湖北省武漢市江漢區(qū)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

2023～2024學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測九年級數(shù)學(xué)試題考試時間：120分鐘試卷總分：120分一、選擇題：下列各題中均有四個備選答案，其中有且只有一個正確，請在答題卡上將正確答案的代號涂黑（共10小題，每小題3分，共30分）．1.有兩個事件，事件（1）：隨意翻到一本書的某頁，這頁的頁碼是奇數(shù)；事件（2）：射擊運動員射擊一次，命中靶心．下列判斷正確的是（）A.（1）（2）都是隨機事件 B.（1）（2）都是必然事件C.（1）是必然事件，（2）是隨機事件 D.（1）是隨機事件，（2）是必然事件【答案】A【解析】【分析】本題考查了必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．【詳解】解：事件（1）是隨機事件；事件（2）是隨機事件；故選A．2.下列圖形中是中心對稱圖形的是（）A.五角星 B.等邊三角形 C.菱形 D.等腰梯形【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了中心對稱圖形，根據(jù)中心對稱圖形的定義判斷即可，解題的關(guān)鍵是正確理解中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形可得答案．【詳解】、五角星不是中心對稱圖形，不符合題意；、等邊三角形不是中心對稱圖形，不符合題意；、菱形是中心對稱圖形，符合題意；、等腰梯形不是中心對稱圖形，不符合題意；故選：．3.鐘表的指針在不停的旋轉(zhuǎn)，經(jīng)過10分鐘，分針的旋轉(zhuǎn)角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解決本題的關(guān)鍵是求出時鐘上的分針勻速旋轉(zhuǎn)一分鐘時的度數(shù)，題目較簡單．先求出時鐘上的分針勻速旋轉(zhuǎn)一分鐘時的度數(shù)為，再求10分鐘分針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)就簡單了．【詳解】解：時鐘上的分針勻速旋轉(zhuǎn)一周的度數(shù)為，時鐘上的分針勻速旋轉(zhuǎn)一周需要60分鐘，則時鐘上的分針勻速旋轉(zhuǎn)一分鐘時的度數(shù)為：，那么10分鐘，分針旋轉(zhuǎn)了，故選：D．4.解一元二次方程，配方后正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】題考查了用配方法解一元二次方程，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握用配方法解一元二次方程的方法．配方法解一元二次方程的方法：將常數(shù)項移至方程的右邊，然后兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方配方成完全平方后，再開方．【詳解】解：，故選C．5.在平面中，已知的半徑等于，點在直線上，則圓心到直線的距離（）A.等于 B.最小值為 C.最大值為 D.不等于【答案】A【解析】【分析】此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)題意可判斷直線與相切，熟記直線與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵的半徑等于，點在直線上，∴直線與相切，∴圓心到直線的距離為，故選：．6.銀行經(jīng)過兩次降息，一年期存款的年利率由降至，設(shè)平均每次降息的百分率為x，根據(jù)題意，所列方程正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，掌握由實際問題抽象出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.【詳解】解：設(shè)平均每次降息的百分率為x，列方程得，故選：B.7.下列函數(shù)中，圖象與軸有兩個交點的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了拋物線與x軸的交點問題，通過二次函數(shù)的圖象的開口方向，頂點坐標即可判斷其圖象與軸的交點個數(shù)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】、∵的圖象的頂點在第二象限，開口向上，∴圖象與軸無交點，不符合題意；、∵的圖象的頂點在第二象限，開口向下，∴圖象與軸有兩個交點，符合題意；、∵的圖象的頂點在第一象限，開口向上，∴圖象與軸無交點，不符合題意；、∵的圖象的頂點在第四象限，開口向下，∴圖象與軸無交點，不符合題意；故選：．