概率與統(tǒng)計(jì)-2021年高考數(shù)學(xué)（理）大題精做

精做03概率與統(tǒng)計(jì)

一、概率

（一）古典概型

[例1]1.（2021?江西上饒市?高三一模（理））上饒市正在創(chuàng)建全國(guó)文明城市，我們簡(jiǎn)稱創(chuàng)文.

全國(guó)文明城市是極具價(jià)值的無(wú)形資產(chǎn)和重要城市品牌.創(chuàng)文期間，將有創(chuàng)文檢查人員到學(xué)校隨機(jī)找

學(xué)生進(jìn)行提問(wèn)，被提問(wèn)者之間回答問(wèn)題相互獨(dú)立、互不影響.對(duì)每位學(xué)生提問(wèn)時(shí)，創(chuàng)文檢查人員將

從規(guī)定的5個(gè)問(wèn)題中隨機(jī)抽取2個(gè)問(wèn)題進(jìn)行提問(wèn).某日，創(chuàng)文檢查人員來(lái)到/校，隨機(jī)找了三名同

學(xué)甲、乙、丙進(jìn)行提問(wèn)，其中甲只能答對(duì)這規(guī)定5個(gè)問(wèn)題中的3個(gè)，乙能答對(duì)其中的4個(gè)，而丙能

全部答對(duì)這5個(gè)問(wèn)題.計(jì)一個(gè)問(wèn)題答對(duì)加10分，答錯(cuò)不扣分，最終三人得分相加，滿分60分，達(dá)

到50分以上（含50分）時(shí)該學(xué)校為優(yōu)秀.

（1）求甲、乙兩位同學(xué)共答對(duì)2個(gè)問(wèn)題的概率;

（2）設(shè)隨機(jī)變量*表示甲、乙、丙三位同學(xué)共答對(duì)的問(wèn)題總數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望，并

求出/校為優(yōu)秀的概率.

【詳解】

（1）記''甲、乙兩位同學(xué)共答對(duì)2題”為事件力,則

（C"10

（2）由題意可知隨機(jī)變量*的可能取值為3、4、5、6.

2

(C5)25

、，v3

P(X=4)=P(M)3

P(X=5)=

25

=9

P(X=6)=

(*

所以，隨機(jī)變量x的分布列如下表所示:

X3456

13129

P

25102550

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為

312924

E￥=3x—4x—+5x—+6x—=—

25+1025505

12Q33

力校為優(yōu)秀的概率夕（萬(wàn)=5）+尸（丫=6）吟+巳畸

及對(duì)策略

利用古典概型求事件A的概率，關(guān)鍵是要分清基本事件總數(shù)〃與事件力包含的基本事件數(shù)

加如果基本事件的個(gè)數(shù)比較少，可用列舉法把古典概型試驗(yàn)所含的基本事件一一列舉出來(lái),

然后再求出事件力中的基本事件數(shù)，利用公式=?求出事件4的概率，注意列舉時(shí)必

須按照某一順序做到不重不漏；如果基本事件個(gè)數(shù)比較多，列舉有一定困難時(shí)，也可借助

兩個(gè)計(jì)數(shù)原理及排列組合知識(shí)直接計(jì)算勿，n,再運(yùn)用公式尸（用=?求概率.

2.對(duì)于復(fù)雜概率的計(jì)算一般要先設(shè)出事件，準(zhǔn)確地確定事件的性質(zhì)，常見(jiàn)的處理方法有：

①轉(zhuǎn)化為幾個(gè)互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式求解；

②采用間接法，先求事件力的對(duì)立事件n的概率，再由小用=1—0（可）求事件/的概率.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】（2021?安徽安慶市?高三一模（理））某商超為慶祝店慶十周年，準(zhǔn)備舉辦一次有

獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，若顧客一次消費(fèi)達(dá)到400元，則可參加一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，主辦方設(shè)計(jì)了兩種抽獎(jiǎng)方案：

方案①：一個(gè)不透明的盤(pán)子中裝有12個(gè)質(zhì)地均勻且大小相同的小球，其中3個(gè)紅球，9個(gè)白球，

攪拌均勻后，顧客從中隨機(jī)抽取一個(gè)球，若抽到紅球則顧客獲得80元的返金券，若抽到白球則獲

得20元的返金券，且顧客有放回地抽取3次.方案②：一個(gè)不透明的盒子中裝有12個(gè)質(zhì)地均勻且

大小相同的小球，其中3個(gè)紅球，9個(gè)白球，攪拌均勻后，顧客從中隨機(jī)抽取一個(gè)球，若抽到紅球

則顧客獲得100元的返金券，若抽到白球則未中獎(jiǎng)，且顧客有放回地抽取3

（1）現(xiàn)有一位顧客消費(fèi)了420元，獲得一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，試求這位顧客獲得180元返金券的概率；

（2）如果某顧客獲得一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).那么他選擇哪種方案更劃算.

【詳解】

（1）在一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)的情況下，要想獲得180元返金券，只能選擇方案一，且摸到兩次紅球，一

次白球，而每一次摸到紅球的概率為P=3=1.

