《材料力學(xué)》第七章課件

第七章應(yīng)力和應(yīng)變分析強(qiáng)度理論1精選2021版課件基本要求:1.熟悉應(yīng)力狀態(tài)的概念；2.掌握用解析法和圖解法計(jì)算二向應(yīng)力狀態(tài)下斜截面的應(yīng)力、主應(yīng)力及最大最小切應(yīng)力；3.了解三向應(yīng)力狀態(tài)，會計(jì)算最大切應(yīng)力；4.了解廣義胡克定律；5.會應(yīng)用四種強(qiáng)度理論進(jìn)行復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下構(gòu)件的強(qiáng)度計(jì)算。重點(diǎn)：1.解析法和圖解法計(jì)算二向應(yīng)力狀態(tài)下斜截面的應(yīng)力、主應(yīng)力；2.四種強(qiáng)度理論及其應(yīng)用。難點(diǎn)：1.應(yīng)力狀態(tài)的概念；2.解析法和圖解法；3.強(qiáng)度理論的討論。課時(shí)：8學(xué)時(shí)2精選2021版課件§7.1應(yīng)力狀態(tài)概述§7.2二向和三向應(yīng)力狀態(tài)的實(shí)例§7.3二向應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法§7.4二向應(yīng)力狀態(tài)分析一圖解法§7.5三向應(yīng)力狀態(tài)§7.8廣義胡克定律§7.9復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)變能密度§7.1O強(qiáng)度理論概述§7.11四種常用強(qiáng)度理論第十八章應(yīng)力狀態(tài)理論和強(qiáng)度理論3精選2021版課件§7.1應(yīng)力狀態(tài)概述

一、一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)二、原始單元體三、主單元體、主應(yīng)力4精選2021版課件一、一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)

在前面討論扭轉(zhuǎn)和彎曲時(shí)，我們知道，應(yīng)力在橫截面上各點(diǎn)的分布是不相同的。因此我們有必要研究其上每一點(diǎn)的情況。通過受力構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力隨著所取截面方位的不同而變化。所以有必要研究過一點(diǎn)的所有截面上的應(yīng)力情況。5精選2021版課件等直桿拉伸時(shí)，設(shè)軸向拉力為P，軸橫截面的面積為A。K-K面的正應(yīng)力σα和切應(yīng)力τα:

構(gòu)件受力時(shí)，通過構(gòu)件內(nèi)任一點(diǎn)所作截面上的應(yīng)力，隨著截面的方位改變而改變。因此，為了解決構(gòu)件的強(qiáng)度問題我們必須研究桿件受力后，通過某點(diǎn)不同方位截面的應(yīng)力變化規(guī)律。我們稱，構(gòu)件受力后，通過其內(nèi)某一點(diǎn)的各截面的在該點(diǎn)處的應(yīng)力情況稱為該點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)。橫截面B-B上的應(yīng)力為:6精選2021版課件1.判斷受力構(gòu)件上哪一點(diǎn)、沿哪個(gè)方向的應(yīng)力最大？哪個(gè)點(diǎn)、哪個(gè)方向最危險(xiǎn)？從而解決構(gòu)件在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度計(jì)算提供條件，解決其強(qiáng)度問題。2.解釋變形構(gòu)件的變形現(xiàn)象和破壞原因。3.在彈性力學(xué)、塑性力學(xué)和斷裂力學(xué)等學(xué)科的研究中都要廣泛用到應(yīng)力狀態(tài)理論。要研究一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，通常要圍繞該點(diǎn)截取微小正六面體——單元體。為什么要研究一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)?M7精選2021版課件二、原始單元體如在M點(diǎn)周圍按圖(c)的方式截取單元體，使其和紙面垂直的四個(gè)側(cè)面既不與桿件軸線平行，又不與軸線垂直，均為桿件的斜截面，則四個(gè)側(cè)面上既有正應(yīng)力，又有切應(yīng)力。原始單元體是指其各側(cè)面上的應(yīng)力均已知的單元體。求出原始單元體以直桿拉伸為例，圍繞M點(diǎn)取一單元體，則其應(yīng)力如圖(a)、(b）任一單元體8精選2021版課件又如矩形截面懸臂梁，在梁上邊緣A、B、C點(diǎn)處截取單元體，其原始單元體如圖：C應(yīng)該指出：1.認(rèn)為單元體各面上的應(yīng)力均勻分布；2.認(rèn)為單元體平行面上應(yīng)力的大小和性質(zhì)都是一樣的，任意一對平行側(cè)面上的應(yīng)力代表著通過所研究的點(diǎn)與側(cè)面平行的面上的應(yīng)力。3.單元體處于平衡狀態(tài)。借助于截面法和靜力平衡條件，可求出單元體任何斜截面上的應(yīng)力，從而確定點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，這是研究一點(diǎn)處應(yīng)力狀態(tài)的基本方法。M圖FS圖9精選2021版課件三、主單元體、主應(yīng)力三個(gè)主應(yīng)力皆不為零時(shí)，稱三向應(yīng)力狀態(tài)或空間應(yīng)力狀態(tài)；三個(gè)主應(yīng)力中有二個(gè)不為零,稱二向應(yīng)力狀態(tài)或平面應(yīng)力狀態(tài)；三個(gè)主應(yīng)力中只有一個(gè)不為零，稱單向應(yīng)力狀態(tài)。單向應(yīng)力狀態(tài)稱為簡單應(yīng)力狀態(tài)，二向應(yīng)力狀態(tài)和三向應(yīng)力狀態(tài)統(tǒng)稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。有些情況，單元體上的各側(cè)面都無切應(yīng)力，像這種切應(yīng)力等于零的面稱為主平面。主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力。主平面的法線方向稱為主方向。三對相互垂直的面都是主平面的單元體稱為主單元體。通過受力構(gòu)件的任意點(diǎn)皆可找到三個(gè)相互垂直的主平面，因而每一點(diǎn)都有三個(gè)主應(yīng)力。通常用σ1、σ2、σ3代表該點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力，并以σ1代表代數(shù)值最大的主應(yīng)力，σ3代表代數(shù)值最小的主應(yīng)力，即σ1>σ2>σ3。10精選2021版課件§7.2二向和三向應(yīng)力狀態(tài)的實(shí)例一、二向應(yīng)力狀態(tài)的實(shí)例研究鍋爐或其他圓筒形容器(薄壁圓筒)的應(yīng)力狀態(tài)。若封閉薄壁圓筒所受內(nèi)壓力為p，則沿圓筒軸線作用于筒底的總壓力為F（1）用橫截面截取圓筒右部分為研究對象,F力作用下,計(jì)算橫截面上應(yīng)力σ’,屬于軸向拉伸問題。（2）用相距為l的兩個(gè)橫截面和包含直徑的縱向平面，從圓筒中截取一部分(圖7.2c)。若在筒壁的縱向截面上應(yīng)力為σ”，則內(nèi)力為11精選2021版課件微分面積上，壓力為在y方向的投影為積分求出上述投影總和為

