第04講指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)冪函數(shù)（五大題型）

第04講指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)【題型歸納目錄】【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、根式的概念和運(yùn)算法則1、次方根的定義：若，則稱為的次方根．為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的奇次方根有一個(gè)，是正數(shù)，記為；負(fù)數(shù)的奇次方根有一個(gè)，是負(fù)數(shù)，記為；露的奇次方根為零，記為．為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的偶次方根有兩個(gè)，記為；負(fù)數(shù)沒有偶次方根；零的偶次方根為零，記為．2、兩個(gè)等式（1）當(dāng)且時(shí)，；（2）知識(shí)點(diǎn)二、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念和運(yùn)算法則為避免討論，我們約定，，，且為既約分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪可如下定義：知識(shí)點(diǎn)三、有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算1、有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)（1）（2）（3）當(dāng)，為無(wú)理數(shù)時(shí)，是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，上述有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)仍適用．2、指數(shù)冪的一般運(yùn)算步驟有括號(hào)先算括號(hào)里的；無(wú)括號(hào)先做指數(shù)運(yùn)算．負(fù)指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù)．底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號(hào)，底數(shù)是小數(shù)，先要化成分?jǐn)?shù)，底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，先要化成假分?jǐn)?shù)，然后要盡可能用冪的形式表示，便于用指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)．在化簡(jiǎn)運(yùn)算中，也要注意公式：，，，，的運(yùn)用，能夠簡(jiǎn)化運(yùn)算．知識(shí)點(diǎn)四、無(wú)理數(shù)指數(shù)冪一般地，無(wú)理數(shù)指數(shù)冪（，為無(wú)理數(shù)）是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪．【注意】（1）對(duì)于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪，我們只需要了解兩點(diǎn)：①它是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)；②它是有理數(shù)指數(shù)冪無(wú)限逼近的結(jié)果．（2）定義了無(wú)理數(shù)指數(shù)冪之后，冪的指數(shù)就由原來(lái)的有理數(shù)范圍擴(kuò)充到了實(shí)數(shù)范圍．知識(shí)點(diǎn)五、實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)①．②．③．知識(shí)點(diǎn)六、指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)：時(shí)圖象時(shí)圖象圖象性質(zhì)①定義域，值域②，即時(shí)，，圖象都經(jīng)過點(diǎn)③，即時(shí)，等于底數(shù)④在定義域上是單調(diào)減函數(shù)④在定義域上是單調(diào)增函數(shù)⑤時(shí)，時(shí)，⑤時(shí)，時(shí)，⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)知識(shí)點(diǎn)七、指數(shù)函數(shù)底數(shù)變化與圖像分布規(guī)律（1）①，②，③，④，則：又即：時(shí)，（底大冪大）時(shí)，（2）特殊函數(shù)，，，的圖像：知識(shí)點(diǎn)八、對(duì)數(shù)概念1、對(duì)數(shù)的概念如果，那么數(shù)b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作：．其中叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)．知識(shí)點(diǎn)詮釋：對(duì)數(shù)式中各字母的取值范圍是：且，，．2、對(duì)數(shù)（且）具有下列性質(zhì)：（1）0和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)，即；（2）1的對(duì)數(shù)為0，即；（3）底的對(duì)數(shù)等于1，即．3、兩種特殊的對(duì)數(shù)通常將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，．以e（e是一個(gè)無(wú)理數(shù)，）為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)，簡(jiǎn)記為．