8.正六邊形的周長是12，則它的面積是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了正多邊形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定．過點O作于點G，證明是等邊三角形，求出，得出，根據(jù)即可求解．【詳解】解：過點O作于點G，如圖所示：∵六邊形為正六邊形，∴，，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故選：D．9.若函數(shù)的圖象在的范圍內(nèi)與x軸恰好有一個公共點，則a的取值范圍是（）A. B.C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)與x軸的交點問題．根據(jù)題意進行分類討論：當(dāng)該函數(shù)為二次函數(shù)時，；當(dāng)該函數(shù)為一次函數(shù)時，；熟練掌握二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：當(dāng)該函數(shù)為二次函數(shù)時，：∵函數(shù)的圖象與x軸有公共點，∴，解得：，把代入得，∴該二次函數(shù)與y軸相交于點，①當(dāng)時，∵，，∴函數(shù)圖象開口向上，對稱軸在y軸右側(cè)，∵該函數(shù)圖象經(jīng)過點，在的范圍內(nèi)與x軸恰好有一個公共點，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴；②當(dāng)時，∵，，∴函數(shù)圖象開口向下，對稱軸在y軸左側(cè)，∵該函數(shù)圖象經(jīng)過點，在的范圍內(nèi)與x軸恰好有一個公共點，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴，不符合題意，舍去；③當(dāng)時，，當(dāng)時，，解得：，不符合題意，舍去；當(dāng)該函數(shù)為一次函數(shù)時，，，當(dāng)時，，解得：，不符合題意，舍去；綜上：a的取值范圍為，故選：B．10.如圖（1），一只圓形平盤被同心圓劃成M，N，S三個區(qū)域，隨機向平盤中撒一把豆子，計算落在M，N，S三個區(qū)域的豆子數(shù)的比．多次重復(fù)這個試驗，發(fā)現(xiàn)落入三個區(qū)域的豆子數(shù)的比顯示出一定的穩(wěn)定性，總在三個區(qū)域的面積之比附近擺動．如圖（2）將一根筷子放在該盤中位置，發(fā)現(xiàn)三個圓弧剛好將五等分．我們把豆子落入三個區(qū)域的概率分別記作，，，已知，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查幾何概率，掌握幾何概率就是求幾何圖形的面積比是解題的關(guān)鍵，設(shè)小圓的半徑為r，則大圓的半徑為，設(shè)，根據(jù)勾股定理求出，然后解出M部分面積與整個圓面積的比即為概率．【詳解】解：如圖，設(shè)小圓的半徑為r，則大圓的半徑為，設(shè)，，∴，解得：，，∴M部分面積與整個圓面積的比：，∴等于，故選A．二、填空題：下列各題不需要寫出解答過程，請將結(jié)果直接填寫在答題卷指定的位置（共6小題，每小題3分，共18分）．11.在平面直角坐標系中，點關(guān)于原點對稱的點的坐標是__________．【答案】【解析】【分析】關(guān)于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)．【詳解】解：根據(jù)平面直角坐標系內(nèi)兩點關(guān)于原點對稱則兩點橫、縱坐標互為相反數(shù)，點關(guān)于原點對稱的點的坐標是，故答案為：．【點睛】本題考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點的坐標規(guī)律：關(guān)于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)．12.某植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小支干，主干、支干和小支干的總數(shù)是73，則主干長出的支干的數(shù)目是______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)每個支干長出根小分支，則可表示出主干、支干和小分支的總數(shù)，由條件可列出方程即可，找出題目中的等量關(guān)系，列出方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)主干長出的支干的數(shù)目是個，根據(jù)題意列方程得：，故答案為：．