σ’作用的截面就是直桿軸向拉伸的橫截面，沒有切應(yīng)力。又因內(nèi)壓力是軸對稱載荷，所以在σ”作用的縱向截面上也沒有切應(yīng)力。在單元體ABCD的第三個(gè)方向上，有作用于內(nèi)壁的內(nèi)壓力p和作用于外壁的大氣壓力，它們都遠(yuǎn)小于σ’和σ”，可以認(rèn)為等于零，這樣，σ”和σ’皆為主應(yīng)力。該狀態(tài)為二向應(yīng)力狀態(tài)。由平衡方程∑Fy=0，得截出部分在縱向平面上的投影面積lD與p的乘積等于內(nèi)壓力的合力。12精選2021版課件二、三向應(yīng)力狀態(tài)的實(shí)例在滾珠與外圈的接觸面上，有接觸應(yīng)力σ3。由于σ3的作用，單元體將向周圍膨脹，于是引起周圍材料對它的約束應(yīng)力σ2和σ1。所取單元體的三個(gè)相互垂直的面皆為主平面，且三個(gè)主應(yīng)力皆不等于零，于是得到三向應(yīng)力狀態(tài)。在滾珠軸承中，接觸點(diǎn)A處(圖7.3a)，以垂直和平行于壓力F的平面截取單元體，如圖7.3b所示。與此相似，橋式起重機(jī)大梁兩端的滾動輪與軌道的接觸處，火車車輪與鋼軌的接觸處，也都是三向應(yīng)力狀態(tài)。13精選2021版課件例7.1由Q235鋼制成的蒸汽鍋爐。壁厚δ=10mm，內(nèi)徑D=1m(圖7.2)。蒸汽壓力p=3MPa。試計(jì)算鍋爐壁內(nèi)任意點(diǎn)處的三個(gè)主應(yīng)力。按照關(guān)于主應(yīng)力記號的規(guī)定，解：由公式(7.1)和(7.2)，得14精選2021版課件例7.2圓球形容器(圖7.4a)的壁厚為δ，內(nèi)徑為D，內(nèi)壓為p。試求容器壁內(nèi)的應(yīng)力。容器截面上的內(nèi)力為由平衡方程由容器的對稱性，包含直徑的任意截面上皆無切應(yīng)力，且正應(yīng)力都等于由上式算出的σ(圖7．4c)。與σ相比，如再省略半徑方向的應(yīng)力，三個(gè)主應(yīng)力將是這也是一個(gè)二向應(yīng)力狀態(tài)。解：用包含直徑的平面把容器分成兩個(gè)半球，其一如圖7.4b所示。半球上內(nèi)壓力的合力F15精選2021版課件§7.3二向應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法σxτxyσyτyxτxy應(yīng)力所在平面的法線方向應(yīng)力的方向σx研究應(yīng)力狀態(tài)的方法有解析法和圖解法兩種。本節(jié)用解析法討論二向應(yīng)力狀態(tài)下，在已知原始單元體后，如何確定過該點(diǎn)的其它任一截面上的應(yīng)力，并確定主應(yīng)力和主平面。設(shè)一原始單元體如圖示，其上作用著已知的應(yīng)力，x面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力σx和τxy，y面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力σy和τyx(τyx＝-τxy)。應(yīng)力的符號規(guī)定為：正應(yīng)力以拉應(yīng)力為正、壓應(yīng)力為負(fù)；切應(yīng)力對單元體內(nèi)任意點(diǎn)的矩順時(shí)針轉(zhuǎn)向時(shí)為正；反之為負(fù)。應(yīng)力所在平面的法線方向的方向，即其方向16精選2021版課件設(shè)σx、σy、τxy和τyx已知，取任意斜截面ef的方位角α>0，用截面法求ef面上的正應(yīng)力σα和切應(yīng)力τα。一、斜截面上的應(yīng)力1.假想沿截面ef把單元體分成二部分，研究三棱柱aef部分的平衡。設(shè)ef面的面積為dA，則af面和ae面的面積應(yīng)分別是dAsinα和dAcosα。2．列平衡方程：17精選2021版課件3.根據(jù)切應(yīng)力互等定理，τxy＝τyx得：4.利用三角關(guān)系簡化上列二個(gè)平衡方程，最后得：可以求出方位角α為任意值的斜截面ef上的應(yīng)力。18精選2021版課件互相垂直的截面上正應(yīng)力之和為一常數(shù)，切應(yīng)力大小相等、方向相反?，F(xiàn)在我們來看一下兩個(gè)互相垂直截面上應(yīng)力的關(guān)系。令β＝900＋α19精選2021版課件二、主應(yīng)力計(jì)算出的σmax和σmin與0，按σ1>σ2>σ3排序在切應(yīng)力等于零的平面上，正應(yīng)力為最大值或最小值。求主應(yīng)力σmax和σmin。并確定主平面的位置。滿足上式的α0值必有兩個(gè)α0和α0’，它們相差900，確定兩個(gè)互相垂直的平面，其中一個(gè)是最大正應(yīng)力所在平面，另一個(gè)是最小正應(yīng)力所在的平面。求得最大及最小的正應(yīng)力為：此時(shí)τα=0若α=α0時(shí)，20精選2021版課件∴α0和α0’中必有一個(gè)的絕對值小于π/4∵為了判斷σmax和σmin與α0和α0’的對應(yīng)關(guān)系，由σα對α0求二階導(dǎo)數(shù)，可得出：約定σx≥σy，則的角度對應(yīng)σmax。21精選2021版課件若α=α1時(shí)，能使導(dǎo)數(shù)由此得：可以解出兩個(gè)角度α1，它們相差900，從而確定兩個(gè)相互垂直的平面，分別作用著最大和最小切應(yīng)力。即最大和最小切應(yīng)力所在平面與主平面的的夾角為450。三、最大和最小切應(yīng)力求得切應(yīng)力的最大和最小值是：比較α0和α1：22精選2021版課件400MPa25MPax75MPaσ3σ3σ1σ1α0例7.3單元體的應(yīng)力狀態(tài)如圖7.6所示。試求主應(yīng)力并確定主平面的方位。解：按應(yīng)力的符號規(guī)則，選定σx=25MPa，σy=－75MPa，τxy=－40Mpa，2α0=38.66或218.660α0=19.33或109.330

