圓錐曲線最值問(wèn)題

圓錐曲線最值問(wèn)題從幾何本身出發(fā)，發(fā)掘幾何特征，才是解決最值問(wèn)題的根本。而解析幾何的解析是在幾何的基礎(chǔ)上去解析的。引入：對(duì)于解析幾何而言，到高中層面我們研究的對(duì)象主要背景是在直線、圓、圓錐曲線、平面三角形、四邊形等綜合性問(wèn)題中體現(xiàn)的。所以要學(xué)好解析幾何應(yīng)該對(duì)于這幾大幾何“元素”的每一個(gè)元素都要熟練掌握。那么這篇文章我們就從基本面去單獨(dú)分析這些元素的特性。來(lái)為我們后期解析幾何打下基礎(chǔ)。第一篇：直線及直線的幾何變換一、首先我們來(lái)說(shuō)一下直線的生成來(lái)源；在平面內(nèi)任取不重合兩點(diǎn)即可生成一條直線，所以說(shuō)直線的生成必須要包含兩個(gè)點(diǎn)。兩點(diǎn)定，即直線定。這是一條解析式確定的直線；例如：是平面內(nèi)不重合的兩個(gè)定點(diǎn)，那么兩點(diǎn)所在的直線方程就是若有一點(diǎn)定，另有一動(dòng)點(diǎn)，那么生成的直線就是過(guò)定點(diǎn)的直線。過(guò)定點(diǎn)的直線在方程的描述上就比較有意思：例如過(guò)定點(diǎn)的直線用方程來(lái)表示的話就是；有很多學(xué)生都想的是，這是不全面的；同時(shí)方程中變化了對(duì)應(yīng)的幾何變換是啥呢？其實(shí)就是把過(guò)這個(gè)定點(diǎn)的直線進(jìn)行“旋轉(zhuǎn)”，旋轉(zhuǎn)的時(shí)候也有“特殊”位置，就是斜率不存在的情況，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至垂直于軸時(shí)，這一類直線我們沒(méi)有辦法用來(lái)表示；所以在做題的時(shí)候可能必須要進(jìn)行討論。平面內(nèi)任意一條直線我們都可以把他進(jìn)行平移，當(dāng)我們把一條直線平移后產(chǎn)生的一些列直線稱之為平行線集合。比如說(shuō)，就是一個(gè)平行線的集合。里面包含著無(wú)數(shù)條直線，每一個(gè)值就代表著一這個(gè)集合中的一個(gè)元素。二、直線的方程表示；從我們學(xué)習(xí)直線開(kāi)始，主要學(xué)習(xí)直線的方程表示；下面我將歸類常見(jiàn)直線的各種表示方法：1.截距式。（分別代表這條直線在軸上的截距）舉例：過(guò)兩點(diǎn)；根據(jù)坐標(biāo)特征我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)截距都是1，故方程為過(guò)兩點(diǎn)的截距式方程為？過(guò)兩點(diǎn)的直線方程為？點(diǎn)斜式。過(guò)不同兩點(diǎn)兩點(diǎn)的點(diǎn)斜式，我們先要根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)去算斜率，再把一個(gè)點(diǎn)帶入。即：斜截式。也是我們大家最熟悉的反斜式。一般式。（用來(lái)求距離問(wèn)題居多）你看直線作為我們最基礎(chǔ)的解析曲線，它竟然也包含了這么多的表示方法。并且在不同的問(wèn)題情境之下，不同的表示方法在后續(xù)計(jì)算量上也是有天差地別的，那么有沒(méi)有什么思想能貫通的理解一下直線呢？并且能夠讓學(xué)生能夠在一開(kāi)始抓住計(jì)算量控制最好的直線設(shè)法?答案肯定是有的；我們就絕大多數(shù)情況下的直線來(lái)說(shuō)。無(wú)非研究的就是這個(gè)斜率以及截距，也就是中的。所以理解一條直線，就從它的本質(zhì)上去理解，凡直線的產(chǎn)生都要確定這兩個(gè)量，而他們恰好分別代表了我前面說(shuō)過(guò)的直線在幾何位置關(guān)系中的兩種變換方式，旋轉(zhuǎn)和平移。下面我著重強(qiáng)調(diào)兩個(gè)直線的方程，代表了這條直線過(guò)定點(diǎn)，并且定點(diǎn)為。需要注意的是，一定要注意看題目是否需要對(duì)不存在進(jìn)行討論。也就是說(shuō)如果直線過(guò)的定點(diǎn)在軸時(shí)，很可能采用斜截式比較好，但也不是絕對(duì)的。為什么呢？