13.四邊形是的外切四邊形，若，則的度數(shù)是______．【答案】##102度【解析】【分析】本題主要考查了切線長定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握切線長定理及其推論．令四邊形與分別相切于點E、F、G、H，連接，通過證明，即可求解．【詳解】解：令四邊形與分別相切于點E、F、G、H，連接，∵是外切四邊形，∴，∵，∴，∴，同理可得：，∵，∴，∴，∴，故答案為：．14.三輛汽車經(jīng)過丁字路口，可能向左轉(zhuǎn)，也可能向右轉(zhuǎn)，如果這兩種可能性大小相同，那么這三輛汽車都朝一個方向轉(zhuǎn)的概率是______．【答案】【解析】【分析】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果，再從中選出符合事件或的結(jié)果數(shù)目，然后利用概率公式計算事件或事件的概率．畫樹狀圖展示所有種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出三輛汽車都朝一個方向轉(zhuǎn)的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】畫樹狀圖為：共有種等可能的結(jié)果數(shù)，其中三輛汽車都朝一個方向轉(zhuǎn)的結(jié)果數(shù)為，所以至少有兩輛車向右轉(zhuǎn)的概率為，故答案為：．15.二次函數(shù)（，，為常數(shù)，）中的與的部分對應(yīng)值如下表：下列結(jié)論：①；②若，則該函數(shù)的圖象與軸沒有公共點；③當(dāng)時，若，則的值隨值的增大而增大；④當(dāng)時，關(guān)于的一元二次方程的解是，．其中正確的是______（填寫序號）．【答案】①②③④【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，對稱軸，判別式，拋物線與軸的交點，是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，可以得到；再利用判別式時，二次函數(shù)沒有實數(shù)根，即函數(shù)的圖象與軸沒有公共點，由此得到；當(dāng)時，拋物線開口向上，故在對稱軸的右側(cè)，的值隨值的增大而增大；通過將關(guān)于的一元二次方程變形為：，探討一次函數(shù)與二次函數(shù)圖像交點的情況，得到關(guān)于的一元二次方程的解是，，由此得到答案．【詳解】解：由已知條件得：①當(dāng)時，，故①正確，符合題意；②根據(jù)題意，函數(shù)的對稱軸為直線，即，，該函數(shù)的圖象與軸沒有公共點，根據(jù)二次函數(shù)圖像性質(zhì)，當(dāng)時，；時，，只有拋物線開口向下時，該函數(shù)的圖象與軸沒有公共點，即，時，二次函數(shù)沒有實數(shù)根，即函數(shù)的圖象與軸沒有公共點，，又，，即，當(dāng)時，，時，函數(shù)的圖象與軸沒有公共點，故②正確，符合題意；③當(dāng)時，拋物線開口向上，故在對稱軸的右側(cè)，的值隨值的增大而增大，若，則的值隨值的增大而增大，故③正確，符合題意；④關(guān)于的一元二次方程變形為：，即探討一次函數(shù)與二次函數(shù)圖像交點的情況，當(dāng)時，即，二次函數(shù)，一次函數(shù)，當(dāng)時，二次函數(shù)，一次函數(shù)，即，為一次函數(shù)與二次函數(shù)圖像的兩個交點，關(guān)于的一元二次方程的解是，，故④正確，符合題意，綜上，①②③④正確，故答案為：①②③④．16.貼春聯(lián)是中國傳統(tǒng)習(xí)俗，曉紅老家有個圓形拱門，每年都會貼上長長的春聯(lián)，看上去非常喜慶．曉紅用圓弧近似模擬拱門，經(jīng)測量發(fā)現(xiàn)、的拱高和其所對的弦都是2m，所對的圓心角是，弦與春聯(lián)的底端平齊，E點正好是春聯(lián)外側(cè)最高點，則春聯(lián)的外側(cè)長度大約是______m．（參考數(shù)據(jù)；結(jié)果按四舍五入法精確到0.1）【答案】1.9【解析】【分析】過點E作于G，延長交于F，過點F作于H，如圖，先利用垂徑定理與勾股定理，求得圓的半徑為，，在中，設(shè)，則，則，，再證明，得，解得：，求得，則，然后證明，得，即，求得的長，即可求解．【詳解】解：過點E作于G，延長交于F，過點F作于H，如圖，∵的拱高和其所對的弦都是2m，∴，，設(shè)圓的半徑為，則，由勾股定理，得，解得：，∴圓的半徑為，，∵所對的圓心角是，即，∴，∴在中，設(shè)，則，∴，∴，∵，，∴，∴，即，解得：，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，即，∴，∴春聯(lián)的外側(cè)長度大約是．