2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期末復(fù)習(xí)卷10

2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末測試卷02測試范圍：選擇性必修第二、三冊一、單選題1．設(shè)，，隨機(jī)變量X的分布列是（）a則方差（）A．既與有關(guān)，也與有關(guān) B．與有關(guān)，但與無關(guān)C．與有關(guān)，但與無關(guān) D．既與無關(guān)，也與無關(guān)【答案】B【解析】根據(jù)方差公式求出方差，再判斷即可.由分布列可得，故.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握期望和方差的公式.2．在的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】先寫出展開式的通項(xiàng)，再討論第一個括號選則令，第一個括號選，則令，兩者相加即可求解.展開式的通項(xiàng)為，所以含的項(xiàng)為，所以含的項(xiàng)的系數(shù)是，故選：B.3．與曲線和都相切的直線與直線垂直，則b的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】先求出直線的方程，再求出直線與曲線相切的切點(diǎn)坐標(biāo)即可得解.因直線與直線垂直，則直線的斜率為3，設(shè)直線與曲線相切的切點(diǎn)，而，則，得，即直線過點(diǎn)(1，0)，方程為y=3x-3，設(shè)直線與曲線相切的切點(diǎn)P，有，由得，從而有點(diǎn)，而點(diǎn)P在直線：y=3x-3上，即，解得.故選：D【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)y=f(x)是區(qū)間D上的可導(dǎo)函數(shù)，則曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線方程為：.4．已知盒子里有10個球（除顏色外其他屬性都相同），其中4個紅球，6個白球甲、乙兩人依次不放回地摸取1個球，在甲摸到紅球的情況下，乙摸到紅球的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】分別計(jì)算甲先摸到1個紅球，乙再從剩下的9個球中摸1個球的種數(shù)和甲先摸到1個紅球，乙再從剩下的3個紅球中摸1個球的種數(shù)可得答案.甲先摸到1個紅球，乙再從剩下的9個球中摸1個球，共有種，其中甲先摸到1個紅球，乙再從剩下的3個紅球中摸1個球，共有種，所以在甲摸到紅球的情況下，乙摸到紅球的概率為.故選：A.5．某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用與銷售額的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：廣告費(fèi)用（萬元）23456銷售額（萬元）1925343844根據(jù)上表可得回歸直線方程為，下列說法正確的是（）A．回歸直線必經(jīng)過樣本點(diǎn)、B．這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)未必在回歸直線上C．回歸系數(shù)6.3的含義是廣告費(fèi)用每增加1萬元，銷售額實(shí)際增加6.3萬元D．據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為7萬元時銷售額為50.9萬元【答案】D【解析】根據(jù)回歸方程的含義與性質(zhì)判斷ABC，根據(jù)最小二乘法求出回歸方程可判斷D.回歸直線，不一定經(jīng)過任何一個樣本點(diǎn)，故A錯；由最小二乘法可知，這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)一定在回歸直線上，故B錯；回歸系數(shù)6.3的含義是廣告費(fèi)用每增加1萬元，預(yù)測銷售額增加6.3萬元，故C錯；，，將代入可得，則回歸方程為，時，，故D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查回歸方程的含義與性質(zhì)，考查根據(jù)最小二乘法求出回歸方程以及利用回歸方程估計(jì)總體，屬于基礎(chǔ)題.6．已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）①曲線上存在垂直于y軸的切線；②函數(shù)有四個零點(diǎn)；③函數(shù)有三個極值點(diǎn)；④方程有四個根.A．①③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【答案】C【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)定義、極值的定義、導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可.，因?yàn)?