請(qǐng)注意，我們所說(shuō)的計(jì)算量是針對(duì)后期操作而言，請(qǐng)大家想一想，直線設(shè)好之后，接下來(lái)常規(guī)操作是不是就是聯(lián)立曲線方程，然后整理韋達(dá)了。因?yàn)槲覀兇蟛糠值淖钪祮?wèn)題都是通過(guò)韋達(dá)來(lái)建立我們所要求的量有關(guān)的一個(gè)函數(shù)，所以在你計(jì)算之前，一定要去在幾何上分析，最后是消還是消，其實(shí)計(jì)算量的大小就在這里了。，代表了這條直線過(guò)定點(diǎn)，并且定點(diǎn)為。需要注意的是，一定要注意看題目是否需要對(duì)進(jìn)行討論。也就是說(shuō)如果直線過(guò)的定點(diǎn)在軸上時(shí)，很可能采用反斜截式比較好，理由同上。（也可表示過(guò)定點(diǎn)的直線方程），直線這部分就討論到這里。接下來(lái)我們回歸正題；開(kāi)始最值專題的初級(jí)探索。所謂的最值最初是來(lái)源于我們的函數(shù)，給其變量區(qū)間；判其單調(diào)性；然后即可確定最值。故確定最值的兩大關(guān)鍵就是變量區(qū)間和函數(shù)單調(diào)性。由于我們目前還沒(méi)有學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)，不能求解任意函數(shù)的單調(diào)變化。只能根據(jù)我們以前學(xué)過(guò)的單調(diào)性概念以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性還有基本不等式來(lái)進(jìn)行判定。再說(shuō)說(shuō)函數(shù)吧，解析幾何本來(lái)是方程與曲線之間的聯(lián)系；函數(shù)是我們?cè)谘芯俊白兓眴?wèn)題時(shí)最后轉(zhuǎn)化的變量關(guān)系；那么這個(gè)關(guān)系是從哪里來(lái)？當(dāng)然是從問(wèn)題中來(lái)。這也是入門最值的關(guān)鍵。先來(lái)引入題：已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)求橢圓的方程已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)橢圓頂點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于另一點(diǎn)，求直線斜率的取值范圍解題：第一問(wèn)我們帶點(diǎn)把統(tǒng)一之后求解即可得故橢圓的方程為。好了圖畫好了之后，我們現(xiàn)在思考一下，在這個(gè)圖中，根據(jù)題意有個(gè)過(guò)定點(diǎn)的直線，并且在以為旋轉(zhuǎn)中心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，然后和橢圓交到另一個(gè)點(diǎn)，再來(lái)看一下的位置，由于它自己也在橢圓上，故我們可以幾何角度認(rèn)為、兩個(gè)點(diǎn)就是一條直線和橢圓的兩個(gè)的交點(diǎn)，只不過(guò)這條直線比較“特殊”。（這么特殊的直線我會(huì)采用斜截式的形式）那好了，曲線有公共點(diǎn)對(duì)應(yīng)的就是方程上這兩個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)解就和韋達(dá)有關(guān)系。（并且如果曲直方程組聯(lián)立的話，消之后，只含的二次方程中有個(gè)解是）。再來(lái)看一下本題的問(wèn)題：探尋點(diǎn)處縱橫坐標(biāo)的比值變化規(guī)律。解幾的開(kāi)局：有點(diǎn)設(shè)點(diǎn)，有線設(shè)線。設(shè);所在的直線方程為（）我是開(kāi)門見(jiàn)山：直接翻譯了本題的問(wèn)題，這樣好讓我判斷在聯(lián)立之后要做什么。（或者有沒(méi)有聯(lián)立的必要）問(wèn)題所求為斜率的取值范圍：；又因?yàn)辄c(diǎn)都在直線上，我打算把這個(gè)來(lái)替換；然后,有同學(xué)就問(wèn)我這么做能干啥？