124

設(shè)“這位顧客獲得180元返金券”為事件A,則P(/)=G翡)9

64

故這位顧客均獲得180元返金券的概率二.

64

(2)若選擇抽獎(jiǎng)方案①，則每一次摸到紅球的概率為工1，每一次摸到白球的概率為士3.設(shè)獲得返

44

金券金額為X元，則才可能的取值為60,120,180,240.

小=儂)囑吟,3240)=0'*.

所以選擇抽獎(jiǎng)方案①，該顧客獲得返金券金額的數(shù)學(xué)期望為

27279I_

E(A,)=60x—+J20x—+180x—+240x—=105阮)

64646464

若選擇抽獎(jiǎng)方案②，設(shè)三次摸球的過(guò)程中，摸到紅球的次數(shù)為K,最終獲得返金券的金額為Z元,

則丫?故E(Y)=3x；=：.

選擇方案②，該顧客獲得返金券金額的數(shù)學(xué)期望為E(Z)=E(1OOY)=IOOX3=75(元)

4

從而有E(X)>￡(Z),所以應(yīng)選擇方案①更劃算.

(二)相互獨(dú)立事件的概率

[例2](2021?全國(guó)高三其他模擬)受新冠肺炎疫情的影響，2020年一些企業(yè)改變了針對(duì)應(yīng)屆畢

業(yè)生的校園招聘方式,將線下招聘改為線上招聘.某世界五百?gòu)?qiáng)企業(yè)M的線上招聘方式分資料初審

、筆試、面試這三個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行，資料初審?fù)ㄟ^(guò)后才能進(jìn)行筆試，筆試合格后才能參加面試，面試合格

后便正式錄取，且這幾個(gè)環(huán)節(jié)能否通過(guò)相互獨(dú)立.現(xiàn)有甲、乙、丙三名大學(xué)生報(bào)名參加了企業(yè)M的線

上招聘，并均已通過(guò)了資料初審環(huán)節(jié).假設(shè)甲通過(guò)筆試、面試的概率分別為工，1:乙通過(guò)筆試、

23

面試的概事分別為2,丙通過(guò)筆試、面試的概率與乙相同.

32

(1)求甲、乙、丙三人中恰有一人被企業(yè)A/正式錄取的概率；

(2)求甲、乙、丙三人中至少有一人被企業(yè)時(shí)正式錄取的概率；

(3)為鼓勵(lì)優(yōu)秀大學(xué)生積極參與企業(yè)的招聘工作，企業(yè)M決定給報(bào)名參加應(yīng)聘且通過(guò)資料初審的

大學(xué)生一定的補(bǔ)貼，補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)如下表：

參與環(huán)節(jié)筆試面試

補(bǔ)貼（元）100200

記甲、乙、丙三人獲得的所有補(bǔ)貼之和為X元，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【詳解】

（1）設(shè)事件才表示“甲被企業(yè)A/正式錄取”，事件8表示“乙被企業(yè)村正式錄取”，事件。表

示“丙被企業(yè)A/正式錄取”，

則尸（/0=!x：=!’p（fl）=p（c）=|xi=i,

所以甲、乙、丙三人中恰有一人被企業(yè)〃正式錄取的概率

=P（ABC+ABC+ABC）=P（y4）P（5）P（C）+P{A}P（B）-P（C）+P（1）P（5）P（C）

卜2"U卜遇?

（2）設(shè)事件。表示“甲、乙、丙三人都沒(méi)有被企業(yè)“正式錄取”,

則P（0=P（啊=明咽喉）=捫舁

所以甲、乙、丙三人中至少有一人被企業(yè)M正式錄取的概率4=1-P（D）=1-^27

"27,

(3)%的所有可能取值為300,500,700,900,

P(X=3OO)=-x-x-=—,

、723318

P(X=500)=-x—x-+2x-x-x—=—

iJ23323318

I211224

P(X=700)=2x-x二x-+—x二x—=一,

'2332339

、1222

P(X=900)=-x—x—=—.

2339

所以X的分布列為

X300500700900

1542

P

18IS99

￡(X)=3(M)x^+5420000

5OOx—+700X-4-900X-=--

18993

反對(duì)策略

（1）對(duì)于復(fù)雜概率的計(jì)算一般要先設(shè)出事件，準(zhǔn)確地確定事件的性質(zhì)，把問(wèn)題化歸為古典

概型、互斥事件、獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)四類事件中的某一種；其次判斷事件是A+B

還是力8事件，確定事件至少有一個(gè)發(fā)生，還是同時(shí)發(fā)生，分別運(yùn)用相加或相乘事件公式；

最后選用相應(yīng)的求古典概型、互斥事件、條件概率、獨(dú)立事件、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率

公式求解.

（2）較為復(fù)雜的概率問(wèn)題的處理方法有：

①轉(zhuǎn)化為幾個(gè)互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式求解；

②采用間接法，先求事件力的對(duì)立事件,的概率，再由產(chǎn)（4）=1—以可）求事件/的概率.