，所以曲線上存在垂直于y軸的切線，因此結(jié)論①正確；當(dāng)時，，因此在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，由函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)可知：函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，因此在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，因此在上單調(diào)遞減，如下圖所示：所以函數(shù)有三個極值點(diǎn)，因此③正確；因?yàn)椋?，，所以函?shù)有二個零點(diǎn)，，因此②錯誤；方程可轉(zhuǎn)化為或，結(jié)合圖象知，方程有兩個根，也有兩個根，故方程有四個根，因此④正確.綜合以上，正確的為①③④，故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)極值的定義、零點(diǎn)存在原理，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵.7．對函數(shù)(，且)的極值和最值情況進(jìn)行判斷，一定有（）A．既有極大值，也有最大值 B．無極大值，但有最大值C．既有極小值，也有最小值 D．無極小值，但有最小值【答案】C【解析】先求出導(dǎo)數(shù)，，然后討論方程根的情況，進(jìn)而判斷各選項(xiàng)，下面討論方程根的情況.令，，（1）當(dāng)時(即)，僅有一個唯一的正零點(diǎn)，不妨設(shè)為，此時有三個不同零點(diǎn)，分別為，0，；滿足既有極小值，也有最小值；（2）當(dāng)時(即)；滿足既有極小值，也有最小值；（3）當(dāng)時(即且)，若(即且)，則僅有一個唯一的極小值點(diǎn)為0，若，結(jié)合分析可知：當(dāng)時，有兩個不同的正零點(diǎn)(令為，且).此時在，，上單調(diào)遞減，當(dāng)時，則僅有一個唯一的極小值點(diǎn)為0.滿足既有極小值，也有最小值；綜上分析，故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵在于：求導(dǎo)后討論方程根的情況，討論的時候，分情況：（1）當(dāng)；（2）當(dāng)；（3）當(dāng)，進(jìn)而判斷各選項(xiàng)，屬于難題8．對于無窮數(shù)列，給出如下三個性質(zhì)：①；②；③．定義：同時滿足性質(zhì)①和②的數(shù)列為“s數(shù)列”，同時滿足性質(zhì)①和③的數(shù)列為“t數(shù)列”，則下列說法錯誤的是（）A．若，則為“s數(shù)列”B．若，則為“t數(shù)列”C．若為“s數(shù)列”，則為“t數(shù)列”D．若等比數(shù)列為“t數(shù)列”則為“s數(shù)列”【答案】C【解析】根據(jù)“s數(shù)列”和“t數(shù)列”的定義逐一對各選項(xiàng)分析判斷即可.解：對A：，，又，數(shù)列為“s數(shù)列”，故選項(xiàng)A正確.對B：，，又，，，數(shù)列為“t數(shù)列”，故選項(xiàng)B正確.對C：若，，又，所以數(shù)列為“s數(shù)列”，但，故選項(xiàng)C錯誤.對D：若等比數(shù)列為“t數(shù)列”，則，即（公比為）.（1）若公比，因?yàn)?，所以，所以，所以，此時因?yàn)椋?，，所以，即，所以為“s數(shù)列”；（2）若公比，由得，由性質(zhì)③知，即，所以，但此時與性質(zhì)③不符，所以時不是“t數(shù)列”.綜上，若等比數(shù)列為“t數(shù)列”則為“s數(shù)列”，選項(xiàng)D正確.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是牢牢抓住數(shù)列為“s數(shù)列”和數(shù)列為“t數(shù)列”所滿足的性質(zhì)對各選項(xiàng)逐一分析.二、多選題9．給出下列命題，其中正確命題為（）A．投擲一枚均勻的硬幣和均勻的骰子（形狀為正方體，六個面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6）各一次，記硬幣正面向上為事件A，骰子向上的點(diǎn)數(shù)是2為事件B，則事件A和事件B同時發(fā)生的概率為B．以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設(shè)，將其變換后得到線性方程，則，的值分別是和C．隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則D．某選手射擊三次，每次擊中目標(biāo)的概率均為，且每次射擊都是相互獨(dú)立的，則該選手至少擊中2次的概率為【答案】ABD【解析】分別計(jì)算事件A和事件B的概率可判斷A；根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可判斷B；根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可判斷C；計(jì)算該選手擊中2次的概率和3次都擊中的概率可判斷D.