好的我來(lái)解釋一下，通過(guò)韋達(dá)我們只能求出交點(diǎn)橫坐標(biāo)之間的和積關(guān)系，或者交點(diǎn)縱坐標(biāo)之間的和積關(guān)系；但是你聯(lián)立一次要么消，要么消?？倸w你能得到一個(gè)，但是我們的問(wèn)題顯然與橫縱坐標(biāo)都是有關(guān)的，所以在這里要用代換思想學(xué)會(huì)只求一個(gè)坐標(biāo)然后帶入直線或者曲線方程，把另一個(gè)坐標(biāo)表示出來(lái)，這樣就達(dá)到了變量統(tǒng)一的目的，好的我們不妨來(lái)聯(lián)立一下；現(xiàn)在你面臨著消，還是消？同學(xué)們大都回答肯定消，回答是對(duì)的，但是理由呢？聯(lián)立時(shí)我們把直線所在的方程兩邊平方直接帶入比較快捷；這是理由之一；但是更重要的是，因?yàn)檫@個(gè)題我得求也就是說(shuō)我聯(lián)立之后韋達(dá)之和里面，兩個(gè)根其中一個(gè)根是0，那不就等說(shuō)我韋達(dá)和就是。而且我在開(kāi)局就是在翻譯問(wèn)題與有啥關(guān)系，這樣一來(lái)兩頭對(duì)上了。好了我們聯(lián)立之后；；這個(gè)題最后我們所求的問(wèn)題終于轉(zhuǎn)化到了函數(shù)這一步；；接下來(lái)我們不是說(shuō)過(guò)，函數(shù)出來(lái)了，變量范圍也知道了，那單調(diào)性呢？像這種簡(jiǎn)單的函數(shù)，我還是建議用基本性質(zhì)去判定一下好了，因?yàn)闇p號(hào)嘛，基本不等式在這里不好用的。故最后我們學(xué)習(xí)是希望從一個(gè)題目中觸類旁通，總結(jié)出經(jīng)驗(yàn)用以推廣。那么在這個(gè)題目的基礎(chǔ)上我也想改造母題，慢慢的讓我們學(xué)生能夠在最值問(wèn)題上抓到一些可以抓住的“點(diǎn)”。廢話不多說(shuō)；例題改：已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1）求橢圓的方程（2）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)橢圓右的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求三角形面積的最大值。有了第一個(gè)題目讓我們上手最值題目之后，我來(lái)給大家介紹一些比較入門的最值問(wèn)題。其中面積最值可以說(shuō)是我們解析中的熱點(diǎn)，也是重難點(diǎn)。同樣的，在面積這類最值這里，難的是面積表示和轉(zhuǎn)化上，要把三角形最常見(jiàn)的幾種面積求法牢牢掌握。弦長(zhǎng)+定點(diǎn)到底邊弦直線的距離是萬(wàn)能的三角形面積計(jì)算。但是計(jì)算量頗大。如果能夠在具體的題目情境中發(fā)掘三角形的特殊性，那么根據(jù)幾何特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化能夠大大縮減計(jì)算量。下面我談?wù)勗谌切芜@里的一些經(jīng)驗(yàn)，三角形如果是條件下的等腰三角形，推薦正弦面積公式+三角換元設(shè)點(diǎn)法比較好。三角形面積在特定條件下的割補(bǔ)，以及定底轉(zhuǎn)換高法。以本題為例，就是比較典型的定底轉(zhuǎn)換高法。設(shè);所在的直線方程為有同學(xué)問(wèn)了，那這個(gè)題按常規(guī)的直線設(shè)法行不行？下面我們來(lái)試試看。我們先翻譯問(wèn)題，把這個(gè)三角形的面積給表示出來(lái)。法1.那么這里有兩個(gè)量可以計(jì)算，一個(gè)是，一個(gè)是.故咱高二的娃看到這里再往下做得換元了。再往下就得小心了，我們是求最大值的。所以千萬(wàn)不要跳到基本不等式的坑里去。分母有最小值，我們才有面積的最大值。分母是個(gè)對(duì)勾函數(shù)，換元后我們的元是并且故：，此時(shí)直線斜率不存在。所以面積的最大值就是。法1.（直線的常規(guī)設(shè)法）設(shè);所在的直線方程為當(dāng)所在的直線斜率不存在時(shí)，直線為此時(shí)當(dāng)所在的直線斜率存在時(shí)：這個(gè)運(yùn)算那是相當(dāng)惡心。故再往下做，還是換元。令原式=實(shí)際上，這個(gè)最值很明顯是取不到的，高二的學(xué)生看到這個(gè)式子也解不了這個(gè)最大值。