直線的交點坐標與距離公式

直線的交點坐標與距離公式一：兩條直線的交點坐標：1、設(shè)兩條直線分別為SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是否有交點，只需看方程組SKIPIF1<0是否有唯一解若方程組有唯一解，則這兩條直線相交，此解就是交點的坐標；若方程組無解，則兩條直線無公共點，此時兩條直線平行；若方程組有無窮多解，則兩直線重合例1、求經(jīng)過兩直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的交點且與直線SKIPIF1<0平行的直線方程。經(jīng)過兩直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交點的直線系方程為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是待定系數(shù)，在這個方程中，無論SKIPIF1<0取什么實數(shù)，都得到SKIPIF1<0，因此，它不能表示直線SKIPIF1<0。2、對稱問題（1）點關(guān)于點的對稱，點A(a，b)關(guān)于SKIPIF1<0的對稱點B（m，n），則由中點坐標公式SKIPIF1<0，即B（SKIPIF1<0）。（2）點關(guān)于直線的對稱，點SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0（A、B不同時為0）的對稱點SKIPIF1<0，則有AA’的中點在SKIPIF1<0上且直線AA’與已知直線SKIPIF1<0垂直。（3）直線關(guān)于直線的對稱，一般轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱解決，若已知直線SKIPIF1<0與對稱軸SKIPIF1<0相交，則交點必在與SKIPIF1<0對稱的直線SKIPIF1<0上，然后再求出SKIPIF1<0上任意不同于交點的已知點SKIPIF1<0關(guān)于對稱軸對稱的點SKIPIF1<0，那么經(jīng)過交點及點SKIPIF1<0的直線就是SKIPIF1<0；若直線SKIPIF1<0與對稱軸SKIPIF1<0平行，則在SKIPIF1<0上任取兩不同點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，求其關(guān)于對稱軸SKIPIF1<0的對稱點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的直線就是SKIPIF1<0。例題2、已知直線SKIPIF1<0，試求①點P(4,5)關(guān)于SKIPIF1<0的對稱坐標；②直線SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0的對稱的直線方程。例題3、求函數(shù)SKIPIF1<0的最小值。二、兩點間的距離，點到直線間的距離（1）兩點間的距離：已知SKIPIF1<0則SKIPIF1<0（2）點到直線的距離:已知點SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0（A、B不同時為0），求點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離。解法一：如圖，作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，若A,BSKIPIF1<0O,則由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0，從而直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，解方程組SKIPIF1<0得SKIPIF1<0容易驗證當A=0或B=0時，上式仍然成立。解法二：如圖，設(shè)ASKIPIF1<00,BSKIPIF1<00，則直線SKIPIF1<0與x軸和y軸都相交，過點SKIPIF1<0分別作x軸和y軸的平行線，交直線SKIPIF1<0于R和S，則直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，R的坐標為（-SKIPIF1<0）；直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，S的坐標為（-SKIPIF1<0），于是有SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0。設(shè)SKIPIF1<0，由三角形面積公式可得SKIPIF1<0.于是得SKIPIF1<0因此，點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0容易驗證，當A=0或B=0時，上式仍成立。注意:①若給出的方程不是一般式，則應(yīng)先把方程化為一般式，再利用公式求距離；②點到直線的距離是點到直線上的點的最短距離；③若點在直線上，則點到直線的距離為0，但距離公式仍然成立，因為此時SKIPIF1<0。三、直線的位置關(guān)系（同一平面上的直線）1、平行與垂直（1）兩條直線平行的判定①當兩條直線的斜率存在時，均可化成它的斜截式方程，所以以斜截式為例來研究直線平行的判定設(shè)兩條直線分別為，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0SKIPIF1<0：SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的傾斜角相等，即由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，也即SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0；反之也成立。所以有SKIPIF1<0且SKIPIF1<0②當兩條直線的斜率都不存在時，二者的傾斜角均為SKIPIF1<0，若不重合，則它們也是平行直線注意：當不考慮斜率，即給出直線的一般式時，有如下結(jié)論：設(shè)兩條直線分別為SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0（其中分母不為0）或SKIPIF1<0（可用直線的方向向量或法向量解釋）例4、已知點SKIPIF1<0和直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，求過點A和直線SKIPIF1<0平行的直線。（引出平行直線系方程）（2）兩條直線垂直的判定①當兩條直線的斜率存在且不為0時，均可化成它的斜截式方程，所以以斜截式為例來研究直線平行的判定設(shè)兩條直線分別為，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0SKIPIF1<0：SKIPIF1<0則得直線SKIPIF1<0的方向向量為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0的方向向量為：SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0即SKIPIF1<0注意：或用兩條直線的傾斜角推倒：即SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0②兩條直線中，一條斜率不存在，同時另一條斜率等于零，則兩條直線垂直。由①②得，兩條直線垂直的判定就可敘述為：一般地，SKIPIF1<0或一條斜率不存在，同時另一條斜率等于零。注意：當不考慮斜率，即給出直線的一般式時，有如下結(jié)論：設(shè)兩條直線分別為SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0例5、求與直線SKIPIF1<0垂直且過點（1，2）的直線方程（引出垂直直線系方程）例6、已知兩直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0為何值時，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0：①平行②重合③垂直例7、已知長方形ABCD的三個頂點的坐標分別為A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四個頂點D的坐標例8、求證：不論SKIPIF1<0為取什么實數(shù)，直線SKIPIF1<0總通過某一定點例9、已知直線SKIPIF1<0，（1）若SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范圍；（2）若SKIPIF1<0時，恒有SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍四、到角、夾角（1）到角公式定義：兩條直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0相交構(gòu)成四個角，他們是兩對對頂角，為了區(qū)別這些角，我們把直線SKIPIF1<0繞交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與SKIPIF1<0重合時所轉(zhuǎn)的角，叫做SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的角，如圖，直線SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的角是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的角是SKIPIF1<0SKIPIF1<0推倒：設(shè)已知直線方程分別是SKIPIF1<0：SKIPIF1<0SKIPIF1<0：SKIPIF1<0.SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的角是SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的傾斜角分別為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0由圖1）的SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0由圖2）的SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0于是SKIPIF1<0即SKIPIF1<0就是SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的角SKIPIF1<0的正切值，簡稱為到角公式（2）夾角公式定義：由（1）得，SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的角是SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交但不垂直時，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中有且只有一個角是銳角，我們把其中的銳角叫做兩條直線的夾角，記夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即為夾角公式當直線SKIPIF1<0時，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0例10、等腰三角形一腰所在直線SKIPIF1<0的方程是SKIPIF1<0，底邊所在直線SKIPIF1<0的方程是SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在另一腰上，求這條腰所在直線SKIPIF