4、對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系由定義可知：對(duì)數(shù)就是指數(shù)變換而來(lái)的，因此對(duì)數(shù)式與指數(shù)式聯(lián)系密切，且可以互相轉(zhuǎn)化．它們的關(guān)系可由下圖表示．由此可見a，b，N三個(gè)字母在不同的式子中名稱可能發(fā)生變化．知識(shí)點(diǎn)九、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則已知，（且，、）（1）正因數(shù)的積的對(duì)數(shù)等于同一底數(shù)各個(gè)因數(shù)的對(duì)數(shù)的和；推廣：（2）兩個(gè)正數(shù)的商的對(duì)數(shù)等于被除數(shù)的對(duì)數(shù)減去除數(shù)的對(duì)數(shù)；（3）正數(shù)的冪的對(duì)數(shù)等于冪的底數(shù)的對(duì)數(shù)乘以冪指數(shù)；知識(shí)點(diǎn)十、對(duì)數(shù)公式1、對(duì)數(shù)恒等式：2、換底公式同底對(duì)數(shù)才能運(yùn)算，底數(shù)不同時(shí)可考慮進(jìn)行換底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有：（1）令，則有，，即，即，即：．（2），令，則有，則有即，即，即當(dāng)然，細(xì)心一些的同學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)（1）可由（2）推出，但在解決某些問題（1）又有它的靈活性．而且由（2）還可以得到一個(gè)重要的結(jié)論：．知識(shí)點(diǎn)十一、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象性質(zhì)定義域：值域：過定點(diǎn)，即時(shí)，在上增函數(shù)在上是減函數(shù)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，知識(shí)點(diǎn)十二、底數(shù)對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的影響1、底數(shù)制約著圖象的升降．如圖知識(shí)點(diǎn)詮釋：由于底數(shù)的取值范圍制約著對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的升降（即函數(shù)的單調(diào)性），因此在解與對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的問題時(shí)，必須考慮底數(shù)是大于1還是小于1，不要忽略．2、底數(shù)變化與圖象變化的規(guī)律在同一坐標(biāo)系內(nèi)，當(dāng)時(shí)，隨a的增大，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像愈靠近x軸；當(dāng)時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象隨a的增大而遠(yuǎn)離x軸．（見下圖）知識(shí)點(diǎn)十三、冪函數(shù)概念形如的函數(shù)，叫做冪函數(shù)，其中為常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)十四、冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)1、作出下列函數(shù)的圖象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．知識(shí)點(diǎn)詮釋：冪函數(shù)隨著的取值不同，它們的定義域、性質(zhì)和圖象也不盡相同，但它們有一些共同的性質(zhì)：（1）所有的冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都過點(diǎn)；（2）時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間上是增函數(shù)．特別地，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸；（3）時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當(dāng)從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在軸右方無(wú)限地逼近軸正半軸，當(dāng)趨于時(shí)，圖象在軸上方無(wú)限地逼近軸正半軸．2、作冪函數(shù)圖象的步驟如下：（1）先作出第一象限內(nèi)的圖象；（2）若冪函數(shù)的定義域?yàn)榛?，作圖已完成；若在或上也有意義，則應(yīng)先判斷函數(shù)的奇偶性如果為偶函數(shù)，則根據(jù)軸對(duì)稱作出第二象限的圖象；如果為奇函數(shù)，則根據(jù)原點(diǎn)對(duì)稱作出第三象限的圖象．3、冪函數(shù)解析式的確定（1）借助冪函數(shù)的定義，設(shè)冪函數(shù)或確定函數(shù)中相應(yīng)量的值．（2）結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)，分析冪函數(shù)中指數(shù)的特征．（3）如函數(shù)是冪函數(shù)，求的表達(dá)式，就應(yīng)由定義知必有，即．4、冪函數(shù)值大小的比較（1）比較函數(shù)值的大小問題一般是利用函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)不便于利用單調(diào)性時(shí)，可與0和1進(jìn)行比較．