2022年山東高考數(shù)學仿真卷14（解析版）

備戰(zhàn)2022年山東高考數(shù)學仿真卷（14）

一.選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）

1.（5分）已知全集。=??,集合4=卜|1-：＜0卜3={x||x|,,l},則如圖陰影部分表示的集合是（）

A.[-1,0）B.[-1,O）U"，2）C.（1,2）D.（0,1）

【答案】C

【詳解】由圖可知所求集合為A0|B在A中補集，A0|B=（0,1],.?.陰影部分表示的集合是（1,2）.

故選：C.

2.（5分）某個國家某種病毒傳播的中期，感染人數(shù)y和時間x（單位：天）在18天里的散點圖如圖所示,

下面四個回歸方程類型中最適宜作為感染人數(shù)y和時間x的回歸方程的是（）

1200000[感染人數(shù)

loooooo-r

800000/

600000-/

400000._____________

200000-*********

005101520

天數(shù)

A.y=a+bxB.y=a+be'C.y=a+blnxD.y-a+by/x

【答案】B

【詳解】由圖可知,圖象隨著x的增大而增高，且增長速度越來越快,

結(jié)合選項，可判斷y=a+be'最適宜作為感染人數(shù)y和時間x的回歸方程.

故選：B.

3.（5分）阿基米德是古希臘偉大的數(shù)學家、物理學家、天文學家，是靜態(tài)力學和流體靜力學的奠基人，

和高斯、牛頓并列為世界三大數(shù)學家，他在不知道球體積公式的情況下得出了圓柱容球定理，即圓柱內(nèi)切

球（與圓柱的兩底面及側(cè)面都相切的球）的體積等于圓柱體積的三分之二.那么，圓柱內(nèi)切球的表面積與

該圓柱表面積的比為（）

【答案】C

【詳解】設球的半徑為R，

則圓柱的底面半徑為R，高為2R,

則圓柱的表面積為S=2萬川+2乃22/?=6萬代，

球的表面積為%=4乃齊.

圓柱內(nèi)切球的表面積與該圓柱表面積的比為絲?=2.

6兀R?3

故選：C.

4.（5分）若向量5滿足|磯=2,|石|=1,且<萬，b>=-,貝&>=（）

3

A.—B.-C.-D.-

6236

【答案】B

【詳解】因為向量5滿足陪|=2,|石|=1,且<1,b>=~,

3

:\a-b|=yl（a-b）2=\la2-2a-b+b2=g,

2xlx--l

:.cos<a-b2=0,

\a-b\\b\A/3X1

又因為向量的夾角。€[0，7C\.

:.<a-b,h>=—，

2

故選：B.

5.(5分)中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學原理之一便是著名的香農(nóng)公式：C=Wlog2(l+-).它

表示：在受噪音干擾的信道中，最大信息傳遞速度C取決于信道帶寬W,信道內(nèi)信號的平均功率S,信道

內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中士叫做信噪比.當信噪比比較大時，公式中真數(shù)里面的1可以忽略不

N

計.按照香農(nóng)公式，若帶寬W增大到原來的1.1倍，信噪比號從1000提升到16000,則C大約增加了（

N

）（附:k2~0.3）

A.21%B.32%C.43%D.54%

【答案】D

【詳解】由題意，可得16000—1=1[*k16000_]

WlogJOOO/glOOO

=l.lx3+4/g2-l=0.54,

3

所以C大約增加了54%.

故選：D.

6.（5分）古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家常用小石子在沙灘上研究數(shù)學問題，他們在沙灘上畫點或用小

石子來表示數(shù).比如，他們研究過圖1中的1,3,6,10,…，這樣的數(shù)稱為三角形數(shù)；類似地，圖2中

的1,4,9,16,…，這樣的數(shù)稱為正方形數(shù)；圖3中的1,5,15,30,..這樣的數(shù)稱為正五邊形數(shù).那

么正五邊形數(shù)的第2021項小石子數(shù)是（）

?

???

??????

???

