九年級數(shù)學上冊第25課 弧長和扇形面積、圓錐的側面展開圖（教師版）

第25課弧長和扇形面積、圓錐的側面展開圖課程標準(1)通過復習圓的周長、圓的面積公式，探索n°的圓心角所對的弧長和扇形面積S扇形的計算公式，并應用這些公式解決問題；

(2)了解圓錐母線的概念，理解圓錐側面積計算公式，理解圓錐全面積的計算方法，會應用公式解決問題；(3)能準確計算組合圖形的面積.知識點01弧長公式半徑為R的圓中：360°的圓心角所對的弧長(圓的周長)公式：

n°的圓心角所對的圓的弧長公式：(弧是圓的一部分);【注意】(1)對于弧長公式，關鍵是要理解1°的圓心角所對的弧長是圓周長的，即=；

(2)公式中的ｎ表示1°圓心角的倍數(shù)，故ｎ和180都不帶單位，R為弧所在圓的半徑；

(3)弧長公式所涉及的三個量：弧長、圓心角度數(shù)、弧所在圓的半徑，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.

知識點02扇形面積公式1．扇形的定義

由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形.

2．扇形面積公式

半徑為R的圓中：

360°的圓心角所對的扇形面積(圓面積)公式：

n°的圓心角所對的扇形面積公式：S扇形=

【注意】(1)對于扇形面積公式，關鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，即；

(2)在扇形面積公式中，涉及三個量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.

(3)扇形面積公式S扇形=，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點類似，可類比記憶；

(4)扇形兩個面積公式之間的聯(lián)系：S扇形.

知識點03圓錐的側面積和全面積連接圓錐頂點和底面圓上任意一點的線段叫做圓錐的母線.

圓錐的母線長為l，底面半徑為r，側面展開圖中的扇形圓心角為n°，則

圓錐的側面積，圓錐的全面積：S全=S側+S底.

【注意】扇形的半徑就是圓錐的母線，扇形的弧長就是圓錐底面圓的周長.因此，要求圓錐的側面積就是求展開圖扇形面積，全面積是由側面積和底面圓的面積組成的.

考法01弧長和扇形的有關計算【典例1】如圖，點C為的中點，∠ABC＝22.5°，AB，則的長為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設所在圓的圓心為點O，連接CO，交AB于點D，連接AO，如圖，∵C點為的中點，∴CO⊥AB，AD=BD=AB，∵AB=，∴AD=BD=AB=，∵∠ABC=22.5°，∴∠AOC=2∠ABC=45°，∵CO⊥AB，∴∠ADO=90°，∴∠DAO=90°-∠AOC=45°，∴△ADO是等腰直角三角形，∴AD=DO=，∴，∴，故選：D．【即學即練】如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，則的長為（）A．π B．π C．π D．π【答案】B【詳解】解：∵∠OCA＝50°，OA＝OC，∴∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°，∵AB＝4，∴BO＝2，∴的長為：π．故選：B．【典例2】半徑為2的圓中，扇形MON的圓心角為150°，則這個扇形的面積為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：．故選：D．【即學即練】已知圓錐的母線長是5cm，側面積是20πcm2，則這個圓錐底面圓的半徑是（

）A．1.5cm B．3cm C．4cm D．6cm【答案】C【詳解】解：∵圓錐的母線長是5cm，側面積是20πcm2，∴圓錐的側面展開扇形的弧長為：，∵圓錐的側面展開扇形的弧長等于圓錐的底面周長，∴故選：C．考法02圓錐面積的計算【典例3】一個圓錐的母線長為6，側面展開圖是半圓，則圓錐的側面積是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：圓錐的側面積=半圓的面積=，故選C．【即學即練】已知圓錐的母線長8cm，底面圓的直徑6cm，則這個圓錐的側面積是（

）A．96πcm2 B．48πcm2 C．33πcm2 D．24πcm2【答案】D【詳解】解：底面直徑為6cm，則底面周長=6π，側面面積=×6π×8=24πcm2．故選D．【典例4】如圖，圓錐的底面圓半徑r為5cm，高h為12cm，則圓錐的側面積為（

