早上后第分鐘達(dá)到人數(shù)為，則，計(jì)算數(shù)列和得到，解得答案.【詳解】設(shè)早上后第分鐘達(dá)到人數(shù)為，則，，人工檢測(cè)時(shí)間為分鐘，則共檢測(cè).故，解得，，故答案為：.四、解答題7．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列{an}滿足(an＋1－1)·(an－1)＝3(an－an＋1)，且a1＝2，設(shè)bn＝.求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.【分析】由已知條件，根據(jù)等差數(shù)列的定義即可證明.【詳解】證明：因?yàn)閿?shù)列{an}滿足(an＋1－1)·(an－1)＝3(an－an＋1)，且a1＝2，bn＝，所以b1＝＝1，bn＋1－bn＝－＝＝＝，所以數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng)、為公差的等差數(shù)列.8.已知函數(shù)，數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，若對(duì)一切成立，求最小正整數(shù)m．【答案】（1）；（2）m的最小正整數(shù)為2013．【分析】（1）由，可知數(shù)列為等差數(shù)列，易求得通項(xiàng)公式；（2）由第（1）的結(jié)果利用裂項(xiàng)求和法可得，解不等式即可得出的最小值．【詳解】（1）是以為公差，首項(xiàng)的等差數(shù)列，（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，上式同樣成立，即對(duì)一切成立，又隨遞增，且.所以m的最小正整數(shù)為2013.【成果練】一、單選題1．（2022下·海南省直轄縣級(jí)單位·高二嘉積中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)列中，，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，推導(dǎo)出數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用等差數(shù)列的求和公式可得出關(guān)于的方程，結(jié)合可求得的值.【詳解】令可得，則，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，且首項(xiàng)和公差均為，所以，，所以，，整理可得，，解得.故選：D.2．若是等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和，前項(xiàng)和，前項(xiàng)和分別是，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可得：仍然成等差數(shù)列，即可得出.【詳解】∵等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，前項(xiàng)和，前項(xiàng)和分別是，∴仍然成等差數(shù)列，∴，整理得：，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.3．（2021上·甘肅天水·高三?？茧A段練習(xí)）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】B【分析】利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式以及通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】∵，即，又，∴，∴，∴．故選：B二、多選題4．（2021·高二課時(shí)練習(xí)）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，，則下列各值中可以為的值的是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】CD【解析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式的函數(shù)特征，設(shè)，由題中條件，求出，再利用基本不等式，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和，所以可設(shè)，因?yàn)?，，所以，即，解得，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，所以等號(hào)不能取得，因此，故CD正確，AB錯(cuò).故選：CD.三、填空題5．（2023上·廣東·高二校聯(lián)考期末）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，且，設(shè)，函數(shù).【答案】4042【分析】對(duì)因式分解化簡(jiǎn)得數(shù)列為等差數(shù)列，可得的通項(xiàng)公式，、，即可分組求值.【詳解】由得，因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)，所以，所以數(shù)列是以首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，.所以；當(dāng)時(shí)，，所以，所以.故答案為：4042.6．（2022上·貴州貴陽(yáng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在等差數(shù)列中,,則.【答案】19【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)求出,進(jìn)而求出即可.【詳解】解:由題知為等差數(shù)列,記公差為,,,,.故答案為:197．（2022下·遼寧沈陽(yáng)·高二東北育才學(xué)校?？计谥校┮阎謩e是等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和，且，則．【答案】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項(xiàng)和公式即可求得.【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，所以.故答案為：四、解答題8．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其和為9，前兩項(xiàng)之積為后一項(xiàng)的6倍，求這三個(gè)數(shù).【答案】4，3，2【分析】設(shè)這三個(gè)數(shù)依次為，根據(jù)題意列式求解即可.【詳解】設(shè)這三個(gè)數(shù)依次為，由題意可得，解得，所以這三個(gè)數(shù)4，3，2.9．（2023上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列中，，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用累乘法即可得解；（2）利用裂項(xiàng)相消法即可得解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，?dāng)時(shí)，滿足上式，所以；（2）因?yàn)?，所以，所?10．（2024上·吉林長(zhǎng)春·高二?？计谀┮阎獮榈炔顢?shù)列,,.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量關(guān)系求解即可；（2）設(shè)的前n項(xiàng)和為的前n項(xiàng)和為，再根據(jù)的正負(fù)，利用表示即可.【詳解】（1）因?yàn)?,所以,；所以,,.（2）設(shè)的前n項(xiàng)和為的前n項(xiàng)和為.因?yàn)?；令，則，所以當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí),故.11．（2023上·重慶黔江·高二重慶市黔江中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列，，其中，，