⑶條件概率的求法

①利用定義，分別求出人力），得以血4）=與等；

⑵借助古典概型概率公式，先求事件力包含的基本事件數(shù)〃（⑷，再在事件/發(fā)生的條件下

求事件6包含的基本事件數(shù)成A步,即P{B\A）=〃（"）.

n\A）

③為了求一些復(fù)雜事件的條件概率，往往可以先把它分解為兩個(gè)（或若干個(gè)）互斥事件的和,

利用公式尸（6UC|4）=P（8啰+狄。⑷進(jìn)行計(jì)算，其中6,C互斥.

⑷理解事件中常見(jiàn)詞語(yǔ)的含義：

①46中至少有一個(gè)發(fā)生的事件為/U6；

②/,6都發(fā)生的事件為/6；

③46都不發(fā)生的事件為商；

④46恰有一個(gè)發(fā)生的事件為4萬(wàn)U78；

⑤46至多一個(gè)發(fā)生的事件為而彳豆

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】（2021?內(nèi)蒙古包頭市?高三期末（理））某公司向市場(chǎng)投放三種新型產(chǎn)品，經(jīng)調(diào)查

發(fā)現(xiàn)第一種產(chǎn)品受歡迎的概率為士，第二、第三種產(chǎn)品受歡迎的概率分別為P，q（p>q），且不

同種產(chǎn)品是否受歡迎相互獨(dú)立，記S為公司向市場(chǎng)投放三種新型產(chǎn)品受歡迎的數(shù)量，其分布列為:

40123

1

Pab

205

（1）求該公司至少有一種產(chǎn)品受歡迎的概率;

（2）求P,i/的值；

（3）求數(shù)學(xué)期望￡傳）.

【詳解】

(1)設(shè)事件4表示“該公司第i種產(chǎn)品受歡迎"，/=!，2,3.

由題意可知p(4)=。，P(4)=P，=

4

由于事件“該公司至少有一種產(chǎn)品受歡迎”與事件“《=()”是對(duì)立的，所以該公司至少有一種產(chǎn)

,、1io

品受歡迎的概率是

(2)由題意可知,尸(<=0)=P(444)=；(l-〃=

.、3

且尸（f=3）=P（444）=]pq=w，

43

41622

所以整理得，pq唾,且p+q=f,結(jié)合〃＞夕解得p=j,q=g

（3）由題意可知，。=?（歲=1）=「（4不4）+「（彳4彳）+?（而43）

3,一I,、1,

=7（"戶）（1-9）+7。（1-9）+7。一09

444

313123112

=-X—X—+—X—X—+—X—X—

435435435

17

=--，

60

6==2)=1-=0)-P傳=1)-產(chǎn)償=3)

.117I

20605

7

=--，

15

因此，E6=0xP(g=0)+lxP(S=l)+2xP(S=2)+3xP(J=3)

八，17、7,I

=0+lx—+2x—+3x—

60155

=-1-0--9.

60

二、隨機(jī)變量的分布列、期望與方差

(一)隨機(jī)變量的分布列

【例3】(2021?遼寧高三一模(理))據(jù)調(diào)查，目前對(duì)于已經(jīng)近視的小學(xué)生，有兩種配戴眼鏡的選

擇，一種是佩戴傳統(tǒng)的框架眼鏡；另一種是佩戴角膜塑形鏡，這種眼鏡是晚上睡覺(jué)時(shí)佩戴的一種特

殊的隱形眼鏡(因其在一定程度上可以減緩近視的發(fā)展速度越來(lái)越多的小學(xué)生家長(zhǎng)選擇角膜塑形鏡

控制孩子的近視發(fā)展)，A市從該地區(qū)小學(xué)生中隨機(jī)抽取容量為100的樣本，其中因近視佩戴眼鏡

的有24人(其中佩戴角膜塑形鏡的有8人，其中2名是男生，6名是女生).

(1)若從樣本中選一位學(xué)生，已知這位小學(xué)生戴眼鏡，那么，他戴的是角膜塑形鏡的概率是多大？

(2)從這8名戴角膜塑形鏡的學(xué)生中，選出3個(gè)人，求其中男生人數(shù)X的分布列；

(3)若將樣本的頻率當(dāng)做估計(jì)總體的概率，請(qǐng)問(wèn)，從A市的小學(xué)生中，隨機(jī)選出20位小學(xué)生，求

佩戴角膜塑形鏡的人數(shù)丫的期望和方差.

【詳解】

解：(1)根據(jù)題中樣本數(shù)據(jù)，設(shè)“這位小學(xué)生佩戴眼鏡”為事件4則。(/)=2±=0.24,

100

“這位小學(xué)生佩戴的眼鏡是角膜塑形鏡”為事件8,則“這位小學(xué)生佩戴眼鏡，且眼鏡是角膜塑形

鏡”為事件，WJP(AB)=—=0.08,

故所求的概率為：。(8|4)=￡四=2"=1,

P(A)0.243

所以從樣本中選一位學(xué)生，已知這位小學(xué)生戴眼鏡，則他戴的是角膜塑形鏡的概率是!；

3

(2)依題意，佩戴角膜塑形鏡的有8人，其中2名是男生，6名是女生，故從中抽3人，男生人數(shù)

才的所有可能取值分別為0,1,2,

6x5x4

其中：p(x=o)=^i=-；

'>c；8x7x65614

6

,6x_5

P(%=|)=C^=iL2_=30=15

I)C；8x7x65628

6

叱c、CjC'663

''Cg8x7x65628-

6

所以男生人數(shù)X的分布列為:

X012

5153

P

142828

(3)由已知可得：y?8(20,0.08)

則：E(y)=/jxp=20x0.08=1.6,。⑺=印(1-0)=20x0.08x0.92=1.472

所以佩戴角膜塑形鏡的人數(shù)丫的期望是1.6,方差是1.472.