）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2【答案】A【詳解】解：由圓錐底面半徑r=5cm，高h=12cm，根據(jù)勾股定理得到母線長l==13（cm），根據(jù)圓錐的側面積公式：πrl=π×5×13=65π（cm2），故選：A．【即學即練】如圖，圓錐的底面半徑OB＝3cm，高OC＝4cm．則這個圓錐的側面積是(

)A．15cm2 B．12πcm2 C．15πcm2 D．20πcm2【答案】C【詳解】解∶根據(jù)題意得：，∴這個圓錐的側面積是．故選：C考法03組合圖形面積的計算【典例5】如圖，矩形中，，，以為直徑的半圓與相切于點，連接，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：連接交于點，如圖，以為直徑的半圓與相切于點，，，四邊形為矩形，，四邊形和四邊形為矩形，，，在和中，，，，陰影部分的面積．故選：A．【即學即練】如圖，正方形的邊，和都是以1為半徑的圓弧，則無陰影兩部分的面積之差是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：如圖：正方形的面積；①兩個扇形的面積；②②①，得：．故選：A．【典例6】正方形的面積是33平方米，則陰影部分面積是（）A．33﹣π B．33﹣π C．π D．33﹣π【答案】A【詳解】解：∵正方形的面積是33平方米，∴正方形的邊長為米，∴陰影部分面積為33﹣＝33﹣（平方米）．故選：A．【即學即練】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，將Rt△ABC繞點A逆時針旋轉30°后得到Rt△ADE，點B經(jīng)過的路徑為，則圖中陰影部分的面積是（

）（提示：圓心角為n°的扇形的面積為，R為扇形所在的圓的半徑）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：∵∠ACB=90°，AC=BC=1，∴AB=，∴S扇形ABD=．又∵Rt△ABC繞A點逆時針旋轉30°后得到Rt△ADE，∴Rt△ADE≌Rt△ACB，∴S陰影部分=S△ADE+S扇形ABD-S△ABC=S扇形ABD=．故選：A．題組A基礎過關練1．已知一個扇形的圓心角為120°，半徑是6cm，則這個扇形的弧長是（）A．8π B．6π C．4π D．2π【答案】C【詳解】解：根據(jù)弧長的公式l＝，得到：l＝＝4π，故選：C．2．一個圓錐側面展開圖的扇形的弧長為，則這個圓錐底面圓的半徑為（

）A．6 B．12 C．24 D．2【答案】A【詳解】解：設底面圓半徑為r，則，解得r＝6．故選：A．3．已知，如圖，⊙O的半徑為6，正六邊形ABCDEF與⊙O相切于點C、F，則的長度是（）A．2π B．3π C．4π D．5π【答案】C【詳解】解：連接OC、OF，∵⊙O與正六邊形ABCDEF相切于點C，F(xiàn)，∴∠OFE=∠OCD=，∵∠E=∠D=，∴∠COF=，∴的長=，故選：C．4．如圖，將線段OA繞點O逆時針旋轉45°，得到線段OB．若OA＝8，則點A經(jīng)過的路徑長度為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：根據(jù)題意得：，∴點A經(jīng)過的路徑長度為．故選：C5．如圖所示，邊長為1的正方形網(wǎng)格中，O，A，B，C，D是網(wǎng)格線交點，若與所在圓的圓心都為點O，那么陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由勾股定理得，OC＝OD＝＝2，則OC2+OD2＝CD2，∴∠COD＝90°，∵四邊形OACB是正方形，∴∠COB＝45°，∴，，，陰影部分的面積為故選：C．6．如圖所示，某盞路燈照射的空間可以看成如圖所示的圓錐，它的高米，底面半徑米，則圓錐的側面積是多少平方米（結果保留）（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：∵AO=8米，OB=6米，∴AB=10米，∵圓錐的底面周長=2×π×6=12π米，∴S扇形=lr=×12π×10=60π（米2）．故選：A．7．已知扇形的半徑為圓心角為則此扇形的面積是_____________．【答案】【詳解】∵扇形的圓心角為100°，其半徑為，∴．故答案為．8．如圖，將以線段AB和曲線BCA圍成的圖形ABCA繞點A逆時針旋轉45°至圖形AB′C′A的位置，若AB＝8，則圖中陰影部分的面積為______．【答案】8π【詳解】解：=．故答案為：．9．如圖是一段彎形管道，其中，，中心線的兩條圓弧半徑都為．求圖中管道的展直長度．【答案】圖中管道的展直長度約為6142mm．【詳解】解：3000＋≈6142（mm）.答：圖中管道的展直長度約為6142mm.10．下列每個正方形的邊長為2，求下圖中陰影部分的面積．【答案】2.28【詳解】πr2÷2-2×2÷2×2=3.14×2×2÷2-4=2.28．題組B能力提升練1．75°的圓心角所對的弧長是2.5πcm，則此弧所在圓的半徑是（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm【答案】A【詳解】解：∵75°的圓心角所對的弧長是2.5πcm，由弧長公式l，∴2.5π，解得：r＝6，故選：A．2．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．把它沿AC所在直線旋轉一周，所得幾何體的全面積為(