常稱為“搭橋”法．（2）比較冪函數(shù)值的大小，一般先構(gòu)造冪函數(shù)并明確其單調(diào)性，然后由單調(diào)性判斷值的大?。?）常用的步驟是：①構(gòu)造冪函數(shù)；②比較底的大?。虎塾蓡握{(diào)性確定函數(shù)值的大?。镜湫屠}】題型一：指數(shù)運(yùn)算【例1】（2024·遼寧朝陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）計(jì)算：.【解析】原式.【變式11】（2024·遼寧沈陽(yáng)·高一遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，求下列各式的值：(1)；(2)．【解析】（1），，；（2），.【變式12】（2024·浙江·高一階段練習(xí)）（1）計(jì)算：；（2）已知，求的值．【解析】（1）.（2），又，所以.【變式13】（2024·重慶永川·高一重慶市永川中學(xué)校?？计谀┓謩e計(jì)算下面兩題(1)化簡(jiǎn)：(2)化簡(jiǎn)求值.【解析】（1）原式；（2）原式.題型二：指數(shù)函數(shù)圖像與性質(zhì)【例2】（2024·云南昆明·高一云南師大附中?？计谀┒x在上的函數(shù)滿足，當(dāng)上時(shí)，.(1)求函數(shù)在上的解析式；(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義加以證明.【解析】（1）設(shè)，則，，，為奇函數(shù)，時(shí)，，時(shí)，有，在中，令，，綜上，當(dāng)時(shí)，有：.（2）在上是減函數(shù)，證明如下：任取，，且，有，，，，，，即,故在上是減函數(shù).【變式21】（2024·上?！じ咭恍？计谀┮阎瘮?shù)，其中.(1)是否存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)是奇函數(shù)?若存在，請(qǐng)寫出證明.(2)當(dāng)時(shí)，判斷在上的單調(diào)性并證明.【解析】（1）函數(shù)定義域?yàn)镽，若是奇函數(shù)，則，解得，此時(shí)，，符合題意，故.（2）是上的增函數(shù)，證明如下：當(dāng)時(shí)，設(shè)任意且，，，，，，則，是在上是單調(diào)增函數(shù).【變式22】（2024·浙江嘉興·高一嘉興一中?？茧A段練習(xí)）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)，的值；(2)若對(duì)任意恒成立，求的取值范圍．【解析】（1）在上為奇函數(shù)，故，即，解得，故.又，；解得.故，.（2）；增大時(shí)，增大，減小，減小；在上單調(diào)遞減；為奇函數(shù)，由得，；又在上單調(diào)遞減；，該不等式對(duì)于任意恒成立；對(duì)任意恒成立；設(shè)，則對(duì)于任意恒成立；設(shè)，△；應(yīng)滿足：；解得；的取值范圍為．【變式23】（2024·江西贛州·高一校考期末）設(shè)，且是定義在上的偶函數(shù)．(1)求的值并求不等式的解集；(2)若且求的值．【解析】（1）因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，所以，即，解得或，又因?yàn)?，且，所以，?jīng)檢驗(yàn)符合題意；所以，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；令，則有，即，，解得，所以，又因?yàn)?，所以即，，所以，解得：，，所以的解集為；?）令，則有有兩不等實(shí)數(shù)根且由，可得，解得，所以.【變式24】（2024·吉林·高一長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，.(1)時(shí)，求的值域；(2)若的最小值為4，求的值.【解析】（1）由題意得，，，令，，，當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增，故，故的值域?yàn)?；?）由（1）得，，對(duì)稱軸，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，解得；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，無(wú)解，舍去；③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，解得，舍去；綜上所述，.【變式25】（2024·黑龍江牡丹江·高一牡丹江市第二高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)（）在區(qū)間上有最大值4和最小值1.設(shè).(1)求，的值；(2)若不等式在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）的對(duì)稱軸為，因?yàn)?，所以在區(qū)間上的單調(diào)遞增，所以，，解得，.（2），，因?yàn)椴坏仁皆谏嫌薪?，令，則在上有解，代入得，即，令，則在上有解，因?yàn)樵谔幦〉米畲笾?，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍.題型三：對(duì)數(shù)運(yùn)算【例3】（2024·上海·高一曹楊二中?？计谀┮阎?，，則可以用a、b表示為.【答案】【解析】由，得，而，所以.故答案為：【變式31】（2024·上海虹口·高一統(tǒng)考期末）若實(shí)數(shù)和滿足，則．【答案】1【解析】因?yàn)?，則，可得，所以.故答案為：1.【變式32】（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）（1）；（2）；（3）；（4）已知，，試用，表示.