反對(duì)策略

(1)求解隨機(jī)變量分布列的基本步驟如下：

①明確隨機(jī)變量的可能取值，并確定隨機(jī)變量服從何種概率分布；

②求出每一個(gè)隨機(jī)變量取值的概率；

③列成表格，對(duì)于抽樣問(wèn)題，要特別注意放回與不放回的區(qū)別，一般地，不放回抽樣由排列、組合

數(shù)公式求隨機(jī)變量在不同取值下的概率，放回抽樣由分步乘法計(jì)數(shù)原理求隨機(jī)變量在不同取值下的

概率.

⑵獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是指在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行的、各次之間相互獨(dú)立的一種試驗(yàn)，在這

種試驗(yàn)中每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，即要么發(fā)生、要么不發(fā)生，且任何一次試驗(yàn)中事件發(fā)

生的概率都是一樣的.在相同條件下重復(fù)做的〃次試驗(yàn)稱為〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，若4(7=1,

2,…，力是第7次試驗(yàn)的結(jié)果，則。(44…4)=2(4)夕⑷…夕(4).

(3)二項(xiàng)分布是概率論中最重要的幾種分布之一，在實(shí)際應(yīng)用和理論分析中都有重要的地位.

①判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，關(guān)鍵有二：其一是獨(dú)立性，即一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生與不

發(fā)生二者必居其一；其二是重復(fù)性，即試驗(yàn)是獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行了〃次.

②對(duì)于二項(xiàng)分布，如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是0,那么在〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件

恰好發(fā)生4次的概率是=其中4=0,1,…，n,q=l-p.

隨機(jī)變量才服從二項(xiàng)分布，記為「庾)，p).E(X)=叩,D(X)=np("p).

(4)在含有財(cái)件次品的N件產(chǎn)品中，任取A件，其中恰有4件次品，則事件｛才=4｝發(fā)生的

概率為2(才=幻=羋骯乂4=0,1,2,…，m,其中m=加〃｛必，n\,且恒N,n,

M,NGN,稱分布列為超幾何分布列.記為材，A).此時(shí)有E(X)=等.超幾何分

布描述的是不放回抽樣問(wèn)題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù).超幾何分布的特征是:

①考查對(duì)象分兩類；②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查某類個(gè)體個(gè)數(shù)

才的概率分布，超兒何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實(shí)質(zhì)是

古典概型.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3]（2021?陜西榆林市?高三二模（理））2020年底某網(wǎng)購(gòu)公司為了解會(huì)員對(duì)售后服

務(wù)（包括退貨、換貨、維修等）的滿意度，從2020年下半年的會(huì)員中隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)會(huì)員，得

到會(huì)員對(duì)售后服務(wù)滿意度評(píng)分的雷達(dá)圖如圖所示.規(guī)定評(píng)分不低于80分為滿意，否則為不滿意.

（1）求這20個(gè)會(huì)員對(duì)售后服務(wù)滿意的頻率；

（2）以（1）中的頻率作為所有會(huì)員對(duì)該公司售后服務(wù)滿意的概率，假設(shè)每個(gè)會(huì)員的評(píng)價(jià)結(jié)果相互

獨(dú)立，現(xiàn)從下半年的所有會(huì)員中隨機(jī)選取3個(gè)會(huì)員.

（7）求只有1個(gè)會(huì)員對(duì)售后服務(wù)不滿意的概率；

（7/）記這3個(gè)會(huì)員中對(duì)售后服務(wù)滿意的會(huì)員的個(gè)數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望與標(biāo)準(zhǔn)差（標(biāo)準(zhǔn)差的

結(jié)果精確到0.1）.

【詳解】

（1）由雷達(dá)圖可知，這20個(gè)會(huì)員對(duì)售后服務(wù)滿意的頻率為匕=0.7；

20

（2）（7）設(shè)只有1個(gè)會(huì)員對(duì)售后服務(wù)不滿意的事件A，則P（J）=C>0.3X0.72=0.44I；

（H）因?yàn)閄?8（3,0.7）,所以E￥=3x0.7=2.l，￡>X=3x0.7x0.3=0.63，757^0.8.