)A．16π B．20π C．36π D．40π【答案】C【詳解】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∵把Rt△ABC繞邊AC所在直線旋轉一周，∴所得的幾何體的全面積為：底面半徑為4，母線長為5的圓錐側面和半徑為4的圓的面積之和，故π×4×5+π×42＝36π．故選：C3．一塊等邊三角形的木板，邊長為1，現(xiàn)將木板沿水平線翻滾（如圖），那么B點從開始至結束所走過的路徑長度為（

）A． B． C．4 D．【答案】B【詳解】解：由題意可知點從開始至結束所走過的路徑為兩個圓心角為120°，半徑為1的扇形弧長，所以點從開始至結束所走過的路徑長度為：．故選B．4．如圖，六邊形ABCDEF是半徑為2的圓的內接正六邊形，則陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：設圓心為O，連接OA，OB，∵六邊形ABCDEF是半徑為2的圓的內接正六邊形，∴∠AOB＝60°，∠ABC＝120°，∵OA＝OB，∴△AOB是等邊三角形，∴S△AOB＝×22＝，∴陰影部分的面積為S正六邊形ABCDEF﹣S扇形AOC﹣S扇形DOF＝6﹣＝．故選A．5．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以點C為圓心，CA的長為半徑畫弧，交AB于點D，則弧AD的長為（

）A． B． C． D．2【答案】B【詳解】解：連接CD，如圖所示：∵ACB=90°，∠B=30°，AB=8，∴∠A=90°-30°=60°，AC=AB=4，由題意得：AC=CD，∴△ACD為等邊三角形，∴∠ACD=60°，∴的長為：＝，故選：B．6．一個垃圾填埋場，它在地面上的形狀為長，寬的矩形，有污水從該矩形的四周邊界向外滲透了，則該垃圾填埋場外圍受污染土地的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：根據(jù)題意可知受污染土地由兩類長分別為，，寬分別為的矩形，及四個能組成一個以半徑為的圓組成，面積為：，故選：B．7．若一個扇形的半徑是9cm，且它的弧長是6πcm，則此扇形的圓心角等于_____．【答案】120°##120度【詳解】解：根據(jù)弧長公式l＝＝＝6π，解得：n＝120，故答案為：120°．8．如圖，沿一條母線將圓錐側面剪開并展平，得到一個扇形，若圓錐母線l=6，扇形的圓心角，則該圓錐的底面圓的半徑r長為______．【答案】2【詳解】∵母線l長為6，扇形的圓心角，∴圓錐的底面圓周長，∴圓錐的底面圓半徑．故答案為：2．9．如圖是某居民小區(qū)的一塊長為2a米，寬為b米的長方形空地，為了美化環(huán)境，準備在這個長方形的四個頂點處修建一個半徑為a米的扇形花臺，然后在花臺內種花，其余種草．如果建造花臺及種花費用每平方米需要資金100元，種草每平方米需要資金50元，那么美化這塊空地共需資金多少元？【答案】美化這塊空地共需資金為元【詳解】解：花臺面積為：平方米，種草面積為平方米，∴美化這塊空地共需資金為元．10．用鐵皮制作圓錐形容器蓋，其尺寸要求如圖所示．(1)求圓錐的高；(2)求所需鐵皮的面積（結果保留）．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：如圖，設為圓錐的高，為圓錐的母線，為底面圓的半徑，∴，，，∴有中，∴圓錐的高為．（2）圓錐的底面周長為：，∵圓錐的底面周長是側面展開得到的扇形的弧長，∴扇形的弧長為，∴扇形的面積為，∴所需鐵皮的面積為．題組C培優(yōu)拔尖練1．一個扇形的弧長是20πcm，面積是240πcm2，則這個扇形的圓心角是（