【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）因?yàn)?，所?【變式33】（2024·云南曲靖·高一宣威市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）求下列各式的值.(1)(2)已知試用表示【解析】（1）.（2）,【變式34】（2024·山東德州·高一?？茧A段練習(xí)）計(jì)算(1)(2)．【解析】（1）.（2）.題型四：對(duì)數(shù)函數(shù)圖像與性質(zhì)【例4】（2024·江蘇南京·高一期末）已知函數(shù)為奇函數(shù)，為常數(shù).(1)求的值；(2)若實(shí)數(shù)滿足，求的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以,即所以，則，即，解得，則，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，不滿足題意，所以.（2）由（1）得，，由解得，所以的定義域?yàn)?又，而在上單調(diào)遞增，且在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.不等式可變?yōu)?，所以，解得，即，所以的取值范圍?【變式41】（2024·廣東惠州·高一校考階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)求函數(shù)的定義域并用定義法判斷函數(shù)的奇偶性；(2)求不等式的解集【解析】（1）由，得，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)?，所以為奇函?shù)；（2），由，得，解得，所以不等式的解集為.【變式42】（2024·上?！じ咭簧虾Ｊ袑?shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀┖瘮?shù)的定義域?yàn)?，若存在正?shí)數(shù)，對(duì)任意的，總有，則稱函數(shù)具有性質(zhì).(1)判斷下列函數(shù)是否具有性質(zhì)，并說明理由.①；②；(2)已知為二次函數(shù)，若存在正實(shí)數(shù)，使得函數(shù)具有性質(zhì).用反證法證明：是偶函數(shù)；(3)已知，為給定的正實(shí)數(shù)，若函數(shù)具有性質(zhì)，求的取值范圍.（用表示）【解析】（1）對(duì)任意，得，所以具有性質(zhì)；對(duì)任意，得，取時(shí)，有，所以不具有性質(zhì)；（2）設(shè)二次函數(shù)滿足性質(zhì)，則對(duì)任意，滿足，若不為偶函數(shù)，即，即，即，取，則，矛盾，所以，此時(shí)，滿足，即為偶函數(shù)；（3）由于，函數(shù)的定義域?yàn)?，，若函?shù)具有性質(zhì)，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)，有，即，即，由于函數(shù)在上遞增，得，即，當(dāng)時(shí)，得，對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，當(dāng)時(shí)，易得，由，得，得，得，由題意得對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，所以，即，當(dāng)時(shí)，易得，由，得，得，得，由題意得對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，所以，即.綜上所述，的取值范圍為.【變式43】（2024·黑龍江·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過點(diǎn)和.(1)求的解析式；(2)若，求實(shí)數(shù)x的值.【解析】（1）由題知，解得，；故.（2）由，解得或3，所以或，所以或16.【變式44】（2024·江蘇連云港·高一連云港高中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的定義域，(2)判斷并證明函數(shù)的奇偶性，(3)判斷函數(shù)的單調(diào)牲（只寫出結(jié)論即可），并求當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域.【解析】（1）由，即，解得，所以此函數(shù)定義域?yàn)?（2）奇函數(shù)，證明如下：由（1）知函數(shù)定義域?yàn)椋?，所以為奇函?shù).（3），由函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，函數(shù)也是增函數(shù)，所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù).故在其定義域內(nèi)為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，即的值域?yàn)?【變式45】（2024·吉林·高一長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末）已知定義在R上的函數(shù)，且為偶函數(shù)．(1)解不等式；(2)設(shè)函數(shù)，命題，使成立．是否存在實(shí)數(shù)，使命題為真命題？如果存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】（1）因?yàn)闉榕己瘮?shù)，且定義域?yàn)椋?，即，整理得，即得，所以．因?yàn)椋吹?，即．所以，上不等式等價(jià)于，所以或．所以或，所以原不等式的解集為或；（2）因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值為．若命題為真命題，則需．而，設(shè)，因?yàn)椋?，則，因?yàn)榈膶?duì)稱軸為，所以當(dāng)，即時(shí)，最小值為，所以時(shí)滿足題意．