故答案為：1.9．【點睛】本題考查垂徑定理，相似三角形判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理．此題屬圓的綜合題目，正確作出輔助線，構(gòu)造特殊直角三角形與相似三角形是解題的關(guān)鍵．三、解答題：下列各題需要在答題卷指定位置寫出文字說明、證明過程、計算步驟或作出圖形（共8小題，共72分）．17.關(guān)于x的一元二次方程有一個根是，求m的值及方程的另一個根．【答案】m的值為，另一根為【解析】【分析】本題考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，掌握的兩根為，，則有，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)另一根為a，則，解得：，∴m的值為，另一根為．18.如圖，在中，，將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，延長交于點F．（1）直接寫出的度數(shù)；（2）若，求證：．【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，正確畫出輔助線，構(gòu)造等腰三角形是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出，結(jié)合得出，即可得出結(jié)論；（2）連接，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，則，進而得出，則，根據(jù)三線合一得出，即可求證．【小問1詳解】解：∵繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∵，∴，∴，∴；【小問2詳解】證明：連接，∵繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴．19.學(xué)校為增加節(jié)日氣氛，在新年來臨之際舉行一次抽獎活動；如圖是一個可以自由轉(zhuǎn)動、質(zhì)地均勻的轉(zhuǎn)盤，每位學(xué)生都有一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時，指針落在哪一個區(qū)域就獲得相應(yīng)的獎品．下表是活動進行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的次數(shù)落在“鉛筆”的次數(shù)落在“鉛筆”的頻率（1）直接寫出轉(zhuǎn)動該轉(zhuǎn)盤一次，獲得鉛筆的概率（結(jié)果保留小數(shù)點后兩位），并直接寫出飲料所在扇形的圓周角的度數(shù)（結(jié)果精確到）；（2）小明同學(xué)設(shè)計了一個摸球試驗，在口袋中放一個白球和若干個紅球，從中隨機摸出一球，如果是白球，就獲得飲料，如果是紅球，就獲得鉛筆．并且這個試驗中獲得鉛筆概率跟學(xué)校抽獎活動的結(jié)果是一樣的．直接寫出紅球的個數(shù)；直接寫出兩次摸球都獲得飲料的概率．【答案】（1），；（2）個；．【解析】【分析】（）根據(jù)圖表中的頻率去估計概率及用即可；（）利用概率公式，摸到白球的概率為，摸到紅球的概率為即可求解；畫樹狀圖，然后利用概率公式求解；本題考查了利用頻率估計概率和列表法與樹狀圖法求概率，解題的關(guān)鍵是靈活運用知識點的應(yīng)用．【小問1詳解】根據(jù)表格可知：轉(zhuǎn)動該轉(zhuǎn)盤一次，獲得鉛筆的概率為，飲料所在扇形的圓周角的度數(shù)；【小問2詳解】設(shè)紅球的個數(shù)有個，由（）得，鉛筆的概率為，，解得：，經(jīng)檢驗：是分式方程的解，∴紅球的個數(shù)有個；列表如下：白紅紅紅白白、白紅、白紅、白紅、白紅白、紅紅、紅紅、紅紅、紅紅白、紅紅、紅紅、紅紅、紅紅白、紅紅、紅紅、紅紅、紅共有種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩人都獲得“飲料”的結(jié)果數(shù)為，∴兩人都獲得“飲料”的概率為．20.如圖，在矩形中，經(jīng)過點A，與矩形的兩邊相切，切點分別為E，F(xiàn)，與邊相交于點G．連并延長交邊于點P．（1）求證：；（2）若，直接寫出的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題考查了切線的定義，矩形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，正確畫出輔助線，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．