（二）期望與方差的應(yīng)用

【例4】（2020?江西吉安市?高三其他模擬（理））面對(duì)環(huán)境污染，黨和政府高度重視，各級(jí)環(huán)保

部門(mén)制定了嚴(yán)格措施治理污染，同時(shí)宣傳部門(mén)加大保護(hù)環(huán)境的宣傳力度，因此綠色低碳出行越來(lái)越

成為市民的共識(shí)，為此吉安市在吉州區(qū)建立了公共自行車(chē)服務(wù)系統(tǒng)，市民憑本人二代身份證到公共

自行車(chē)服務(wù)中心辦理誠(chéng)信借車(chē)卡，初次辦卡時(shí)卡內(nèi)預(yù)先贈(zèng)送20分，當(dāng)誠(chéng)信積分為。時(shí)，借車(chē)卡自

動(dòng)鎖定，限制借車(chē)，用戶應(yīng)持卡到公共自行車(chē)服務(wù)中心以1元購(gòu)1個(gè)積分的形式再次激活該卡，為

了鼓勵(lì)市民租用公共自行車(chē)出行，同時(shí)督促市民盡快還車(chē)，方便更多的市民使用，公共自行車(chē)按每

車(chē)每次的租用時(shí)間進(jìn)行扣分繳費(fèi)，具體扣分標(biāo)準(zhǔn)如下：①租用時(shí)間不超過(guò)1小時(shí)，免費(fèi)；②租用時(shí)

間為1小時(shí)以上且不超過(guò)2小時(shí)，扣1分；③租用時(shí)間為2小時(shí)以上且不超過(guò)3小時(shí)，扣2分；④

租用時(shí)間為3小時(shí)以上且不超過(guò)4小時(shí)，扣3分；⑤租車(chē)時(shí)間超過(guò)4小時(shí)除扣3分外，超出時(shí)間按

每小時(shí)扣2分收費(fèi)(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算).甲、乙兩人獨(dú)立出行，各租用公共自行車(chē)一次，

且兩人租車(chē)時(shí)間都不會(huì)超過(guò)4小時(shí)，設(shè)甲、乙租用時(shí)間不超過(guò)一小時(shí)的概率分別是0.4，0.3；租

用時(shí)間為1小時(shí)以上且不超過(guò)2小時(shí)的概率分別是0.4，0.5;租用時(shí)間為2小時(shí)以上且不超過(guò)3

小時(shí)的概率分別是0.1，0.1.

(1)求甲比乙所扣積分多的概率；

(2)設(shè)甲、乙兩人所扣積分之和為隨機(jī)變量《，求4的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【詳解】

解：(1)根據(jù)題意，分別記“甲扣分為0分、1分、2分、3分”為事件4,4，A.,

它們彼此互斥，且尸(4)=04尸(4)=04,P(4)=O.I,P(4)=O.I,

分別記“乙扣分為0分、1分、2分、3分”為事件用，B2,B、,冬，

它們彼此互斥,且P(8j=0.3,P⑻=0.5,P(居)=0.1,P(8j=0.l,

由題知，事件4,4,人與事件4，B2,B、,當(dāng)相互獨(dú)立，

記甲比乙所扣積分多為事件A4,

貝A/=A2B1+AyBf++A4Bt++A4By,

所以P(M)=P(4)P⑻+P(4)P(8J+P(A)P(8J+P(4)P聞

+P⑷p(孫p⑷p⑻

=0.4x0.3+0.1x0.3+0.1x0.5+0.1x0.3+0.1x0.5+0.1x0.1=0.29.

(2)根據(jù)題f的可能取值為：0,1,2,3,4,5,6,則

=0)=0.4x03=0.12,

P(J=I)=0.4x0.5+0.4x03=0.32,

P(^=2)=0.4x0.1+03x0.1+0.4x0.5=0.27,

P?=3)=0.4x0.1+03x0.1+0.4x0.14-0.5x0.1=0.16,

P(^=4)=0.4x0.1+0.5x0.1+0.1x0.1=0.1,

P(^=5)=0.1x0.1+0.1x0.1=0.02,

P(^=6)=0.1x0.1=0.01.

所以4的分布列為：

0123456

P0.120.320.270.160.10.020.01

《的數(shù)學(xué)期望￡(3=0x0.12+1x0.32+2x0.27+3x0.16+4x0.1+5x0.02+6x0.01=1.9.

反對(duì)策略

（1）。（出表示隨機(jī)變量乃對(duì)￡0）的平均偏離程度，。（心越大表明平均偏離程度越大，說(shuō)明

才的取值越分散；反之，越小，￥的取值越集中在以及附近，統(tǒng)計(jì)中常用亞■函■來(lái)

描述乃的分散程度.

（2）隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量取值偏離于均

值的程度，它們從整體和全局上刻畫(huà)了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要的理

論依據(jù)，一般先比較均值，若均值相同，再用方差來(lái)決定.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】（2021?寧夏吳忠市?高三一模（理））某班級(jí)以“評(píng)分的方式”鼓勵(lì)同學(xué)們以騎自

行車(chē)或步行方式“綠色出行”，培養(yǎng)學(xué)生的環(huán)保意識(shí).“十一黃金周”期間，組織學(xué)生去小6兩

地游玩，因目的地/地近，6地遠(yuǎn)，特制定方案如下：

目的地A地目的地B地

綠色出行非綠色出行綠色出行非綠色出行

出行方式出行方式

321

概率概率

4433

得分10得分10

若甲同學(xué)去/地玩，乙、丙同學(xué)去5地玩，選擇出行方式相互獨(dú)立.