對于A，事件A的概率為，事件B的概率為，則事件A和事件B同時發(fā)生的概率為，故A正確；對于B，因?yàn)?，所以兩邊取對?shù)得，令，可得，因?yàn)?，所以，所以，故B正確；對于C，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以正態(tài)曲線關(guān)于對稱，則，故C錯誤；對于D，由題意得，該選手1次未擊中，2次擊中的概率為，3次都擊中的概率，則至少擊中2次的概率為，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】考查了相互獨(dú)立事件的概率、線性回歸方程、正態(tài)分布問題，其中熟練掌握相關(guān)知識、性質(zhì)、運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.10．若，則（）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】令，可驗(yàn)證A，令，，計(jì)算可驗(yàn)證B、C,令，化簡計(jì)算可判斷D,即可得出結(jié)果.令，則，A對，令，則，令，則，∴，，B對，C錯，令，則，又，則，D對，故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)晴：二項(xiàng)式系數(shù)和問題通常都是通過賦值法求解.11．記表示與實(shí)數(shù)最接近的整數(shù)，數(shù)列通項(xiàng)公式為，其前項(xiàng)和為，設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（）．A． B． C． D．【答案】BC【解析】由時，可判定A不正確；由，可判定B正確；由，可得，根據(jù)是右側(cè)的最接近的整數(shù)，可判定C正確；根據(jù)題意歸納得到數(shù)列中，有2個1，4個，6個，8個，，結(jié)合等差數(shù)列求和公式，可判定D不正確.由題意，記表示與實(shí)數(shù)最接近的整數(shù)，且，當(dāng)時，可得，所以A不正確；由，即，可得，可得成立，所以B正確；由，可得，平方可得，因?yàn)?，且不是整?shù)，其中是右側(cè)的最接近的整數(shù)，所以成立，所以C正確；當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，，此時；歸納可得數(shù)列中，有2個1，4個，6個，8個，又由構(gòu)成首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，可得，令，解得，所以，所以D不正確.故選：BC.【點(diǎn)睛】與數(shù)列的新定義有關(guān)的問題的求解策略：1、通過給出一個新的數(shù)列的定義，或約定一種新的運(yùn)算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實(shí)心信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的；2、遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、運(yùn)算、驗(yàn)證，使得問題得以解決.12．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．若，則在區(qū)間上單調(diào)遞減B．若，則C．若，則有兩個零點(diǎn)D．若，則曲線上存在在相異兩點(diǎn)，處的切線平行【答案】AB【解析】,求導(dǎo)函數(shù)，判斷在上的正負(fù)確定增減；，求導(dǎo)函數(shù)判斷增減，求出最小值，；分離參數(shù)，求出函數(shù)的變化趨勢以及最值，判斷與軸交點(diǎn)的個數(shù)；假設(shè)存在相異兩點(diǎn)，，利用平行得函數(shù)，轉(zhuǎn)化為與交點(diǎn)個數(shù)問題.對于A，，在單增，，時，單調(diào)遞減；A對.對于B，，在單增，，時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，，；B對.對于C，若，，，則，，令，顯然在上單增，且，時，；，在上單減，時，；，在上單增，故，有零點(diǎn)，則;C錯.對于D，，若曲線上存在相異兩點(diǎn)處的切線平行，則，即，即，也就是有兩相異根，即有兩個交點(diǎn)，令，則在上單增，當(dāng)時，；當(dāng)時，；故與只有一個交點(diǎn).D錯.故選：AB【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷原函數(shù)的增減，求出函數(shù)的最值，通常求導(dǎo)，用到的辦法有分離參數(shù)法，以及將交點(diǎn)的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程解的個數(shù)問題.三、填空題13．某醫(yī)院傳染病科室有5名醫(yī)生．4名護(hù)士，現(xiàn)從這9名醫(yī)護(hù)人員中選取5名參加醫(yī)院組織的運(yùn)動會，要求其中至少有2名醫(yī)生．