（新課標(biāo)）備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)“12＋4”小題提速練（四）理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

“12＋4”小題提速練四為解答后面的大題留足時(shí)間一、選擇題1．設(shè)集合A＝{0,1,2}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，則A∩B＝()A．{0,1,2} B．{1,2,4}C．{1,2} D．{0,1,2,4}解析：選C由已知，得B＝{y|y＝2x，x∈A}＝{1,2,4}，所以A∩B＝{1,2}．故選C.2．已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i，則復(fù)數(shù)eq\f(1,z)的虛部為()A．－eq\f(\r(3),2)i B．－eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(3),2)i D.eq\f(\r(3),2)解析：選Beq\f(1,z)＝eq\f(1,\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i)＝eq\f(\f(1,2)－\f(\r(3),2)i,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(\r(3),2)i)))＝eq\f(\f(1,2)－\f(\r(3),2)i,\f(1,4)＋\f(3,4))＝eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i，所以eq\f(1,z)的虛部為－eq\f(\r(3),2).故選B.3．已知{an}為等比數(shù)列，若a3＝2，a5＝8，則a7＝()A．64 B．32C．±64 D．±32解析：選B法一：設(shè){an}的公比為q，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q2＝2，,a1q4＝8，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(1,2)，,q2＝4，))故a7＝a1q6＝eq\f(1,2)×43＝32.法二：∵{an}為等比數(shù)列，∴a3，a5，a7成等比數(shù)列，即aeq\o\al(2,5)＝a3a7，解得a7＝32.4．隨著我國經(jīng)濟(jì)實(shí)力的不斷提升，居民收入也在不斷增加．某家庭2018年全年的收入與2014年全年的收入相比增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番．同時(shí)該家庭的消費(fèi)結(jié)構(gòu)隨之也發(fā)生了變化，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了該家庭這兩年不同品類的消費(fèi)額占全年總收入的比例，得到了如下折線圖：則下列結(jié)論中正確的是()A．該家庭2018年食品的消費(fèi)額是2014年食品的消費(fèi)額的一半B．該家庭2018年教育醫(yī)療的消費(fèi)額與2014年教育醫(yī)療的消費(fèi)額相當(dāng)C．該家庭2018年休閑旅游的消費(fèi)額是2014年休閑旅游的消費(fèi)額的五倍D．該家庭2018年生活用品的消費(fèi)額是2014年生活用品的消費(fèi)額的兩倍解析：選C設(shè)該家庭2014年全年收入為a，則2018年全年收入為2a.對于A,2018年食品消費(fèi)額為0.2×2a＝0.4a,2014年食品消費(fèi)額為0.4a，故兩者相等，A不正確；對于B,2018年教育醫(yī)療消費(fèi)額為0.2×2a＝0.4a,2014年教育醫(yī)療消費(fèi)額為0.2a，故B不正確；對于C,2018年休閑旅游消費(fèi)額為0.25×2a＝0.5a,2014年休閑旅游消費(fèi)額為0.1a，故C正確；對于D,2018年生活用品的消費(fèi)額為0.3×2a＝0.6a,2014年生活用品的消費(fèi)額為0.15a，故D不正確．5.如圖所示，三國時(shí)代數(shù)學(xué)家在《周脾算經(jīng)》中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明．圖中包含四個(gè)全等的直角三角形及一個(gè)小正方形(陰影)，設(shè)直角三角形有一個(gè)內(nèi)角為30°，若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲200顆米粒(大小忽略不計(jì)，取eq\r(3)≈1.732)，則落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為()A．20 B．27C．54 D．64解析：選B設(shè)大正方形的邊長為2，則小正方形的邊長為eq\r(3)－1，所以向弦圖內(nèi)隨機(jī)投擲一顆米粒，落入小正方形(陰影)內(nèi)的概率為eq\f(\r(3)－12,4)＝1－eq\f(\r(3),2)，向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲200顆米粒，落入小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為200×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(3),2)))≈27，故選B.6．設(shè)變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－2≥0，,x－2y＋2≤0，,y≥2，))則目標(biāo)函數(shù)z＝x＋3y的最小值為()A．8 B．6C．4 D．