σx＞σy，α0=19.330對應(yīng)σmax所在一主平面

σ1＝39MPa，σ2＝0，σ3＝－89MPa23精選2021版課件例7.4討論圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)，并分析鑄鐵試件受扭時(shí)的破壞現(xiàn)象。在圓軸的最外層M點(diǎn)，取出單元體ABCD，單元體各面上的應(yīng)力如圖所示。這時(shí)，σx=σy=0，τxy=τ此時(shí)為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。所以2α0=-900或-2700,α0=-450或-1350解圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，在橫截面的邊緣處切應(yīng)力最大，即為：τxyCABDσ3σ3σ1σ1450代人公式得：∵σx＝σy，α0=-450對應(yīng)σmax，α0=－1350對應(yīng)σmin。

∴σ1＝σmax＝τ，σ2＝0，σ3＝σmin＝－τ圓截面鑄鐵試件扭轉(zhuǎn)時(shí)，表面各點(diǎn)σmax所在的主平面聯(lián)成傾角為450的螺旋面，由于鑄鐵抗拉強(qiáng)度較低，試件將沿這一螺旋面因拉伸而發(fā)生斷裂破壞。24精選2021版課件σx.＞σyα0=27.50對應(yīng)σmax所在一主平面，α0=-62.50對應(yīng)σmin所在的主平面。xσyτAM圖例7.5已知：一橫力彎曲下的梁，σ＝-70MPa，τ＝50Mpa求：主應(yīng)力及主平面的方位，討論同一橫截面上其它點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)。解σx=0，σy=－70MPa