■■■■■?…151530

圖3

14916

圖2

A.5x1010x2021B.5x1010x1011C.5x1011x2021D.5x1011x2020

【答案】A

【詳解】根據(jù)題意，設正五邊形數(shù)構(gòu)成數(shù)列{〃〃},

貝ijq=l,%=5，且當〃..3時，an=an_x+5（n-1）,

所以=4+（/一42）+（4-4）---h（a,i一

「廠-「--＜、5n（n-1）

=5+5X2+5X3H--F5（〃-1）=---,

5x2021x2020「,…八

所以。2021=------------=5x1010x2021,

故選：A.

7.（5分）在矩形A8CO中，AB=4fAD=g,點、P在CD上,。戶=3尸＜3,點Q在3尸上，而48=14,

貝IJA戶AC=()

A.6B.8C.10D.12

【答案】D

【詳解】建立如圖實數(shù)的坐標系，在矩形ABCD中，45=4,40=百，點P在CD上，力戶=3尸。，由題

意可知P（3,G）,8（4,0）,點。在3P上，過。作QEJ.A8于E,

40Ag=14,即屈?通=14,可得E（Z,0）,

2

所以2（g，4）,

所以而"=3x二+國且=12.

22

8.（5分）若函數(shù)/（x）=Ff式[?八的所有零點之和為0,則實數(shù)。的取值范圍為（）

[2+2—〃,x..O

A.（20,3]B.[2a,3]C.（2&，+oo）D.[272,+oo）

【答案】A

【詳解】當x<0時函數(shù)零點即為方程log2（-x）=0的解，解得：x=-\.

當X..0時，函數(shù)零點即為方程2,+2"*-“=0的解，方程整理得：（2、）2_e2，+l=0,

設兩個根為占、x2,則由題意知占+/=1,.?.魄1上1,.?.掇必”2,

由根與系數(shù)關(guān)系可知2*+2&=a，2%=2,:.a=2x'+—,

2』

設2為=/€口，2],:.a=t+-,"=1一言，由〃>0得：42<t<2,

tt

函數(shù)a=f+2在口，血）上遞減，在（忘，2]上遞增，又?.?當/=夜時，4=2及

當a=2應時不滿足零點之和為0；

當f=l或2時，a=3.:.awQ叵，3].

故選：A.

-.多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

9.（5分）對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量x和y進行回歸分析時，經(jīng)過隨機抽樣獲得成對的樣本點數(shù)據(jù)（%,

y）（i=l,2....〃），則下列結(jié)論正確的是（）

A.若兩變量x,y具有線性相關(guān)關(guān)系，則回歸直線至少經(jīng)過一個樣本點

B.若兩變量x,y具有線性相關(guān)關(guān)系，則回歸直線一定經(jīng)過樣本點中心（元四

C.若以模型y=雙"擬合該組數(shù)據(jù)，為了求出回歸方程，設z=,將其變換后得到線性方程z=6x+/〃3,

則a,匕的估計值分別是3和6.

Z（%-y,）2

D.用/=1一號___—來刻畫回歸模型的擬合效果時，若所有樣本點都落在一條斜率為非零實數(shù)的直

E（x-y）2

?=1

線上，則心的值為1

【答案】BCD

【詳解】對于A，若兩變量x,y具有線性相關(guān)關(guān)系，則滿足線性回歸方程，但是樣本的不一定都在擬合直

線上，故選項A錯誤；

對于3,若兩變量x,y具有線性相關(guān)關(guān)系，則回歸直線一定經(jīng)過樣本點中心（江/，故選項3正確；

對于C,若以模型>=訛'"擬合該組數(shù)據(jù)，為了求出回歸方程，設z=/〃y,將其變換后得到線性方程

z=6x+ln3,則°,。的估計值分別是3和6,故選項C正確；

Z（y-y（）2

對于。，用夫2=1_乎2__二來刻畫回歸模型的擬合效果時，若所有樣本點都落在一條斜率為非零實數(shù)的

/=1

直線上，則必與,

￡（y_斤

則R、1一4-------=1-0=1,故選項O正確.