（1）求恰有一名同學(xué)選擇“綠色出行”方式的概率；

（2）求三名同學(xué)總得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望

【詳解】

(1)恰有一名同學(xué)選擇綠色出行方式的概率

P=消+沁-總

(2)根據(jù)題意，X的所有可能取值為0，1，2，3,根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性得:

P(X=0)=--x-x-=——

43336

433423336

3?II24

P(X=2)=-xC\x-x-+-x

4-334

P(X=3)='3x±2x±2=±1

4333

故X的分布列為：

X0123

174

P

363693

所以E￥=0x-!-+l」+2x±+3△衛(wèi)

36369312

三、正態(tài)分布

[例5](2021?廣東韶關(guān)市?高三一模)在一次大范圍的隨機(jī)知識(shí)問(wèn)卷調(diào)查中，通過(guò)隨機(jī)抽樣,

得到參加問(wèn)卷調(diào)查的100人的得分統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示:

得分[30,40)(40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

頻數(shù)213212524114

(1)由頻數(shù)分布表可以大致認(rèn)為，此次問(wèn)卷調(diào)查的得分g~N(〃J96),4近似為這100人得分

的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的左端點(diǎn)值作代表).

①求4的值;

②若P(4>2a-5)=P(g<4+3),求a的值；

(2)在(1)的條件下，為此次參加問(wèn)卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：

①得分不低于〃的可以獲贈(zèng)2次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于〃的可以獲贈(zèng)1次隨機(jī)話費(fèi);

②每次獲贈(zèng)的隨機(jī)話費(fèi)和對(duì)應(yīng)的概率為：

贈(zèng)送話費(fèi)的金額（單位：元）2050

3

概率

44

現(xiàn)有市民甲參加此次問(wèn)卷調(diào)查，記x（單位：元）為該市民參加問(wèn)卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi)，求X的分布

列與數(shù)學(xué)期望.

【詳解】

也"/I、30x2+40x13+50x214-60x25-1-70x244-80x11+90x4_

解：(1)①由題意得：--------------------------------------------------------=60.5，

100

〃=60.5，

②?.?P(S>2a-5)=P(J<a+3),

.?.由正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性得，（2"5）+（'+3）=605,

2

解得。=41；

（2）由題意得，P（Z<//）=P（Z>//）=->即獲贈(zèng)1次和2次隨機(jī)話費(fèi)的概率均為:，

故獲贈(zèng)話費(fèi)的X的所有可能取值為20,40,50,70,100

P(%=20)=1x|=|,

1339

P(X=40)=-x-xr-

P(%=50)=1xl=l,

…11313163

P(X=70)=-x-x—+-x—x—=—=—

72442443216

F(X=100)=-x—x—=—.

''24432

.?.X的分布列為：

X20405070100

3931

P

832S記32

39131330“一一

儀町=20x-+40x—+50x-+70x—+100x—=——=41.25X.

832816328

所以X數(shù)學(xué)期望為41.25元.

應(yīng)對(duì)策暗

(1)正態(tài)曲線的性質(zhì)特點(diǎn)可用來(lái)求其數(shù)學(xué)期望〃和標(biāo)準(zhǔn)差。：正態(tài)曲線是單峰的，它關(guān)于

直線X=〃對(duì)稱，據(jù)此結(jié)合圖象可求〃；正態(tài)曲線在X=U處達(dá)到峰值志，據(jù)此結(jié)合圖

象可求

(2)能熟練應(yīng)用正態(tài)曲線的對(duì)稱性解題，并注意以下幾點(diǎn)：

正態(tài)曲線與x軸之間的面積為1；正態(tài)曲線關(guān)于直線x=〃對(duì)稱，從而在關(guān)于x=〃對(duì)稱

的區(qū)間上概率相等；

幾個(gè)常用公式：①P(*a)=l—P(JNa)；②h/〃-a)=P(4〃+a)(即第(2)條)；

③若力o,則尸("〃_/>)=|一.(廠丁”).

(3)正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率

①夕(〃一?！措蕖?。)=0.6826；

②。(〃一2。<啟〃+2。)=0.9544；

③。(〃一3。<啟〃+3。)=0.9974.

可以看到，正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間(〃一3。，〃+3。)之內(nèi).而在此區(qū)間以外取值的

概率只有0.0026,通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生.在實(shí)際應(yīng)用中，通

常認(rèn)為服從于正態(tài)分布M4，。與的隨機(jī)變量才只取(〃一3。，〃+3。)之間的值，并簡(jiǎn)

稱之為3c原則.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5](2021?江蘇鹽城市?高三一模)某市為創(chuàng)建全國(guó)文明城市，市文明辦舉辦了一次

文明知識(shí)網(wǎng)絡(luò)競(jìng)賽，全市市民均有且只有一次參賽機(jī)會(huì)，滿分為100分，得分大于等于80分的為

優(yōu)秀.競(jìng)賽結(jié)束后，隨機(jī)抽取了參賽中100人的得分為樣本，統(tǒng)計(jì)得到樣本平均數(shù)為71,方差為81.