因?yàn)閱握{(diào)性你不好去判斷。而且這個(gè)解法，解下來(lái)及其惡心，運(yùn)算量不小的。到最后很可能學(xué)生還解不了最值，這就坑爹了。法2.下面展示這個(gè)題最接近幾何特征的做法。由于直線在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，過(guò)定點(diǎn)。所以把問(wèn)題可以看做是定底的兩個(gè)小三角形之和。故這個(gè)定底轉(zhuǎn)化高說(shuō)白了就是咱初中的水平寬定值，找鉛垂高的變量。直線在軸過(guò)定點(diǎn)，所以：設(shè);所在的直線方程為開(kāi)局我們幾何特征提醒我們，目標(biāo)就是找。后面的做法和法1的就一模一樣了。就這么簡(jiǎn)單的一個(gè)題，能折射出的就是同學(xué)們對(duì)于幾何的敏感性。能夠構(gòu)圖，從開(kāi)局確定變量，然后直奔主題。一路做下來(lái)，會(huì)順暢很多。例題改：已知橢圓的離心率為，且橢圓的長(zhǎng)軸為4。求橢圓的方程過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，右焦點(diǎn)為,求面積的取值范圍課后提升：已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，左、右頂點(diǎn)分別為經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)。求橢圓的方程；記與的面積分別為和，求的最大值。設(shè)點(diǎn)法解最值已知直線分別與拋物線相切于點(diǎn)若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求直線的方程；若直線的交點(diǎn)為,且點(diǎn)在圓上，設(shè)直線與軸分別交于點(diǎn),求的取值范圍.解：從這個(gè)題開(kāi)始我們嘗試教同學(xué)們開(kāi)局設(shè)點(diǎn)法來(lái)解一些特定的最值問(wèn)題。以本題為例，第二問(wèn)是一個(gè)點(diǎn)驅(qū)動(dòng)問(wèn)題的最值。第一問(wèn)：?jiǎn)柷芯€即求切線。如果是沒(méi)有學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的話，我們只能通過(guò)聯(lián)立判別式法來(lái)求解切線方程。這也是在這個(gè)題目當(dāng)中唯一用到曲直聯(lián)立的地方了，僅僅是為了求出直線方程而已。并沒(méi)有像前面的那些例題，去解韋達(dá)來(lái)為我們提供變量的函數(shù)關(guān)系。設(shè)。這是所有解析幾何的開(kāi)局萬(wàn)能設(shè)點(diǎn)方式，其實(shí)我們還可以更加精簡(jiǎn)一點(diǎn)由于點(diǎn)在拋物線上，所以拋物線上一個(gè)點(diǎn)一個(gè)變量就可以了。故。那么要求切線，你就得設(shè)切線。這里也考察了同學(xué)們對(duì)于直線的掌握，已知某點(diǎn)坐標(biāo)求切線，說(shuō)白了就是求直線的斜率。故在這里我們要用點(diǎn)斜式。這部分的聯(lián)立對(duì)于一般學(xué)生來(lái)說(shuō)比較困難，原因之一就是搞不清主元，其次沒(méi)有觀察到配完全方整理化簡(jiǎn)；在這個(gè)函數(shù)中，我們注意是以為主元的聯(lián)立式；故這部分的聯(lián)立對(duì)于一般學(xué)生來(lái)說(shuō)比較困難，原因之一就是搞不清主元，其次沒(méi)有觀察到配完全方整理化簡(jiǎn)現(xiàn)在我們可以得到拋物線上任意一點(diǎn)的切線方程：帶入點(diǎn)即可得；如果要用求導(dǎo)的方法那這個(gè)第一問(wèn)就簡(jiǎn)化多了?！，F(xiàn)在開(kāi)始分析第二問(wèn)；先從幾何上分析，圖中的信息有：是兩切線的交點(diǎn)。同時(shí)還被“拉”到圓上去，作為驅(qū)動(dòng)點(diǎn)，這句話怎么理解？什么叫做驅(qū)動(dòng)點(diǎn)？我用這幅圖形象的演示一下，雖然是不能動(dòng)的，但是我們可以想象這個(gè)過(guò)程。