當(dāng)，即時(shí)，最小值為，解得，顯然無(wú)解．當(dāng)，即時(shí)，最小值為，解得，又，所以．綜合可知，時(shí)，命題為真命題，即得實(shí)數(shù)的取值范圍是．題型五：指對(duì)冪比較大小【例5】（2024·貴州貴陽(yáng)·高一?？茧A段練習(xí)）下列各題中兩個(gè)值的大小正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對(duì)于A中，由函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，可得，所以A不正確；對(duì)于B中，由函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，可得，所以B不正確；對(duì)于C中，由函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，可得，所以C正確；對(duì)于D中，由函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，可得，所以D不正確.故選：C.【變式51】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·高一?？计谀┮阎?，，，則三個(gè)數(shù)的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋?，而，所?故選：C.【變式52】（2024·湖南衡陽(yáng)·高一?？计谀┤齻€(gè)數(shù)的大小順序是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由三個(gè)數(shù)，可知其大小關(guān)系為.故選：A【變式53】（2024·山東棗莊·高一棗莊市第三中學(xué)?？计谀┮阎?，則的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，所以.故選：B【變式54】（2024·上海徐匯·高一上海市第二中學(xué)?？计谀┤绻?，那么，，的大小順序?yàn)椋?/p>

）．A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)，由指數(shù)函數(shù)圖像性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值大于1，所以，設(shè)，由指數(shù)函數(shù)圖像性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，時(shí)函數(shù)值小于1，所以，設(shè)，由對(duì)數(shù)函數(shù)圖像性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，時(shí)函數(shù)值小于0，所以，所以.故選：C【變式55】（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)，，，則、、的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，即.故選：A.【過關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2024·黑龍江齊齊哈爾·高一統(tǒng)考期末）2023年10月26日11時(shí)14分，搭載神舟十七號(hào)載人飛船的長(zhǎng)征二號(hào)遙十七運(yùn)載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火發(fā)射，成功入軌.這次任務(wù)是我國(guó)載人航天工程進(jìn)入空間站應(yīng)用與發(fā)展階段的第2次載人飛行任務(wù)，是工程立項(xiàng)實(shí)施以來(lái)的第30次發(fā)射任務(wù)，也是長(zhǎng)征系列運(yùn)載火箭的第493次飛行.設(shè)火箭質(zhì)量是箭體質(zhì)量與燃料質(zhì)量的和，在不考慮空氣阻力的條件下，燃料質(zhì)量不同的火箭的最大速度之差與火箭質(zhì)量的自然對(duì)數(shù)之差成正比.已知某火箭的箭體質(zhì)量為，當(dāng)燃料質(zhì)量為時(shí)，該火箭的最大速度為；當(dāng)燃料質(zhì)量為時(shí)，該火箭的最大速度為；當(dāng)燃料質(zhì)量為時(shí)，則火箭的最大速度為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)當(dāng)燃料質(zhì)量為時(shí)，火箭的最大速度為，則，又當(dāng)燃料質(zhì)量為時(shí)，該火箭的最大速度為；當(dāng)燃料質(zhì)量為時(shí)，該火箭的最大速度為；所以，解得，所以，令，則，，故選：C.2．（2024·云南臨滄·高一校考期末）已知，則的值為（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】由題意知，即，所以．故選：B3．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，，,又,，.故選：D.4．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在百端待舉、日理萬(wàn)機(jī)中，毛澤東主席仍不忘我國(guó)的教育事業(yè).1951年9月底，毛主席在接見安徽參加國(guó)慶的代表團(tuán)時(shí)，送給代表團(tuán)成員——渡江小英雄馬毛姐一本精美的筆記本，并在扉頁(yè)上題詞：好好學(xué)習(xí)，天天向上.這8個(gè)字的題詞迅速在全國(guó)傳播開來(lái)，影響并指導(dǎo)著一代代青少年青春向上，不負(fù)韶華.他告訴我們：每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)，持之以恒，收獲不止一點(diǎn)點(diǎn).