假設(shè)該市有10萬(wàn)人參加了該競(jìng)賽活動(dòng)，得分Z服從正態(tài)分布N(7I,81).

(1)估計(jì)該市這次競(jìng)賽活動(dòng)得分優(yōu)秀者的人數(shù)是多少萬(wàn)人？

(2)該市文明辦為調(diào)動(dòng)市民參加競(jìng)賽的積極性，制定了如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：所有參加競(jìng)賽活動(dòng)者，均

可參加“抽獎(jiǎng)贏電話費(fèi)”活動(dòng)，競(jìng)賽得分優(yōu)秀者可抽獎(jiǎng)兩次，其余參加者抽獎(jiǎng)一次.抽獎(jiǎng)?wù)唿c(diǎn)擊抽

獎(jiǎng)按鈕，即隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)兩位數(shù)(10,11,99),若產(chǎn)生的兩位數(shù)的數(shù)字相同，則可獎(jiǎng)勵(lì)40

元電話費(fèi)，否則獎(jiǎng)勵(lì)10元電話費(fèi).假設(shè)參加競(jìng)賽活動(dòng)的所有人均參加了抽獎(jiǎng)活動(dòng)，估計(jì)這次活動(dòng)獎(jiǎng)

勵(lì)的電話費(fèi)總額為多少萬(wàn)元？

參考數(shù)據(jù)：若Z?則P(〃-CT<Z+0.68.

【詳解】

(1)因得分Z?N(71,81),所以標(biāo)準(zhǔn)差s=9,所以優(yōu)秀者得分Z2〃?+s，

由P(m-s<Z<m+s)=s0.68得，P(Z2，〃+.s)=0.16，

因此，估計(jì)這次參加競(jìng)賽活動(dòng)得分優(yōu)秀者的人數(shù)為10x0.16=1.6(萬(wàn)人).

(2)設(shè)抽獎(jiǎng)一次獲得的話費(fèi)為才元，

919

則P(X=40)=4=」~,P(X=10)=4，

901010

19

所以抽獎(jiǎng)一次獲得電話費(fèi)的期望值為歷

又由于10萬(wàn)人均參加抽獎(jiǎng)，且優(yōu)秀者參加兩次,

所以抽獎(jiǎng)總次數(shù)為10+10X0.16=11.6萬(wàn)次，

因此，估計(jì)這次活動(dòng)所需電話費(fèi)為11.6x13=150.8萬(wàn)元.

四、用樣本估計(jì)總體

[例6](2021?南京市中華中學(xué)高三期末)為降低工廠廢氣排放量，某廠生產(chǎn)甲、乙兩種不同型

號(hào)的減排器，現(xiàn)分別從甲、乙兩種減排器中各自抽取100件進(jìn)行性能質(zhì)量評(píng)估檢測(cè)，綜合得分情況

的頻率分布直方圖如圖所示:

甲型號(hào)減排器乙33號(hào)減排器

減排器等級(jí)及利潤(rùn)率如下表，其中

98

綜合得分A的范圍減排器等級(jí)減排器利潤(rùn)率

A285一級(jí)品a

75a<85二級(jí)品5/

70￡*<75三級(jí)品a2

(1)若從這100件甲型號(hào)減排器中按等級(jí)分層抽樣的方法抽取10件，再?gòu)倪@10件產(chǎn)品中隨機(jī)抽

取4件，求至少有2件一級(jí)品的概率；

(2)將頻率分布直方圖中的頻率近似地看作概率，用樣本估計(jì)總體，則:

①若從乙型號(hào)減排器中隨機(jī)抽取3件，求二級(jí)品數(shù)J的分布列及數(shù)學(xué)期望)；

②從長(zhǎng)期來(lái)看，投資哪種型號(hào)的減排器平均利潤(rùn)率較大？

【詳解】

(1)由已知及頻率分布直方圖中的信息知，

甲型號(hào)減排器中的一級(jí)品的概率為0.08x5+0.04x5=0.6，

分層抽樣的方法抽取10件，

則抽取一級(jí)品為10x0.6=6(件)

則至少有2件一級(jí)品的概率，

42'

(2)①由已知及頻率分布直方圖中的信息知，

乙型號(hào)減排器中一級(jí)品的概率為‘

10

二級(jí)品的概率—1

4

三級(jí)品的概率為

20

若從乙型號(hào)減排器隨機(jī)抽取3件，

則二級(jí)品數(shù)4所有可能的取值為0,2,3,且J?8(3.1)，

4

-V削『吟.

弦=2)=喏)&)*，

所以g的分布列為

/0123

272791

P

646464

所以數(shù)學(xué)期望:

2727913

E(^)=Ox—+lx—+2x—+3x

64646464~4

②由題意知，甲型號(hào)減排器的利潤(rùn)的平均值:

￡=0.6。+0.4x5a2=2a'+0.6。；

乙型號(hào)減排器的利潤(rùn)的平均值:

則4<￡”

所以投資乙型號(hào)減排器的平均利潤(rùn)率較大.