/=1

故選：BCD.

10.（5分）a,b為實數(shù)且a>6>0,則下列不等式一定成立的是（）

A.->-B.202>202fi

ab

114

。+D.-+>

C.Z?+2>2y+^y/haa+

【答案】BCD

1

[詳解]A:?.?a>b>09b-

a

B::a>b,:.a-\>b-\,又?.?y=2021'在R匕為增函數(shù)，2021"-1>2021z,-1,「.B正確,

Cw,ci>Z?>0?u+b+2.—"lyfci-2,\[b—u-\-2\/tz+1+/?4-2,\[b+1=(>/^+1)2+(^[b+1)~>0,C正確，

11l~T2442]i4

。>Z7>0,—i>2J—=-.—，-------<—,—=—,—,-I—>-------，.Dill確?

ab\aby/aba+b2>jah\Jahaba+b

故選：BCD.

11.（5分）如圖，在直角三角形ABC中，A=90。，IAB|=后，IAC|=2后，點P在以A為圓心且與邊BC

相切的圓上，則（）

A.點P所在圓的半徑為2B.點P所在圓的半徑為1

C.P瓦定的最大值為14D.P匣PC的最大值為16

【答案】AC

【詳解】以A為坐標原點建立平面直角坐標系如圖,

則8(0,石)，C(26,0),BC所在直線方程為—=+y=1,即x+2y-2逐=0.

2V53

則點A到直線BC的距離為莖=2,

即點P所在圓的半徑為2,故A正確，3錯誤;

.?.圓A的方程為V+y2=4,

設3c的中點為0(2,1),|8C|=5,

貝U麗.斤=（萬一!配）?（而+；麗=|而|2_1x25=|所F-y.

—?59

\PD\?^\AD\+r=-+2=-,

二.P月?PC的最大值為義-竺=14,故C正確，。錯誤.

44

12.（5分）2021年3月30日，小米正式開始啟用具備“超橢圓”數(shù)學之美的新log。.設計師的靈感來源

于曲線C:|x|"+lyl"=L則下列說法正確的是（）

A.曲線C關(guān)于原點成中心對稱

B.當〃=-2時，曲線C上的點到原點的距離的最小值為2

C.當">0時，曲線C所圍成圖形的面積的最小值為開

D.當〃>0時，曲線C所圍成圖形的面積小于4

【答案】ABD

【詳解】對于A,在曲線C:|x|"+|y|"=l中，以-X替換x,以-y替換y,方程不變，則曲線C關(guān)于原點成

中心對稱,

故A正確;

對于3,當〃=一2時，C:|W+|y|"=l化為乙+二=1,

xy-

由（x2+y2）d+4=2+￡+或2+2任W=4,

yx~yYx-y

當且僅當/=y4時等號成立，得次+y.2,即曲線C上的點到原點的距離的最小值為2,

故3正確：

對于C,取"=1,曲線C:|x|+|y|=l,曲線C所圍成圖形的面積S=gx2x2=2〈萬，

故C錯誤；

對于。，當〃>0時，取曲線C在第一象限的面積為5「則S=4S-

又在第一象限的曲線為x"+y"=l,.?.￥<1x1=1,則S<4,

故。正確.

故選：ABD.

三.填空題(共4小題，滿分2()分，每小題5分)

13.(5分)請寫出一個函數(shù)/(x)=,使之同時具有如下性質(zhì)：①VxeR,/(x)=/(4-x),

(2)Vxe/?,f(x+4)=/(x).

【答案】cos^x

2

【詳解】性質(zhì)①：YxwR,/(x)=/(4-x),故函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=2對稱，

性質(zhì)②：Vxe/?,/(x+4)=/(x),故函數(shù)/(x)的周期為4,

考慮同時具有對稱性和周期性的函數(shù)，常見的是三角函數(shù)，

故/(x)=cos]x(答案不唯一).

故答案為：COS—A：.