2名護(hù)士，則不同的選取方法有______種．【答案】【解析】將符合題意的情況分為兩類：名醫(yī)生、名護(hù)士和名醫(yī)生、名護(hù)士；利用組合的知識可分別求得兩類情況的種數(shù)，由分類加法計(jì)數(shù)原理可得到結(jié)果.符合題意的情況有兩種：名醫(yī)生、名護(hù)士和名醫(yī)生、名護(hù)士．選取名醫(yī)生、名護(hù)士的方法有：種；選取名醫(yī)生、名護(hù)士的方法有：種；綜上所述：滿足題意的選取方法共有種．故答案為：.14．已知隨機(jī)變量，若，則_______.【答案】0.1【解析】根據(jù)已知及二項(xiàng)分布的概率公式求參數(shù)p，再應(yīng)用正態(tài)分布的對稱性知：即可求出.∵隨機(jī)變量，∴，解得或(舍)，又，∴，故答案為：0.115．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足，，其中，數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則___________.【答案】【解析】首先變形等式為，利用累乘法，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入后，利用錯位相減法求和.由題意，即，累乘得，可知，，當(dāng)時，，所以，又時，，且當(dāng)時成立，從而有，故，所以，故.故答案為：【點(diǎn)睛】方法技巧常見數(shù)列的裂項(xiàng)方法數(shù)列（為正整數(shù)）裂項(xiàng)方法（為非零常數(shù)）（為非零常數(shù)）（，）注意：利用裂項(xiàng)相消法求和時，既要注意檢驗(yàn)裂項(xiàng)前后是否等價，又要注意求和時正負(fù)項(xiàng)相消后消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng).16．對于函數(shù)，有下列4個論斷：甲：函數(shù)有兩個減區(qū)間；乙：函數(shù)的圖象過點(diǎn)；丙：函數(shù)在處取極大值；?。汉瘮?shù)單調(diào).若其中有且只有兩個論斷正確，則的取值為______.【答案】2【解析】對函數(shù)求導(dǎo)后即可判斷出甲錯誤，由于丙、丁相悖，分別討論丙與丁正確，即可得出答案.（）若甲正確，函數(shù)在有兩個減區(qū)間，記，則在有兩個解且開口向下,則無解，即甲錯誤.因?yàn)楸∠嚆?所以若丁正確，則甲丙錯誤、乙丁正確.，(或)在恒成立.即(或)在恒成立.即.若丁錯誤，則甲丁錯誤、乙丙正確.此時此時在處取極小值，與丙矛盾，舍去.綜上所述：.故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的極值與單調(diào)性.屬于難題.其中需要注意的是極值點(diǎn)是導(dǎo)函數(shù)的異號零點(diǎn)，利用導(dǎo)函數(shù)為0解出來的極值點(diǎn)，一定要檢驗(yàn)其是否真正的極值點(diǎn).四、解答題17．已知數(shù)列首項(xiàng)，且滿足，令.（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列中的最小項(xiàng).【答案】（1）證明見解析；（2）-3.【解析】（1）將遞推關(guān)系兩邊同除以，得到，從而證得數(shù)列為等差數(shù)列；（2）由（1）中結(jié)論求得的通項(xiàng)公式，求得，寫出前3項(xiàng)，當(dāng)時，，易知其最小的項(xiàng).（1），，即.又，為首項(xiàng)為-3，公差為1的等差數(shù)列，.（2），即.又，，，當(dāng)時，.數(shù)列中的最小項(xiàng)為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：遞推關(guān)系較為復(fù)雜時，按照題干給定的新數(shù)列的表達(dá)式形式，化成相同的形式，從而根據(jù)等差或等比數(shù)列定義求得新數(shù)列類型.18．有四個編有1?2?3?4的四個不同的盒子，有編有1?2?3?4的四個不同的小球，現(xiàn)把四個小球逐個隨機(jī)放入四個盒子里.（1）小球全部放入盒子中有多少種不同的放法？（2）在（1）的條件下求恰有一個盒子沒放球的概率？（3）若沒有一個盒子空著，但球的編號與盒子編號不全相同，有多少種投放方法？【答案】（1）種；（2）；（3）種.【解析】（1）用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算，考慮每個球的放法可得；（2）選取2球放在一起作為一個球，共3個球放到3個盒子中，用排列求得放法后由古典概型概率公式可計(jì)算出概率；（3）4個球的全排列數(shù)減去編號全相同的排法1即可得．（1）每個球都有4種方法，故有種（2）從4個小球中選兩個作為一個元素，同另外兩個元素在三個位置全排列，故共有種不同的放法.概率為：（3）每個盒子不空，共有，種．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查計(jì)數(shù)原理，古典概型，排列的應(yīng)用．