3解析：選C作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線x＋3y＝0，平移該直線，由圖知使目標(biāo)函數(shù)z＝x＋3y取得最小值的最優(yōu)解為(－2,2)，代入目標(biāo)函數(shù)z＝x＋3y得目標(biāo)函數(shù)z＝x＋3y的最小值為4，故選C.7．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)sinx＋eq\f(\r(3),2)cosx，將函數(shù)f(x)的圖象向左平移m(m＞0)個(gè)單位長度后，所得到的圖象關(guān)于y軸對稱，則m的最小值是()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)解析：選A由題知f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，將其圖象向左平移m個(gè)單位長度后得到函數(shù)g(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋m＋\f(π,3)))的圖象，∵函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，∴m＋eq\f(π,3)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，∴m＝kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)，∵m＞0，∴m的最小值為eq\f(π,6)，故選A.8．某四面體的三視圖如圖所示，則該四面體最長的棱長與最短的棱長的比值是()A.eq\f(\r(5),2) B.eq\r(2)C.eq\f(3\r(5),5) D.eq\f(3,2)解析：選D在棱長為2的正方體中還原該四面體PABC如圖所示，其中最短的棱為AB和BC，最長的棱為PC.因?yàn)檎襟w的棱長為2，所以AB＝BC＝2，PC＝3，所以該四面體最長的棱長與最短的棱長的比值為eq\f(3,2)，故選D.9．已知a＞0且a≠1，函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax，x≥1，,ax＋a－2，x＜1))在R上單調(diào)遞增，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(1，＋∞) B．(0,1)C．(1,2) D．(1,2]解析：選D依題意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞1，,a＋a－2≤a，))解得1＜a≤2，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(1,2]．故選D.10．函數(shù)f(x)＝eq\f(xe－x－ex,4x2－1)的部分圖象大致是()解析：選B因?yàn)閒(－x)＝eq\f(－xex－e－x,4－x2－1)＝eq\f(xe－x－ex,4x2－1)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，故排除A；易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))，f(x)＝eq\f(xe－x－ex,4x2－1)＝eq\f(xe－x1－e2x,4x2－1)，當(dāng)x＝eq\f(1,4)時(shí)，f(x)＞0，故排除C；當(dāng)x→＋∞時(shí)，f(x)→－∞，故排除D，故選B.11．已知三棱錐P-ABC的所有頂點(diǎn)都在半徑為2的球O的球面上．若△PAC是等邊三角形，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥BC，則三棱錐P-ABC體積的最大值為()A．2 B．3C．2eq\r(3) D．3eq\r(3)解析：選B由AB⊥BC可知AC為三角形ABC所在截面圓O1的直徑，又平面PAC⊥平面ABC，△APC為等邊三角形，所以P在OO1上，如圖所示，設(shè)PA＝x，則AO1＝eq\f(1,2)x，PO1＝eq\f(\r(3),2)x，所以PO1＝eq\f(\r(3),2)x＝OO1＋2＝eq\r(4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x))2)＋2?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)x－2))2＝4－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x))2?x2－2eq\r(3)x＝0?x＝2eq\r(3)，所以AO1＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)＝eq\r(3)，PO1＝eq\f(\r(3),2)×2eq\r(3)＝3，當(dāng)?shù)酌嫒切蜛BC的面積最大時(shí)，即底面為等腰直角三角形時(shí)三棱錐P-ABC的體積最大，此時(shí)V＝eq\f(1,3)S△ABC×PO1＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2\r(3)×\r(3)))×3＝3.12．過點(diǎn)P(4,2)作一直線AB與雙曲線C：eq\f(x2,2)－y2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，若P為AB的中點(diǎn)，則|AB|＝()A．2eq\r(2) B．2eq\r(3)C．3eq\r(3) D．