應(yīng)對(duì)策略

(1)解決頻率分布直方圖問(wèn)題時(shí)要抓?。?/p>

①直方圖中各小長(zhǎng)方形的面積之和為1.

②直方圖中縱軸表示招卷，故每組樣本的頻率為組距x慧，即矩形的面積.

組距組距

③直方圖中每組樣本的頻數(shù)為頻率X總體數(shù).

(2)樣本的數(shù)字特征

①眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).頻率分布直方圖中

最高的小矩形底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)即是眾數(shù)；

②中位數(shù)：把〃個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位

數(shù).頻率分布直方圖中中位數(shù)的左邊和右邊小長(zhǎng)方形面積之和相等；

③平均數(shù)：把s+s+…稱為)電，…，這〃個(gè)數(shù)的平均數(shù).頻率分布直方圖中平均數(shù)是

n

頻率分布直方圖的重心，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐

標(biāo)之和.

④標(biāo)準(zhǔn)差與方差：設(shè)一組數(shù)據(jù)如如…，篩的平均數(shù)為X,則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差和方

差分別是

S=y%（X|-X）2+（X2—X）2+...+（X"-X）2］

s2=k（%i—T）~+（A-2—T）2H—F（為一

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6］（2021?湖南永州市?高三二模）為快速控制新冠病毒的傳播，全球多家公司進(jìn)行

新冠疫苗的研發(fā).某生物技術(shù)公司研制出一種新冠滅活疫苗，為了檢測(cè)其質(zhì)量指標(biāo)，從中抽取了100

支該疫苗樣本，經(jīng)統(tǒng)計(jì)質(zhì)量指標(biāo)得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求所抽取的樣本平均數(shù)x（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）;

（2）將頻率視為概率，若某家庭購(gòu)買(mǎi)4支該疫苗，記這4支疫苗的質(zhì)量指標(biāo)值位于（10,30］內(nèi)的

支數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【詳解】

解：（1）根據(jù)頻率分布直方圖可得各組的頻率為：

（0,10］的頻率為：0.010x10=0.1；（0,20］的頻率為：0.020x10=0.2；

（20,30］的頻率為：0.030x10=0.3；（30,40］的頻率:0.025x10=0.25；

（40,50］的頻率為：（）.015x10=0.15,

x=5x0.l+15x0.2+25x0.3+35x0.25+45x0.15=26.5-

（2）根據(jù)題意得每支滅活疫苗的質(zhì)量指標(biāo)值位于（10,30］內(nèi)的概率為0.2+0.3=0,5，

所以X?X的可能取值為：0,1,2,3,4,

p(X=0)=C：［j

4

P(X=2)=C；(；)彳，P(X=3)=C：0=；，

…二唱出

???x的分布列為：

X01234

1\_3\_1

p

164s416

???E(X)=Ox—+lxl+2x-+3xl+4x—=2.

1648416

四、統(tǒng)計(jì)案例

（一）回歸分析

【例71（2021?四川成都市?石室中學(xué)高三月考（理））某房產(chǎn)中介公司對(duì)2018年成都市前幾個(gè)

月的二手房成交量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，表示2018年X月該中介公司的二手房成交量，得到統(tǒng)計(jì)表格如下：

x.12345678

1214202224202630

yt

（1）通過(guò)散點(diǎn)圖初步分析可用線性回歸模型擬合y與X的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；（計(jì)算結(jié)

果精確到O01）;

（2）該房產(chǎn)中介為增加業(yè)績(jī)，決定針對(duì)二手房成交客戶開(kāi)展抽獎(jiǎng)活動(dòng)，若抽中“一等獎(jiǎng)”獲5千

元獎(jiǎng)金；抽中“二等獎(jiǎng)”獲3千元獎(jiǎng)金；抽中“祝您平安”，則沒(méi)有獎(jiǎng)金.已知一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中獲

得“一等獎(jiǎng)”的概率為1,獲得“二等獎(jiǎng)”的概率為_(kāi)1,現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)客戶參與抽獎(jiǎng)活動(dòng)，假

42

設(shè)他們是否中獎(jiǎng)相互獨(dú)立，求此二人所獲獎(jiǎng)金總額X（千元）的分布列及數(shù)學(xué)期望.

888

參考數(shù)據(jù)：fxj=850,X七2=204,￡始=3776,萬(wàn)=4.58，75??5.57-

/?I/>1/?1

^x^-nxy

參考公式：相關(guān)系數(shù)1=

V/-I

【詳解】

（1）依題意：*=4.5，y=21，

8___

850-8x4.5x21

__

5204-8〉4.52J3776-8x2F

VV/■1

949494八

->/42x>/248-4x721xTJT_4x4.58x5.57

因?yàn)?.92非常趨近1,所以變量X,y線性相關(guān)性很強(qiáng)，可用線性回歸模型擬合y與X的關(guān)系.

(2)二人所獲獎(jiǎng)金總額X的所有可能取值有0，3,5,6,8,10千元.

P(X=O)=-xl=—,P(X=3)=2xixi=l,P(X=5)=2XLLL

p(A,=6)=-xl=l,P(X=8)=2XL，=LP(%=IO)=lxl=—,

’224i’2441