,τxy=-50MpaAα0=-62.50或27.50σ1＝26MPa，σ2＝0，σ3＝－96MPa其它點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)都可用相同方法進(jìn)行分析。FS圖σ3σ3σ1σ1A27.5025精選2021版課件二向應(yīng)力分析解析法的步驟:1.求原始單元體。求出σx、σy、τxy；2.代入公式求斜截面上的應(yīng)力σα和τα；3.求主應(yīng)力：代入公式求σmax和σmin,排序確定σ1、σ2和σ3，求tg2α0確定主平面對應(yīng)關(guān)系；4.求最大最小切應(yīng)力：代入公式求τmax和τmin。26精選2021版課件一、應(yīng)力圓σα和τα均隨參考變量α變化，這說明σα和τα之間存在一定的函數(shù)關(guān)系。平方并相加圓的方程該圓上任意點(diǎn)的縱橫坐標(biāo)分別代表單元體相應(yīng)截面上的切應(yīng)力τα和正應(yīng)力σα，這個(gè)圓稱為應(yīng)力圓或莫爾圓?！?.4二向應(yīng)力狀態(tài)分析一圖解法27精選2021版課件應(yīng)力圓的作法:點(diǎn)D的坐標(biāo)為(σx,τxy),表示x面上應(yīng)力情況；4.連接DD’交x軸于C點(diǎn)，以C點(diǎn)為圓心，CD為半徑畫圓，即為應(yīng)力圓。2.量取1.畫出Oστ直角坐標(biāo)系,選取適當(dāng)?shù)谋壤撸?.量取點(diǎn)D’的坐標(biāo)為(σy,τyx),表示y面上應(yīng)力情況；

檢驗(yàn)：28精選2021版課件xσx

τyxyτxyσyσ2σ1α0ADσxτxyCD′BσyτyxB1σ2G1G2τmaxτminA1σ1στOE(σα,τα)F2α2α029精選2021版課件求與x軸成α角的ef面上的應(yīng)力?？蓮膽?yīng)力圓上D點(diǎn)起，逆時(shí)針方向沿圓轉(zhuǎn)2α()到E點(diǎn)，則E點(diǎn)的坐標(biāo)就代表ef面上的應(yīng)力。

二、斜截面上的應(yīng)力30精選2021版課件結(jié)論：1.應(yīng)力圓上任一點(diǎn)代表著單元體上某一截面的應(yīng)力；2.應(yīng)力圓上兩點(diǎn)沿圓弧所對的圓心角是單元體上這兩點(diǎn)所對應(yīng)的兩截面夾角的2倍，且轉(zhuǎn)向相同。3．畫應(yīng)力圓的步驟：確定兩點(diǎn)的坐標(biāo)，如以x、y面為法線平面的應(yīng)力，D（σx，τxy），D’（σy,τyx）,以DD’與橫軸的交點(diǎn)C為圓心，以CD為半徑畫圓。31精選2021版課件應(yīng)力圓上A1及B1兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)代表主平面上的主應(yīng)力，則有：三、主應(yīng)力確定主平面的方位角:在應(yīng)力圓上由D點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)角到A1點(diǎn)，α0角就是σ1所在的主平面的法線。同樣，由D’點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)角到B1點(diǎn)，量取α’0角就是σ2所在的另一主平面的法線。在應(yīng)力圓上由A1到B1所對的圓心角為1800，在單元體中，σ1和σ2所在主平面的法線之間的夾角為900。驗(yàn)證：32精選2021版課件三、最大最小切應(yīng)力應(yīng)力圓中G1和G2分別代表最大和最小切應(yīng)力以及它們所在平面的方位角。因?yàn)棣觤ax和τmin的絕對值都等于應(yīng)力圓的半徑在應(yīng)力圓上由A1到G1所對的圓心角為900，則在單元體中，主應(yīng)力σmax所在主平面法線與τmax所在平面法線的夾角為450，σmin與τmin所在平面法線的夾角為-450。驗(yàn)證：33精選2021版課件1.用應(yīng)力圓計(jì)算。得D點(diǎn)（2）求主應(yīng)力大小。A1和B1兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為主應(yīng)力σ1和σ3。σ1＝120MPa，σ2＝0，σ3＝－10MPaD到A1逆時(shí)針，所以在單元體就應(yīng)從x軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)即得主應(yīng)力σl的方向。例7.6

圖所示為從受力構(gòu)件中截取的單元體的應(yīng)力狀態(tài)。求：主應(yīng)力值和主平面位置。y30MPax60MPa80MPaσ3σ133.7020MPaστOADBD’CA1B12α0解用解析法和應(yīng)力圓兩種方法解此題。（1）作Oστ坐標(biāo)系，選定適當(dāng)比例尺.得D’點(diǎn)