4eq\r(3)解析：選D法一：由已知可得點(diǎn)P的位置如圖所示，且直線AB的斜率存在，設(shè)AB的斜率為k，則AB的方程為y－2＝k(x－4)，即y＝k(x－4)＋2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－4＋2，,\f(x2,2)－y2＝1))消去y得(1－2k2)x2＋(16k2－8k)x－32k2＋32k－10＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝eq\f(－16k2＋8k,1－2k2)，x1x2＝eq\f(－32k2＋32k－10,1－2k2)，因?yàn)镻(4,2)為AB的中點(diǎn)，所以eq\f(－16k2＋8k,1－2k2)＝8，解得k＝1，滿足Δ＞0，所以x1＋x2＝8，x1x2＝10，所以|AB|＝eq\r(1＋12)×eq\r(82－4×10)＝4eq\r(3)，故選D.法二：由已知可得點(diǎn)P的位置如法一中圖所示，且直線AB的斜率存在，設(shè)AB的斜率為k，則AB的方程為y－2＝k(x－4)，即y＝k(x－4)＋2，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)－2y\o\al(2,1)－2＝0，,x\o\al(2,2)－2y\o\al(2,2)－2＝0，))所以(x1＋x2)(x1－x2)＝2(y1＋y2)(y1－y2)，因?yàn)镻(4,2)為AB的中點(diǎn)，所以k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝1，所以AB的方程為y＝x－2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－2，,\f(x2,2)－y2＝1，))消去y得x2－8x＋10＝0，所以x1＋x2＝8，x1x2＝10，所以|AB|＝eq\r(1＋12)×eq\r(82－4×10)＝4eq\r(3)，故選D.二、填空題13．已知平面向量a＝(－1,3)，b＝(2,1)，若m＝a－2b，n＝ta＋b，且m∥n，則實(shí)數(shù)t＝________.解析：法一：由已知，得m＝(－5,1)，n＝(2－t,3t＋1)，∵m∥n，∴2－t＋5(3t＋1)＝0，∴t＝－eq\f(1,2).法二：由已知可令m＝λn，∴a－2b＝λ(ta＋b)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λt＝1，,λ＝－2，))∴t＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)14．閱讀材料：求函數(shù)y＝ex的導(dǎo)函數(shù).解：∵y＝ex，∴x＝lny，∴x′＝lny′，∴1＝eq\f(1,y)×y′，∴y′＝y(tǒng)＝ex.借助上述思路，曲線y＝(2x－1)x＋1，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為________．解析：根據(jù)題中材料將函數(shù)y＝(2x－1)x＋1轉(zhuǎn)化為lny＝ln(2x－1)x＋1＝(x＋1)ln(2x－1)，兩邊同時(shí)求導(dǎo)數(shù)，得eq\f(1,y)×y′＝ln(2x－1)＋(x＋1)×eq\f(1,2x－1)×2＝ln(2x－1)＋eq\f(2x＋1,2x－1)，∴y′＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ln2x－1＋\f(2x＋1,2x－1)))·(2x－1)x＋1，∴y′|x＝1＝4，∴切線方程為y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.答案：4x－y－3＝015．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，滿足a1＝2,3Sn＝(n＋m)an，m∈R，且anbn＝n.則a2＝________；若存在n∈N*，使得λ＋Tn≥T2n成立，則實(shí)數(shù)λ的最小值為________．解析：∵3Sn＝(n＋m)an，∴3S1＝3a1＝(1＋m)a1，解得m＝2，∴3Sn＝(n＋2)an.①當(dāng)n≥2時(shí)，3Sn－1＝(n＋1)an－1.②由①－②可得3an＝(n＋2)an－(n＋1)an－1，即(n－1)an＝(n＋1)an－1.∵a1＝2，∴an≠0，∴eq\f(an,an－1)＝eq\f(n＋1,n－1)，∴eq\f(a2,a1)＝eq\f(3,1)，eq\f(a3,a2)＝eq\f(4,2)，eq\f(a4,a3)＝eq\f(5,3)，…，eq\f(an－1,an－2)＝eq\f(n,n－2)，eq\f(an,an－1)＝eq\f(n＋1,n－1)，以上各式累乘可得an＝n(n＋1)，經(jīng)檢驗(yàn)a1＝2符合上式，∴an＝n(n＋1)，n∈N*，∴a2＝2×3＝6.∵anbn＝n，∴bn＝eq\f(1,n＋1).令Bn＝T2n－Tn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＝eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋3)＋…＋eq\f(1,2n＋1)，則Bn＋1－Bn＝eq\f(3n＋4,2n＋22n＋3n＋2)>0，∴數(shù)列{Bn}為遞增數(shù)列，∴Bn≥B1＝eq\f(1,3).∵存在n∈N*，使得λ＋Tn≥T2n成立，∴λ≥B1＝eq\f(1,3)，故實(shí)數(shù)λ的最小值為eq\f(1,3).答案：6eq\f(1,3)16．拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，在C上存在A，B兩點(diǎn)滿足eq\o(AF,\s\up6(→))＝3eq\o(FB,\s\up6(→))，且點(diǎn)A在x軸上方，以A為切點(diǎn)作C的切線l，l與該拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為______．解析：(定義轉(zhuǎn)化法)根據(jù)題意有A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線