2

14.(5分)斜率為夜的直線過拋物線C:/=2px(p>0)的焦點，且與C交于A,8兩點，若|48|=3夜,

則口=,A4O8(O為坐標原點)的面積為.

【答案】血，為

2

【詳解】由拋物線的方程可得焦點廠的坐標("，0),準線方程為x=-K,

22

設A(x「％),B(X2,y2),由題意設直線AB的方程：y=0(x-§,

聯(lián)立卜=0。一9，整理可得：*2-2*+—=0,

2/-)4

[y=2px

可得芯+工2=2〃，XjX2=—,

22

所以y+必=3(4+/-〃)=及〃，另必=->/2P\X2=-p,

IAB\=x}+x2+p=3p=3五,所以p=夜,

SAWB=gIOFI.Iy-%1=：?"I'"(兇+必)2-4/必=；J2P2+4p2=*，

故答案為：0,逅.

2

15.(5分)已知有5男5女共10名記者參加2021年的兩會新聞報道，現(xiàn)從中選取8人分配到A,B兩個

組，每個組4人，其中A組的4人中，要求女性的人數(shù)多于男性，8組的4人中，要求至少有1名女性，

則不同的分配方法數(shù)為.

【答案】750

【詳解】根據(jù)題意，分3種情況討論：

①A組3女1男，8組2女2男，有=300種分配方法；

②A組3女1男，3組1女3男，有=400種分配方法；

③A組4女，8組1女3男，有C；C；=50種分配方法；

貝IJ有300+400+50=750種分配方法，

故答案為：750.

16.(5分)已知函數(shù)/(x)=(二+(。-2);"+2-a有三個不同的零點％,x2,x3,其中占〈々〈鼻，則

(1-?)2(1-弋)(1-q)的值為?

【答案】1

【詳解】設g(x)=W，貝ilg'(x)=W，

ee

當尤vl時，g'(x)>0,則g(x)單調(diào)遞增，

當x>l時，g'(x)<0,則g(x)單調(diào)遞減,

又x>0時，g(x)>0,當xvO時，g(x)vO,

當x=l時，g(x)取得最大值g(1)=-?

e

作出函數(shù)g(x)的圖象如圖所示，

要使得/(%)=(2)2+(〃-2)土+2-々有三個不同的零點玉，x2,x3,其中％<為<工3，

eex

令/=工，則有產(chǎn)+(〃-2?+2-〃=0要有兩個不同的實數(shù)根6，4(4<幻，

e

,!匕+〃=2—ci

△=(a-2)2-4(2-a)>0,即。>2或a<—2,且，2c，

\tAt2=2-a

若a>2,則+"：2一"：°,因為乙氣，所以6<0，則與€(。」)，

卬2=2-a<0e

所以則玉VOVX2Vl<工3，且冢工2）=且@3）=/2，

e

2

所以（1一一宗）（1一宗）=Q一％）"1一G）（l—，2）=口一（%+r2）+r/2]=口-（2-。）+2-a]?=1；

若”一2,則/+丫2-丫4,因為（*）取得最大值（1）=1,且f,€（03），

卬2=2-a>4ee

（4<4,不符合題意，舍去.

綜上所述，（1一尹（1一為（1一多=1.

故答案為：1.

44-C

17.（10分）在AABC中，角A,B,。的對邊分別為a,b,c,且lOsii?--=7-cos2B,

2

（1）求角8的大小;

（2）已知點。滿足麗=；而，且AB>BD,若SM⑷=苧，AD=/7,求AC.

【答案】（1）B=~；（2）AC=V13

3

【詳解】（1）?「A+3+C=;r,

.A+CB

sm----=-cos—，

22

由lOsin2=7-cos28,得lOcos2旦=7-cos28,

22

即10x匕式^=7-（2蔽8-1）,

化簡得2cos28+5COS6—3=0,

解得cos8=—或cosB=—3（舍），

2

71

y/.B=—.