連DD’與橫軸相交于C點(diǎn),以C點(diǎn)為圓心,CD’為半徑,畫應(yīng)力圓。（3）求主平面的方位。34精選2021版課件（1）求主應(yīng)力。將σx=80MPa、σy=30MPa、τxy=-60MPa代入公式，可得：

σ1＝120MPa，σ2＝0，σ3＝－10MPa得：α0=33.70，α0’=α0-900=-56.30的角度α0=33.70對應(yīng)σmax，的角度α0’=-56.30對應(yīng)σmin。2．用解析法計(jì)算。（2）求主主平面的位置：

σx>σy，35精選2021版課件（4）求斜截面上的應(yīng)力。從0點(diǎn)按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)1200角，確定E點(diǎn)。量出E點(diǎn)的坐標(biāo)(－30,－17)即為d-e面上的應(yīng)力。

B1

10MPa1200στOE補(bǔ)例7.1

用應(yīng)力圓求單元體在斜截面d-e上的正應(yīng)力及切應(yīng)力。

解（1）作Oστ坐標(biāo)系，選定適當(dāng)比例尺；(2)畫代表x軸為法線的平面應(yīng)力的點(diǎn)O(0,0),以y軸為法線的平面應(yīng)力的點(diǎn)B1(-40,0)；（3）以O(shè)Bl為直徑作圓,即為所需要的應(yīng)力圓；σα=-30MPa，τα=-17.4MPa40MPaxy600σατα

36精選2021版課件σx＝σ，σy＝σ，τxy＝τ例7.7

在橫力彎曲變形中,其應(yīng)力狀態(tài)如圖示。設(shè)α及τ已知求;主應(yīng)力和主平面的方位。解1.解析法。確定主平面的位置。α0τxyσσ3σ137精選2021版課件（1）建立Oστ坐標(biāo)系；從D點(diǎn)轉(zhuǎn)到A1點(diǎn)得2α0角，α0即為σ1與x軸的夾角。2.圖解法。A1B1στOCDστD’τσ1

σ3

2α0（4）求主應(yīng)力：

（3）連DD’交x軸于C，以CD為半徑畫圓，即為應(yīng)力圓；（2）確定兩點(diǎn)坐標(biāo)：D(σ，τ),D’(0，－τ)；38精選2021版課件扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力圓：xτyA1B1στODD’σ1

σ3

2α0=900σ3σ145039精選2021版課件§7.5三向應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)的一般形式是三向應(yīng)力狀態(tài)。三向應(yīng)力狀態(tài)與二向應(yīng)力狀態(tài)類似，也一定能找到主應(yīng)力單元體。書中討論了當(dāng)三個(gè)主應(yīng)力已知時(shí)(圖a)，任意斜截面上應(yīng)力的求法。以任意斜截面ABC從單元體中取出四面體，如圖b示,列平衡方程求出,(教材P227,不作要求)。下面只討論與主應(yīng)力平行的斜截面上的應(yīng)力。40精選2021版課件1.先研究與σ2平行的斜截面dee1d1上的應(yīng)力情況。由于與σ2平行的各斜截面上的應(yīng)力不受σ2的影響，則此截面上的應(yīng)力只與σ1和σ3有關(guān)，單元體上的應(yīng)力狀態(tài)如圖所示（相當(dāng)于俯視圖）。對應(yīng)它的應(yīng)力圓可由主應(yīng)力σ1和σ3畫出，由圓A1A3表示，此圓圓周上各點(diǎn)的坐標(biāo)就代表了單元體上與主應(yīng)力σ2平行的各斜截面上的應(yīng)力。確定三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大正應(yīng)力和切應(yīng)力,可畫出其應(yīng)力圓。如圖所示單元體，設(shè)其主應(yīng)力σ1>σ2>σ3>0。2.同樣畫出應(yīng)力圓A2A3，此圓圓周上各點(diǎn)的坐標(biāo)代表了單元體上與主應(yīng)力σ1平行的各斜截面上的應(yīng)力。3.畫出應(yīng)力圓A1A2，此圓圓周上各點(diǎn)的坐標(biāo)代表了單元體上與主應(yīng)力σ3平行的各斜截面上的應(yīng)力。41精選2021版課件σ1σ2σ3σ1σ2σ3d1e1deσ3σ1σ1σ3σ1σ1σ2σ2σ2σ2σ3σ3στOσ2A2