（1）連接，通過證明，四邊形是正方形，即可求證；（2）連接，過點O作，則，通過證明四邊形是矩形，得出，再根據(jù)勾股定理得出，易得，最后根據(jù)，即可求解．【小問1詳解】證明：連接，∵與相切，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，四邊形是矩形，∵，∴四邊形是正方形，∴，∴；【小問2詳解】解：連接，過點O作，∵，四邊形是正方形，∴，∵，，，∴四邊形是矩形，∴，根據(jù)勾股定理可得：，∵，，∴，∴．21.如圖，矩形內(nèi)接于．請僅用無刻度的直尺完成畫圖，并回答問題．（1）如圖（1），畫出圓心O；（2）如圖（2），E為上一點，，畫出弧的中點P；（3）如圖（3），E為上一點，四邊形是菱形．①試判斷直線是否經(jīng)過點O，并簡要說明理由；②與相交于點G，在上畫點M，使．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析【解析】【分析】（1）連接，的交點即為圓心O；（2）連接交于點Q，連接并延長交圓O于點P，點P即為所作；（3）①根據(jù)垂徑定理的推論即可解題；②延長交于點，連接，交于點，連接并延長交于點，則點即為所作．【小問1詳解】解：連接，的交點即為圓心O；【小問2詳解】解：連接交于點Q，連接并延長交圓O于點P，點P即為所作；連接，∵，，，∴，∴，∴垂直平分，∴，又∵，∴，∴；【小問3詳解】①直線必經(jīng)過點O，理由為：連接，，∵四邊形是菱形，∴垂直平分，∴直線必經(jīng)過點O；②延長交于點，連接，交于點，連接并延長交于點，則點即為所作．則，為矩形，∴，，，∴，∵為矩形，∴，，∴，，∴，∴．【點睛】本題考查無刻度直尺作圖，掌握角所對的弦是直徑，圓的軸對稱性，矩形的中心對稱，垂徑定理的推論，掌握幾何圖形的對稱性是解題的關(guān)鍵．22.某商店銷售一種水產(chǎn)品，市場調(diào)查得數(shù)據(jù)如下表：銷售價格x（單位：元/千克）45505358月銷售量y（單位：千克）550500470420月銷售成本m（單位：元）22000200001880016800月銷售利潤w（單位；元）2750500061107560通過分析，發(fā)現(xiàn)該水產(chǎn)品每千克的銷售成本是一個常數(shù)，月銷售量y（單位：千克）與銷售價格x（單位：元/千克）滿足一次函數(shù)關(guān)系．（1）直接寫出該產(chǎn)品每千克的銷售成本，并直接寫出月銷售量y與銷售價格x之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫自變量取值范圍）；（2）要確保該產(chǎn)品月銷售利潤達到8000元，并控制月銷售成本不超過12000元，銷售價格應(yīng)定為多少元/千克？（3）當(dāng)該產(chǎn)品銷售價格為多少元/千克時月銷售利潤最大？最大月銷售利潤是多少元？【答案】（1）該產(chǎn)品每千克的銷售成本為40元，月銷售量y與銷售價格x之間的函數(shù)關(guān)系式為（2）銷售價格應(yīng)定為80元/千克（3）當(dāng)該產(chǎn)品銷售價格為70元/千克時月銷售利潤最大，最大月銷售利潤是9000元【解析】【分析】本題考查了一次函數(shù)的實際應(yīng)用，一元二次方程的實際應(yīng)用，二次函數(shù)的實際應(yīng)用，正確理解題意，根據(jù)題意找出等量關(guān)系，列出函數(shù)關(guān)系式和方程是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意即可求出每千克銷售成本，設(shè)月銷售量y與銷售價格x之間的函數(shù)關(guān)系式為，把代入，求出k和b的值，即可得出函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)“月銷售成本不超過12000元”列出不等式，求出x的取值范圍，再根據(jù)總利潤=單件利潤×銷售量，列出方程，求解即可；（3）根據(jù)總利潤=單件利潤×銷售量，列出w關(guān)于x函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合二次函數(shù)的增減性，即可解答．【小問1詳解】解：根據(jù)題意可得：該產(chǎn)品每千克的銷售成本（元），設(shè)月銷售量y與銷售價格x之間的函數(shù)關(guān)系式為，把代入得：，解得：，∴月銷售量y與銷售價格x之間的函數(shù)關(guān)系式為；【小問2詳解】解：∵月銷售成本不超過12000元，∴，解得：，，整理得：，解得：（舍去），，答：銷售價格應(yīng)定為80元/千克；【小問3詳解】解：根據(jù)題意可得：，∵，∴當(dāng)時，w有最大值9000，即當(dāng)該產(chǎn)品銷售價格為70元/千克時月銷售利潤最大，最大月銷售利潤是