3

iopy

（2）-.-SAvA.nlllJ）=-2BDBA4smB=—,

:.B?BA=3①,

在AAB￡>中，由余弦定理知，AD2=BD1+BA2-2BD-BAcosB,

BD?+BA?-BDBA=7,即BZ）2+BA2=10@,

由①②，解得比>=1，84=3或8￡>=3,胡=1,

又AB>BD,:.BD=\,BA=3,BC=4BD=4,

在AA8C中，由余弦定理知，AC2=BA2+BC2-2BCBACOSB^9+\6-2X3X4X-^\3,

2

AC=屈.

18.（12分）已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，4=%=2,當〃..2時,S,“1+S,i=2S,+l.

（1）求證：當.2,an+l-an為定值；

（2）把數(shù)列｛”"｝和數(shù)列｛2%｝中的所有項從小到大排列，組成新數(shù)列｛%｝,求數(shù)列｛%｝的前100項和71fto.

【答案】（1）見解析；（2）4594

【詳解】證明：（1）當”=2時，$3+￡=2邑+1,

即0+生+%+4=2（4+生）+1，得%=3，

當幾.2時，因為SN+S.T=25,,+1,所以52+，=25向+1,

兩式相減得a“+2+an=2an+l,

所以4+2-4+i=4*1-4,

所以伍川-““｝是以％-%為首項，以1為公比的等比數(shù)列；

%—。2=1，

所以--%=1，

所以％=、

（2）數(shù)列｛《,｝前100項為2,2,3,4,5....100,

數(shù)列｛2%｝為2。2\23,24,2",

所以數(shù)列｛,｝前100項含有數(shù)列｛2%｝的項為22,2\2\24,2\2$共六項，

所以7；=2?+2?+23+24+2$+2$+2+2+3+4+5+…+94=128+2+^^^=4594.

19.（12分）如圖，四棱錐的底面是邊長為2的正方形，平面B4r）_L平面ABC￡>,AR4D

是斜邊上4的長為2&的等腰直角三角形，E,尸分別是棱B4,PC的中點，M是棱8C上一點.

（1）求證：平面DEM_L平面R4B；

（2）若直線與平面ABCD所成角的正切值為也，求銳二面角-f的余弦值.

2

【答案】（1）見解析；（2）如

6

【詳解】（1）證明：依題意可得：PDA.DA,DP=DA=DC=2.

?.?平面皿5_L平面438,平面Q4DC平面4夕8=八4,ABYDA,ABCu平面45CD,

.?.A5J.平面皿）,.'.AB±DE.

在RtAPAD中，DP=DA,E是棱孫的中點，所以E4J_Z）￡.

又以「|4}=A，PA,ABuC平面B4Q,平面

又￡>Eu平面。EM,平面。磯/J_平面RW.

（2）如圖，取CD的中點N,連接MN,NF,

由（1）知PDL平面/1BCZ）.平面他CD,

:.NFMN是直線MF與平面/WCD所成角，

tanNFMN=—,

MN2

MN=42,MC^ylMN2-NC2=1,

.?.M是棱8c的中點，以。為坐標原點，DA,DC,DP分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系,

則有：0(0,0,0),￡(1,0,1),F(0,1,1),M(1,2,0),

/.Z)￡=(1,0,1),D￡=(0,1,1),DA/=(1,2,0),

設平面EDM的法向量為m=(a,b,c)，平面DMF的法向量為n=(x,y,z),

0=DEin=a-\-c人

則_.,令a=-2,則I1,l6=(一2,1,2),

0=DM-m=a2b

0=DFth=y+z.,

有4_.」，令x=—2,則n行=(一2,1,—1),

0=DM-ifi=x+2y

m-fi3_76

cos〈虎,n)=

|虎|||3x76-6

；.銳二面角-b的余弦值為逅.