σ3A3

F1

F2

A1

τmaxτmin與σ1、σ2、σ3三個(gè)主應(yīng)力方向平行的斜截面的應(yīng)力由應(yīng)力圓上的點(diǎn)表示，與三個(gè)主應(yīng)力方向均不平行的斜截面上的應(yīng)力由陰影范圍內(nèi)的點(diǎn)表示。σmax=σ1σmin=σ3最大最小切應(yīng)力最大最小正應(yīng)力σ142精選2021版課件如將二向應(yīng)力狀態(tài)視為三向應(yīng)力狀態(tài)的特殊情況，當(dāng)σ1>σ2>0，σ3=0時(shí)由式（7.9）得事實(shí)上只考慮了平行于σ3的各平面上切應(yīng)力的最大值，但放到整個(gè)單元體看應(yīng)是說明：如例7.143精選2021版課件§7.8廣義胡克定律從軸向拉伸（或壓縮），即在單向應(yīng)力作用下，我們知道，在彈性范圍內(nèi)，縱向應(yīng)變與應(yīng)力成正比，（胡克定律）為：

一、應(yīng)力應(yīng)變的關(guān)系——廣義胡克定律

在純剪切狀態(tài)，在彈性范圍時(shí)，切應(yīng)變和切應(yīng)力間的關(guān)系為：44精選2021版課件在三向應(yīng)力狀態(tài)下，單元體受到主應(yīng)力σx、σy、σz的作用。在σx作用下，單元體沿三個(gè)方向的線應(yīng)變：在σy作用下，沿三個(gè)方向的線應(yīng)變在σz作用下，沿三個(gè)方向的線應(yīng)變當(dāng)主應(yīng)力σx、σy、σz同時(shí)作用時(shí)：45精選2021版課件對于各向同性材料，當(dāng)變形很小且在線彈性范圍內(nèi)時(shí)，正應(yīng)力不會引起剪應(yīng)變，切應(yīng)力也不會引起線應(yīng)變，所以廣義胡克定律也適用于單元體上同時(shí)有正應(yīng)力和切應(yīng)力作用的情形.廣義胡克定律切應(yīng)變和切應(yīng)力間的關(guān)系與正應(yīng)力分量無關(guān)，在xy、yz、zx三個(gè)面的切應(yīng)變分別為：廣義胡克定律46精選2021版課件當(dāng)單元體的六個(gè)面皆為主平面時(shí)，使x，y，z的方向分別與σ1、σ2、σ3的方向一致。這時(shí)廣義胡克定律化為

47精選2021版課件二、體積變化與應(yīng)力關(guān)系——體積胡克定律變形后單元體的三個(gè)棱邊分別為變形后的體積變?yōu)檎归_上式，并略去含有高階微量單位體積的體積改變?yōu)棣确Q為體應(yīng)變

設(shè)圖示單元體為主單元體，邊長分別是dx，dy和dz。變形前單元體的體積為體積胡克定律48精選2021版課件體積胡克定律K稱為體積彈性模量，σm是三個(gè)主應(yīng)力的平均值。說明:單位體積的體積改變θ只與三個(gè)主應(yīng)力之和有關(guān)，至于三個(gè)主應(yīng)力之間的比例，對θ并無影響。所以，無論是作用三個(gè)不相等的主應(yīng)力，或是代以它們的平均應(yīng)力σm。，單位體積的體積改變?nèi)匀皇窍嗤?。公?7.22)還表明，體應(yīng)變θ與平均應(yīng)力σm成正比，此即體積胡克定律。49精選2021版課件補(bǔ)例7.2已知:二向應(yīng)力狀態(tài)，主應(yīng)力σ1≠0、σ2≠0、σ3=0，主應(yīng)變ε1=1.7×10-4。ε2=0.4×10-4，泊松比μ=0.3。求:主應(yīng)變ε3。解由廣義胡克定律：(a)+(b)，令σ3=0，可得：得：再把上式代入(3)得：代入已知數(shù)值50精選2021版課件zyx例7.9已知:直徑為5.001cm的凹座鋼放置一個(gè)直徑為5cm的鋼制圓柱，受到軸向壓力P=300kN,鋼塊不變形，E=200GPa，μ=0.3。求:圓柱的主應(yīng)力。解如圖取單元體為三向應(yīng)力狀態(tài)。（2）求另外兩個(gè)主應(yīng)力,徑向應(yīng)力σx和周向應(yīng)力σy。由廣義胡克定律得主應(yīng)力為：σ1＝σ2＝σx＝－8.43MPa，σ3＝－153MPa（1）在圓柱體橫截面上的壓應(yīng)力為：51精選2021版課件§7.9復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)變能密度單向拉伸或壓縮時(shí)，應(yīng)力σ和應(yīng)變ε的關(guān)系是線性的，得到應(yīng)變能密度的計(jì)算公式為在三向應(yīng)力狀態(tài)下，彈性體應(yīng)變能與外力作功在數(shù)值上仍然相等。并只決定于外力和變形的最終數(shù)值，而與加力的次序無關(guān)。假定應(yīng)力按比例同時(shí)從零增加到最終值，在線彈性的情況下，每一主應(yīng)力與相應(yīng)的主應(yīng)變之間仍保持線性關(guān)系，于是三向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度是把廣義胡克代人上式，整理后得出52精選2021版課件設(shè)三個(gè)棱邊相等的正立方單元體的三個(gè)主應(yīng)力不相等，分別為σ1，σ2，σ3相應(yīng)的主應(yīng)變?yōu)棣?，ε2，ε3，單位體積的改變?yōu)棣取Ｓ捎讦?，ε2，ε3不相等，立方單元體三個(gè)棱邊的變形不同，它將由立方體變?yōu)殚L方體。因此，應(yīng)變能密度vε也被認(rèn)為由兩部分組成：(1)因體積變化而儲存的應(yīng)變能密度vV。體積變化是指單元體的棱邊變形相等，變形后仍為正方體，只是體積發(fā)生變化的情況。vε稱為體積改變能密度。(2)體積不變，但由正方體改變?yōu)殚L方體而儲存的應(yīng)變能密度vd。vd稱為畸變能密度。變形能體積改變能密度畸變能密度應(yīng)變能密度單位體積53精選2021版課件代替三個(gè)主應(yīng)力，單位體積的改變θ與σ1，σ2，σ3作用時(shí)仍然相等。但以σω代替原來的主應(yīng)力后，由于三個(gè)棱邊的變形相同，所以只有體積變化而形狀不變。因而這種情況下的應(yīng)變能密度也就是體積改變能密度vV。由廣義胡克定律根據(jù)上節(jié)的討論，若在單元體上以平均應(yīng)力畸變能密度54精選2021版課件