）A．120° B．150° C．60° D．100°【答案】B【詳解】解：設這個扇形的半徑為r，圓心角是n，面積為S，弧長為l，由題意得：，即240π＝×20πr，解得：r＝24，又由可得：，解得：，故選：B．2．如圖，將⊙O沿弦AB折疊，恰好經(jīng)過圓心O，若⊙O的半徑為3，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：連接OA、OB，作OC⊥AB于C，由題意得，OC=OA，∴∠OAC=30°，∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAC=30°，∴∠AOB=120°，∴劣的長==2π，故選：C．3．如圖，從一張腰長為90cm，頂角為120°的等腰三角形鐵皮OAB中剪出一個最大的扇形OCD，用此剪下的扇形鐵皮圍成一個圓錐的側面（不計損耗），則該圓錐的底面圓的半徑為（）cm．A．15 B．30 C．45 D．30π【答案】A【詳解】如圖，過點O作OE⊥AB，垂足為E，∵△OAB為頂角為120°的等腰三角形，∴=30°，cm，∴cm，設圓錐的底面圓半徑為rcm，根據(jù)題意得，，解得，所以該圓錐的底面圓的半徑為15cm，故選A．4．如圖，邊長為的正方形內接于，，分別與相切于點和點，的延長線與的延長線交于點，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖，連接,，邊長為的正方形內接于，即，，，為的直徑，，，分別與相切于點和點，，四邊形是正方形，，是等腰直角三角形，，，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，，，．故選C．5．如圖，在Rt△ABC中，，，，將繞點B順時針旋轉90°得到．在此旋轉過程中所掃過的面積為(

)A．25π+24 B．5π+24 C．25π D．5π【答案】A【詳解】解：∵，，，∴，∴所掃過的面積為．故選：A．6．蒙古包可以近似地看作由圓錐和圓柱組成．下圖是一個蒙古包的示意圖，底面圓半徑DE=2m，圓錐的高AC=1.5m，圓柱的高CD=2.5m，則下列說法錯誤的是（）A．圓柱的底面積為4πm2 B．圓柱的側面積為10πm2C．圓錐的母線AB長為2.25m D．圓錐的側面積為5πm2【答案】C【詳解】解：根據(jù)題意，∵底面圓半徑DE=2m，∴圓柱的底面積為：；故A正確；圓柱的側面積為：；故B正確；圓錐的母線為：；故C錯誤；圓錐的側面積為：；故D正確；故選：C7．扇形的圓心角是120°，面積是3πcm2，則扇形的弧長是___________cm，將此扇形卷成一個圓錐，則底面圓的半徑為_________cm．【答案】

2π

1【詳解】解：設扇形的半徑是rcm，則，解得：r=3cm，設扇形的弧長是l，則，解得：l=2π（cm），將此扇形卷成一個圓錐，設底面圓的半徑為Rcm，則2πR=2π，解得R=1，故答案為2π，