6

20.(12分)如圖是一個質(zhì)地均勻的轉(zhuǎn)盤，一向上的指針固定在圓盤中心，盤面分為A,B,C三個區(qū)域.每

次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤時，指針最終都會隨機停留在A,B,C中的某一個區(qū)域.現(xiàn)有一款游戲：每局交10元錢隨機

轉(zhuǎn)動上述轉(zhuǎn)盤3次；每次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤時，指針停留在區(qū)域A,B,C分別獲得積分10,5,0；三次轉(zhuǎn)動后的

總積分不超過5分時獲獎金2元，超過25分時獲獎金50元，其余情況獲獎金5元.假設每次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤相

互獨立，且指針停留在區(qū)域A,B的概率分別是〃和2P(0<p<3-

6

(1)設某人在一局游戲中獲得總積分為5的概率為/(p),求/(p)的最大值點4；

(2)以(1)中確定的％作為p值，某人進行了5局游戲，設“在一局游戲中獲得的總積分不低于5”的

局數(shù)為求g的數(shù)學期望：

(3)有人注意到：很多玩家進行了大量局數(shù)的該游戲，不但沒賺到錢，反而輸?shù)迷絹碓蕉?請用概率統(tǒng)計

的相關(guān)知識給予解釋.

【答案】見解析

【詳解】(1)由題意可得，/(p)=C；(2p)(l-3pf=54p3-36P2+6p(0<p<

貝iJ/'(p)=162/-72p+6,

令r(p)=。，解得或p=g(舍)，

當o<p<g時，r(p)>o,則f(p)單調(diào)遞增，

當時，/(°)<0,則y(p)單調(diào)遞減，

96

所以當p="時，/(P)取得最大值，

故/(p)的最大值點為Po=g;

(2)由(I)可知，p=Po=g,

所以每一局游戲中總積分不低于5的概率為p,=l-(l-3p)3=

1O

由題意可知，4~8(5,—)，

27

所以6(4)=5乂2=史；

2727

(3)設每一局游戲中獲得獎金數(shù)為X,則X的所有可能取值為2,5,50,

所以尸(X=2)=(l-3p)3+C；(l-3〃)2(2p)=27p3-9/-3p+l,

P(X=50)=/,

p(X=5)=l-(27/-9p2-3p+l)-p3=-28/+9p2+3p,

所以E(X)=2x(27/-9p2-3p+l)+5x(-28p3+9/+3p)+50xp3=-36p3+27p2+9p+2,

令g(P)=-36/?3+27p2+9p+2,

貝心，5)=-10即2+542+9(0<0」)，

因為g'(p)在(0,｝上單調(diào)遞增,

所以g'(P)>g'(0)=9>0,

故g(p)在(0,—)上單調(diào)遞增,

所以E(X)=g(p)<g(《)=w<10,

所以每局游戲獲得獎金的期望遠低于所交的錢數(shù)，玩的越多，輸?shù)脑蕉?

22

21.(12分)己知招是橢圓C:=+二=1(“>6)的左焦點，經(jīng)過點尸(0,-2)作兩條互相垂直的直線4和

直線4與c交于點A,B.當直線《經(jīng)過點6時，直線4與c有且只有一個公共點.

(1)求C的標準方程；

(2)若直線4與c有兩個交點，求|AB|的取值范圍.

【答案】⑴—+^-=1;(2)(0,—)

4319

【詳解】(1)設耳(-c,0),其中c=〃2_3①

當直線4經(jīng)過點6時，直線4的斜率原居=；.直線4的斜率為/，方程為y=2,

與橢圓C的方程聯(lián)立，消去y得：3/+儲(會-2)2=3。2,

整理得：32c2+12)/—8a2cx+4a2=。.?.?直線與橢圓C有且只有一個公共點，△

=64a4c2_16a232c2+12)=0,

即ac=2②

由①②得：a2=4>解得：4=2,c=1,/.b=\la2-c2=6，/.C的標準方程為土+乙=1.

43

(2)由題意知：直線《的斜率存在且不為零，設其方程為丁=履-2(&。0),

與橢圓C的方程聯(lián)立，消去y得：(3+4/_16"+4=0,

則△=256公-16(3+4^)>0,解得：k2>-.