例7.10導(dǎo)出各向同性線彈性材料的彈性常數(shù)E，G，μ間的關(guān)系。按照例7.3的分析，純剪切的主應(yīng)力是：把主應(yīng)力代人公式又可算出應(yīng)變能密度為:解：純剪切(圖7.22)的應(yīng)變能密度已于§3.3中求出為55精選2021版課件§7.10

強(qiáng)度理論概述桿件受軸向拉伸(壓縮)時(shí)的強(qiáng)度條件為：復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下單元體的三個(gè)主應(yīng)力σ1、σ2、σ3可以具有任意比值，在某一比值下測出的極限應(yīng)力，對于其它比值一般是不適合的。因此，不能再采用實(shí)驗(yàn)的方法。極限應(yīng)力σ0由試驗(yàn)測得,σs和σb分別為塑性和脆性的失效應(yīng)力。即其強(qiáng)度條件是直接通過試驗(yàn)建立。復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，如何建立強(qiáng)度條件？能否通過試驗(yàn)建立？不同材料在相同應(yīng)力狀態(tài)下有不同的失效形式，同一材料在不同的應(yīng)力狀態(tài)失效形式也不相同。56精選2021版課件為了解決這一問題，我們先對材料的失效現(xiàn)象進(jìn)行分析，研究其不同的失效形式，提出各種假說。各種假說認(rèn)為，材料之所以按某種形式失效，是應(yīng)力、應(yīng)變或畸變能密度等引起的，和應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)，提出一些假說，建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件。這些假設(shè)稱為強(qiáng)度理論。57精選2021版課件

1.屈服（流動）：是指材料由于出現(xiàn)屈服現(xiàn)象或發(fā)生顯著塑性變形而產(chǎn)生的破壞。例如低碳鋼拉伸時(shí)出現(xiàn)屈服現(xiàn)象，此時(shí)晶格沿最大切應(yīng)力平面發(fā)生滑移。灰鑄鐵在三向壓縮時(shí)也會產(chǎn)生屈服破壞。

2.斷裂：

（1）脆性斷裂：指不出現(xiàn)顯著塑性變形的斷裂破壞。例如，鑄鐵的單向拉伸，扭轉(zhuǎn)時(shí)沿450方向的螺旋線拉斷，另外，象碳鋼這類的塑性材料，如受到三向拉應(yīng)力，也會發(fā)生脆性斷裂。