把學(xué)生現(xiàn)在的學(xué)習(xí)情況看作1.每天的“進(jìn)步率”為3%，那么經(jīng)過一個(gè)學(xué)期（看作120天）后的學(xué)習(xí)情況為，如果每天的“遲步率”為3%，同樣經(jīng)過一個(gè)學(xué)期后的學(xué)習(xí)情況為，經(jīng)過一個(gè)學(xué)期，進(jìn)步者的學(xué)習(xí)情況是遲步者學(xué)習(xí)情況的1335倍還多，按上述情況，若“進(jìn)步"的值是“遲步”的值的10倍，要經(jīng)過的天數(shù)大約為（保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A．28 B．38 C．60 D．100【答案】B【解析】設(shè)要經(jīng)過天，“進(jìn)步"的值是“遲步”的值的10倍，則，即，則.故選：B.5．（2024·福建福州·高一校聯(lián)考期末）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由得，故，故選：C6．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）下列各式計(jì)算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對(duì)于A，，A對(duì)；對(duì)于B，，B錯(cuò)；對(duì)于C，，C錯(cuò)；對(duì)于D，，D錯(cuò).故選：A7．（2024·江蘇揚(yáng)州·高一揚(yáng)州市江都區(qū)丁溝中學(xué)校考期末）若，，則下列答案不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意，，所以，.對(duì)于A，，A正確.對(duì)于B，，B正確.對(duì)于C，，C錯(cuò)誤.對(duì)于D，，，,所以，D正確.故選：C.8．（2024·廣西梧州·高一?？计谀┮阎x在上的奇函數(shù)，對(duì)任意的，都有，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，所以是周期為的周期函?shù)，所以．又因?yàn)槭巧系钠婧瘮?shù)，所以，因?yàn)?，所以，所以．故選：A．二、多選題9．（2024·黑龍江牡丹江·高一牡丹江市第二高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎?，則的值可以為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】CD【解析】由得：，解得，即，由于，，當(dāng)且僅當(dāng)（即）時(shí)取得等號(hào).故選：CD.10．（2024·四川南充·高一四川省南充高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，A正確；B選項(xiàng)，因?yàn)椋?，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，C正確；D選項(xiàng)，由A選項(xiàng)得，D錯(cuò)誤.故選：AC11．（2024·福建廈門·高一廈門外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┮阎?，下列結(jié)論中正確的是（

）A．的最大值是 B．的最小值是C．的最小值是9 D．的最小值是【答案】BCD【解析】，且，對(duì)于A，由，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則的最大值為，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，所以B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是9，所以C正確；對(duì)于D，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則的最小值是，所以D正確.故選：BCD.12．（2024·山東濟(jì)寧·高一統(tǒng)考期末）若，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】由題意可得出，，所以，故A正確；，所以，故B不正確；要判斷，即判斷，因?yàn)?，所以，故C不正確；，故D正確.故選：AD.三、填空題13．（2024·遼寧大連·高一大連二十四中校考期末）若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則的值是．【答案】【解析】設(shè)冪函數(shù)，因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得：，所以，所以，所以.故答案為：.14．（2024·四川綿陽(yáng)·高一綿陽(yáng)中學(xué)?？计谀┙衲?月24日，日本不顧國(guó)際社會(huì)的強(qiáng)烈反對(duì)，將福島第一核電站核污染廢水排入大海，對(duì)海洋生態(tài)造成不可估量的破壞.據(jù)有關(guān)研究，福島核污水中的放射性元素有21種半衰期在10年以上；有8種半衰期在1萬(wàn)年以上.已知某種放射性元素在有機(jī)體體液內(nèi)濃度與時(shí)間（年）近似滿足關(guān)系式（，為大于0的常數(shù)且）.若時(shí)，；若時(shí)，.則據(jù)此估計(jì)，這種有機(jī)體體液內(nèi)該放射性元素濃度為時(shí)，大約需要年（最終結(jié)果四舍五入，參考數(shù)據(jù)：，）【答案】【解析】由題意得：，解得，所以，當(dāng)時(shí)，得，即，兩邊取對(duì)數(shù)得（其中應(yīng)用換底公式：）.所以，即這種有機(jī)體體液內(nèi)該放射性元素濃度時(shí)，大約需要年.故答案是：.15．（2024