難點(diǎn)是事件“4個盒子中恰有一個盒子沒放球”，解題關(guān)鍵是確定完成這件事的方法，4個球放到3個盒子中，其中有一個盒子中必有2個球，由此可選取2個球放在一起作為一個球，4個球看作3個球放入4個盒子中的3個中，用排列知識可求解．19．某中學(xué)模擬新高考模式，將本校期末考試成績劃分為、、三個等級.教務(wù)處為了調(diào)研高一新生學(xué)習(xí)情況，隨機(jī)抽取了高一某班名同學(xué)的語文、數(shù)學(xué)、英語成績，并對他們的成績進(jìn)行量化：級記為分，級記為分，級記為分，用表示每位同學(xué)的語文、數(shù)學(xué)、英語的得分情況，得到如下結(jié)果：人員編號現(xiàn)用綜合指標(biāo)的值評定該同學(xué)的得分等級：若，則得分等級為一級；若，則得分等級為二級；若，則得分等級為三級.（1）在這名同學(xué)中任取兩人，求這兩位同學(xué)英語得分相同的概率；（2）從得分等級是一級的同學(xué)中任取一人，其綜合指標(biāo)為，從得分等級不是一級的同學(xué)中任取一人，其綜合指標(biāo)為，記隨機(jī)變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；（2）分布列見解析，.【解析】（1）利用組合計(jì)數(shù)原理結(jié)合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）分析可知，隨機(jī)變量的可能取值有：、、、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量的分布列，進(jìn)一步可求得的值.（1）設(shè)事件為“從名同學(xué)中隨機(jī)抽取兩人，他們的英語得分相同”，英語得分為的有：、、、、、，英語得分為的有：、、、，從名同學(xué)中隨機(jī)抽取兩人的所有可能結(jié)果數(shù)為，英語得分相同的所有可能結(jié)果數(shù)為，英語得分相同的概率；（2）計(jì)算名同學(xué)的綜合指標(biāo)，可得下表：人員編號綜合指標(biāo)4461453543其中綜合指標(biāo)是一級的有：、、、、、、共名，綜合指標(biāo)不是一級的有：、、，共名，隨機(jī)變量的所有可能取值為：、、、、，，，，，，的分布列為：12345.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解隨機(jī)變量分布列的基本步驟如下：（1）明確隨機(jī)變量的可能取值，并確定隨機(jī)變量服從何種概率分布；（2）求出每一個隨機(jī)變量取值的概率；（3）列成表格，對于抽樣問題，要特別注意放回與不放回的區(qū)別，一般地，不放回抽樣由排列、組合數(shù)公式求隨機(jī)變量在不同取值下的概率，放回抽樣由分步乘法計(jì)數(shù)原理求隨機(jī)變量在不同取值下的概率.20．已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；（2）若不等式對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)在給定條件下求導(dǎo)，并求出在處的導(dǎo)數(shù)值即可得解；(2)先求出的最小值，再分情況討論即可得解.（1）當(dāng)時，，求導(dǎo)得，，而，所以在處的切線方程為，即；（2）定義域?yàn)?，則，當(dāng)時，令，可得，列表如下：-0+遞減極小值遞增于是有，令，①當(dāng)時，即時，，則，不符合題意；②當(dāng)時，即時，對任意的恒成立，要使，必有，二次函數(shù)的對稱軸為，則時，即，解得，從而有，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)y=f(x)是區(qū)間D上的可導(dǎo)函數(shù)，則曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線方程為：.21．已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的增區(qū)間；（2）設(shè)，是函數(shù)的兩個極值點(diǎn)，且，求證：.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論，解不等式即可求解；（2）根據(jù)極值點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為，是方程的兩個不相等的正實(shí)數(shù)根，可得且，要證，只要證，利用構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性證明即可.（1）由題意得().令，則.①當(dāng)，即時，在上恒成立，即的增區(qū)間為；②當(dāng)，即時，或，即的增區(qū)間為和.綜上，當(dāng)時，的增區(qū)間為；當(dāng)時，的增區(qū)間為和.（2）因?yàn)?)，有兩個極值點(diǎn)，，所以，是方程的兩個不相等的正實(shí)數(shù)根，可求出從而，，解得.由得.因?yàn)?，所以?令，且，則，所以當(dāng)時，，從而單調(diào)遞增；當(dāng)時，，從