（2）韌性斷裂：指有顯著塑性變形的斷裂破壞。

所以，材料力學(xué)中主要的失效形式有屈服和脆性斷裂兩種。失效形式：58精選2021版課件§7.11四種常用強(qiáng)度理論建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件，即強(qiáng)度理論。必須經(jīng)過實(shí)驗(yàn)或生產(chǎn)實(shí)踐的檢驗(yàn)。這里介紹在常溫、靜載條件下經(jīng)常使用的四種強(qiáng)度理論，另外，還有莫爾理論等?，F(xiàn)在我們依次介紹如下:最大拉應(yīng)力理論最大拉應(yīng)變理論最大切應(yīng)力理論畸變能密度理論59精選2021版課件這個(gè)理論是最古老的理論，是十七世紀(jì)，伽里略提出的，認(rèn)為材料是脆性斷裂破壞，引起的的主要因素是最大拉應(yīng)力。強(qiáng)度條件為：實(shí)驗(yàn)指出，脆性材料在二向拉伸應(yīng)力狀態(tài)，或二向拉壓應(yīng)力狀態(tài)，且拉應(yīng)力較大的情況下，這個(gè)理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本符合。因此，這個(gè)理論可用于以拉應(yīng)力為主的脆性材料。顯然，這個(gè)理論沒有考慮其它兩個(gè)主應(yīng)力的影響，是不夠全面的。一、最大拉應(yīng)力理論第一強(qiáng)度理論斷裂準(zhǔn)則為：60精選2021版課件這一理論，是十七世紀(jì)末，馬里奧特提出的，他是根據(jù)脆性材料的斷裂現(xiàn)象提出的。認(rèn)為，材料是脆性斷裂破壞，引起的的主要因素是最大拉應(yīng)變。強(qiáng)度條件為：實(shí)驗(yàn)證明，對于脆性材料在二向壓縮應(yīng)力狀態(tài)，或二向拉壓應(yīng)力狀態(tài)，且壓應(yīng)力較大的情況下，這個(gè)理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本符合。因此，這個(gè)理論可用于以壓應(yīng)力為主的脆性材料。顯然，按照這個(gè)理論，材料在二向或三向受拉時(shí)，要比單向受拉時(shí)安全，但試驗(yàn)并不說明這一點(diǎn)。二、最大拉應(yīng)變理論第二強(qiáng)度理論斷裂準(zhǔn)則為：61精選2021版課件這一理論認(rèn)為，材料是屈服破壞，其主要因素是最大切應(yīng)力。在軸向拉伸時(shí)，橫截面上的拉應(yīng)力達(dá)到極限應(yīng)力σs時(shí)屈服準(zhǔn)則(又稱屈雷斯加屈服條件)為：強(qiáng)度條件為：試驗(yàn)表明，這一理論能較好符合塑性材料，但是它未考慮到主應(yīng)力σ2對材料屈服的影響。三、最大切應(yīng)力理論第三強(qiáng)度理論在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下τmax=τ062精選2021版課件畸變能密度的表達(dá)式為：畸變能密度理論認(rèn)為：材料的失效是屈服破壞，引起破壞的主要因素是畸變能密度。在軸向拉伸下，應(yīng)力達(dá)到極限應(yīng)力σs時(shí)，發(fā)生塑性屈服。屈服準(zhǔn)則（米賽斯屈服條件）為：強(qiáng)度條件為：試驗(yàn)表明，對于塑性材料，第四強(qiáng)度理論比第三強(qiáng)度理論更符合試驗(yàn)結(jié)果。四、畸變能密度理論第四強(qiáng)度理論63精選2021版課件上述四種理論的強(qiáng)度條件可以寫成如下統(tǒng)一的形式：式中σr稱為相當(dāng)應(yīng)力，各種強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力分別為：64精選2021版課件1.在三向拉伸應(yīng)力狀態(tài)下,(塑性材料也發(fā)生斷裂破壞),因此,無論塑性材料，還是脆性材料都采用的第一強(qiáng)度理論；2.在三向壓縮應(yīng)力狀態(tài)下,(脆性材料也發(fā)生屈服破壞),因此,無論塑性材料,還是脆性材料都采用的第三或第四強(qiáng)度理論；3.對脆性材料，在二向拉伸應(yīng)力狀態(tài)情況下，以及在二向拉-壓應(yīng)力狀態(tài)且拉應(yīng)力較大的情況下，采用第一強(qiáng)度理論；而在二向拉壓應(yīng)力狀態(tài)且壓應(yīng)力值較大的情況下，采用第二強(qiáng)度理論；4.一般塑性材料，除三向拉伸應(yīng)力狀態(tài)外，發(fā)生屈服破壞，采用第三或第四強(qiáng)度理論，前者計(jì)算公式比較簡單，但結(jié)果保守，后者比較精確。五、強(qiáng)度理論討論在一般情況下，根據(jù)材料選擇相應(yīng)的強(qiáng)度條件的。對塑性材料，多發(fā)生屈服破壞，采用最大切應(yīng)力理論或形狀畸變能密度理論；對脆性材料，多發(fā)生脆性斷裂破壞，通常采用最大拉應(yīng)力理論和最大拉應(yīng)變理論。具體情況討論如下：65精選2021版課件在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，對構(gòu)件進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算，其基本步驟如下：1．從構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)處截取單元體，求主應(yīng)力σ1、σ2、σ3；2．選用適當(dāng)?shù)膹?qiáng)度理論，算出相當(dāng)應(yīng)力σr；3．選定材料的許用應(yīng)力[σ]；4．建立強(qiáng)度條件，對構(gòu)件進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。六、強(qiáng)度計(jì)算步驟66精選2021版課件補(bǔ)例7.3有一鑄鐵構(gòu)件，危險(xiǎn)點(diǎn)處單元體如圖所示，其上的應(yīng)力σx=30MPa，σy=0，τxy=20MPa。已知材料的許用拉應(yīng)力[σl]=45MPa，許用壓應(yīng)力[σy]=160MPa試校核其強(qiáng)度。主應(yīng)力σ1=40M