當(dāng)我在拋物線上任意找兩個(gè)點(diǎn)時(shí)，然后再生成兩條切線，再讓相交生成點(diǎn)。很明顯，這個(gè)點(diǎn)位置也是任意的，根本不滿足一直在圓上。那要讓這個(gè)點(diǎn)“嵌入”圓上去，我就定義圓上的點(diǎn)。使得這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別對(duì)應(yīng)相等，那不就等同于我把點(diǎn)“嵌”到圓上去了么。在這個(gè)圖中，點(diǎn)現(xiàn)在嵌入圓上，那么點(diǎn)在圓上動(dòng)，就會(huì)導(dǎo)致切線發(fā)生變化，切點(diǎn)位置發(fā)生變化。我們可以認(rèn)為點(diǎn)在圓上的位置決定了，切點(diǎn)的位置以及切線。所以我們就把稱為“驅(qū)動(dòng)點(diǎn)”，就是“從動(dòng)點(diǎn)”。這樣理順了之后，我們通過(guò)第一問(wèn)的切線方程求法把設(shè)出來(lái)的兩點(diǎn)處的切線方程給它聯(lián)立一下：以及我們分析的接下來(lái)，就是最關(guān)鍵的題中問(wèn)題翻譯，我們要把問(wèn)題翻譯成某變量的函數(shù)，并且找到這個(gè)變量來(lái)源和區(qū)間，然后利用單調(diào)性、或者基本不等式來(lái)進(jìn)行最值求解。問(wèn)題：求的取值范圍.那么我們肯定得先把這兩個(gè)距離表示出來(lái)。先來(lái)搞，由題意得分別是切線在軸上的截距。故的長(zhǎng)，千萬(wàn)不能再跑回去找直線聯(lián)立然后弦長(zhǎng)法去解了；完全沒(méi)有必要的。因?yàn)槲覀冮_(kāi)局就把坐標(biāo)設(shè)出來(lái)了，那點(diǎn)坐標(biāo)有了，直接距離公式懟：這個(gè)式子也在考察學(xué)生的變形能力。故：=接下來(lái)發(fā)大招了：從開(kāi)局設(shè)點(diǎn)，找切線再到找切線的交點(diǎn)。然后分析如何“嵌入”圓上去，到我們把問(wèn)題翻譯成函數(shù)，我都是有一個(gè)方向的。因?yàn)槲疑钪?qū)動(dòng)點(diǎn)和從動(dòng)點(diǎn)的先后關(guān)系，最后的函數(shù)一定是與驅(qū)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)相關(guān)的。所以在我找出這個(gè)式子之后，我立馬去翻譯函數(shù)了，而且我們函數(shù)的最后形式也只和相關(guān)，那又與是等價(jià)的。是啥？那是驅(qū)動(dòng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)，題目直接給了我們所在的圓方程，那這個(gè)圓上的點(diǎn)它縱坐標(biāo)的取值范圍壓根都不用算的，直接口答了。。這個(gè)式子的單調(diào)性非常好判別的，就是減函數(shù)。故：馬后炮：按照常規(guī)解析的思路，我是建議直接先翻譯問(wèn)題，很多同學(xué)都是學(xué)習(xí)韋達(dá)，但是像這類驅(qū)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，我們?cè)俸诵倪^(guò)程中，并沒(méi)有和韋達(dá)有任何關(guān)系，如果高三的學(xué)生做這個(gè)題，開(kāi)局的切線方程也可以直接寫的，不需要聯(lián)立。但是翻譯函數(shù)有個(gè)意識(shí)必須經(jīng)過(guò)大量的題目來(lái)鍛煉，那就是找誰(shuí)為變量，這個(gè)變量在哪里？變量范圍如何確定？沒(méi)有經(jīng)驗(yàn)的同學(xué)開(kāi)局直接翻譯函數(shù)，變量找起來(lái)沒(méi)有方向。所以這也是解析難學(xué)的一個(gè)因素。只能多做題，多總結(jié)。當(dāng)然馬后炮還是要的：在變量這里，我的經(jīng)驗(yàn)，韋達(dá)能告訴我的無(wú)非就是曲線和“特定”直線聯(lián)立之后的坐標(biāo)關(guān)系（）凡我最后函數(shù)需要的變量和這幾個(gè)有關(guān)，我就會(huì)去聯(lián)立。這個(gè)題我們分析到最后，這玩意長(zhǎng)的是十分“韋達(dá)”，但是這并不是一條“特定”的直線