Z變換和差分方程課件

第三節(jié)差分方程

差分方程是包含關(guān)于變量k的序列y（k）及其各階差分的方程式。

是具有遞推關(guān)系的代數(shù)方程，若已知初始條件和激勵，利用迭代法可求差分方程的數(shù)值解。1精選2021版課件

對于單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)，在某一采樣時刻的輸出值y(k)不僅與這一時刻的輸入值r(k)有關(guān)，而且與過去時刻的輸入值r(k-1)、r(k-2)…有關(guān)，還與過去的輸出值y(k-1)、y(k-2)…有關(guān)?？梢园堰@種關(guān)系描述如下：n—系統(tǒng)的階次k—系統(tǒng)的第k個采樣周期線性定常系統(tǒng)差分方程的一般形式差分方程的定義:2精選2021版課件差分方程的物理意義1.差分方程給出了沿時間順序輸出量的若干個采樣瞬時值與輸入量在采樣瞬時的值的關(guān)系。2.通常，若系統(tǒng)的連續(xù)部分是一個n階的線性環(huán)節(jié)，則構(gòu)成離散系統(tǒng)時，其相應(yīng)的差分方程也是n階的線性差分方程。3.一個n階差分方程中，一般包括有n個過去采樣瞬時的輸出值。3精選2021版課件典型的采樣系統(tǒng)4精選2021版課件差分方程的求解方法

迭代求解5精選2021版課件6精選2021版課件迭代法求解示例例題：若描述某離散系統(tǒng)的差分方程為：已知初始條件:求:7精選2021版課件解：將方程中除y（k）以外的各項都移到等號右邊，得：對于類似的依次迭代可得：8精選2021版課件迭代法的特點思路清楚，便于編寫計算程序，能得到方程的數(shù)值解。2.但不容易得出輸出在采樣時刻值的通解。9精選2021版課件

直接求解差分方程是比較困難的，因此考慮到：能否借用類似于拉斯變換的數(shù)學(xué)方法來簡化方程求解？10精選2021版課件第四節(jié)Z變換11精選2021版課件12精選2021版課件引入變量：或者寫成：S:拉普拉斯變換的算子；Ts:采樣周期；Z：一個復(fù)變量，定義在Z平面上，稱為Z變換算子，記為：采樣信號的Z變換：Z［f*(t)]=F(z)F(z)是采樣脈沖序列的Z變換，它只考慮了采樣時刻的信號值。13精選2021版課件Z變換的實質(zhì)將差分方程轉(zhuǎn)為代數(shù)方程，簡化求解過程。復(fù)變量s與z之間的關(guān)系，反映了連續(xù)函數(shù)在s域和離散函數(shù)在z域的對應(yīng)關(guān)系。14精選2021版課件

級數(shù)求和法部分分式法留數(shù)計算法4.2Z變換的方法15精選2021版課件1.級數(shù)求和法

將離散函數(shù)根據(jù)定義展開,然后逐項進行拉斯變換，F(xiàn)*(t)=

可得：F(z)=f(0)×1+f(T)Z-1+f(2T)Z-2+f(nT)Z-n16精選2021版課件例8-1

見教材339頁例題8－4－1.例8-2求

的F(Z)見教材339頁例題8－4－217精選2021版課件例8-3求解的Z變換。2.部分分式法

當連續(xù)函數(shù)可以表示為指數(shù)函數(shù)之和時，可以利用這種方法。見教材339頁例題8－4－318精選2021版課件例8-4求19精選2021版課件

設(shè)連續(xù)函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換F(S)及全部極點已知,則可用留數(shù)計算法求Z變換.當F(S)具有一階極點S=P1時,其留數(shù)為:當F(S)具有q階重復(fù)極點時,其留數(shù)為:4.2.3留數(shù)計算法20精選2021版課件例8-4-5

求的Z變換解:21精選2021版課件例8—6

求的Z變換解:兩階重極點!!例8—722精選2021版課件

下表列出了一些常見函數(shù)及其相應(yīng)的Laplace變換和Z變換，利用此表可以根據(jù)給定的函數(shù)或其Laplace變換直接查出其對應(yīng)的Z變換，不必進行繁瑣的計算，這也是實際中廣泛應(yīng)用的方法。23精選2021版課件常用函數(shù)的Z變換（見教材341頁表8－4－1）24精選2021版課件1、線性定理2、滯后定理3、初值定理4、終值定理5、超前定理6、復(fù)數(shù)偏移定理4.3Z變換的基本定理（p342）25精選2021版課件1、線性定理設(shè)：則：函數(shù)線性組合的Z變換，等于各函數(shù)Z變換的線性組合。2、滯后定理設(shè)在t<0時連續(xù)函數(shù)f(t)的值為零，其Z變換為F（Z）則:原函數(shù)在時域中延遲幾個采樣周期，相當于在象函數(shù)上乘以z-k,算子z-k的含義可表示時域中時滯環(huán)節(jié)，把脈沖延遲k個周期。

26精選2021版課件3、初值定理設(shè)函數(shù)f(t)的Z變換為F（z），并且

存在，則4、終值定理設(shè)函數(shù)f(t)的Z變換為F（z），并且（1-z-1）F(z)在以原點為圓心的單位圓上和圓外均無極點，則有經(jīng)常用于分析計算機系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差??！27精選2021版課件5、超前定理設(shè)函數(shù)f(t)的Z變換為則：若則：6、復(fù)數(shù)偏移定理設(shè)函數(shù)f(t)的Z變換為F（Z），則28精選2021版課件長除法（冪級數(shù)展開法）部分分式法留數(shù)法（反演積分法）4.4Z反變換Z反變換是:已知Z變換表達式F(Z)

f(nT)

的逆過程.29精選2021版課件要點：將F（Z）用長除法變化為降冪排列的展開形式。

4.4.1長除法（冪級數(shù)法）Z反變換為:也即：30精選2021版課件例8—8

求的Z反變換解：31精選2021版課件32精選2021版課件步驟：①先將變換式寫成，展開成部分分式，

③查Z變換表②兩端乘以Z4.4.2部分分式法（因式分解法，查表法）33精選2021版課件例8—9

求的Z反變換解：①②③34精選2021版課件函數(shù)F(z)zn-1在極點Zi處的留數(shù)曲線C可以是包含F(xiàn)(z)zn-1全部極點的任意封閉曲線若Zi為一重極點:若Zi為q重極點:3.留數(shù)法（反演積分法）35精選2021版課件例8—10

求的Z反變換解：有兩個一重極點36精選2021版課件例8—11

求的Z反變換解：有一個兩重極點37精選2021版課件用Z變換解二階差分方程38精選2021版課件用Z變換法求解下列二階差分方程：對上式兩邊取Z變換，得代入初始條件，得查表，得39精選2021版課件用Z變換法求解下列二階差分方程：根據(jù)Z變換的定義有：￡［u(n)］=1對上述差分方程進行Z變換，代入初始條件，得：（Z2-3Z+2)C(z)=1查表無法獲得上面兩個分式對應(yīng)的值，但是因為：40精選2021版課件根據(jù)Z變換的性質(zhì)有：￡［c(n+1)］=Zc(z)-zc(0),C(n+1)=￡-1［zC(z)］-￡-1［zC(0)］在現(xiàn)在的情況下:c(0)=0,于是有：c(n+1)=最后得：41精選2021版課件

在連續(xù)量的系統(tǒng)中，采